函數(shù)極限關(guān)于函數(shù)極限，依據(jù)自變量改變過程，我們主要研究以下兩種情況：一、當(dāng)自變量x絕對值無限增大時，f(x)改變趨勢，二、當(dāng)自變量x無限地靠近于x0時，f(x)改變趨勢第1頁一、自變量趨向無窮大時函數(shù)極限播放第2頁經(jīng)過上面演示試驗觀察:問題:怎樣用準(zhǔn)確數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限靠近”.第3頁第4頁2.另兩種情形:第5頁3.幾何解釋:第6頁例1證實證故不妨設(shè)|x|＞1，而當(dāng)|x|＞1時第7頁第8頁二、自變量趨向有限值時函數(shù)極限先看一個例子這個函數(shù)雖在x=1處無定義，但從它圖形上可見，當(dāng)點從1左側(cè)或右側(cè)無限地靠近于1時，f(x)值無限地靠近于4，我們稱常數(shù)4為f(x)當(dāng)x→1時f(x)極限。1xyo4第9頁第10頁第11頁注①定義習(xí)慣上稱為極限ε—δ定義其三個要素：10。正數(shù)ε，20。正數(shù)δ，30。不等式②定義中所以x→x0時，f(x)有沒有極限與f(x)在x0處狀態(tài)并無關(guān)系，這是因為我們所關(guān)心是f(x)在x0附近改變趨勢，即x→x0時f(x)改變有沒有終極目標(biāo)，而不是f(x)在x0這一孤立點情況。約定x→x0但x≠x0第12頁③δ＞0反應(yīng)了x充分靠近x0程度，它依賴于ε，對一固定ε而言，合乎定義要求δ并不是唯一。δ由不等式|f(x)－A|＜ε來選定，普通地，ε越小，δ越小2.幾何解釋:第13頁例2證實證于是恒有例3設(shè)x0＞0證實第14頁證恒有例4證實證（不妨設(shè)ε＜1）第15頁第16頁例5證實證不妨設(shè)第17頁注在利用定義來驗證函數(shù)極限時，也可考慮對|f(x)－A|進行放大，放大標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)列時情形完全相同。另外還須注意此時是在x=x0附近考查問題，對于“附近”應(yīng)怎樣了解，請琢磨一下。第18頁3.單側(cè)極限:比如,第19頁左極限右極限第20頁例6證左右極限存在但不相等,第21頁三、函數(shù)極限性質(zhì)1.局部有界性2.唯一性3.不等式性質(zhì)（局部）定理(保序性)第22頁推論定理(保號性)推論第23頁4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系)定義定理第24頁證第25頁比如,函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系函數(shù)極限存在充要條件是它任何子列極限都存在,且相等.Heine定理，又稱歸并標(biāo)準(zhǔn)第26頁即證實設(shè)即恒有再由則對上述有又故第27頁設(shè)對都有要證用反證法若即但現(xiàn)取有滿足即但此與矛盾第28頁例7證二者不相等,第29頁四、小結(jié)函數(shù)極限統(tǒng)一定義(見下表)第30頁過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后第31頁思索題第32頁思索題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第33