無窮級數無窮級數無窮級數是研究函數的工具表示函數研究性質數值計算數項級數冪級數付氏級數常數項級數的概念和性質一、常數項級數的概念

二、無窮級數的基本性質三、級數收斂的必要條件機動目錄上頁下頁返回結束第一節

一、常數項級數的概念

引例1.用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內接正邊形,這個和逼近于圓的面積A.設a0表示即內接正三角形面積,ak表示邊數增加時增加的面積,則圓內接正機動目錄上頁下頁返回結束定義：給定一個數列將各項依即稱上式為無窮級數，其中第n項叫做級數的一般項,級數的前n項和稱為級數的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數并稱S

為級數的和,記作機動目錄上頁下頁返回結束當級數收斂時,稱差值為級數的余項.則稱無窮級數發散.顯然機動目錄上頁下頁返回結束例1.討論等比級數(又稱幾何級數)(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數收斂,從而則部分和因此級數發散.其和為機動目錄上頁下頁返回結束2).若因此級數發散;因此n為奇數n為偶數從而綜合1)、2)可知,時,等比級數收斂;時,等比級數發散.則級數成為不存在,因此級數發散.機動目錄上頁下頁返回結束例2.

判別下列級數的斂散性:解:(1)所以級數(1)發散;技巧:利用“拆項相消”求和機動目錄上頁下頁返回結束(2)所以級數(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和機動目錄上頁下頁返回結束

例3.判別級數的斂散性.解:故原級數收斂,其和為機動目錄上頁下頁返回結束二、無窮級數的基本性質性質1.若級數收斂于S,則各項乘以常數c所得級數也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級數各項乘以非零常數后其斂散性不變.即其和為cS.機動目錄上頁下頁返回結束性質2.

設有兩個收斂級數則級數也收斂,其和為證:令則這說明級數也收斂,其和為機動目錄上頁下頁返回結束說明:(2)若兩級數中一個收斂一個發散,則必發散.但若二級數都發散,不一定發散.例如,

(1)性質2表明收斂級數可逐項相加或減.(用反證法可證)機動目錄上頁下頁返回結束性質3.在級數前面加上或去掉有限項,不會影響級數的斂散性.證:

將級數的前k項去掉,的部分和為數斂散性相同.當級數收斂時,其和的關系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數機動目錄上頁下頁返回結束性質4.

收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.證:設收斂級數若按某一規律加括弧,則新級數的部分和序列為原級數部分和序列的一個子序列,推論:若加括弧后的級數發散,則原級數必發散.注意:收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.但發散.因此必有例如，用反證法可證例如機動目錄上頁下頁返回結束例4.判斷級數的斂散性:解:考慮加括號后的級數發散,從而原級數發散.機動目錄上頁下頁返回結束三、級數收斂的必要條件

設收斂級數則必有證:

可見:若級數的一般項不趨于0,則級數必發散.例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數發散.機動目錄上頁下頁返回結束注意:并非級數收斂的充分條件.例如,調和級數雖然但此級數發散.事實上

,假設調和級數收斂于S,則但矛盾!所以假設不真.機動目錄上頁下頁返回結束例5.

判斷下列級數的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級數(1)發散.機動目錄上頁下頁返回結束因進行拆項相消這說明原級數收斂,其和為(2)機動目錄上頁下頁返回結束這說明原級數收斂,其和為3.(3)機動目錄上頁下頁返回結束二、交錯級數及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第二節一、正項級數及其審斂法常數項級數的審斂法機動目錄上頁下頁返回結束

一、正項級數及其審斂法若定理1.

正項級數收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數.單調遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機動目錄上頁下頁返回結束都有定理2(比較審斂法)設且存在對一切有(1)若強級數則弱級數(2)若弱級數則強級數證:設對一切則有收斂,也收斂;發散,也發散.分別表示弱級數和強級數的部分和,則有是兩個正項級數,(常數k>0),因在級數前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨機動目錄上頁下頁返回結束(1)若強級數則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若弱級數因此這說明強級數也發散.也收斂.發散,收斂,弱級數機動目錄上頁下頁返回結束例1.

討論p級數(常數p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調和級數由比較審斂法可知p級數發散.發散,機動目錄上頁下頁返回結束因為當故考慮強級數的部分和故強級數收斂,由比較審斂法知p級數收斂.時,2)若機動目錄上頁下頁返回結束調和級數與p級數是兩個常用的比較級數.若存在對一切機動目錄上頁下頁返回結束證明級數發散.證:因為而級數發散根據比較審斂法可知,所給級數發散.例2.機動目錄上頁下頁返回結束定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數同時收斂或發散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

證:據極限定義,設兩正項級數滿足(1)當0<l<∞時,機動目錄上頁下頁返回結束由定理

2可知同時收斂或同時發散;(3)當l=∞時,即由定理2可知,若發散,(1)當0<l<∞時,(2)當l=

0時,由定理2知收斂,若機動目錄上頁下頁返回結束是兩個正項級數,(1)當時,兩個級數同時收斂或發散;特別取可得如下結論:對正項級數(2)當且收斂時,(3)當且發散時,也收斂;也發散.機動目錄上頁下頁返回結束的斂散性.～例3.

判別級數的斂散性.解:

根據比較審斂法的極限形式知例4.判別級數解:根據比較審斂法的極限形式知～機動目錄上頁下頁返回結束定理4

.比值審斂法(D’alembert判別法)設為正項級數,且則(1)當(2)當證:(1)收斂,時,級數收斂;或時,級數發散.由比較審斂法可知機動目錄上頁下頁返回結束因此所以級數發散.時(2)當說明:

當時,級數可能收斂也可能發散.例如,

p–級數但級數收斂;級數發散.從而機動目錄上頁下頁返回結束例5.

討論級數的斂散性.解:

根據定理4可知:級數收斂;級數發散;機動目錄上頁下頁返回結束二、交錯級數及其審斂法

則各項符號正負相間的級數稱為交錯級數.定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯級數滿足條件:則級數收斂,且其和其余項滿足機動目錄上頁下頁返回結束證:

是單調遞增有界數列,又故級數收斂于S,且故機動目錄上頁下頁返回結束收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數的斂散性:收斂上述級數各項取絕對值后所成的級數是否收斂?發散收斂收斂機動目錄上頁下頁返回結束三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數若若原級數收斂,但取絕對值以后的級數發散,則稱原級收斂,數為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數條件收斂.機動目錄上頁下頁返回結束定理7.

絕對收斂的級數一定收斂.證:設根據比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機動目錄上頁下頁返回結束例7.證明下列級數絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結束(2)令因此收斂,絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2.利用正項級數審斂法必要條件不滿足發散滿足比值審斂法收斂發散不定比較審斂法用它法判別部分和極限機動目錄上頁下頁返回結束3.任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz判別法:則交錯級數收斂概念:絕對收斂條件收斂機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習設正項級數收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發散.機動目錄上頁下頁返回結束備用題1.判別級數的斂散性:解:

(1)發散,故原級數發散.不是p–級數(2)發散,故原級數發散.機動目錄上頁下頁返回結束2.

則級數(A)發散;(B)絕對收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據條件不能確定.分析:∴(B)錯;又C機動目錄上頁下頁返回結束第三節一、函數項級數的概念

二、冪級數及其收斂性三、冪級數的運算冪級數機動目錄上頁下頁返回結束

一、函數項級數的概念設為定義在區間I上的函數項級數.對若常數項級數斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域

;若常數項級數為定義在區間I上的函數,稱收斂,發散,所有為其收為其發散點,發散點的全體稱為其發散域

.機動目錄上頁下頁返回結束為級數的和函數

,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數項級數前n

項的和,即在收斂域上,函數項級數的和是

x

的函數稱它機動目錄上頁下頁返回結束例如,

等比級數它的收斂域是它的發散域是或寫作又如,

級數級數發散;所以級數的收斂域僅為有和函數機動目錄上頁下頁返回結束二、冪級數及其收斂性

形如的函數項級數稱為冪級數,其中數列下面著重討論例如,冪級數為冪級數的系數

.即是此種情形.的情形,即稱機動目錄上頁下頁返回結束發散發散收斂收斂發散定理1.(Abel定理)

若冪級數則對滿足不等式的一切x

冪級數都絕對收斂.反之,若當的一切x,該冪級數也發散.時該冪級數發散,則對滿足不等式證:

設收斂,則必有于是存在常數M>0,使阿貝爾目錄上頁下頁返回結束當時,收斂,故原冪級數絕對收斂.也收斂,反之,若當時該冪級數發散,下面用反證法證之.假設有一點滿足不等式所以若當滿足且使級數收斂,面的證明可知,級數在點故假設不真.的x,原冪級數也發散.

時冪級數發散,則對一切則由前也應收斂,與所設矛盾,證畢機動目錄上頁下頁返回結束定理2.

若的系數滿足證:1)若

≠0,則根據比值審斂法可知:當原級數收斂;當原級數發散.即時,1)當

≠0時,2)當

＝0時,3)當

＝∞時,即時,則機動目錄上頁下頁返回結束2)若則根據比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發散,對任意

x原級數因此因此的收斂半徑為說明:據此定理因此級數的收斂半徑機動目錄上頁下頁返回結束冪級數在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區間.用±R

表示冪級數收斂與發散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數僅在x=0收斂;R=

時,冪級數在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發散.外發散;在(－R,R)稱為收斂區間.發散發散收斂收斂發散機動目錄上頁下頁返回結束對端點

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數為交錯級數收斂;

級數為發散.故收斂域為例1.求冪級數

機動目錄上頁下頁返回結束例2.求下列冪級數的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數僅在x=0處收斂.規定:0!=1機動目錄上頁下頁返回結束例3.的收斂半徑.解:

級數缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數收斂時級數發散故收斂半徑為故直接由機動目錄上頁下頁返回結束例4.的收斂域.解:

令級數變為當t=2

時,級數為此級數發散;當t=–2時,級數為此級數條件收斂;因此級數的收斂域為故原級數的收斂域為即機動目錄上頁下頁返回結束三、冪級數的運算定理3.

設冪級數及的收斂半徑分別為令則有:其中以上結論可用部分和的極限證明.機動目錄上頁下頁返回結束說明:兩個冪級數相除所得冪級數的收斂半徑可能比原來兩個冪級數的收斂半徑小得多.例如,設它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是機動目錄上頁下頁返回結束定理4

若冪級數的收斂半徑(證明見第六節)則其和函在收斂域上連續,且在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:注:

逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變.機動目錄上頁下頁返回結束解:

由例2可知級數的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數.因此得設機動目錄上頁下頁返回結束例6.

的和函數解:

易求出冪級數的收斂半徑為1,x＝±1時級數發散,機動目錄上頁下頁返回結束例7.

求級數的和函數解:

易求出冪級數的收斂半徑為1,及收斂,機動目錄上頁下頁返回結束因此由和函數的連續性得:而及機動目錄上頁下頁返回結束例8.解:

設則機動目錄上頁下頁返回結束而故機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.求冪級數收斂域的方法1)對標準型冪級數先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數的性質兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與也可通過換元化為標準型再求.乘法運算.機動目錄上頁下頁返回結束2)在收斂區間內冪級數的和函數連續;3)冪級數在收斂區間內可逐項求導和求積分.思考與練習1.

已知處條件收斂,問該級數收斂半徑是多少?答:根據Abel定理可知,級數在收斂,時發散.故收斂半徑為機動目錄上頁下頁返回結束2.

在冪級數中,n

為奇數n

為偶數能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.

因為當時級數收斂,時級數發散,說明:

可以證明比值判別法成立根值判別法成立機動目錄上頁下頁返回結束阿貝爾(1802–1829)挪威數學家,近代數學發展的先驅者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數研究中,他得到了一些判斂準則及冪級數求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數研究開拓了道路.數學家們工作150年.類代數方程,他是橢圓函數C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發現這是一類交換群,備用題

求極限其中解:

令作冪級數設其和為易知其收斂半徑為1,則機動目錄上頁下頁返回結束第四節兩類問題:在收斂域內和函數求和展開本節內容:一、泰勒(Taylor)級數

二、函數展開成冪級數函數展開成冪級數機動目錄上頁下頁返回結束

一、泰勒(Taylor)級數

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項

.則在若函數的某鄰域內具有n+1階導數,此式稱為f(x)的n

階泰勒公式,該鄰域內有:機動目錄上頁下頁返回結束為f(x)

的泰勒級數.則稱當x0=0

時,泰勒級數又稱為麥克勞林級數

.1)對此級數,它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數是否為f(x)?待解決的問題:若函數的某鄰域內具有任意階導數,機動目錄上頁下頁返回結束定理1

.各階導數,則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項滿足:證明:令設函數f(x)在點x0的某一鄰域內具有機動目錄上頁下頁返回結束定理2.若f(x)能展成x

的冪級數,則這種展開式是唯一的,且與它的麥克勞林級數相同.證:

設f(x)所展成的冪級數為則顯然結論成立.機動目錄上頁下頁返回結束二、函數展開成冪級數

1.直接展開法由泰勒級數理論可知,第一步求函數及其各階導數在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數,并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區間(－R,R)內是否為驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數展開式0.的函數展開機動目錄上頁下頁返回結束例1.

將函數展開成x

的冪級數.解:

其收斂半徑為對任何有限數

x,其余項滿足故(

在0與x之間)故得級數

機動目錄上頁下頁返回結束例2.

將展開成x

的冪級數.解:

得級數:其收斂半徑為對任何有限數

x,其余項滿足機動目錄上頁下頁返回結束類似可推出:機動目錄上頁下頁返回結束例3.

將函數展開成x

的冪級數,其中m為任意常數.解:

易求出于是得級數由于級數在開區間(－1,1)內收斂.因此對任意常數m,機動目錄上頁下頁返回結束推導則推導目錄上頁下頁返回結束為避免研究余項,設此級數的和函數為稱為二項展開式

.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m

有關.(2)當m為正整數時,級數為x

的m

次多項式,上式就是代數學中的二項式定理.機動目錄上頁下頁返回結束由此得對應的二項展開式分別為機動目錄上頁下頁返回結束2.間接展開法利用一些已知的函數展開式及冪級數的運算性質,例4.

將函數展開成x

的冪級數.解:

因為把x

換成,得將所給函數展開成冪級數.機動目錄上頁下頁返回結束例5.

將函數展開成x

的冪級數.解:從0到x

積分,得定義且連續,區間為利用此題可得上式右端的冪級數在x

＝1

收斂,所以展開式對x

＝1也是成立的,于是收斂機動目錄上頁下頁返回結束例6.

將展成解:

的冪級數.機動目錄上頁下頁返回結束例7.

將展成x－1的冪級數.解:

機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.函數的冪級數展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級數的性質及已知展開2.常用函數的冪級數展開式式的函數.機動目錄上頁下頁返回結束當m=–1時機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.函數處“有泰勒級數”與“能展成泰勒級數”有何不同?提示:

后者必需證明前者無此要求.2.如何求的冪級數?提示:機動目錄上頁下頁返回結束例3附注備用題1.將下列函數展開成x

的冪級數解:x＝±1時,此級數條件收斂,因此機動目錄上頁下頁返回結束2.

將在x=0處展為冪級數.解:因此機動目錄上頁下頁返回結束第五節本節通過實例，介紹冪級數展開式在近似計算中的應用。函數冪級數展開式的應用機動目錄上頁下頁返回結束

例1.

計算的近似值,精確到解:

機動目錄上頁下頁返回結束例2.

計算的近似值,使準確到解:

已知故令得于是有機動目錄上頁下頁返回結束在上述展開式中取前四項,機動目錄上頁下頁返回結束說明:在展開式中,令得具此遞推公式可求出任意正整數的對數.如(n為自然數),機動目錄上頁下頁返回結束例3.

利用求誤差.解:

先把角度化為弧度(弧度)誤差不超過的近似值,并估計機動目錄上頁下頁返回結束(取

例4.

計算積分的近似值,精確到解:機動目錄上頁下頁返回結束則n

應滿足則所求積分近似值為欲使截斷誤差機動目錄上頁下頁返回結束例5.

計算積分的近似值,精確到解:

由于故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數在

x=0處的值為1,則它在積分區間上連續,且有冪級數展開式:機動目錄上頁下頁返回結束第六節一、三角級數及三角函數系的正交性

機動目錄上頁下頁返回結束二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數

傅里葉級數一、三角級數及三角函數系的正交性稱函數項級數為三角級數.機動目錄上頁下頁返回結束下面來介紹三角函數系的正交性定理1.

組成三角級數的函數系證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數之積在機動目錄上頁下頁返回結束上的積分不等于0.且有但是在三角函數系中兩個相同的函數的乘積在機動目錄上頁下頁返回結束二、函數展開成傅里葉級數定理2.

設f(x)是周期為2

的周期函數,且右端級數可逐項積分,則有證:

由定理條件,①②對①在逐項積分,得機動目錄上頁下頁返回結束(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項積分可得機動目錄上頁下頁返回結束葉系數為系數的三角級數①稱為的傅里葉系數;由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數

.稱為函數

傅里葉目錄上頁下頁返回結束定理3(收斂定理,展開定理)設

f(x)是周期為2

的周期函數,并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數收斂,且有

x

為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數

.

x

為連續點注意:函數展成傅里葉級數的條件比展成冪級數的條件低得多.簡介目錄上頁下頁返回結束例1.

設

f(x)是周期為2

的周期函數,它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數將f(x)展成傅里葉級數.機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束1)

根據收斂定理可知,時,級數收斂于2)傅氏級數的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.機動目錄上頁下頁返回結束例2.上的表達式為將f(x)展成傅里葉級數.解:

設

f(x)是周期為2

的周期函數,它在機動目錄上頁下頁返回結束說明:

當時,級數收斂于機動目錄上頁下頁返回結束周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數定義在[–

,]上的函數f(x)的傅氏級數展開法其它機動目錄上頁下頁返回結束例3.

將函數級數.則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2

為周期的函數F(x),機動目錄上頁下頁返回結束利用此展式可求出幾個特殊的級數的和.當x=0時,f(0)=0,得說明:機動目錄上頁下頁返回結束設已知又機動目錄上頁下頁返回結束三、正弦級數和余弦級數1.周期為2

的奇、偶函數的傅里葉級數定理4.

對周期為2

的奇函數f(x),其傅里葉級數為周期為2

的偶函數f(x),其傅里葉級數為余弦級數,它的傅里葉系數為正弦級數,它的傅里葉系數為機動目錄上頁下頁返回結束例4.

設的表達式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數.是周期為2

的周期函數,它在解:

若不計周期為2

的奇函數,因此機動目錄上頁下頁返回結束n＝1根據收斂定理可得f(x)的正弦級數:級數的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見右圖.n＝5機動目錄上頁下頁返回結束例5.將周期函數展成傅里葉級數,其中E為正常數.解:是周期為2

的周期偶函數,因此機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束2.在[0,]上的函數展成正弦級數與余弦級數周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數奇延拓偶延拓正弦級數f(x)在[0,]上展成機動目錄上頁下頁返回結束例6.

將函數分別展成正弦級數與余弦級數.解:

先求正弦級數.去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,機動目錄上頁下頁返回結束注意:在端點x=0,

,級數的和為0,與給定函數機動目錄上頁下頁返回結束因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦級數.將則有作偶周期延拓,機動目錄上頁下頁返回結束說明:

令

x=0

可得即機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.周期為2

的函數的傅里葉級數及收斂定理其中注意:

若為間斷點,則級數收斂于機動目錄上頁下頁返回結束2.周期為2

的奇、偶函數的傅里葉級數

奇函數正弦級數

偶函數余弦級數3.在[0,]上函數的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數

作偶周期延拓,展開為余弦級數1.

在[0,]上的函數的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級數就不同.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習處收斂于2.則它的傅里葉級數在在處收斂于

.提示:設周期函數在一個周期內的表達式為機動目錄上頁下頁返回結束

,3.

設又設求當的表達式.解:

由題設可知應對作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級數展開式的和函數,定義域機動目錄上頁下頁返回結束4.

寫出函數傅氏級數的和函數.答案:定理3目錄上頁下頁返回結束備用題1.葉級數展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)機動目錄上頁下頁返回結束的傅里傅里葉(1768–1830)法國數學家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數學史上一部經典性書中系統的運用了三角級數和三角積分,他的學生將它們命名為傅里葉級數和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎發展起來的文獻,他深信數學是解決實際問題傅里葉分析對近代數學以及物理和工程技術的發展都產生了深遠的影響.狄利克雷(1805–1859)德國數學家.對數論,數學分析和數學物理有突出的貢獻,是解析數論他是最早提倡嚴格化方法的數學家.函數f(x)的傅里葉級數收斂的第一個充分條件;了改變絕對收斂級數中項的順序不影響級數的和,舉例說明條件收斂級數不具有這樣的性質.他的主要的創始人之一,并論文都收在《狄利克雷論文集(1889一1897)中.1829年他得到了給定證明第七節一般周期的函數的傅里葉級數機動目錄上頁下頁返回結束

周期為2l函數f(x)周期為2

函數F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式設周期為2l

的周期函數f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續點處)其中定理.機動目錄上頁下頁返回結束證明:

令,則令則所以且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里葉級數:(在F(z)的連續點處)變成是以2

為周期的周期函數,機動目錄上頁下頁返回結束其中令(在f(x)的連續點處)證畢機動目錄上頁下頁返回結束說明:其中(在f(x)的連續點處)如果

f(x)

為偶函數,則有(在f(x)的連續點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點x處,傅里葉級數收斂于如果

f(x)為奇函數,則有機動目錄上頁下頁返回結束例1.

交流電壓經半波整流后負壓消失,試求半波整流函數的解:

這個半波整流函數,它在傅里葉級數.上的表達式為的周期是機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束n>1

時機動目錄上頁下頁返回結束由于半波整流函數f(t)直流部分說明:交流部分由收收斂定理可得2k

次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實際應用中展開式取前幾項就足以逼近f(x)了.上述級數可分解為直流部分與交流部分的和.機動目錄上頁下頁返回結束例2.

把展開成(1)正弦級數;(2)余弦級數.解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級數收斂于何值?機動目錄上頁下頁返回結束(2)將作偶周期延拓,則有機動目錄上頁下頁返回結束說明:

此式對也成立,由此還可導出據此有機動目錄上頁下頁返回結束當函數定義在任意有限區間上時,方法1令即在上展成傅里葉級數周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數其傅里葉展開方法:機動目錄上頁下頁返回結束方法2令在上展成正弦或余弦級數奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數機動目錄上頁下頁返回結束例3.

將函數展成傅里葉級數.解:

令設將F(z)延拓成周期為10的周期函數,理條件.由于F(z)是奇函數,故則它滿足收斂定機動目錄上頁下頁返回結束為正弦級數.內容小結1.周期為2l的函數的傅里葉級數展開公式(x

間斷點)其中當f(x)為奇函數時,(偶)(余弦)2.在任意有限區間上函數的傅里葉展開法變換延拓機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.將函數展開為傅里葉級數時為什么最好先畫出其圖形?答:

易看出奇偶性及間斷點,2.計算傅里葉系數時哪些系數要單獨算?答:

用系數公式計算如分母中出現因子n－k從而便于計算系數和寫出收斂域.必須單獨計算.習題課目錄上頁下頁返回結束備用題期的傅立葉級數,并由此求級數解:為偶函數,因

f(x)偶延拓后在展開成以2為周的和.故得機動目錄上頁下頁返回結束得故機動目錄上頁下頁返回結束習題課級數的收斂、求和與展開機動目錄上頁下頁返回結束三、冪級數和函數的求法四、函數的冪級數和付式級數展開法一、數項級數的審斂法二、求冪級數收斂域的方法

求和展開(在收斂域內進行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數；級數展開.為傅立葉級數.為傅氏系數)時,時為數項級數;時為冪級數;機動目錄上頁下頁返回結束一、數項級數的審斂法1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2.正項級數審斂法必要條件不滿足發散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動目錄上頁下頁返回結束3.任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz判別法:若且則交錯級數收斂,概念:且余項若收斂,稱絕對收斂若發散,稱條件收斂機動目錄上頁下頁返回結束例1.

若級數均收斂