多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值一、多元函數(shù)的極值定義則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)例1.在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.稱為函數(shù)z=f(x,y)的某鄰域內(nèi)有

1．二元函數(shù)極值的定義若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極大值(或極小值).的極大值點(diǎn)[或極小值點(diǎn)].2．極值的必要條件注10

方程組的解稱為f(x,y)的駐點(diǎn)．20

30

極值嫌疑點(diǎn)：【簡言之：可偏導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)】駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).定理1在點(diǎn)有偏導(dǎo)數(shù)，且在處有極值，則必有設(shè)駐點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).（例如z=xy,駐點(diǎn)(0,0)不是極值點(diǎn))．定理2的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令若函數(shù)

3．極值的充分條件則（1）當(dāng)是極值，時(shí)為極大值；時(shí)，可能是極值,且當(dāng)時(shí)為極小值；（2）當(dāng)時(shí)，不是極值，（3）當(dāng)時(shí)，也可能不是極值，需另作討論。在點(diǎn)當(dāng)

即解得駐點(diǎn)

第二步：求第三步：求A、B、C，的符號，判定f(x0,y0)是否為極值。對每個(gè)駐點(diǎn)由求f(x,y)的駐點(diǎn)第一步：4．求二元函數(shù)z=f(x,y)極值的步驟：例2.求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(3,2),(3,-2)第二步解的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)

例2.求駐點(diǎn):在點(diǎn)(3,2)

處點(diǎn)（3，2）不是極值點(diǎn);的極值.

第三步在點(diǎn)(3,-2)處為極大值.的符號，判別。定(3,-2)(3,2),二、應(yīng)用問題中的多元函數(shù)的最值在實(shí)際問題中，而f(x,y)在D

內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，所求的最值點(diǎn)．

如果f(x,y)在D內(nèi)的最值存在，那么該駐點(diǎn)就是例3解

距離平方之和由得駐點(diǎn)在xoy面上求一點(diǎn),使它到x=0,y=0,x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最小.所以,當(dāng)所求點(diǎn)為時(shí),u最小.

?P(x,y)Eyx三、條件極值1.條件極值概念無條件極值.例如：（1）求的極值.

條件極值.（2）例如:求在條件下的極值.2.條件極值的求法

拉格朗日乘數(shù)法

步驟：

求在條件下極值①作拉格朗日函數(shù)②解方程組得③判別是否就是所求極值點(diǎn).（應(yīng)用題不必判別）

注求在條件下條件極值的拉格朗日乘數(shù)法:得（2）解方程組是極大（小）值（3）判別例4某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為x和y(件),利潤函數(shù)為z=6x-x2+16y–4y2(元),每件產(chǎn)品均需消耗某種原料2公斤,現(xiàn)有原料12公斤,問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件時(shí),利潤最大?解2x+2y=12,約束條件:即x+y=6,

令解方程組得故當(dāng)x=3.8,y=2.2時(shí),利潤最大.

注:利潤L=收益R

成本C-內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法

設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn).

備用題備用題

.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,則三個(gè)三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)

解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為

求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.二、多元函數(shù)的最值（3）計(jì)算上述各點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，其中最大、最小者即為最大、最小值。1．求連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域

D

上的最值的方法

解由（1）先求函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)部的駐點(diǎn)：例3

求二元函數(shù)在閉區(qū)域