專題37最值模型之瓜豆模型（原理）直線

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

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模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）....................................................................錯誤！未定義書簽。

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模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌

跡相同。

只要滿足：

則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡

1、兩“動”，一“定”

長度的比和它們到定點的距離比相同。

2、兩動點與定點的連線夾角是定角

3、兩動點到定點的距離比值是定值

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點叫瓜（豆），從動點叫瓜（豆），瓜在直線上運動，豆也在直

線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

模型1）如圖，P是直線BC上一動點，A是直線BC外一定點，連接AP，取AP中點Q，當點P在直線上

運動時，則Q點軌跡也是一條直線。

證明：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，

因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．

模型2）如圖，在APQ中AP=AQ，∠PAQ=為定值，當點P在直線BC上運動時，則Q點軌跡也是一條

直線。△

證明：在BC上任取一點P1，作三角形AP1Q1，且滿足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，連結Q1Q交BC于點N，

∵，，∠∠，，∴∠∠，

AP=AQAQ1=AP1P1AQ1=PAQ=△APP1AQQ1APP1=AQQ1

∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q點所在直線與BC的夾角為定值，故Q點軌跡是一條直線．

當動點軌跡為一條直線時，常用“垂線段最短”求最值。

1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線，即模型1）；

②當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線，即模型2）；

③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線；

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

注意：若動點軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉化（常用中位線、全等、相似、對角線）

為其他已知軌跡的線段求最值。

11

例1．（2024·山東泰安·校考一模）如圖，矩形ABCD的邊AB,BC3，E為AB上一點，且AE1，F

2

為AD邊上的一個動點，連接EF，若以EF為邊向右側作等腰直角三角形EFG,EFEG，連接CG，則CG

的最小值為（）

5

A．5B．C．3D．22

2

例2．（2024·河北邢臺·模擬預測）如圖，VABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線上的動點．連接，

將繞點C順時針旋轉得到．連接AF，則CAF，連接DF，則VC?D?F周長的最小值??

是??．60°??

例3．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，四邊形ABCD為矩形，對角線AC與BD相交于點O，點E在邊DC

上，連接AE，過D做DFAE，垂足為F，連接OF，若DAE30，DE10，則OF的最小值

為．

例4．（2023·安徽·合肥三模）如圖，在RtABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在

BC，AB邊上，連接DE，將BDE沿DE翻△折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，

△

則AF的長的最小值為（）

53

A．5B．3C．D．

22

例5．（2024·四川達州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB4，BC53，點P在線段BC上運動（含B，

C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉60到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為.

1

例6．（2024·重慶模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線yx2上的一個動點，將Q繞點P1,0

2

逆時針旋轉90，得到點Q，連接OQ，則OQ最小值為______．

例7．（2024·廣東·九年級校考期中）如圖，RtABC中，ACB90，A30，BC5，點E是邊AC上

一點，將BE繞點B順時針旋轉60到BF，連接CF，則CF長的最小值是（）

5

A．2B．2.5C．5D．

2

1．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB16，AD12，A60，E是邊AD上一點，

且AE8，F是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉60，得到EG，連接BG、CG，則BGCG

的最小值是（）.

A．4B．415C．421D．37

2．（2024·湖南長沙·一模）如圖，矩形ABCD中，AB6,BC8，F是AB上一點，E為BC上一點，且BE2，

連接EF，將EF繞著點E順時針旋轉45到EG的位置，則CG的最小值為．

3．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB8，BC83，點E為矩形對角線BD上一動點，

連接CE，以CE為邊向上作正方形CEFG，對角線CF、EG交于點H，連接DH，則線段DH的最小值為

4．（2023上·湖北武漢·九年級校聯考期中）如圖，已知MON30，B為OM上一點，BAON于A，四

邊形ABCD為正方形，P為射線BM上一動點，連接CP，將CP繞點C順時針方向旋轉90得CE，連接BE，

若AB2，則BE的最小值為．

5．（2023上·陜西渭南·九年級統考期中）如圖，在矩形ABCD中，AD6，點E為邊AD的中點，連接CE．點

F是邊CE上一動點，點G為邊BF的中點，連接DG．當AB4時，DG的最小值是．

6．（2023上·湖南長沙·九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,0)，點C是y軸

上一動點，設其坐標為0,m，線段CA繞點C逆時針旋轉90至線段CB，則點B的坐標為，連

接BO，則BO的最小值是．

7．（2024·山東校考一模）如圖，正方形ABCD中，AB4，點E為邊BC上一動點，將點A繞點E順時針

旋轉90得到點F，則DF的最小值為__________．

8．（2023·江蘇連云港·統考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD6，點E為邊BC上的動點，連接

AE，過點E作EFAE，且EFAE，連接CF，則線段CF長度的最小值為______．

9．（23-24八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點B在直線l上，ABl于點B，AB7，點C在直線l上運動，

以AC為邊作等邊ACD，連接BD，則BD的最小值為．

10．（2024·四川達州·三模）如圖，在等腰Rt△ABC中，BAC90，ABAC32，點M是BC邊上一

動點，將線段AM繞點A順時針旋轉60，得到線段AN，連接MN，CN，則ANCN的最小值

是．

11．（2024·四川成都·一模）如圖，在矩形ABCD中，BC2AB，點M，N為直線AD上的兩個動點，且

∠MBN30，將線段BM關于BN翻折得線段BM，連接CM．當線段CM的長度最小時，MMC的度

數為度．

12．（23-24八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，Rt△ABC中，ACB90，ABC30，AC6，D是線

段AB上一個動點，以BD為邊在ABC外作等邊△BDE．若F是DE的中點，連接CF，則CF的最小值

為．

13．（2024九年級下·江蘇·專題練習）等邊ABC邊長為6，D是BC中點，E在AD上運動，連接BE，在BE

下方作等邊△BEF，則VBDF周長的最小值為．

14．（23-24九年級下·湖北武漢·階段練習）在等腰ABC中，AC＝AB，D是BC延長線上一點，E是線段

AB上一點，連接DE交AC于點F．△

DFCF

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的長；

DEBE

(3)如圖3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直線AB上運動，以DE為斜邊向上構造直角DTE，且∠E＝

30°，請直接寫出CT的最小值是．△

15．（2023·山東臨沂·二模）如圖，矩形ABCD中，AB23，AD2，點E在線段BC上運動，將AE繞點

A順時針旋轉得到AF，旋轉角等于BAC，連接CF．

(1)當點E在BC上時，作FMAC，垂足為M，求證：AMAB；(2)連接DF，點E從點B運動到點C的

過程中，試探究DF是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．

16．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、M、E、F依次在直線l上，點A、B固定不動，且AB2，

分別以AB、EF為邊在直線l同側作正方形ABCD、正方形EFGH，PMN90，直角邊MP恒過點C，直

角邊MN恒過點H．(1)如圖1，若BE10，EF12，求點M與點B之間的距離；(2)如圖1，若BE10，

當點M在點B、E之間運動時，求HE的最大值；(3)如圖2，若BF22，當點E在點B、F之間運動時，

點M隨之運動，連接CH，點O是CH的中點，連接HB、MO，則2OMHB的最小值為_______．

17．（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）【問題初探】數學課上張老師在講完正方形的性質之后提出了一個問

題：四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E是邊AD上的一動點，連接CE，以CE為一邊作正方形CEFG

（點C，E，F，G按順時針方向排列），連接BF，DG．

(1)如圖1，求點G到CD的距離，請寫出解答過程；

【類比分析】愛動腦的數學興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：

(2)如圖2，當BF經過點D時，求DG的長，請寫出解答過程；

【學以致用】看到同學們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導出相似”，

于是給同學們留了一道思考題：

(3)求代數式2DGBF的最小值．經過小組研討，組長小明進行了整理，給出了部分解題思路；