專題17解三角形（七大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01余弦定理、正弦定理

?題型02判斷三角形的形狀

?題型03解三角形與平面向量

?題型04解三角形幾何的應用

?題型05取值范圍、最值問題

?題型06解三角形的實際應用

?題型07解三角形解答題

?題型01余弦定理、正弦定理

1.（2024?浙江金華?三模）在“8C中，角的對邊分別為。，b,c.若°=4，6=2,4=60。，貝心

為（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

【分析】根據余弦定理直接求解即可.

Z.22_

【解析】由余弦定理得cos/="2,

2bc

即2"-（⑺_1,g|jc2_2c_3=0,解得c=3或c=-l（舍）.

2x2。2

故選：C.

2.（21-22高一下?江蘇連云港?期中）A48C的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知。=3,c=l,

cos（/+C）=-；,貝同=（）

A.V7B.V13C.3D.V19

【答案】A

【分析】先求得B的余弦值，再根據余弦定理可求得b的值.

［解析］cos(A+C)=COS(TI—B)=—cosB=—,cosB=—=——+———=9>1~,

v'22lac6

：.b2=l,b=5.

故選：A.

3.(2022?河南?模擬預測)已知“BC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,面積為36，4=g，

b+c=4G，貝!Ja=()

A.2出B.5C.8D.2A/2

【答案】A

【分析】由三角形的面積和A計算出6c的值，再根據余弦定理求出力的值，即可得到答案

【解析】由題意可知，S"c=；6csin4=36,得6c=12

'：b+c=4A/3，be=12

由余弦定理可得：｛=b2+。2_2bccosA=(Jb+c)2-2bc-2bccosA

整理得：a2=12,「.a=2百

故選：A

4.(2022?山西晉城?三模)的內角力,B,C的對邊分別為a,b,c,已知/=30。萬+°?一/=小回,

則。5c的面積為()

A.yB.V3C.1D.2

【答案】C

【分析】根據余弦定理可求得6c=4,再根據三角形的面積公式［besin/,即可求出結果.

【解析】因為4=30。萬+°2-/=4有，

所以26ccos/=百兒=4石，所以6c=4,

所以AABC的面積為^bcsin/=l.

故選：C.

5.(2023?四川南充?三模)在中，角4瓦。的對邊分別是a/,c,^b2=a2+c2-ac,貝l」3=()

7c7c2兀57r

A.—B.—C.—D.—

3636

【答案】A

【分析】由余弦定理即可求解.

222222

【解析】^b=a+c-ac^ac=a+c-b,所以cos/=+。2一"=必=1

lac2ac2

TT

由于2e(O,7i),，6=§,

故選：A

?題型02判斷三角形的形狀

6.（21-22高二上?廣西桂林?期末）內角/,B,C的對邊分別為a,b,c.若c=bcosN,則“8C一

定是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用余弦定理角化邊整理可得.

722_2

【解析】由余弦定理有c=bx一"，整理得〃=q2+c2,故“BC一定是直角三角形.

2bc

故選：C

7.（2023?上海嘉定?一模）已知“8C,那么就方就『＜0"是“小"為鈍角三角形”的（）

A.充分條件但非必要條件B.必要條件但非充分條件

C.充要條件D.以上皆非

【答案】A

【分析】利用余弦定理得到充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.

【解析】園2+同2T網2＜0,即/+02一/＜0,

722_2

由余弦定理得：cos/，C乜＜0,

2bc

因為“40,兀），所以4（5,j，故A/BC為鈍角三角形，充分性成立，

“3C為鈍角三角形，若8為鈍角，則A為銳角，則因'J阿-園、0,必要性不成立，

綜上：就『+|方『就『＜0”是"O8C為鈍角三角形”的充分條件但非必要條件.

故選:A

8.（2023?貴州?一模）在“BC中，6,c分別為角4民C的對邊，且滿足=26sii?—,則“3C的形狀

2

為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根據三角恒等變換得a=bcosC,再由余弦定理解決即可.

【解析】由題知，6-。=2加n二，

2

所以b-q=6-bcosC,得a=bcosC,

所以〃=>"一°，得/+°2=〃，

lab

所以^ABC的形狀為直角三角形，

故選：A

?題型03解三角形與平面向量

JTJT______

9.（2024?江蘇鹽城?模擬預測）/8C中，若AB=6,/B4C=1/ACB=i，則防.數+五無=（）

A.54B.27C.9D.376

【答案】A

【分析】利用正弦定理求出8C,再利用數量積的運算律求解即得.

^45sin—

【解析】在"BC中，若AB=6,NBAC=三，/ACB=三,由正弦定理得BC=---------=376,

34si.n兀—

4

所以BA?BC+CACB=BABC+ACBC=BC=54-

故選：A

10.（2024?安徽六安?模擬預測）己知平面向量。b,己滿足同=1,W=百，

（5-c^-c）=30°,則同的最大值等于（）

A.2幣B.布C.273D.3c

【答案】A

【分析】由//。2=150。,乙紇3=30。，即點40,5,C四點共圓，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.

【解析】設夕=①礪=B,前=1,

由同=1,網=g,那否=-|，則cos4O8=-[,

所以403=150。,又R-碗一司=30。，所以乙4cB=30。，

即點40,8,C四點共圓，要使同最大，即口斗為圓的直徑，

在“08中，由余弦定理可得/臺？=O/2+OB2-2Q/XOBXCOS/NO5=7,

即/8=近，又由正弦定理可得27=.AB℃=2不，

sinZAOB

即同的最大值為2行，

故選：A

11.（2024?廣東東莞?模擬預測圮知在同一平面內的三個點A,B,C滿足\AB\=2,同一國21,則|%+因

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.

【答案】D

【分析】根據罌-昌21,利用向量數量積的運算性質可得//CBN60。，從而點C在度數為學的優弧

回回3

上運動，或點C在圓的內部，然后根據三角形中線性質和圓的性質可解.

CACB

【解析】設6=扃|

CB

則]是與而同方向的單位向量，I是與無同方向的單位向量,

對于21,即卜]-02卜1,

倒倒11

兩邊平方得怎-021,化簡得

因此可以得到[與團的夾角乙4c8260。，在構成等邊三角形時取等號,

冗

在如圖所示的圓中，點42在圓上，其中劣弧蕊的度數為2與，

點C在度數為子的優弧上運動，或點C在圓的內部，

若點C在圓上，根據正弦定理，

\AB\_2_473r-

可得圓的半徑及滿足一耳一亍，即7?=生，

—3

2

設E為48的中點，則0+赤=2屋，

當CE//B時，CE長達到最大值，此時“BC為等邊三角形,

可知|CO|=|R=百，即向+詞=2有，

當點C在圓的內部時，則C、E重合時，|CO|=0,

此時取最小值P+詞=0,又向+詞=國+明，

綜上所述，回+明的取值范圍為［0,2日.

故選：D

C

?題型04解三角形幾何的應用

12.（2024?北京?三模）在四棱錐尸-4BCQ中，底面/BCD為正方形，48=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

則APBC的周長為（）

A.10B.IIC.7+V17D.12

【答案】C

【分析】根據給定條件，結合棱錐的結構特征，利用全等三角形性質及余弦定理求出尸3即得.

【解析】在四棱錐P-43CD中，連接交于。，連PO,則。為NC,AD的中點，如圖,

()

B

正方形/BCD中，48=4,AC=BD=4五,

在△尸0c與△尸。D中，OC=OD,OP=OP,PC=PD,則△POC0APOD,

于是NPDB=ZPCA=45°,

由余弦定理得PB=JBO?+一23。?J。cosNPD8=132+9—2義4血義3義與二歷，

所以小BC的周長為7+&V.

故選：C

13.（2024?廣東廣州?模擬預測）在。3C中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若。=3,b=2,ZBAC

的平分線40的長為生色，則8c邊上的中線/”的長等于（

）

5

A.叵B.逑「V17

V/?-----

234

【答案】A

【分析】由設/A4Z）=/C/Z）=a,S“BC=S“8D+S“cz＞可得cosa的值，進而可求得cos2a,sin2a的值，結

合余弦定理可得a,由萬（在+%『可求得而2,即可求得結果.

【解析】由題意知，設NR4D=NC4D=a,則/A4c=2a,如圖所示,

x2sin2a=Lx3x迪sina+」x2x墳sina,

2525

整理得3sin2a=2^/6sina,即sino（3cosa-&）=0,

又因為sinawO,所以85"=】何，

3

所以cos2a=2cos2a-1=』，所以sin2a=Jl-cos?2a=￡2

33

在“3C中，由余弦定理得/=32+22—2x3x2cos2a=13—4=9,所以。=3,

由是BC邊上的中線，得通=g（萬+%）

AH2=^（AB+AC^

2

二；（赤+加羽二；僅2b2

%2+2+c2+2bccosla+c+-1z?c

221=（（4+9+4）=?

=-|2+3+2X2X3x—

4l3

所以，中線長由半

故選：A

2sin5sinC

14.（2023?四川南充?二模）在。5C中，a,b,c分別是角4B,。的對邊，若〃+H=2023/,則

taiL4-siiL4

的值為（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【分析】利用正弦定理和余弦定理有2$出8sinC=2singsin0./=當?"+之一",再根據條件整體代

tanA-sinAsinAa2bc

換即可.

【解析】因為從+,2=20231,

則根據正弦定理和余弦定理有

2sinBsinC2sinBsinC.2bcb2+c2-?22022/

----------；-----=--------------cosA=---------------------=----------=2022.

tanA-sinAsinAa2bca

故選：B.

?題型05取值范圍、最值問題

15.（2024?江蘇連云港?模擬預測）在“8C中,角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=l,

bcos/=l+cos3,則邊b的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

【答案】B

【分析】利用正弦定理邊化角，再利用和差角的正弦推理得2=24,又由正弦定理得6=2cos/,根據角/

的范圍利用余弦函數性質求解值域即可求解.

【解析】由a=1,bcosA=l+cosB得,bcosA=a+acosB,

由正弦定理可得sinBcos力=sin/+sinAcosB,即sinBcosZ-sin/cos5=sinZ,

所以sin（8-4）=sin/,所以2-4=/或8-/+/=兀（舍去），所以3=24,

,asinBsin2^4?,

由正弦理得,6=一――7=2COS/,

smAsinA

TV

而0＜4＜兀,0＜3=2/＜兀，0＜。=兀一34＜兀，所以0＜/＜一,

3

所以;<COS/<1,所以b=2cos/e(l,2),所以b的取值范圍為(1,2).

故選：B

16.(2024?四川成都?模擬預測)設銳角AABC的三個內角48,C的對邊分別為。也C，且c=2,3=2C,則.+6

的取值范圍為()

A.（2,10）B.（2+20,10）C.（2+2后,4+2丁）D.（4+273,10）

【答案】C

【分析】根據正弦定理，轉化為三角函數，化簡后換元，根據二次函數的單調性求范圍即可.

【解析】在入45。中，由5=2。可得Z=兀-3。,

bc

由正弦定理sin(Lc)-----=-----得.

sin2CsinC

b2（sin3C+sin2C）2（sinCcos2C+cosCsin2C+2sinCcosC）

2（4COS2C+2COSC-1）

sinCsinC

71

0<A=7t-3C<-

2

TT

又“BC為銳角三角形,所以0<8=2C<5解得?

o4

0<C<-

2

^■t=cosC6,貝ijtz+6=2（4/+2f-1）Je______

因為y=4r+21在te時單調遞增,

所以1+<y<2+g，貝I]a+6e（2+2^/^,4+2道）.

故選：C

ah3c

17.（2024?河南?三模）在△Z5C中，角4,5，。所對的邊分別為Q,be若——；+--=—則tan4+tanC

cosAcosBcosC

的最小值是（）

,48

A.—B.-C.2-\/r3D.4

【答案】B

【分析】由正弦定理得tanZ+tan5=3tanC,再通過兩角和的正切公式得tan/tan5=4,最后使用基本不

等式求解即可.

ab3c

【解析】因為----1----=----

cosAcosBcosC

由正弦定理得里二+sin53sinC

cosAcosBcosC

所以tanA+tanB=3tanC,

又因為。=兀-（/+為，

tanA+tanB

所以tanA+tanB=—3

1-tan/tanB

3

所以1=

tanAtanB-1

即tanAtan5=4.

41\(4

所以tan5=-------,tanC=—(tan/+tan5)=—tan/H--------,

tanA33(tanA)

顯然tan/必為正(否則tan/和tanC都為負，就兩個鈍角),

所以tanA+tanC=-tanAH------——>2./—=—,

33tan/V93

44

當且僅當:tan/=^_即tan/=l,/=:取等號.

33tan/4

Q

所以tanA+tanC>—.

故選：B.

18.（2023?陜西榆林?—■模）AA8C的內角4瓦。所對的邊分別為仇c,若asiiL4+（6+Xa）sinB=csinC,則

4的取值范圍為（）

A.(-2,2)B.(0,2)C.[-2,2]D,[0,2]

【答案】A

【分析】根據正弦、余弦定理可得/=-2cosC,結合Ce（0,乃）即可求解.

222

[解析】因為asinA+e+/La)sinB=csinC,由正弦定理得c=a+b+Aab.又c?=/+/-2abcosC,

所以2=-2cosC.因為Ce(0,7i),

所以cosCe(-l,l),故川(-2,2).

故選：A.

?題型06解三角形的實際應用

19.（2024?陜西西安?模擬預測）在100m高的樓頂A處，測得正西方向地面上8、C兩點（夙C與樓底在同

一水平面上）的俯角分別是75。和15。，則8、C兩點之間的距離為（）.

A.200V2B.240V2C.180V3D.200V3

【答案】D

【分析】根據圖形，利用直角三角形求解即可.

=U__雪_looxMl￡\ioox空幽比空工嚀

【解析】由題意,

tan15°tan75°tan15°tan75°tan15°tan75°

sin15。sin75。sin15°cos15°

而tan15°tan75°=

cos15°cos75°cos15°sin15°

所以8C=100x26=200A

故選：D

20.（2024?廣東?二模）在一堂數學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將

小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為

ax=1.00m,之后將小鏡子前移。=6.00m,重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為電=0-60m,已

知人的眼睛距離地面的高度為〃=1.75m,則鐘樓的高度大約是（）

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

【答案】D

ah

【分析】設鐘樓的高度為p。，根據相似得到尸。=-----，代入數據計算得到答案.

-a】

【解析】如下圖，設鐘樓的高度為P。，

由AMKE?&QE,可得：EQ=PQKE=

MKh

由△NTFSPQF,可得：尸。=尸0.=至”

NTh

故￡0_尸。=生絲4

hh

ah6x1.75

故尸。=—=26.25m

ax-a21-0.60.4

故選：D.

21.（2024?上海嘉定?二模）嘉定某學習小組開展測量太陽高度角的數學活動.太陽高度角是指某時刻太陽

光線和地平面所成的角.測量時，假設太陽光線均為平行的直線，地面為水平平面.如圖，兩豎直墻面所

成的二面角為120。，墻的高度均為3米.在時刻乙實地測量得在太陽光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬

度分別為1米、1.5米.在線查閱嘉定的天文資料，當天的太陽高度角和對應時間的部分數據如表所示，則

時刻/最可能為（）

太陽高度角時間太陽高度角時間

43.13°08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

【答案】B

【分析】作出示意圖形，在四邊形/BCD中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形23CD的外接圓直徑大

小，然后在中利用銳角三角函數定義，算出ND8E的大小，即可得到本題的答案.

【解析】如圖所示，

E

設兩豎直墻面的交線為。￡，點K被太陽光照射在地面上的影子為點8,

點4c分別是點3在兩條墻腳線上的射影，連接AC,BD,BE,

由題意可知ZDBE就是太陽高度角.

:四邊形/BCD中，/BAD=NBCD=90°,ZADC=120°,

ZABC=360°-(ZBAD+ZBCD+ZADC)=60°,

：.“8C中，AC1=AB-+BC"-7.AB-BCcos6Q°=1,52+12-2xl.5xlx-=1.75,

2

可得NC=71^21.32,

???四邊形/BCD是圓內接四邊形，是其外接圓直徑，

AC

：.設^ABC的外接圓半徑為R,則BD=2R=——。1.53,

sin60

ED3

在中，tanNDBE=---=----土1.96,

BD1.53

所以NDBE=arctan1.96x63.02°,

對照題中表格，可知時刻7=10:00時，太陽高度角為62.29°,與63.02°最接近.

故選：B.

22.(2024?云南昆明?一模)早期天文學家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑.假設一種理想狀態：地球￡

和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示.地球在與位置時，測

27r37r

出行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了用位置，測出

若地球的軌道半徑為R,則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是(參考數據：

艮1.7)()

【答案】A

【分析】連接耳，根據給定條件，在AME。耳中利用正弦定理求出"4,再在中利用余弦定理求解

即得.

【解析】連接/片,在ASE。」當中，SE『SE'=R,又“際。=個,貝UAS1&是正三角形，E國=R,

27tQ｝得NE品M=?"禺M=||,

由/SE(X=—，/SE、M=:

3,

E,ME.E.與RJ7

IT

在雙叫片中，ZEME=-,由正弦定理得.兀一.兀，則=%=

Q1sinysin-V2v2

在中，由余弦定理得SM=JR2+4Ry一2R*R-(一斗=+拒史X陣Rk2.1R.

故選：A

?題型07解三角形解答題

23.(2024?內蒙古?三模)在AABC中,內角48,C的對邊分別為Ac,且

(a-V5/?)cosC=C(V5COSB-COS/).

(i)求2的值；

a

(2)若B=2C,證明：18C為直角三角形.

【答案】（1）亞

⑵證明見解析

【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到6=收°,求出答案；

（2）由（1）得到sin8=V^sirU，結合8=2C,得到$也2。=逝5M2。（：05。+收（：002。0也。，化簡得到

c°sC=旦，c=3,2=],得到答案.

242

【解析】（1）由（。一06卜050=c（0cosB-cos/）,

可得acosC+ccosA=41（ZJCOSC+ccosB）,

所以siiL4cosC+sinCcosZ=V2（siaScosC+sinCcos5）,

所以sin5=V2sinA，

則6=0a，即2=

a

（2）證明：由（1）可得sinS=V^sirU.

又B=2C,所以sin2C=血sin（B+C）=V^sin3C,

即sin2C=V2sin（2C+C）=A/2sin2CcosC+收cos2CsinC,

故2sinCcosC=2拒sinCcos2C+41cos2CsinC>

所以2cosc=2后cos2C+2V2cos2C-夜，

即4缶os2c-2cosC-V2=0，

因為B=2C,所以C為銳角，

解得cosC=Y2（負值舍去），即C=；,8=g,

242

所以“8C為直角三角形.

24.（2024?四川綿陽?模擬預測）三角形三內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知叵=匕小且.

asiib4

（1）求角B的大小；

（2）若的面積等于G，。為2c邊的中點，當中線2。的長最短時，求4C邊的長.

兀

【答案】（1）8=2?

(2)/C=VS.

【分析】（1）由正弦定理以及條件邊化角得GsinS=l-cos8,再結合輔助角公式即可求解.

（2）先由面積公式S-Bc=gacsin3得ac=4,再在△/AD中，由余弦定理結合基本不等式即可得中線

的最小值，進而可得4C長.

【解析】（1）在“8c中，由正弦定理得，GsinSsiM=siM-sirb4cos3.

因為4e（O/）,siiL4wO,所以gsinB=1-cosB,

所以狙$1115+（：058=2511118+力=1,即sin（8+j=；,

又8e（O,兀），則2+5=學，

66

兀

所以8=2m.

（2）由（1）得52”=Lacsinl20°==6，所以QC=4,

△TIDC24

在△45。中，由余弦定理可得：

S22a1”。2/4丫QC、3。。,

AD=c+\—-2c—cosl20=c+\—H---->-----=6,

2Uj22

當且僅當C=（即"2亞c=亞時，等號成立，

C

人

_____/

4cB

止匕時/C?=/+c2-2accosl20°=8+2-2-2V^VL]-g）=14,

故4c=癡.

25.（2024?重慶渝中?模擬預測）已知A/BC的內角4瓦。的對邊分別為且滿足

VJc

-------sinB=taiL4-cosB.

a

（1）求角A的大小；

⑵若“BC為銳角三角形且a=2指,求上8。面積的取值范圍.

【答案】（嗚

⑵（46,66]

【分析】（1）根據條件由正弦定理邊化角，結合三角恒等變換求得答案；

（2）由正弦定理得6=40sin8，c=4&sinC，代入三角形面積公式化簡得

LBC=4瓜巾8-胃+26,結合角8的范圍求出答案.

【解析】（1）由正弦定理得，回吆-sin2=tan/-cos3,

sin4

所以V3sinCsin5_sin力

sinAcosBcosBcosA

日口V3sinCsin/sin5sinAcosB+cosAsinBsin(4+5)sinC

sinAcosBcosAcos5cosAcosBcos力cos5cosAcosB

化簡得：*=G,即tan，=VL

cosA

又/e(O,7i),所以/

a_b_c巫=4也

(2)由正弦定理得：sin/sin5sinC.71

sin—

3

所以6=4后sin8，c=4V2sinC，

所以S“BC=—6csin^4=8V3sin5sinC=8百sin5sin

2

/o1

=8A/3sinB——cos5+—sin5=6sin2B-2^3cos2B+2^3

97Tjr

因為。8C是銳角三角形，所以。*2，解得:<5<彳，

八271n兀62

0<------B<—

[32

所以2吟芝1，所以M2T

所以S,ABC=4石Sinjg41+26e（4/6百].

26.（2024?江西?模擬預測）在A/8C中，角A,B,C所對的邊分別記為。，b,c,且

cosJ9-sinC

tan/=

cosC+sin5

（1）若B=（,求C的大小.

o

（2）若。=2,求6+c的取值范圍.

【答案】（1）C=不

⑵(2,+co)

cos5-sinC

（分析】（1）由tan/=,sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB-cos^4sinC,再利用兩角和差的

cosC+sin5

正余弦公式化簡，進而可求得48的關系，即可得解;

（2）利用正弦定理求出Ac,再根據45的關系結合三角函數的性質即可得解.

cos5-sinCsinAcosB-sinC

【解析】（1）因為tan/=,所以

cosC+sin5cosAcosC+sin5

即sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sinAcosC+cosAsinC=cosAcos3—sin4sinB,

所以sin(/+C)=cos(4+8),即sin5=cos(/+3),

jrIT

JfjjA,BG(0,7i),所以8+/+5=萬或8—(Z+5)=萬，

所以/+或/=￡（舍去）,

又因為5=2,所以/=$,

66

所以c=2m,TT；

77

(2)由⑴得4+28=5,

因為嘉=熹sinC

7asinB2sin52sin52sin5

一一b=——7-

所以sin4sin4.(兀。力］cos2B,

sinu——2B)

2sin《+5

asinC2sinC2cos5

c=-；-----=-；------

sinAsinAsin信一28cos25

b2(sin8+cos8)2(sin8+cos5)2后

則cos25cos25-sin2Bcos5-sin5(兀、，

cosDB+—

I4j

0<B<TI

TTjr

又由0<萬一23<兀，得0<3<；,

71

0<—+B<n

I2

所以+所以0<33+曾<《，

442I4j2

所以b+ce（2,+oo）.

27.（2023?全國?模擬預測）記足2。的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知

cos28-cos2/=4（cosC-cos3C）.

⑴若C=g,求/；

（2）若A42C為銳角三角形，求@+與的取值范圍.

【答案】（1）/=^

【分析】(1)運用二倍角公式及和角公式代入化簡解方程即可.

(2)根據銳角三角形得8的范圍，運用正弦定理邊化角，將所求式子轉化為關于cos?3的對勾函數，研究

其值域即可.

【解析】(1);cos2g—cos24=4(cosC—cos3。)，

.*.1-2sin2B-(\-2sin2A)=4cosC(l-cos2C)=4cosCsin2C,

sin274-sin25=sin2CsinC,

又sin(/+B)sin—8)=sin24cos-sin28cos=sin24cos-sin25(l-sin?/)=sin?/-sin25,

sin(4+B)sin(4-8)=sin2CsinC,即sinCsin(Z-8)=sin2CsinC,

又「sinCw0,

sin(/-B)=sin2C,

sin（Z-B）=

2

2兀2兀2兀2兀

又0<4<,,0<8<,，即一~-<A-B<—,

3333

3

^-：A+B^TI-C=—,

3

：.A=-.

2

（2）由（1）知sin2C=sin（/-8）,

71r冗

①當2c=/-3時，因為/+B+C=TI,所以2/=TI+C,即/=,+E>5，與△/IBC為銳角三角形矛盾，所

以不成立；

②當2。+/—2=兀時，因為R+B+C=TI,所以C=28,

所以4=兀一。一8=無一38.

71

Q<B<-

2

由0<28〈匹，得殳<8〈殳.

264

71

0<n-3B<—

（2

所以siib4=sin（萬一35）=sin35=sin（8+25）=sin5cos25+cosBsin25=sin5cos25+2sin5cos25,

,ab1siib4sin25siaScos25+2sin5cos25sin25

故L——I----=--------1---------=----------------------------------1----------

bc2sinBsin2CsinBsin225

=cos25+2COS25+——=2COS25-1+2cos25+——--4cos2B+-----------1.

4cos54cos54cos5

因為所以:.<cos5<立■,2<4COS25<3,

6422

^/（x）=x+--l（2<x<3）,則r（x）=T=（x+l）,T>0,

XXX

a7

所以/（X）在（2,3）上單調遞增，所以

所以巴+1的取值范圍為佶［1.

bc”

一、單選題

1.（2024?湖南?模擬預測）在A/3C中，c=l,a=2,C=30。，貝i」N=（）

A.60°B.90°C.45°D.120°

【答案】B

【分析】利用正弦定理，求出sin/,從而求出角A.

由A為三角形內角，所以4=90。，

故選：B.

2.（2024?吉林?模擬預測）在中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,“acosB=6cosN”是

“A=B"（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據正弦定理和正切函數的性質以及充要條件的判定即可得到答案.

兀

【解析】當QCOS5=bcos/,根據正弦定理得sin/cos5=sin5cos/,顯然4—,

則tan/=tanB,因為4,5為三角形內角，則力=5,則充分性成立；

TTTT

當4=8,因為45為三角形內角，則不會存在4=5=5的情況，則4,B手3,

則tan/=tanB,貝!Jsin4cos8=sinBcos/,根據正弦定理則ac