重難點專項突破02相似三角形中的“A”字模型（4種題型）

【知識梳理】

【考點剖析】

題型一：直接利用“A”字模型解題

例1.如圖，E是EIABCD的邊BA延長線上一點，CE與AD相交于點F,AE=1,AB=2,BC=3,那么AF=

例2.（2022秋?靜安區期末）在△/回中，AB=&,AC=5,點。、￡分別在邊/8、ACh,當/〃=4,/ADE=

題型二：添加輔助線構造“A”字模型解題

例3.如圖，在△ABC中，ZC=9O°,BC=2,AB=2小,點。在邊AC上，CD：AD=1：3,聯結BO,點E

在線段B。上，如果/BCE=/A,那么CE=.

例4.如圖，已知AABC中，AD,應'相交于G,BD:DC=3:1,AG:GD=1:2.求BG:GE的值.

BC

D

例5.如圖，在AABC中，點〃在線段以上，ZBAD=75°,ZG4D=30°,AD=2,

BD=2DC,求47的長.

題型三："AX"字型解題

例6.如圖，A/WC中，DE//BC,AE=3,DE=4,DF=2,CF=5,求EC的長.

例7.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC、BD交于點O,點E在相上，且EO//BC,已知

AD=3,BC=6.求EO的長.

【過關檢測】

選擇題（共3小題）

1.（2023?嘉定區二模）如圖，已知點。、E分另U在△ABC的邊A3、AC上，DE//BC,AD：DB=1：3,那

么SADEC：。等于（）

2.（2022秋?徐匯區期末）如圖，在△ABC中，DE//FG//BC,AD：AF：AB=1：2：5,則S四邊形

DEGF:S四邊形FGCB=（）

A.1：2：5B.1：4：25C.1：3：25D.1：3：21

3.（2022秋?奉賢區期中）在△ABC中，點。、E在邊AB、AC上，坦萼，要使DE〃BC,可添加下列條

DB2

件中的（）

ADE__2BDE__3QAE?口AE__3

'BC"3'BC"5'而而'AC

二.填空題（共13小題）

4.（2023春?普陀區期中）如圖，在梯形A8CD中，AD//BC,E、尸分別是AB、OC上的點，EF//BC,如

果膽上，AD=4,BC=9,那么EF的長為

BE3

5.（2023?普陀區一模）如圖，△ABC中的一邊8C與雙邊平行且單位相同的刻度尺的一邊重合，邊AB、AC

分別與刻度尺的另一邊交于點。、E,點、B、C、。、E在刻度尺上的讀數分別為0、5、1、3,如果刻度

尺的寬度為3,那么AABC的面積是.

6.（2023?靜安區校級一模）在△ABC中，AB=6,AC=5,點。、E分別在邊A3、AC上，當A￡>=4,Z

4DE=NC時，些=

BC

7.（2023?青浦區一模）如圖，在△ABC中，點。、E、尸分別在邊AB、AC、8C上，DE//BC,EF//AB,

CF=3BF.如果SAADE=1,那么S四邊形DBCE=.

A

BFC

8.（2022秋?黃浦區期中）如圖，OE是△ABC的中位線，〃是。E的中點，CM的延長線交A8于點N,則

SADMN：S四邊形.

9.（2022秋?寶山區期中）在梯形A8CD中，AD//BC,AD=2,BC=5,點、E、尸分別在邊A8、CDh,且

EF//BC,如果AE：EB=2：1,那么EF的長為.

10.（2022秋?嘉定區期中）如圖，AD//BC//EF,AE：AB=2：3,AO=8,BC=14則E尸

11.（2022秋?浦東新區期中）如圖、在△ABC,CD平分NAC2,DE//BC,A￡>=2,BD=3,BC=5,則CE

12.（2022秋?徐匯區校級月考）如圖，AM：MB=AN：NC=l：3,則MN：BC=

13.（2022秋?虹口區校級月考）如圖，矩形。E/G為△ABC的內接矩形，點G,尸分別在AB,AC上，AH

是BC邊上的高，BC=10,AH=6,EF：GF=2：5,則矩形。EEG的面積為.

14.（2022春?青浦區校級期末）已知：如圖，在△ABC中，AC=6,BC=8,48=10,點。位于邊A8上，

過點。作邊BC的平行線交邊AC于點E,過點。作邊AC的平行線交邊BC于點凡設4￡=無，四邊形

CEDE的面積為y,則y關于x的函數關系式是.（不必寫定義域）

15.（2021秋?金山區期末）如圖，E是回ABC。的邊延長線上一點，CE與相交于點RAE=1,AB

16.（2021秋?嘉定區期末）如圖，在△ABC中，NC=90°,BC=2,AB=2遙，點。在邊AC上，CD：

AD=1：3,聯結BD點E在線段8。上，如果NBCE=/A,那么CE=.

三.解答題（共5小題）

17.（2022秋?奉賢區期中）如圖，已知在四邊形ABC。中，AD//BC.E為邊CB延長線上一點，聯結。E

交邊AB于點F,聯結AC交。E于點G,且四=池.

DGCE

（1）求證：AB//CD；

（2）如果AEZMAGMC,求證：嶇=理

18.（2022秋?楊浦區期中）如圖，點。、E分另U在△ABC的邊AB、AC上，DE//BC.如果SAADE=2,SA

BCE=7.5.求SABZ)E.

C

B

19.(2022秋?奉賢區期中)如圖，在△ABC中，點。在邊A3上，點F、E在邊AC上，且。尸〃BE,空

AEAC

(1)求證：DE//BC；

(2)如果坦=3,SAABC=12,求SAADE的值.

FE2

20.(2023?青浦區一模)如圖，在平行四邊形力63中，點尸在邊4?上，射線的、CF相交于點色DF=2AF.

(1)求物：48的值；

⑵如果BA=a，，試用a、b表示向量.

21.(2021秋?普陀區期末)如圖，在△ABC中，邊BC上的高AO=2,tan8=2,直線/平行于8C,分別交

線段AB,AC,4。于點￡、F、G,直線/與直線BC之間的距離為加.

(1)當所=C￡)=3時，求根的值；

(2)將△AEP沿著所翻折，點A落在兩平行直線/與BC之間的點尸處，延長EP交線段C￡>于點。.

①當點尸恰好為AASC的重心時，求此時CQ的長；

②聯結BP,在NCBP>/BAD的條件下，如果△BPQ與AAEF相似，試用m的代數式表示線段CD的

長.

A

22.(2023?奉賢區一模)已知：如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,點E■在對角線3。上，ZEAD^ZBDC.

(1)求證：AE?BD=AD,DC；

(2)如果點尸在邊。C上，且更求證：EF//BC.

DEAD

23.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，CE與3。相交于點O,CE與54的延長線相交

于點G,已知=CE=1O,求GE和CO的長.

8C

24.如圖，在AABC中，設。、E是AB、AC上的兩點，且SD=CE,延長DE交BC的延長線于點P,

AB:AC=3:5,EF=12cm,求小的長.

25.如圖，已知AABC中，點。、E分別在邊AB、AC上，且AD:DB=3:2,AE:EC=1:2,直線ED

和CB的延長線交于點P,求FB:FC.

重難點專項突破02相似三角形中的“A”字模型（4種題

型）

【知識梳理】

【考點剖析】

題型一：直接利用“A”字模型解題

例1.如圖，E是團ABCD的邊BA延長線上一點，CE與AD相交于點F,AE=1,AB=2,BC=

【分析】利用A字模型相似三角形進行計算即可解答.

【解答】解：：四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AD//BC,

:.NEAF=NB,NEFA=NECB,

:.△EAFSAEBC,

.EAAF

?.—f

EBBC

.1AF

??—―,

33

：.AF=1,

故答案為：L

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握A字模型

相似三角形是解題的關鍵.

例2.（2022秋?靜安區期末）在△Z6C中，AB=6,AN5,點以￡分別在邊力以47上，當

49=4,//龐三/。時，理=

BC

【分析】首先判定△/如然后利用該相似三角形的對應邊成比例解答.

【解答】解：,:/ADE=/C,

:.叢ADES&.ACB.

?AD=DE

"ACCB'

-：AC=5,AD=4,

.DE=J4

"BC?■

故答案為：A.

5

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，相似三角形是相似多邊形的特殊情形，

它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩

個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等.

題型二：添加輔助線構造“A”字模型解題

例3.如圖，在△ABC中，ZC=90°,BC=2,AB=2愿，點。在邊AC上，CD：八。=1：3,

聯結BD,點E在線段8。上，如果/BCE=NA,那么CE=.

【分析】根據已知N8CE=/4想到構造這兩個角所在的三角形相似，所以過點E作EF

±BC,垂足為F,可得△ABCs/XcEF,進而可得CF=2EF,然后設EF為a,則CF為2a,

BF為2-2a,最后再證明A字模型相似△8FEs/^c。，從而解答即可.

【解答】解：過點￡作EFL8C,垂足為F,

VZACB=90°,BC=2,AB=2瓜

：.AC=y/AC2-BC2=J(2A/5)2-22=4,

VCD：AD=1：3,

：.CD=1,

ZBCE^ZA,NACB=NCFE=90°,

???AABCs^CEF,

tACCF_4

BCEF2

.?.設EF為。，則CF為2。，BF為2-2a,

VZACB=ZBFE=90°,ZCBD=ZFBE,

:.ABFESABCD,

.BFEF

"BC-CD'

.2—2aa

2-1

a=7

.1

:?EF=1,CF=1,

CE=y/EF2+CF2=J(^)2+I2=卓，

V5

故答案為：—.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握A字模型相似是解

題的關鍵.

例4.如圖，已知AABC中，加、龍'相交于G,BD:DC=3:1,AG:GD=1:2.求BG:GE

的值.

【答案】11.

【解析】點G作GM//8C交AC于點

.AGGMEGGM

???GM!IBC

-AD-CD~EB~CB

AGGM1

???AG:GD=1:2,一,

~ADCD3

DC_1GM1

BD:DC=3:1,

BC-4~BC12

GE1

的值為

商FBG:GE11.

【總結】本題考查了三角形一邊的平行線知識，要學會構造平行基本模型.

1

例5.如圖，在AABC中，點〃在線段式上，NSM)=75。，ZCAD=30°,二2,

BD=2DC,求的長.

【解析】過點。作DM//AB交AC于點

DM//AB,ZBAD=ZADM=75；

又〈ZADM+ZAMD+/DAM=180,ZCAD=30

ZAMD=75°,ZAMD=ZADM,

/.AD=AM=2.

AM_BD

???DM//AB,

AC.

.BDAM_2

又.?BD=2DC,

…-3,

.AC=3.

【總結】本題考查了三角形一邊的平行線及等腰三角形的相關知識.

題型三：“AX〃字型解題

例6.如圖，AABC中，DEIIBC,AE=3,DE=4,DF=2,CF=5,求EC的長.

A

Q

【答案】EC=—.

2

【解析】vDEIIBC,

DEDFAE2

一拓一/一就一M

【總結】相似三角形中"A"字型和"X"字型的綜合應用，可得到相等比例關系式.

例7.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC、80交于點。，點E在AS上，且

EO//BC,已知AD=3,BC=6.求EO的長.

【答案】2.

4c4Da1

【解析】由AD//3C,可得：-=—=-=

COBC62

故絲=L由E0//8C,—=—=i,求得EO=2.

AC3BCAC3

【總結】相似三角形中"A"字型和"X"字型的綜合應用，可得到相等比例關系式.

題型四：雙A字模型

例8.如圖，AB1BD,CD1BD,垂足分別為8、1),AC和3。相交于點E,EFA.BD,垂

足為F.求證：—+—=

ABCDEF

A

BFD

【解析】-.-AB±BD,CD±BD,EFYBD,

,AB//CD//EF

?空_DFEFBF

-AB~~DB"~CD~~DB

EF111

?空H----=1,即nn----1----=

"'ABDCABCDEF

【總結】本題考查了三角形一邊的平行線知識的應用.

【過關檢測】

選擇題（共3小題）

1.（2023?嘉定區二模）如圖，已知點。、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE//BC,AD：

DB=1:3,那么SaOEC：等于（）

【分析】根據題意可得ADAB=1：4,再證明△AOES^ABC,得】即BC

BCAB4

=4DE,根據平行線間的距離處處相等可得C到DE的距離為等于點D到BC的距離，

以此即可求解.

【解答】解：DB=1：3,

：.AD：AB=\-.4,

'."DE//BC,

：.AADEsAABC,

.DEAD.1

??而詁N

：.BC=4DE,

設點C到DE的距離為In,點、D到BC的距離為近,

■:DE〃BC,

??hi=/z2,

c~~DEPh

'△DEC21DE1

-=^7T=V，BPS^DEC：SADBC=1：4.

DU4

「SADBC

ABC.h2

故選：D.

【點評】本題主要考查平行線的性質、相似三角形的判定與性質，靈活運用相關知識解

決問題是解題關鍵.

2.（2022秋?徐匯區期末）如圖，在△ABC中，DE//FG//BC,AD：AF-.AB=\：2：5,則

SAADE:S四邊形DEGF:S四邊形FGCB=（）

A.1：2：5B.1：4：25C.1：3：25D.1：3：21

【分析】由￡）E〃PG〃3C,可得又由4。：AF：AB=1：2：

5,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得S^ADE：S^AFG：S^ABC=1：4：

25,然后設AAOE的面積是a,則△AFG和AABC的面積分別是3a,21a,即可求兩個

梯形的面積，繼而求得答案.

【解答】解：,JDE//FG//BC,

：.AADEsAAFG^>△ABC,

：.AD：AF：AB=1：2：5,

S^ADE：SAAFG：S^ABC=1：4：25,

設△AOE的面積是a,則△Af'G和△ABC的面積分別是4a,25a,

貝US四邊形DFGE=SAAFG~SAADE=3a,S四邊形FBCG=SAABC-SAAFG=21。，

SAADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG=1：3：21.

故選：D.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質.此題難度適中，解題的關鍵是掌握相似

三角形面積的比等于相似比的平方.

3.（2022秋?奉賢區期中）在△ABC中，點。、E在邊48、AC上，坦/，要使。E〃8C,

DB2

可添加下列條件中的（）

ADE__2BDE、3c杷口AE__3

'而二'BC'而而'而X

【分析】先求出比例式，再根據相似三角形的判定得出△ADES△ABC,根據相似推出/

AOE=NB,根據平行線的判定得出即可

【解答】解：只有選項。正確，

理由是：'：AD：BD=3：2,

：.AD：AB=3：5,

：.AE-.AC=3：5,

/DAE=ZBAC,

：.AADEsAABC,

：.ZADE=ZB,

J.DE//BC,

根據選項A、B、C的條件都不能推出。E〃BC,

故選：D.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質和判定的應用，能靈

活運用定理進行推理是解此題的關鍵.

—.填空題（共13小題）

4.（2023春?普陀區期中）如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,E、尸分別是A3、DC上的

點，EF//BC,如果四AD=4,BC=9,那么跖的長為6.

BE3

【分析】延長BA,與8的延長線交于點G,易證明△GADs^GBC,得到辿底，進

GB9

而得到d=2,再證明△GE/S^GBC,利用相似三角形的性質即可解答.

GB3

【解答】解：延長BA,與C。的延長線交于點G,如圖，

%、

,JAD//BC,AD=4,3c=9,

：.Z\GAD^^GBC,

.GA_AD_4

?,筱武巧，

.?.-A-E=-2-，

BE3

?.?-G-A--4-,,

AB5

\'EF//BC,

：./\GEF^/\GBC,

.GE_EF_2

?,筱武巧，

;BC=9,

:.EF=6.

故答案為：6.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解

題關鍵.

5.（2023?普陀區一模）如圖，△ABC中的一邊8c與雙邊平行且單位相同的刻度尺的一邊

重合，邊AB、AC分別與刻度尺的另一邊交于點。、E,點B、C、。、E在刻度尺上的讀

數分別為0、5、1、3,如果刻度尺的寬度為3,那么AABC的面積是空.

—2―

【分析】過點A作AFLDE,垂足為G,并延長AG交BC于點H,根據題意得：DE=

2,BC=5,GH=3,DE//BC,從而可得NAOE=NABC,ZAED^ZACB,然后證明A

字模型相似三角形△ADEs△age,從而利用相似三角形的性質求出AH的長，最后利用

三角形的面積公式進行計算，即可解答.

【解答】解：過點A作ABLDE,垂足為G,并延長AG交BC于點

由題意得：DE=2,BC=5,GH=3,DE//BC,

：.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,

：.AADE^AABC,

.DE=AG

"BCAH'

?.?-2_A-H--3-,

5AH

解得：AH=5,

：.△ABC的面積工X5X5=空，

222

故答案為：—.

2

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積，平行線的性質，根據題目

的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

6.（2023?靜安區校級一模）在△ABC中，AB=6,AC=5,點。、E分別在邊48、AC上,

當A￡）=4,NAZ）￡=NC時，座=A.

BC-5一

【分析】首先判定然后利用該相似三角形的對應邊成比例解答.

【解答】解：:/人0石二/0ZA=ZA,

.AD=DE

"ACCB'

'；AC=5,AO=4,

.DE

"BC5"

故答案為：生

5

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，相似三角形是相似多邊形的特殊情形，

它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩

個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等.

7.（2023?青浦區一模）如圖，在△ABC中，點。、E、尸分別在邊AB、AC、8c上，DE//

BC,EF//A.BfCF=3BF.如果S/^ADE=1,那么S四邊形DBCEU15.

BFC

【分析】根據題意可得，四邊形B為平行四邊形，則墮■」，易證明△ADEs

BCBC4

△ABC,根據相似三角形的性質得，以此求出SAABC=16,由S四邊形DBCE=SA4BC-SAADE

即可解答.

【解答】解：：CF=38R

.BF=BF=1

"BC=BHCF-"4，

,JDE//BC,EF//AB,

四邊形DEFB為平行四邊形，

：.DE=BF,AADE^AABC,

.DE_BF_1

"BC"BC

??，

SAADE=1,

.".S/^ABC—16,

?'.S四邊形。BCE=SAABC-S^ADE—15.

故答案為：15.

【點評】本題主要考查平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握

相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關鍵.

8.（2022秋?黃浦區期中）如圖，OE是△A3C的中位線，〃是。E的中點，CM的延長線交

AB于點N,貝！ISADMN：S四場彩DBCA?=1：15.

【分析】由。E為三角形A8C的中位線，利用中位線定理得到。E平行于8C,且。￡等

于8c的一半，再由M為。E的中點，得到。M為DE的一半，可得出OM為BC的四分

之一，由DM與BC平行，得到兩對同位角相等，進而確定出三角形。MN與三角形NBC

相似，由相似三角形面積之比等于相似比的平方，求出三角形與三角形N3C面積

之比，即可求出四邊形。8cM與三角形DMN的面積之比.

【解答】解：為△ABC的中位線，

C.DE//BC,DE^—BC,

2

:./NDM=/B,NNMD=NNCB,

：.△NDMs△NBC,

為。E的中點，

即相似比為1：4,

24

:.SANDM：S^NBC=1：16,

貝USADMN：S四邊形DBCM=1：15.

故答案為：1：15.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，以及三角形的中位線定理，熟練掌握相

似三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

9.（2022秋?寶山區期中）在梯形ABC。中，AD//BC,AD=2,BC=5,點E、歹分別在邊

AB,CD上，S.EF//BC,如果4E：EB=2：1,那么EF的長為4.

【分析】連接AC交跖于點尸，先利用平行線分線段成比例定理求出膽、受，再利用

ABCD

相似三角形的性質求出EP、FP,最后利用線段的和差求出E?

【解答】解：如圖，連接AC交EP于點P.

'.'AD//BC,EF//BC,

J.AD//EF//BC.

.AEDF

"EB=CFT'

.AE=2CF=1

"ABTCDI'

,JAD//EF//BC,

：.ZXAEPs△ABC,△CFPs△CDA.

.空=幽=2里=里=」

"BCAB3"ADCDI-

'：AD=2,BC=5,

：.EP^—,PF=2.

33

,:EF=EP+PF

=旦2

T3

=4.

故答案為：4.

二

B

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質和判定，掌握“平行線分線段成比例定理”、

相似三角形的判定和性質是解決本題的關鍵.

10.（2022秋?嘉定區期中）如圖，AD//BC//EF,AE-.AB=2：3,AD=S,8C=14貝！

=12.

【分析】過點A作AH//DC,交EF于點G,利用平行四邊形的判定可得四邊形AGFD

和四邊形AHCD都是平行四邊形，從而可得AO=GF=8,AD=CH=S,進而可得8H=

6,然后證明A字模型相似三角形△AEGs△AB”,從而利用相似三角形的性質可得EG

=4,最后進行計算即可解答.

【解答】解：過點A作A8〃OC,交EF于點、G,

'."AD//BC//EF,

...四邊形AGFD是平行四邊形，四邊形AHCD是平行四邊形，

：.AD=GF=8,AD=CH=S,

：8C=14,

；.BH=BC-CH=6,

"."EG//BH,

:./AEG=/B,/AGE=NAHB,

：.AAEGSAABH,

.AE=EG

"ABBH'

?.?-2-E-G-,

36

；.EG=4,

，EF=EG+PG=4+8=12,

故答案為：12.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，根據題目的

已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

11.（2022秋?浦東新區期中）如圖、在△ABC,CD平分/ACB,DE//BC,AD=2,BD

3,BC=5,則CE=2

【分析】根據平行線的性質可得/AOE=NB,ZAED=ZC,從而可得

然后利用相似三角形的性質進行計算可得DE=2,最后再根據角平分線的定義和平行線

的性質可得△EDC是等腰三角形，即可解答.

【解答】解：'：DE//BC,

；./ADE=/B,/AED=/C,

：.AADEsAABC,

.AD=DE

"AB而，

?.?-2--_D—E—,

2+35

:.DE=2,

■:DE//BC,

：.NEDC=NDCB,

???C。平分NACB,

：.ZDCB=ZACD,

：.ZEDC=ZACD,

：.ED=EC=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，平行線的性

質，熟練掌握根據角平分線的定義和平行線的性質可得等腰三角形是解題的關鍵.

12.（2022秋?徐匯區校級月考）如圖，AM：MB=AN：NC=1：3,則MN：BC=1：4.

【分析】首先根據已知條件可以證明MN〃3C,然后證明△AMNsZXABC即可求解.

【解答】解：VAM：MB=AN：NC=1：3,

C.MN//BC,AM：AB=1：4,

???AAMN^AABC,

:.MN：BC=AM：AB=1：4.

故答案為：1：4.

【點評】此題主要考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質是解題

的關鍵.

13.（2022秋?虹口區校級月考）如圖，矩形DEFG為△ABC的內接矩形，點G,尸分別在

AB,AC上，AH是8c邊上的高，BC=10,AH=6,EF：GF=2：5,則矩形。￡FG的面

積為衛.

—5―

【分析】據矩形的性質可得出G尸〃BC,進而可得出△AGFS^ABC,設EF=2x,則GF

=5x,根據相似三角形的性質即可得出關于尤的一元一次方程，解之即可得出尤的值，

再利用矩形的面積公式即可求出矩形DEFG的面積.

【解答】解：設M=2x,則GF=5x.

■:GF//BC,AH±BCf

：.AK.LGF.

,:GF〃BC,

：.AAGF^AABC,

.AK=GF

"AHBC,

VAH=6,BC=12,

?6-2x_5x

??-6—-IO,

解得x=g.

5

：.EF=^,GF=6,

5

矩形DEFG的面積為衛.

5

故答案為：衛.

5

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及解一元一次方程，根據

相似三角形的性質列出關于X的一元一次方程是解題的關鍵.

14.（2022春?青浦區校級期末）已知：如圖，在△ABC中，AC=6,BC=8,A8=10,點。

位于邊AB上，過點。作邊BC的平行線交邊AC于點E,過點。作邊AC的平行線交邊

BC于點F,設AE=x,四邊形CEZ）尸的面積為y,則v關于x的函數關系式是y=-

.（不必寫定義域）

3

【分析】根據已知可證四邊形OECT是平行四邊形，然后利用勾股定理的逆定理證明△

ABC是直角三角形，從而可得/C=90°,進而可得四邊形DECT是矩形，再證明A字

模型相似三角形即S^ABC,從而利用相似三角形的性質可得DE=&c,最后根據

3

矩形的面積公式進行計算即可解答.

【解答】解：VDE//BC,DF//AC,

/.四邊形OECF是平行四邊形，

在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,

?/AC2+BC2=62+82=100,AB2=102=100,

：.AC2+BC2=AB2,

.?.△ABC是直角三角形，

：.ZC=90°,

四邊形DEC尸是矩形，

,:DE〃BC,

ZAED=ZC=90°,

"：ZA=ZA,

AAEDsAABC,

.AE=DE

"ABBC'

?.?—x_—DE,

68

'.DE=—x,

3

矩形CEDF的面積=OE?CE,

'.y=-x（6-無）=-匹/+8x,

33

故答案為：y=-&f+8x.

-3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理，函數關系式，熟練掌

握A字模型相似三角形是解題的關鍵.

15.（2021秋?金山區期末）如圖，E是團ABC。的邊8A延長線上一點，CE與相交于點

【分析】利用A字模型相似三角形進行計算即可解答.

【解答】解：???四邊形A8CD是平行四邊形，

J.AD//BC,

:.NEAF=NB,ZEFA=ZECB,

:.△EAFsAEBC,

.EA=AF

,,EBBC'

?.?—1_■AF,

33

：.AF=1,

故答案為：1.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握A字模型

相似三角形是解題的關鍵.

16.（2021秋?嘉定區期末）如圖，在△ABC中，NC=90°,BC=2,AB=2泥，點。在邊

AC上，CD：AD=l：3,聯結8D,點E在線段8。上，如果那么CE=

展

2一

【分析】根據已知想到構造這兩個角所在的三角形相似，所以過點E作功

±BC,垂足為R可得進而可得C尸=2ER然后設EF為a,則C尸為

2a,BF為2-2a,最后再證明A字模型相似△BFES2XBC。，從而解答即可.

【解答】解：過點E作垂足為R

D

AB

VZACB=90°,BC=2,AB=2強，

：.AC=VAC2-BC2(2V5)2-22=4，

VCD：A0=1：3,

???CD=1,

9：ZBCE=ZA,ZACB=ZCFE=90°,

???△ABC"△CER

.ACCF40

BCEF2

.?.設E尸為a,則CP為2a,BF為2-2a,

:NACB=/BFE=9Q°,ZCBD=ZFBE,

:ABFEs△BCD,

.BF=EF

"BC而，

.2-2a_a

??---------~,

21

,_1

??(X-,

2

：.EF=^,CF=1,

2

,,,CE=VEF2-K：F2=(y)2+l2=-y-'

故答案為：叵.

2

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握A字模型相似是解

題的關鍵.

三.解答題(共5小題)

17.(2022秋?奉賢區期中)如圖，已知在四邊形ABC。中，AD//BC.E為邊C2延長線上

一點，聯結。E交邊A2于點R聯結AC交。E于點G,且四=世.

DGCE

(1)求證：AB//CD；

(2)如果A￡2=AG-AC,求證：膽=邁.

AGAD

AD

【分析】(1)由AO〃BC,得到△ADGs/XCEG,根據相似三角形的性質即可得到結論；

(2)由AEZMAGMC易得△AEGs/XACE,所以/AEG=NACE=NDAG,可得△AOG

S/VED4,再根據相似三角形的性質可得結論.

【解答】證明：(1)'：AD//BC,

：.AADGs叢CEG,

.AD=AG

"CECG"

..FG=AD

'DGCE'

.AG=FG

'*CG而’

.,.AB//CD-,

(2),：AE2=AG-AC,

.AE=AC

"AGAE'

'：ZEAG=ZCAE,

：.△AEGs/XACE,

...ZAEG=ZACE,

\'AD//BC,

：.ZACE=ZDAG,

：.ZDAG=ZAEG,

,：ZADG^ZEDA,

：.△ADGSAE/M,

.AD_AG即AE_DE

"DE"AE'AG-AD-

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解

題的關鍵.

18.（2022秋?楊浦區期中）如圖，點。、E分別在△ABC的邊A3、AC上，DE//BC.如果

SAADE=2,SABCE=7.5.求S^BDE.

A

【分析】設S△瓦汨=x,則可得出△A5EABCE的面積之比，再將工的值代入即可得出答

案；

【解答】解：（1）設S△友汨=尤

.SAADE_AD

??~~---,

2ABDEDB

.SAABEAE

^ABCEEC

'JDE//BC,

.AD=AE

"BD而'

,**S/\ADE=^9S/\BCE=15,

?-?-2--_---2--+--x,

X7.5

解得：X1=-5（舍），無2=3.

?.SABDE=3.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理以及分式方程的應用，難度較大.

19.（2022秋?奉賢區期中）如圖，在△ABC中，點。在邊AB上，點RE在邊AC上，且

DF//BE,—

AEAC

（1）求證：DE//BC-,

（2）如果上亞=3,S^ABC—12,求的值.

FE2

A

F

B

【分析】（1）由。尸〃8E得比例，結合已知比例，利用過渡比得出膽=膽，證明結論;

DBCE

（2）首先可以證明膽=3,然后證明△ADES/^ABC,最后利用相似三角形的面積比等

AC5

于相似比的平方求解.

【解答】（1）證明：???1>〃3E,

.AD=AF

"DBEF

..AF=AE

,EFCE

.AD=AE

,,DBCE)

：.DE//BC；

(2)解：?.?竺=2

FE2

.AE_3

<?--------------，

CE2

.AE=3

"AC?

,:DE〃BC,

：.AADE^AABC,

S

.AADE_AE.2_(2)2=_9_

"SAABCAC?25)

VSAABC=12,

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，平行線分線段成比例.關

鍵是利用平行線得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方解

題.

20.（2023?青浦區一模）如圖，在平行四邊形/四中，點尸在邊/〃上，射線曲、少相交

于點￡,DF=2AF.

(1)求刑：46的值;

(2)如果BA=a，，試用a、b表示向量.

【分析】(1)根據平行四邊形的性質可得AB=CD,易近工AEFs&DCF,則迪

CDFD

=嶇，由外'=2/戶即可求解；

AB

(2)先算出此再根據即可求解.

ADBC3

【解答】解：(1):四邊形4?必是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

:.叢AEFs叢DCF,

?.?-A-E---A--F，

CDFD

?.?-A-E--A-F-,

ABFD

,:DF=2AF,

?.?-A-F~--1,

DF2

.EA1

??--=—;

AB2

(2)?.?四邊形力反刀是平行四邊形，

C.AD//BC,AD=BC,

,: