函數的旋轉、兩函數的對稱問題與不動點問題2025高

考數學專項復習含答案

函數的旋轉、兩函數的對稱問題與不動點問題

【方法技巧與總結】

1.不動點與穩定點

【一階不動點】對于函數9=/（0,定義域為/，如果存在ge/,使得/（茄）=g,則稱g是函數/（力的一階不

動點,簡稱不動點.

①不動點是方程，=/3）的解

②不動點是夕=/與？/=/（力）圖像交點的橫坐標

【二階周期點】對于函數u=/（0，定義域為/，如果存在ge/,使得/（/（g））=g且/（g）#g,則稱g為函

數/Q）的二階周期點

［y=f{x}

①二階周期點是方程組卜=/3）的解

②二階周期點是y=f（x）圖像上關于g=c對稱（不在夕=①上）的兩點的橫坐標

【二階不動點】對于函數夕=/3）,定義域為/，如果存在必代/,使得/（/（3））=g則稱g為函數/Q）的二階

不動點，簡稱穩定點

①穩定點是不動點和二階周期點的并集

②穩定點是夕=/（2）圖像上關于y=/對稱的兩點的橫坐標以及夕=/（/）與y=x的交點的橫坐標

2.兩函數的對稱問題轉化為函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）問題,常用的方法：

（1）直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法:將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

（3）數形結合法:先對解析式變形,進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用

數形結合的方法求解

【典型例題】

血］1（2024?山東青島?高三統考開學考試）將函數“=J13—a?—2（±e「一3,3］）的圖象繞點（一3,0）逆時針旋

轉a（0WaW夕）,得到曲線。，對于每一個旋轉角a,曲線。都是一個函數的圖象,則3最大時的正切值為

（）

A.?B.C.1D.V3

血12（2024?山東濰坊?高三統考階段練習）已知函數/（0=111（C+1）（7>0）,將函數/（①）的圖象繞原點逆時

針旋轉a（aC（0,田）角后得到曲線C,若曲線C仍是某個函數的圖象，則。的最大值為（）

題3（2024.江西?校聯考模擬預測）已知函數/（,）=ax-e工與函數g（c）=slna;+1的圖像上恰有兩對關于c

軸對稱的點,則實數a的取值范圍為（）

A.（e—l,+oo）B.（e.1,+A）C.e>+°°）D.（—co,e—1）

四4（2024?山東荷澤?高二山東省鄴城縣第一中學校考期末）已知函數/（力）=&力一clna;與函數g（a;）=e，一l

的圖像上恰有兩對關于，軸對稱的點，則實數a的取值范圍為（）?M

A.(-co,l-e］B.(—C.(—8,1—e)D.(-00,^^)

吼包(2024?全國?高三專題練習)對于連續函數〃為，若/(g)=g,則稱如為/(,)的不動點.設/(⑼=

/:c\,若/(c)有唯一不動點，且/(g)=為三，%=/(皎-1)(九=1，2,…)，則*2023=?

a(x+2)1U12

d6(2024?北京海淀?清華府中校考模擬預測)對于滿足一定條件的連續函數/(,),存在一個點出,使得/(3)

=g,那么我們稱該函數為“不動點”函數，而稱，。為該函數的一個不動點，現新定義:若期滿足/(g)=

—然,則稱g為/(g)的次不動點，有下面四個結論

①定義在R上的偶函數既不存在不動點，也不存在次不動點

②定義在R上的奇函數既存在不動點，也存在次不動點

X

③當1WaW9時，函數/(%)=log2(4'-a-2+1)在［0,1］上僅有一個不動點和一個次不動點.

④不存在正整數小，使得函數/Q)=JZ弓二^在區間［0,1］上存在不動點，其中，正確結論的序號為

吼工(2024?廣東舞用?高三校考階段練習)拓撲空間中滿足一定條件的圖象連續的函數/(⑼,如果存在點g,

使得=g,那么我們稱函數/(，)為“不動點”函數，而稱g為該函數的不動點.類比給出新定義:若

x

不動點四)滿足/'(&)=%0,則稱/0為/(/)的雙重不動點.則下列函數中，①/(/)=/—/sin/；②/(力)=e

一工;③/3)=度芋二-1具有雙重不動點的函數為.(將你認為正確的函數的代號填在橫線上)

【過關制試】

一、單選題

L(2024.安徽池州.商三統考期末)設。是含數1的有限實數集,/(0是定義在。上的函數，若/(,)的圖象繞

原點逆時針旋轉看后與原圖象重合，則在以下各項中/(I)的取值只可能是

O

A.V3B.1C.卒D.0

2.(2024.貴州貴相?南一貴用一中校考BH更練習)設。是含數3的有限實數集,/(二)是定義在。上的函數，若

/(0的圖象繞原點逆時針旋轉45。后與原圖象重合，則在以下各項中，/(3)的可能取值只能是()

A.V3B.3C.-3D.0

3.(2024?上海浦東新?高三上海市實晚學校校考開學老信)2021年第十屆中國花卉博覽會舉辦在即，其中，以

“蝶戀花”為造型的世紀館引人矚目(如圖①)，而美妙的蝴蝶輪廓不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極

致的數學美學世界.數學家曾借助三角函數得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：

?M

圖⑴圖（2）

如圖②，平面上有兩定點O、4兩動點B、Q,且=\OB\=1,04繞點。逆時針旋轉到加所形成的

角記為夕,設函數/（夕）=4-signed）-cos0—sin59（一兀&。&兀），其中sign（x）=卜］=0,令p=/（夕），作

力V0

國=,隨著夕的變化，就得到了點Q的軌跡，其形似“蝴蝶”，則以下4幅圖中，點Q的軌跡（考慮蝴蝶

的朝向）最有可能為（）

4.（2024?陜西桁林?高三校考階&練習）已知函數/（2）=/—加與函數強）=1*—x,xe的圖像上恰

有兩對關于力軸對稱的點,則實數m的取值范圍是（）

A.（0,2—ln2]B.（0,——+ln2^|

C.[—~—ln2,2-ln2）D.（—:~~Fln2,ln2]

5.（2024?貴州六it水■?高三校考期末）已知函數/（①）=—廣+we[■|~,e]（e是自然對數的底數）與g（c）=31nt

的圖象上存在關于，軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（）

A.+B.[0,e3—4]C.[1,e3—3]D.[e3—4,+co）,

6.（2024?貴州貴相?商三貴吁中階段練習）若函數y=—a,（Qe[：e],e為自然對數的底數）與

y=z2-31nz的圖象上存在兩組關于2軸對稱的點，則實數a的取值范圍是

A.^0,—+2^B.[0,e3—4]C.2,e3—41D.（^^+2,+8）

7.（2024?湖北?校聯才二M）已知函數/（,）=a-次（W①We,e為自然對數的底數）與g（x）=21nx的圖象上

存在兩組關于立軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（）

A.（l,e2—2]B.（1，4+2]C.（4+2,蠟一2）D.[=+2,/—21

8.（2024?全國三專題練習）函數夕=/（,）定義在R上，己知夕=/（0的圖象繞原點旋轉90°后不變，則關于

方程/（為=，的根，下列說法正確的是（）

A.沒有實根B.有且僅有一個實根C.有兩個實根D.有兩個以上的實根

9.（2024?河南通三校聯考階段練習）已知函數/（t）=爐+機與函數g（,）=—ln?—[。2]）的圖象上

至少存在一對關于c軸對稱的點，則實數小的取值范圍是（）

A.['+ln2,2]B.[2—ln2,--+ln2]C.[今+ln2,2+ln2]D.[2—ln2,2]

10.（2024?青海海南?商三展或者期末）已知函數/⑸=111（-3；）與函數g（,）=e。—（e—l）x—a的圖象上存在關

于“軸對稱的點,則實數a的取值范圍為（）

A.（0,e）B.[1,+co）C.[e,+oo）D.（工,+co）

11.（2024?全國三專題練習）已知函數/Q）=<0）與gQ）=ln（z+a）的圖象上存在關于y軸對稱

的點，則實數a的取值范圍是（）

B.(0,憫

12.（2024?湖北?商三校聯考階盤練習）在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定

理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石，布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊

茲?布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續函數/（，）,存在一個實數g,使得/（g）?=g,M那么我

們稱該函數為“不動點”函數，，。為函數的不動點.設函數/(，)=1-1+4。+/—/+a,aER.若/⑸在區

間(0,3)上存在不動點，則a的取值范圍是()

A.(-e2-e-2-3,-l]B.[-e2-e-2,-l]

C.[―e2—e-2—7,—e—e-1]D.(—e2—e-2—5,—e—e-1]

13.(2024?山東薄澤?統考一模)定義在實數集R上的函數y=f(x),如果3x0ER,使得/(3)=%則稱g為函

數/(,)的不動點.給定函數/(，)=cosx,g(:r)=sinz,已知函數/(①)，f(g(x)),g(于⑺)在(0,1)上均存在

唯一不動點，分別記為①1,電,23，則()

A.力3>61>/2B.力2>63>61C.力2>e>力3D.63>62>61

14.(2024?河南開封?統考一模)在數學中,布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可

應用到有限維空間，并且是構成一般不動點定理的基石.簡單地講就是對于滿足一定條件的連續函數

/(①),存在點割，使得/(g)=3,那么我們稱該函數為“不動點”函數.若函數/(，)=①(ae—Inc)為“不動

點”函數，則實數a的取值范圍是()

A.(—co,0]B.(―co,—1C.(-co,l]D.(―oo,e]

15.(2024?全國?商三專題練習)對于函數/3)，若/(2)=￡,則稱c為/(c)的“不動點”，若/(/(乃)=如則稱/

為/(2)的"穩定點”，記4=｛劍/(2)=/｝,B=｛引/(/(2))=2｝,則下列說法錯誤的是()

A.對于函數/(2)=2,有A=_B成立

B.若/(c)是二次函數，且A是空集，則B為空集

C.對于函數/(2)=(；)",有A=B成立

D.對于函數/⑸=，,存在be(0,+8),使得A=B成立

16.(2024?全國?方三專題練習)對于函數/(‘),若/(g)=尬,則稱3為函數/(c)的“不動點”;若/(/(g))=g,

則稱g為函數/(①)的“穩定點”.如果函數/(,)="+a(aeR)的“穩定點”恰是它的“不動點”，那么實數

a的取值范圍是()

A.(-oo,刃

17.(2024?全國?商三專題練習)若存在一個實數t,使得尸⑴=t成立,則稱t為函數F(,)的一個不動點.設函

數g⑸=e"+(l—V^)x—a(aCR,e為自然對數的底數)，定義在R上的連續函數/(,)滿足/(—為+f(x)

=且當；；c《｛J時，/⑺<2.若存在gC｛，/⑺+。>/(1—X)+多),且g為函數g(c)的一個不動點,

則實數a的取值范圍為()

A.(一8專)B.[乎,+oo)C.(容，㈤D.(寫,+co)

二、多選題

18.(2024?安徽六安?高三六安一中校考期末)在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動

點定理，它得名于荷蘭數學家魯伊茲?布勞威爾,簡單地講就是對于滿足一定條件的連續函數/Q),存在一

個點割，使得/(g)=g,那么我們稱該函數為“不動點”函數，而稱g為該函數的一個不動點，依據不動點

理論，下列說法正確的是()

A.函數/(力)=sin/有3個不動點???

B.函數/（劣）=。42+6/+。（。。0）至多有兩個不動點

C.若函數/（力）w0）沒有不動點,則方程/（/（力））=力無實根

D.設函數/（力）=Je，+c—a（Q￡R,e為自然對數的底數），若曲線沙=$111/上存在點（如加使/（/（加）=

隊成立，則a的取值范圍是[l,e]

19.（2024?全國通三專題練習）將函數九?=eY/>0）的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉角。（夕G（0,汨）,得

到曲線。，若曲線。仍然是一個函數的圖像，則夕的可能取值為（）

A.4B.4C.學D.兀

424

20.（2024?新疆克孜勒蘇?高三穌考期末）在數學中，布勞威爾不動點定理可應用到有限維空間,是構成一般不

動點定理的基石,它得名于荷蘭數學家魯伊茲?布勞威爾（LEJ.Brouwer）,簡單地講，就是對于滿足一定

條件的連續函數/（，）,存在一個點出,使得/（g）=g,那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列函數是“不

動點”函數的是（）

1

A./（c）=/—c—313./（力）=2"+工C.f（x）—x^+2D.f{x}—|log2rc|-1

21.（2024?廣東珠海?商三校考期末）布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理,它得名于荷

蘭數學家布魯伊?布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續函數/（，）,存在一個定點g,使得/（。。）

=g,那么我們稱該函數為“不動點”函數，而稱g為該函數的不動點，則下列說法中正確的有（）

A.函數八2）=ln（c+1）是“不動點”函數B.函數/（,）=x2-x-3的不動點為-1和3

C.函數/㈤=1+工的導函數是“不動點”函數D.函數/（,）=eNc的導函數不是“不動點”函數

22.（2024.全國.商三專題練習）（多選）在數學中，布勞威爾不動點定理可應用到有限維空間，是構成一般不動

點定理的基石，它得名于荷蘭數學家魯伊茲?布勞威爾（LEJ.Brouwer）,簡單地講,就是對于滿足一定條

件的連續函數/Q）,存在一個點如使得/（g）=如那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列函數是“不動

點”函數的是（）

x2

A.f{x）=2+xB./（cc）=x—x—3C./（c）=4+lD./（x）=|log2rc|-1

三、填空題

23.（2024?全國?商三專題練習）設函數y=5+圖一+L

（1）該函數的最小值為；

（2）將該函數的圖象繞原點順時針方向旋轉角貝04。《方）得到曲線C.若對于每一個旋轉角依曲線C

都是一個函數的圖象，則6的取值范圍是.

24.（2024.浙江溫州晚才一模）將函數夕=5—1|+目―2卜1的圖像繞原點順時針方向旋轉角

。（0W。W專）得到曲線C.若對于每一個旋轉角。，曲線。都是一個函數的圖像，則6的取值范圍是

25.（2024?四川攀枝花?高一穌考期末）已知函數/（2）=屋一2儂<0）與g{x}=InQ+a）的圖象上存在關于沙軸

對稱的點，則實數a的取值范圍是.

26.（2024?全國?高三專題練習）曲線?/=In,繞坐標原點逆時針旋轉90°后得到的曲線的方程為.

27.（2024?寧夏銀川.南三校考階盤練習）在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學（一個數學分支）里一個■非常

重要的定理，簡單的講就是對于滿足一定條件的圖象為連續不斷的函數/(⑼，存在一個點g,使得/(g)

g,那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列為“不動點”函數的有(填寫序號)

①/(6)=/+1

②/(6)=——x,x>0

x

③/(力)=x2—x+3

④/(力)=logix

函數的旋轉、兩函數的對稱問題與不動點問題

【方法技巧與總結】

1.不動點與穩定點

【一階不動點】對于函數9=/（0,定義域為/，如果存在ge/,使得/（茄）=g,則稱g是函數/（力的一階不

動點,簡稱不動點.

①不動點是方程，=/3）的解

②不動點是夕=/與？/=/（力）圖像交點的橫坐標

【二階周期點】對于函數u=/（0，定義域為/，如果存在ge/,使得/（/（g））=g且/（g）#g,則稱g為函

數/Q）的二階周期點

[y=f{x}

①二階周期點是方程組卜=/3）的解

②二階周期點是y=f（x）圖像上關于g=c對稱（不在夕=①上）的兩點的橫坐標

【二階不動點】對于函數夕=/3）,定義域為/，如果存在必代/,使得/（/（3））=g則稱g為函數/Q）的二階

不動點，簡稱穩定點

①穩定點是不動點和二階周期點的并集

②穩定點是夕=/（2）圖像上關于y=/對稱的兩點的橫坐標以及夕=/（/）與y=x的交點的橫坐標

2.兩函數的對稱問題轉化為函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）問題,常用的方法：

（1）直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法:將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

（3）數形結合法:先對解析式變形,進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用

數形結合的方法求解

【典型例題】

[11（2024?山東青島?高三統考開學考試）將函數9=-2（x6[-3,3]）的圖象繞點（一3,0）逆時針旋

轉a（0WaW夕）,得到曲線。，對于每一個旋轉角a,曲線。都是一個函數的圖象,則3最大時的正切值為

（）

A.?B.C.1D.V3

/O

【答案】B

【解析】由1=J13—-2（tC[-3,3]）,得沙）0,

x2+{y+2）2=13,則函數的圖像是以河（0,—2）為圓心的圓的一部分,

先畫出函數y=J13-a?—2Qe[—3,3]）的圖象,

這是一個圓弧AB,圓心為“（0,-2）,如圖所示，

由圖可知當此圓弧繞點（-3,0）逆時針方向旋轉角大于AMAB時,

曲線。都不是一個函數的圖象，

即當圓心河（0,—2）在立軸上時，

所以。最大值即為NMAB,

tan/K4B=4■，所以（9最大時的正切值為系

OO

故選：B.

吼2(2024?山東律坊?；?三統考階段練習)已知函數/(工)=ln(工+1)(工>0),將函數/(工)的圖象繞原點逆時

針旋轉a(aC(0,田)角后得到曲線。，若曲線。仍是某個函數的圖象，則。的最大值為()

5C-fD-f

【答案】B

【解析】因為/(①)=ln(c+1)(2>0),所以/'(C)=—Lr，則/(0)=1.

即函數/O)=In(0+1)在原點的切線OM的斜率A;=1,所以AMOx=j.

由圖可知：當函數圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉時,旋轉的角。大于專一AMOx時，

旋轉所得的圖象與g軸就會存在兩個交點，

此時曲線。不是函數的圖象，故夕的最大值是一/MOx=j.

的3(2024?江西?校聯考模擬預測)已知函數/(⑼=ax—式與函數g(z)=clnc+1的圖像上恰有兩對關于工

軸對稱的點,則實數a的取值范圍為()

A.(e-1,+s)B.(氣工,+3C.[氣工,+⑹D.

【答案】A

【解析】因為函數/(力)與gQ)的圖像上恰有兩對關于⑦軸對稱的點，所以一/(力)=g(6)，即ex—ax=xlnx

+1有兩解，則a=e'-clmr-l有兩解，令九(力)二0n力一1,則成力):?t)=L,所以當力.

XXX2

(0,1)時，"㈤V0;當“e(l,+oo)時，九'(力)>0；所以函數九(力)在(0,1)上單調遞減，在(1,+00)上單調遞

增；所以h{x)在力=1處取得極小值，所以九(1)=e—1,所以a>e—1,a的取值范圍為(e—1,+co).

故選：A

刷4(2024?山東落澤?玄二山東看鄴城縣第一中學校才期末)已知函數/(力)=加一clnc與函數g(x)=e-1

的圖像上恰有兩對關于二軸對稱的點,則實數a的取值范圍為()

A.(-co,l-e]B.(-co,l^]C.(-co,l-e)D.

【答案】。

【解析】因為函數/(c)與g(c)的圖像上恰有兩對關于立軸對稱的點，

所以一/(力)=g(M，

即一ar+xlnx=ex-l有兩解，???

所以a=-In*—e'+l有兩解,

X

令心)=辿生二3,

X

則%，⑺□

所以當力e(0,1)時，〃0)>o,此時函數無(力)在(0,1)上單調遞增;

當力e(l,+oo)時，K{x}V0,函數九(2)在(1,H-OO)上單調遞減,

所以h{x}在力=1處取得極大值，/z(l)=1—e,

且力e(0,1)時，h{x)的值域為(―00,1—e),

xE(1,+co)時，h{x}的值域為(-co,l—e),

因此a="Inc—e'+l有兩解時，實數&的取值范圍為(一oo,l—e),

X

故選：C.

吼亙(2024?全國三專題練習)對于連續函數/(,),若/(g)=g，則稱g為/(,)的不動點.設/(⑼=

(*C、，若/(土)有唯一不動點，且/(g)=77需，5=/(為-1)(九=1,2」一)，則22023=.

磯力+2)iUlz

【解析】由/(力)有唯一動點，即方程-------=力有唯一^單，即a/+(2a—1)力=0有唯一

a［x+2)

所以△=(2a—I)2—4ax0=0,解得a=1，所以/(力)=

又由片/(小)(.1,2,…)’可得釬%,所以專=￡+十,

從而是一個公差為4的等差數列，首項為工=」<=1。12,

VXn)2冗1/(g)

所以J-=1012+2尹,所以二一=1012+202「=2023，即以)23=5焉

xn2力202322023

(16(2024?北京海淀?清華府中校才模擬fit測)對于滿足一定條件的連續函數/(力),存在一個點&,使得/(3)

=割,那么我們稱該函數為“不動點”函數，而稱2。為該函數的一個不動點，現新定義:若必。滿足川&)=

—%,則稱g為/(3)的次不動點，有下面四個結論

①定義在五上的偶函數既不存在不動點，也不存在次不動點

②定義在R上的奇函數既存在不動點，也存在次不動點

③當1WaW3時，函數/(,)=log2(4“一a-2。+1)在［0,1］上僅有一個不動點和一個次不動點.

④不存在正整數小,使得函數=在區間［0,1］上存在不動點，其中，正確結論的序號為

【答案】②③

【解析】對于①:取函數/(力)=T2,/(0)=0,0既是/(力)的不動點，又是/Q)的次不動點，故①錯誤;

對于②:定義在五上的奇函數滿足/(0)=0,故②正確；

對于③：當log2(4"-a-2"+l)=2：時，.?.4"一聯2'+1=2)即&=23：+」—1.

7?M

令2°=t,te［1,2］,.*=±+工一1在區間［1,2］上單調遞增，a=2°+」-—1在［0,1］上單調遞增，滿足

t2X

a:

log2(4—a?2”+1)=力有唯一M;

當log2(4"—a-2"+1)=—x時，4'-a?2"+1=亳即a=2"+卷一擊.

令2。=ttC［1,2］,a=t+占一±在區間［1,2］上單調遞增，a=2。+」——〈在［0,1］上單調遞增，滿

tt22

足log式4，一a?2。+1)=x有唯一^用;綜上1■時函數/(名)在［0,1］上僅有一不動點和一個次不動

~22

點，故③正確；

對于④:假設函數/(/)=Je*―|■力-a在區間［0,1］上存在不動點，則/㈤=/在［0,1］上有解，即a=ex

2fx

—~^-x—力2在［0,1］上有解，令m(力)=e"—，力—xf則m(x)=e―——2］,再令"(劣)=e*—~—2力，則n

(力)=e°-2,令？1'(6)=0,解得x—ln2,所以n(x)在(0,ln2)上單調遞減，在(ln2,l)上單調遞增，

所以n(rr)min=n(ln2)=2——21n2=—21n2=Ine^—ln4=InV?—lnV16>0,

所以加3)>0在［0,1］上恒成立，所以山(化)在［0,1］上單調遞增，

3

所以山(土濡期=M(0)=1,^(a：)max=nz(l)=e一5，

所以實數a滿足l4a<e—1■，存在正整數a=l滿足條件，故④錯誤：

故答案為：②③

吼工(2024?廣東播陽?高三校考階&練習)拓撲空間中滿足一定條件的圖象連續的函數/(工),如果存在點g,

使得/(g)=&,那么我們稱函數/(，)為“不動點”函數，而稱，。為該函數的不動點.類比給出新定義:若

不動點g滿足/'(g)=，o,則稱g為/(土)的雙重不動點.則下列函數中，①/(2)=d—rrsina；；②/(re)=ex

一工;③二-1具有雙重不動點的函數為.(將你認為正確的函數的代號填在橫線上)

【答案】①③

【解析】對于①，/(力)=/一/sin力,力GR,所以/(rc)=3a;2—sinx—xcosx,

又/(。)=03—OsinO=0,/(0)=3x0—sinO—OxcosO=0,則/=0是/(n)=e*—―的雙重不動點；

x

對于②,/(6)=ex一--,xE(-oo,0)U(0,+co)"Q)=e'+t，令？(N)=-x,

xxx

當力>0時，由基本初等函數圖象易知e”>/,所以e"+」7—力>0,當力V0時，ei+占一力>0顯然成立，

xx

所以不存在g,使得/'(g)=g，故函數/(/)=ex—―不是具有雙重不動點的函數；

x

對于③,/(/)=亙產—1,/CR,則『(0=直?，又/(0)=豈捍—1=0,1(0)=^^=0,所

以a;=0是函數/(2)=e.----1的雙重不動點；

綜上，具有雙重不動點的函數是①③.

故答案為：①③.

【過關流試】

一、單?M

1.（2024?安微池州?高三統考期末）設D是含數1的有限實數集,/（x）是定義在。上的函數，若/Q）的圖象繞

原點逆時針旋轉看后與原圖象重合，則在以下各項中/（1）的取值只可能是

O

A.A/3B.1C.D.0

o

【答案】B

【解析】由題意可得：

問題相當于圓上由6個點為一組,每次繞原點逆時針旋轉-y個單位后與下一個點會重合.

設/（兀）處的點為4,

?."（⑼的圖象繞原點逆時針旋轉看后與原圖象重合，

O

旋轉后Al的對應點42也在/3）的圖象上，

同理A2的對應點4也在圖象上，

以此類推，/3）對應的圖象可以為一個圓周上6等分的6個點,

當f⑴=同時，即4（1,同），此時A（1,-V3），不滿足函數定義；

當/（1）=空時，即4。，亨），此時人6（1，一孚），不滿足函數定義；

當/⑴=0時，即4（1,0）,此時A借，—邛,不滿足函數定義；

故選R

2.（2024?貴州貴相?商一貴陽一中校才階段練習）設。是含數3的有限實數集,/（0是定義在。上的函數，若

/（⑼的圖象繞原點逆時針旋轉45°后與原圖象重合，則在以下各項中，/（3）的可能取值只能是（）

A.V3B.3D.0

【答案】A

【解析】

,2

“3”------

\A

4/X

J工

A5\

工…

圖1???

對于A項，若/(3)=V3,則構造如圖1的函數圖象，

使得點A(3,V3),根據定義可得圖象上不存在關于加軸對稱的點,

符合函數的定義，所以/(3)的取值可能是故4正確；

________________?

IK1k

\o；X

\/

\\f?

分、、、j/,A]

~~----一

4

圖2

對于B項，若/(3)=3,構造如圖2的函數圖象，

使得點4(3,3),根據定義可推得點A7(3,-3),

所以有/(3)=一3,不符合函數的定義，故B錯誤;

4/一…'、、小

/'、

,L:/

6，2

；O:

,；/

、/

、

4\4

7、

、

、-

圖3

對于。項，若/(3)=—3,構造如圖3的函數圖象,

使得點小(3,—3),根據定義可推得點4(3,3),

所以有/(3)=3,不符合函數的定義，故。錯誤；

4，r'4

，

5，

，J

；

！OX

，

'，/

'、

'

/\4

6、

、/-

圖4

對于。項，若/(3)=0,構造如圖4的函數圖象，

使得點4(3,0),根據定義可推得則點4(3,3),所以/(3)=3.

又4(3,—3),所以/(3)=—3,不符合函數的定義，故。錯誤.

故選：A.

3.(2024?上海浦東新?高三上海市實瞼學校校考開學考鼠)2021年第十屆中國花卉博覽會舉辦在即，其中，以

“蝶戀花”為造型的世紀館引人矚目(如圖①)，而美妙的蝴蝶輪廓不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極

■

致的數學美學世界.數學家曾借助三角函數得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下:

圖⑴圖(2)

如圖②，平面上有兩定點。、4兩動點8、Q,且向a=|加|=1,海繞點。逆時針旋轉到屈所形成的

角記為出設函數/（個）=4??cos。—sin59（—兀《夕《兀），其中sign{x）={（te=0,令p=/（。），作

[-12；<0

質二°瓦,隨著。的變化，就得到了點Q的軌跡，其形似“蝴蝶”，則以下4幅圖中，點Q的軌跡（考慮蝴蝶

的朝向）最有可能為（）

A.B.

【答案】B

【解析】先考慮與35共線的蝴蝶身方向，

令。=兀，則/(7T)=4?sign").COSTU-sin5兀=—4,所以OQ=-4OB=4OAf

令。=—兀，則/(—兀)=4-sign{—Ti)-cos(-7r)—sin(—5兀)=4,所以OQ=405=—404,

所以排除47,

先考慮與瓦5垂直的蝴蝶身方向，

令夕=(■，則D=4?sign(^-}-cos與—sin萼=—1,所以OQ-—OB，所以排除D,

故選：B

4.(2024?陜西修林?高三用時階段練習)已知函數/(①)=/—小與函數g(0=ln(—x,x￡[]，2]的圖像上恰

有兩對關于力軸對稱的點，則實數m的取值范圍是()

A.(0,2—ln2]B.(0,—1+ln2]

C.[—~4~ln2,2—ln2)D,(—^■+In2,ln2]

【答案】B

【解析】函數/(力)=x2—m關于力軸對稱的函數為h(x)=—/(6)=—rc2+m,

根據題意無(劣)和gQ)在[]，2]上有兩個交點，

即一力之+小=In——x,所以m=T2—Ina:—c,

x

令h[x)=x^—inx—

由h\x)=2x---l=—1,

XX

令九'(力)=0,可得力=1或力=―

故當力e時，"(/)v°，”㈤為減函數，

當力e[1,2]時，〃(2)>0,h[x}為增函數，

由\怎)=^~~2~1吟=T+ln2<1,

無⑴=1—0—1=0,無(2)=4—2—ln2=2—ln2>1,

所以?ne（0,—■：+ln2]時m=x2—lnx—/有兩解，

故選：石

5.（2024?貴州六童水?高三校考期末）已知函數/（6）—-2?-\-axE是自然對數的底數）與g{x}—31na;

的圖象上存在關于力軸對稱的點，則實數Q的取值范圍是（）

A.[o,^"+2]B.[0,e3—4]C.[l,e3—3]D.[e3—4,+oo）,

【答案】。

【解析】由已知，得到方程a—/=—31n力o—a=31n/—d在[工，"上有解.

設/（力）=3\nx—d,求導得：/（力）=——3/=巨。——土）,

xx

:《力&e,.t/'（力）=0在1=1有唯一的極值點，

e

二"（9）=-3—j,/（e）=3—e'A力）極大值=/⑴=—1,

且知/?</1），

故方程—a=21nrc―/在上有解等價于3—TW—aW—1.

從而a的取值范圍為[l,e3-3].

故答案為C.

6.（2024?貴州貴陽?商三貴陽一中階段練習）若函數y=/—/一1一必（3[5e],e為自然對數的底數）與

y="_31n，的圖象上存在兩組關于2軸對稱的點，則實數a的取值范圍是

A.^0,—y+2^jB.[0,e3—4]C.+2,e3—41D.+2,+coj

【答案】A

【解析】根據題意得到T3—T2—1—a=—（/—31n/）=—/+31n/,這個方程由兩個不同的根，變量分離得到a

=x3—l—3lnx=g（x）,g'⑸=3——-=>T=1是導函數的根，函數在0;（l,e],g'>0,故函數先減

后增，且gQ）min=g⑴=0;。（9）=2+4Vg（e）=e3—4,則使得兩個函數g=a和gQ）有兩個交點只

需,Q￡（。?（十）]

即（0,十+2].

故答案為A.

7.（2024?湖北?校聯考二*）已知函數/㈤=a—/（/《力&e,e為自然對數的底數）與g{x}=21強的圖象上

存在兩組關于力軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（）

A.（l,e2—2]B.[1,^+2]C.（[+2,1—2）D.[與+2,3—2]

【答案】B

22

【解析】由題意知，a—x-\-2lnx=0在[Le]上有兩個解，則a=x—21nxf

令九(%)=62—21n/,xE[(，e],如]〃(/)=2%—孑1

令h!(x)<0=>工&1<1,令〃(x)>O=lV/&e,

得慨化)在(pl)單調遞減，(l,e)上單調遞增，

又無(1)=l,/i(e)=e2—2,h(—\=-r-+2,

vefe

所以1Va4+2.

e

故選：A

8.(2024?全國?高三壽題練習)函數g=/(⑼定義在R上，已知g=/(乃的圖象繞原點旋轉90。后不變