專題10函數模型及其應用7題型分類

彩題如工總

題型1:二次函數模型

題型7：巳知函數模型的實際問題

題型2：分段函數模型

題型6：幕函數模型

專題10函數模型及其應用

7題型分類題型3：對勾函數模型

題型5：對數型函數

題型4：指數型函數

彩和也寶庫

1、幾種常見的函數模型:

函數模型函數解析式

一次函數模型f(x)=ax+b(a,5為常數且。工0)

k

反比例函數模型f(x)=—+b(k,Z?為常數且〃w0)

X

二次函數模型f(x)=cvc2-^bx+c(a,b,c為常數且a。。)

指數函數模型/(x)=bax+c(a,b,c為常數，bwU,a>0,awl)

對數函數模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數，b*0,a>0,a*l)

幕函數模型f（x）=axn+b（a,Z?為常數，。工。）

2、解函數應用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；

（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數學模型;

（3）解模：求解數學模型，得出結論；

（4）還原：將數學問題還原為實際問題.

彩他題秘籍

（_）

二次函數模型與分段函數模型

1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規律分

別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏.

題型1：二次函數模型

1-1.（2024高二上?山東濰坊?期末）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止,

一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為40km/h的彎道上，

甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離

略超過6m,乙車的剎車距離略超過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關系為

S甲=焉/一：v，乙車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關系為$乙=短丫?請判斷甲、乙兩車哪

輛車有超速現象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

1-2.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，AB為球門，在某次小區居民友

誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的尸點處接球，止匕時tan/AP5=（,假設甲沿著平行邊線的方向

向前帶球，并準備在點。處射門，為獲得最佳的射門角度（即-AQB最大），則射門時甲離上方端線的距離

為（）

C.10V2D.10A/3

1-3.（2024.北京）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”，在特定條件

下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數關系p=at2+bt+c（a,b,c是常數），如圖記錄了三次

實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為

/

6

06.70二

65一

O345f

A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘

題型2:分段函數模型

2-1.（2024.云南.二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格:

一次購買件數5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價格37元32元30元27元25元

張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

2-2.（2024.四川綿陽?模擬預測）某市為了鼓勵市民節約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用

電量劃分為三擋：月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按0.8元

/度收費，超過400度的部分按L0元/度收費.

（1）求某戶居民月用電費y（單位：元）關于月用電量x（單位：度）的函數解析式；

（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如

圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占80%,求。,6的值.

2-3.（2024?全國）經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出It該產品獲利潤500元，未售出的

產品，每It虧損300元.根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經銷商

為下一個銷售季度購進了130t該農產品.以x（單位：t,100WXW150）表示下一個銷售季度內的市場需求量,

T（單位:元）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.

（I）將T表示為x的函數；

（II）根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率.

2-4.（2024高一上?江西贛州?期中）《中華人民共和國鄉村振興促進法》中指出：全面實施鄉村振興戰略，

開展促進鄉村產業振興、人才振興、文化振興、生態振興、組織振興，推進城鄉融合發展.為深入踐行

“綠水青山就是金山銀山”的理念，圍繞“產業發展生態化，生態建設產業化”思路.某鄉鎮為

全力打造成“生態特色小鎮”，調研發現：某種農作物的單株產量r（單位：kg）與肥料費用x（單位：元）

-（X2+43）,0<X<3,

滿足如下關系：f（x）=§其它總成本為3元（單位：元），已知這種農作物的市場售價為每

20--,3<x<10,

15%

千克5元，且供不應求，記該單株農作物獲得的利潤為/'（x）（單位：元）.

⑴求“X）的函數關系式;

（2）當投入的肥料費用為多少元時，該單株農作物獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

2-5.（2024高二下?四川眉山?階段練習）某商店銷售某海鮮，統計了春節前后50天海鮮的需求量x,

（10WxW20,單位：公斤），其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進貨1次，商店每銷售1公斤可獲

利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應求，可從其它商店調撥，銷

售1公斤可獲利30元.假設商店每天該海鮮的進貨量為14公斤，商店的日利潤為y元.

（D求商店日利潤y關于需求量尤的函數表達式；

（2）估計日利潤在區間［580,760］內的概率.

2-6.（2024?全國）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，

如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

（1）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤，（單位：元）關于當天需求量”（單位：枝，neN）的函

數解析式.

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求

14151617181920

量n

頻數10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率.

（i）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列，數學期望及方差;

（ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由.

彩他題海籍

（二）

對勾函數模型

1、解決此類問題一定要注意函數定義域；

2、利用模型/（幻=依+2求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

X

題型3:對勾函數模型

3-1.（2024高三下?河北唐山?階段練習）迷你K7V是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類

似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示

3

意圖，其中A8=AE=—,ZA=ZB=ZE=90°,曲線段CO是圓心角為90。的圓弧，設該迷你K7V橫截面

2

的面積為S,周長為L,則1的最大值為.（本題中取萬=3進行計算）

3-2.（2024高一下.浙江.期末）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻

生動、極富書卷氣.如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形所得部分.已知扇環周長

=300cm,大扇形半徑。D=100cm,設小扇形半徑Q4=xcm,弧度，則

①e關于尤的函數關系式e（x）=.

②若雕刻費用關于尤的解析式為以尤）=10%+1700,則成雕面積與雕刻費用之比的最大值為.

3-3.（2024高三.全國?專題練習）某企業投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是。5萬元，此

外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增

加2萬元.為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為（）

A.8B.10C.12D.13

彩他題秘籍（二）

指數型函數、對數型函數、幕函數模型

1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一類函數模型，與增

長率、銀行利率有關的問題都屬于指數模型.

2、在解決指數型函數、對數型函數、塞函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，再借

助函數圖像求解最值問題.

題型4:指數型函數

4-1.（2024高三下?云南?階段練習）近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到600xl（）8m3激增到2021年

S<J3726xl08m3.從2000年開始統計，記上表示從2000年開始的第幾年，Gvk,ZeN.經計算機擬合后發

現，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合匕=%（1+〃丫，其中匕是從2000年后第4年天然氣消費量，

%是2000年的天然氣消費量，心是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為900x1（）8n?,

2018年的天然氣消費量為2880xl08m3,根據擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（）

222

（參考數據：2.881?2.02,3.2§。2.17,4心2.52

A.5817.6xl08m3B.6249.6xl08m3

C.6928.2xl08m3D.7257.6xlO8m3

4-2.（2024.山東）基本再生數&與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳

染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：

/⑺=e”描述累計感染病例數/⑺隨時間小單位:天）的變化規律，指數增長率r與Ro,T近似滿足Ro=l+rT.

有學者基于已有數據估計出Ro=3.28,7=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要

的時間約為（In2ao.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

4-3.（2024?浙江?二模）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經驗規

則.它是在1766年德國的一位中學教師戴維?提丟斯發現的.后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成了一個如下

經驗公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1,若某行星的編號為“，則該行星到太陽的平均距離表示為

a+6x2"T,那么編號為9的行星用該公式推得的平均距離位于（）

行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星

編號12345678

公式推得值0.711.62.85.21019.638.8

實測值0.7211.522.95.29.5419.1830.06

A.（30,50）B.（50,60）C.（60,70）D.（70,80）

題型5：對數型函數

5-1.（2024.陜西咸陽.模擬預測）血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結合的血紅

蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般情況

下不低于96%,否則為供養不足.在環境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數模型：5?）=5。心描述血氧飽

和度S⑺（單位%）隨機給氧時間f（單位:時）的變化規律，其中S。為初始血氧飽和度，Z為參數.已知風=60,

給氧1小時后，血氧飽和度為70,若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（）小時.（參

考數據：ln5=1.61,In6=1.79,ln7=L95,ln8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

52（2024?全國?二模）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質，是昆蟲之

間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協同素、集合信息素、

追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆蟲信息素在生產中有較多的應用，尤

其在農業生產中的病蟲害的預報和防治中較多使用.研究發現，某昆蟲釋放信息素f秒后，在距釋放處尤米

的地方測得的信息素濃度y滿足lny=-：lnr-，x2+a,其中七。為非零常數.已知釋放信息素1秒后，

在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為葭，

則b=（）

A.3B.4C.5D.6

53（2024.四川綿陽?二模）經研究發現：某昆蟲釋放信息素/秒后，在距釋放處x米的地方測得信息素濃

度y滿足函數111>=-：10-，爐+4（A,K為非零常數）.已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信

息素濃度為。，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）米.

2

A.2aB.2C.72D.4

題型6:卷函數模型

6-1.（2024高三上.安徽亳州?階段練習）“小黃城外芍藥花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家種花

如桑麻.”這是清代文學家劉開有描寫安徽毫州的詩句，毫州位于安徽省西北部，有“中華藥都”之稱.毫州自商

湯建都到今，已有3700年的文明史，是漢代著名醫學家華佗的故鄉，由于一代名醫的影響，帶動了毫州醫

藥的發展，到明、清時期毫州就是全國四大藥都之一，現已是“四大藥都”之首.毫州建有全球規模最大、設施

最好、檔次最高的“中國（毫州）中藥材交易中心”，已成為全球最大的中藥材集散地，以及價格形成中心.

某校數學學習小組在假期社會實踐活動中，通過對某藥廠一種中藥材銷售情況的調查發現:該中藥材在2021

年的價格浮動最大的一個月內（以30天計）日平均銷售單價M（x）（單位：元/千克）與第x天

（l<x<3O,xe7V*）的函數關系滿足M（X）=￡+20（%為正常數）.該中藥材的日銷售量N（無）（單位：

千克）與x的部分數據如下表所示：

X4102030

N(x)149155165155

已知第4天該中藥材的日銷售收入為3129元.（日銷售收入=日銷售單價x日銷售量）

（1）求上的值；

（2）給出以下四種函數模型：①N（x）="+6,②N（x）=a（x-20）2+6,③N（x）=a|x-20|+6,④

N（x）=a」og/,請你根據表中的數據，幫助這組同學從中選擇最合適的一種函數模型來描述該中藥材的日

銷售量N（x）與x的關系，并求出該函數的解析式和日銷售收入f（x）（單位：元）的最小值.

6-2.（2024.四川瀘州.模擬預測）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大

勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動.該

企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元.若要實現2024年

初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：<82?1.22,^73^1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

6-3.（2024.廣西?模擬預測）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以累

函數形式表示.比如，某類動物的新陳代謝率，與其體重x滿足y=其中左和a為正常數，該類動物某

一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則

a為（）

彩他題祕籍

（四）

已知函數模型的實際問題

求解已知函數模型解決實際問題的關鍵

（1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.

（2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.

（3）利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.

題型7:已知函數模型的實際問題

7-1.（2024高三?全國?專題練習）牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：e=（q-q）e-M+q,其中f

為時間（單位：min）,%為環境溫度，4為物體初始溫度，6為冷卻后溫度），假設在室內溫度為2CTC的

情況下，一桶咖啡由100℃降低到6（TC需要20min.則k的值為.

7-2.（2024高二下?浙江寧波?學業考試）某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準備建

造可以使用30年的隔熱層，據當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元.根據建筑公司的前期

研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度人（單位：厘米）滿足

關系：N（/7）=/N（OV〃4IO）.經測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10

萬元.設尸仍）為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和，那么使尸伍）達到最小值的隔熱層的

厚度h=_____厘米.

7-3.（2024?四川宜賓?模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規律衰減，大約每經過5730

年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式

嬴，（其中心為生物死亡之初體內的碳14含量，才為死亡時間（單位：年），通過測定發現某

古生物遺體中碳14含量為：幻，則該生物的死亡時間大約是年前.

74（2024高一上.福建三明?階段練習）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋

放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間，（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與/的

函數關系式為y=為常數）.根據圖所提供的信息，回答下列問題：

|近毫克）

1--1

o\0.1f（小時）

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間/（小時）之間的函數關系式為；

（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，

至少需要經過小時后，學生才能回到教室.

7-5.（2024?江西南昌?二模）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業的一個主

要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模

式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式

x=3-三.已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的

售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是一

萬元.

76（2024?福建福州三模）某地在20年間經濟高質量增長，尸的值P（單位，億元）與時間t（單位：

年）之間的關系為尸⑺=片。+10%）',其中功為r=0時的P值.假定4=2,那么在1=10時，GO尸增長的速

度大約是.（單位：億元/年,精確至U0.01億元/年）注：1.1?！?.59,當x取很小的正數時，ln（l+x）。彳

法習與置升

一、單選題

1.（2024高三上?廣東深圳?期末）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機遇，開發生產一智能產品，該

產品每年的固定成本是25萬元，每生產x萬件該產品，需另投入成本。（尤）萬元.其中

x2+10x,0<x<40

。（無）=10000，若該公司一年內生產該產品全部售完，每件的售價為70元，則該企業每

71rH-----------945,x>40

.x

年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

2.（2024?浙江?二模）紹興某鄉村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120。的等腰梯形

（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面

積盡可能大，現有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數

據：73?1.732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

3.（2024高三下.北京?開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質減少

50%,若要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（）

（參考數據：lg2yo.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

4.（2024全國）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業

取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系.為解

決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行.4點是平衡點,

位于地月連線的延長線上.設地球質量為M,，月球質量為地月距離為R,4點到月球的距離為r，根

據牛頓運動定律和萬有引力定律，，滿足方程：停+十回中

設。藍,由于a的值很小，因此在近似計算中i了"則r的近似值為

A.B.

叫R

D?偌R

C.3,1%

M

5.（2024?全國）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，由

于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500

份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，

為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

6.（2024?河南鄭州?模擬預測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數量應根據設計噴霧強度、

保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量4（單位：L/min）計算公式為4=Kg和保護對象的水霧噴

頭數量N計算公式為N=——q計算確定，其中產為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流

量系數（其值由噴頭制造商提供），s為保護對象的保護面積，w為保護對象的設計噴霧強度（單位：

L/minm2）.水霧噴頭的布置應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭

的數量.當水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數K為24.96,保護對象的保護面積S為

14m"保護對象的設計噴霧強度W為ZOL/min.n?時，保護對象的水霧噴頭的數量N約為（參考數據：

V3?5?1.87）（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

7.（2024?四川成都.三模）英國物理學家和數學家牛頓曾提出物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型.如果

物體的初始溫度是4,環境溫度是4,則經過/min物體的溫度6將滿足6=%+（4-4）片，其中％是一個

隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數.現有90。（2的物體，若放在10。＜2的空氣中冷卻，經過lOmin物體

的溫度為5（TC,則若使物體的溫度為2（TC,需要冷卻（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

8.（2024.福建福州.模擬預測）為落實黨的二十大提出的“加快建設農業強國，扎實推動鄉村振興”的目標，

銀行擬在鄉村開展小額貸款業務.根據調查的數據，建立了實際還款比例尸關于貸款人的年收入x（單位：

-0.9680+fcx

萬元）的Logistic,模型：尸（幻=]2一。-968。+人，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.

若銀行希望實際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）（精確到0.01萬元，參考數據：ln3?1.0986,

In2?0.6931）

A.4.65萬元B.5.63萬元C.6.40萬元D.10.00萬元

9.（2024.江蘇南通.模擬預測）為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰的意見》，某

造紙企業的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數量逐漸減少.已知改良

工藝前所排放廢水中含有的污染物數量為2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量為

3

2.21g/m,第"次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量rn滿足函數模型

5="+億-%）-3°匈1代瓦〃eN*）,其中心為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數量，/;為首次改

良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數量，”為改良工藝的次數，假設廢水中含有的污染物數量不超過

0.25g/n?時符合廢水排放標準，若該企業排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要（）（參考

數據：lg2?0.30,lg3?0.48）

A.14次B.15次C.16次D.17次

10.（2024?江西?二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調節免疫功能，增強機體免疫力.草

莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養胃等功效，受到眾人的喜愛.根據草莓單果的重量，可將其從小到大依

次分為4個等級，其等級x（x=L2,3,4）與其對應等級的市場銷售單價y（單位：元/千克）近似滿足函數關

系式＞若花同樣的錢買到的1級草莓比4級草莓多1倍，且1級草莓的市場銷售單價為24元/千克，則3

級草莓的市場銷售單價最接近（）（參考數據：次位.26,探659）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

11.（2024?重慶?模擬預測）中華人民共和國國家標準《居室空氣中甲醛的衛生標準》規定：居室空氣中甲

醛的最高容許濃度為：一類建筑0.08mg/m3,二類建筑0.Img/n?.二類建筑室內甲醛濃度小于等于

O.lmg/n?為安全范圍，已知某學校教學樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環境

下時，竣工2周后室內甲醛濃度為2.25mg/n?,4周后室內甲醛濃度為0.36mg/n?,且室內甲醛濃度p（t）（單

位：mg/n?）與竣工后保持良好通風的時間（reN*）（單位：周）近似滿足函數關系式。⑺=，則該

教學樓竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為（）

A.5周B.6周C.7周D.8周

12.（2024.山西朔州?模擬預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數的關系，某開發商收集了一棟住宅

樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數X與每平米平均建筑成本y（單位：萬元）的數據整理

成如圖所示的散點圖：

I每平米平均建筑成本/萬元

20-

15■

10-.

5-.

01020*3040樓層數/層

則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用y和樓層數x的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

13.（2024?全國）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小

數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據工和小數記錄表的數據V滿足乙=5+lgK.已知某同學視力的五

分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據為（）（殉。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

14.（2024高二.全國?課后作業）某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為Li=5.06x

—0.15尤2和L2=2X,其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤

為

A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51

15.（2024高三上?北京東城?開學考試）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微

生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化

碳最高容許濃度為0.15%.經測定，剛下課時，空氣中含有Q25%的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化

碳的濃度為V%,且y隨時間f（單位：分鐘）的變化規律可以用函數＞=0,05+加得（2eR）描述，則該教室

內的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間r（單位：分鐘）的最小整數值為（）

（參考數據In2-0.693,ln3aL098）

A.5B.7C.9D.10

16.（2024.四川）某食品的保鮮時間V（單位:小時）與儲藏溫度x（單位：。C）滿足函數關系y=*+〃（e=2.718…

為自然對數的底數，人涉為常數）.若該食品在的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則

該食品在33℃的保鮮時間是

A.16小時B.20小時C.24小時D.21小時

17.（2024?四川成都?模擬預測）某程序研發員開發的小程序在發布時已有1000名初始用戶，經過t天后，

用戶人數。⑺3〃潭,其中左和,〃均為常數.已知小程序發布經過10天后有4000名用戶，則用戶超過2

萬名至少經過的天數為（）（天數按整數算，取炮2=0.30）.

A.20B.21C.22D.23

18.（2024.海南省直轄縣級單位.模擬預測）英光定量尸CR是一種通過化學物質的英光信號，對在PCR擴增

進程中成指數級增加的靶標DNA進行實時監測的方法.在PCR擴增的指數時期,熒光信號強度達到閥值時，

。乂4的數量X與擴增次數〃滿足lgX“=4g（l+M+lgXo,其中X。為OVA的初始數量，P為擴增效率.已知

某被測標本0vA擴增6次后，數量變為原來的100倍，則擴增效率〃約為（）（參考數據:

101?2.154,105?1.778）

A.56.2%B.77.8%C.115.4%D.118.4%

19.（2024.湖南）某市生產總值連續兩年持續增加.第一年的增長率為。，第二年的增長率為9,則該市這兩

年生產總值的年平均增長率為

.p+qn（p+D（q+i）T

22

C.y[pqD.J（.+l）（q+l）-l

20.（2024高一上?青海西寧?期末）為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件

加密，有一種加密密鑰密碼系統（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發送方由明文一■密文（加I

密）,接收方由密文一明文.現在加密密鑰為y=履3,如“4”通過加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“息”,

256

則解密后得到的明文是（）

A.—B.—C.2D.—

248

21.（2024高一上?全國?課后作業）在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據.現準備

用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是（)

X1.953.003.945.106.12

y0.971.591.982.352.61

x

A.y=2B.y=log2xD.y=2.61x

22.（2024高一.全國.課后作業）四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數關系分別是工（x）=d,力（"=4x,

力（x）=log3X,力（x）=2"，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對應的函數關系是（）

A.工（x）=fB.力（x）=4xC.力（x）=log3XD.力⑺=2*

二、多選題

23.（2024?遼寧大連.三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：

]（e，+「）X?？冖室弧钢?/p>

V72\a2

fex+e~x）E[7

b（0=-—一不八其中正實數X。,％分別為甲、乙兩方初始實力，才為比賽時間;

2Vb2

x=y[abt

⑺分別為甲、乙兩方/時刻的實力；正實數9分別為甲對乙、乙對甲的比賽效果系數.規定當甲、乙兩

方任何一方實力為o時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續時長為八則下列結論正確的是（）

A.若X0>E且〃=6，則

B.若X°>乂且”=6,則T=，ln

a\X0-Y0

Xb

C.若肅n〉一，則甲比賽勝利

Yoa

D.若區〉P，則甲比賽勝利

YoVa

24.（2024高一上?山東德州?階段練習）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象,

假設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（）

A.野生水葫蘆的面積每月增長量相等

B.野生水葫蘆從9m2蔓延到36m2歷時超過1個月

C.設野生水葫蘆蔓延到9m2,20m2,40m?所需的時間分別為外，馬，勾，貝U有4+，3<2芍

D.野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均

速度

25.（2024高一上?山東德州?期末）牛頓曾提出了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度

是0。（單位：。C）,環境溫度是4（單位：。C）,其中的>耳、則經過f分鐘后物體的溫度，將滿足

。=/?）=4+（4-4）.b“（％eR且%>0）.現有一杯10CTC的熱紅茶置于100c的房間里，根據這一模型研究

紅茶冷卻情況，下列結論正確的是（）（參考數值1112=0.7,ln3=1.1）

A.若〃3）=40。。貝廳⑹=2（TC

B.若％=￡，則紅茶下降到55。（2所需時間大約為6分鐘

C.5分鐘后物體的溫度是40。（3，左約為0.22

D.紅茶溫度從8（TC下降到60℃所需的時間比從6CTC下降到40℃所需的時間多

26.（2024?廣東.模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀

態，經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm,繼續排氣4分鐘后又測

得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間f（單位：分）之間滿足函

數關系y=/G）,其中嘿=R（R為常數）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全進入車

庫了，則下列說法正確的是（）

A-R=e%

B.R=3

4

c.排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

27.（2024.全國）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級4=20xlg8,

Po

其中常數Po（Po>。）是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為R,P2，P3,則（）.

A.Pi>p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.A<100p2

三、填空題

28.（2024高三?全國?專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量〃尤）（毫克/毫升）隨時間x（小時）變

5—0<x<l

化的規律近似滿足表達式〃x）=3門丫《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛

—?—X>1

[5⑴

員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車.（精確到1小時）

29.（2024?浙江）我國古代數學著作《張邱建算經》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值

錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數分別為x,

x+y+z=100,

y,z,貝"isc當z=8i時，.

5x+3y+—z=100,

30.（2024?北京朝陽?一模）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化

=X。coshy/abt^-.—Y0sinh

_"J，其中正實數X0,匕分別為紅、藍兩方初始

遵循蘭徹斯特模型：<

y（/）=｝；cosh（Jabt^-.—Xosinh

兵力，/為戰斗時間；x（t）,y（f）分別為紅、藍兩方r時刻的兵力;正實數06分別為紅方對藍方、藍方對

紅方的戰斗效果系數；coshx=￡芋二和sinhx=e二分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數.規定當紅、藍

22

兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為工給出下列四個

結論：

①若X。>均且。=6,則x（r）>y⑺（0W/WT）；

②若X°>4且則7=!1!1

a了。-妁

X?b

③若”＞一，則紅方獲得戰斗演習勝利；

匕