專題8.6空間直線、平面的垂直（一）【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1異面直線所成的角】 1【題型2線線垂直的判定】 4【題型3線面垂直的判定】 9【題型4直線與平面所成的角】 12【題型5由線面垂直的性質證明線線平行、垂直】 17【題型6由線面垂直的性質證明面面平行】 21【題型7根據線面垂直求參數】 24【題型8平面內的射影問題】 29【知識點1直線與直線垂直】1．異面直線所成的角(1)兩條異面直線所成的角的定義

如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'，b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)異面直線所成的角的范圍

異面直線所成的角必須是銳角或直角，即的范圍是<.(3)兩條異面直線垂直的定義

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b.【題型1異面直線所成的角】【例1】（24-25高一下·全國·課后作業）已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（A．32 B．155 C．105【解題思路】先補充圖形，找到異面直線的夾角，將其放在直角三角形內，利用銳角三角函數的定義求解余弦值即可.【解答過程】如圖所示，將直三棱柱ABC?A1B其中四棱柱的底面為平行四邊形，連接AD1，則AD1//BC1，所以因為∠ABC=120°，AB=2，BC=CC且由題意得DD所以AB1=5，∠B1C1D由余弦定理得12解得B1D1所以∠AD1B故選：C.【變式1-1】（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1，D，E分別是A．15 B．25 C．65【解題思路】設AB=AA1=4，取AA1的中點Q，AB的中點M，AM的中點N,可得異面直線BD【解答過程】設AB=AA1=4，取AA1的中點Q，AB的中點M易知AE//QC所以異面直線BD與AE所成角為∠C由正三棱柱的幾何特征可得AQ⊥AN,A1Q⊥AQN=AQCCM=4×sin60°C1在△C1QN所以直線BD與AE所成角的余弦值為15故選:A.【變式1-2】（23-24高一下·安徽·期末）在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AB=2A1BA．30° B．45° C．60° D．90°【解題思路】由棱臺的結構特征可得A1O//CC1，則∠A【解答過程】如圖所示，連接A1C1,AC,BD，則AC∩BD=O，連接所以AC=2A1C1．易知四邊形A1所以∠A1OB1同理知B1O=DD1，又CC故選：C．【變式1-3】（23-24高一下·廣東潮州·期末）已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點，若AB=23，CD=4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為（

A．30° B．45° C．60° D．90°【解題思路】設G為AD的中點，連接GF，GE，即可得到EF與CD所成的角即為EF與GE所成的角，再由銳角三角函數計算可得.【解答過程】設G為AD的中點，連接GF，GE，又E、F分別是AC、BD的中點，所以GF、GE分別為△ABD、△ACD的中線，所以GF//AB且GF=12AB=所以EF與CD所成的角即為EF與GE所成的角，又EF⊥AB，所以EF⊥GF，所以△GEF為直角三角形，且∠GFE=90°，所以sin∠GEF=GFGE即EF與CD所成的角為60°.故選：C.【題型2線線垂直的判定】【例2】（24-25高二上·上海·階段練習）若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,lA．l1⊥lC．l1、l4既不垂直也不平行【解題思路】將滿足題意的直線放入長方體模型判斷即可.【解答過程】如圖所示，取l1=AD，l2當取l4=B1C1時，故選：D.【變式2-1】（24-25高一·全國·課后作業）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不對【解題思路】連接B1D1,BD，根據線面垂直的判定定理，即可證明【解答過程】連接B1∵幾何體ABCD?A1B∴AC⊥BD.又∵B1B⊥AC,BD∩BB1=B∵B1H?平面BDD∵B1H⊥D1O,AC∩故選A.【變式2-2】（24-25高一·全國·課后作業）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F分別是AB，CD的中點，EF=2．求證：AD⊥BC．【解題思路】通過平移后再解三角形即可獲得證明.【解答過程】證明：如圖所示，取BD的中點H，連接EH，FH．因為E是AB的中點，且AD=2，所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．所以∠EHF(或其補角)是異面直線AD，BC所成的角．因為EF=2，所以EH2+FH2=EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，所以∠EHF=90°，即AD與BC所成的角是90°，所以AD⊥BC．【變式2-3】（24-25高二上·云南昭通·期中）如圖所示，在正方體ABCD?A1B

(1)AD(2)AD1與【解題思路】（1）根據當兩直線所成的角是直角時，兩直線垂直即可證明（2）根據異面直線的定義可得【解答過程】（1）如圖所示，連接BC

∵ABCD?A∴AB∥D∴平面ABC∴AD∵BCC∴BC∴AD（2）由AD1?面ADD1A1，B又AD1與B1C不平行，【知識點2直線與平面垂直】1．直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.(2)點到平面的距離過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.2．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.3．直線與平面所成的角(1)定義①斜線和斜足：如圖，一條直線l與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.(2)直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角的范圍是<.

④直線與平面所成的角的取值范圍是.4．直線與平面垂直的性質定理(1)直線與平面垂直的性質定理①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．②圖形語言：如圖所示．③符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性質定理的作用

①由線面垂直證明線線平行.

②構造平行線.5．點在平面內射影位置的確定立體幾何中經常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關鍵.一般來說，可以直接過這個點作平面的垂線，然后通過證明或計算說明垂足的位置，也可以借助以下一些常見結論進行確定.

(1)如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內的射影在這個角的平分線上.

(2)經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與這個角的兩邊的夾角相等，那么該斜線在平面內的射影是這個角的平分線所在直線.【題型3線面垂直的判定】【例3】（2024·湖北·一模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．A1B B．A1D C．【解題思路】作出與平面MNP平行的平面AB1D1，證明【解答過程】連接AB因為P,M,N分別為AB,BB1,DD1的中點，故MP//A又MP?面AB1D1,AB1又MN?面AB1D1,B1又MP∩MN=M,MP,MN?面MNP，故面MNP//面AB則垂直于平面MNP的直線一定垂直于面AB顯然CC1⊥面A1B又B1D1⊥A故B1D1⊥面A1C1同理可得A1C⊥AB1，又故A1C⊥面AB1D若其它選項的直線垂直于平面MNP，則要與A1故選：D.【變式3-1】（23-24高一下·天津河西·期末）如圖，圓柱OO′中，AA′是側面的母線，AB是底面的直徑，

A．BC⊥平面AB．BC⊥平面AC．AC⊥平面AD．AC⊥平面A【解題思路】根據線面垂直的判定定理、性質定理及定義逐項判斷即可.【解答過程】依題意AA′⊥平面ABC，BC?平面ABC又AB是底面圓的直徑，所以BC⊥AC，AA′∩AC=A，AA′，AC?平面A對于B，在△ABC中，BC⊥AC，顯然BC與AB不垂直，則BC不可能垂直平面A′對于C：在△A′AC中，AA′⊥AC，顯然AC與對于D：在△ABC中，BC⊥AC，顯然AC與AB不垂直，則AC不可能垂直平面A′故選：A.【變式3-2】（2024高二下·福建·學業考試）如圖，四棱錐S?ABCD的底面是正方形，SD⊥底面ABCD.

(1)若SD=AB=1，求四棱錐S?ABCD的體積(2)求證：BC⊥平面SCD【解題思路】（1）根據體積公式可求四棱錐S?ABCD的體積.（2）可證BC⊥SD，結合BC⊥CD可證BC⊥平面SCD.【解答過程】（1）因為SD⊥底面ABCD，故四棱錐S?ABCD的高為SD=1，而正方形ABCD的面積為1，故VS?ABCD（2）因為SD⊥底面ABCD，而BC?平面ABCD，故BC⊥SD，由正方形ABCD可得BC⊥CD，因SD∩CD=D,SD,CD?平面SCD，故BC⊥平面SCD.【變式3-3】（23-24高一下·遼寧·期末）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是正三角形，D，E分別為(1)求證：C1D//(2)若AB=AA1，求證：AB【解題思路】（1）設AB1∩A1B=F，連接EF，（2）依題意可得平行四邊形AA1B1B為菱形，即可得到A【解答過程】（1）設AB1∩A1則F為AB1的中點，又D，E分別為A1所以DF//BB1且DF=1所以EC1//所以四邊形EC所以DC1//EF，又C1D?平面BA1E（2）因為AB=AA1，所以平行四邊形AA又AB1⊥C1又A1B∩EF=F，A1所以AB1⊥【題型4直線與平面所成的角】【例4】（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖所示，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，PA=AD=2AB=2，M為PD的中點，則CD與平面ACM所成角的余弦值為（

）A．32 B．33 C．63【解題思路】過點D作DN⊥CM于點N，證明DN⊥平面ACM，得CD與平面ACM所成的角為∠DCM，在Rt△CDM中，求∠DCM【解答過程】如圖，過點D作DN⊥CM于點N，因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又四邊形ABCD為矩形，AD⊥CD，PA∩AD=A，PA,AD?平面AMD，所以CD⊥平面AMD，因為AM?平面AMD，所以CD⊥AM，在△PAD中，PA=AD=2，M為PD的中點，所以AM⊥PD且DM=1又PD∩CD=D，PD,CD?平面CDM，所以AM⊥平面CDM，因為AM?平面ACM，所以平面CDM⊥平面ACM，因為平面CDM∩平面ACM=CM，DN⊥CM，DN?平面CDM，所以DN⊥平面ACM，所以CD與平面ACM所成的角為∠DCM.因為CD⊥平面AMD，DM?平面AMD，所以CD⊥DM，在Rt△CDM中，cos故選：B.【變式4-1】（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，∠ACB=90°,PA⊥平面ABC,AC=BC=PA，M是PB的中點，則AM與平面PBC所成角的正弦值為（

）A．22 B．63 C．33【解題思路】根據圖形特征，取PC中點D，連接AD,DM，通過線面垂直的性質與判定得到AD⊥面PCB，因而∠AMD是AM與平面PBC所成角，再通過相關計算，在直角三角形中計算其正弦值即可.【解答過程】如圖，取PC中點D，連接AD,DM，令AC=BC=PA=2.因為PA⊥面ABC，AC?面ABC，所以PA⊥AC，又因為AC=PA=2，所以AD⊥PC，因為PA⊥面ABC，BC?面ABC，所以PA⊥BC，又因為∠ACB=90°，所以BC⊥AC，因為PA,AC?面PAC，PA∩AC=A，所以BC⊥面PAC，因為AD?面PAC，所以BC⊥AD，因為PC,BC?面PCB，PC∩BC=C所以AD⊥面PCB，所以∠AMD是AM與平面PBC所成角，因為PA⊥AC，.AC=PA=2.，所以AD=2由已證知，BC⊥面PAC，因為AC?面PAC，所以BC⊥AC，所以AB=A因為PA⊥面ABC，AB?面ABC，所以PA⊥AB，所以PB=P所以AM=1由已證知，AD⊥面PCB，又因為DM?面PCB，所以AD⊥DM所以sin∠AMD=即AM與平面PBC所成角的正弦值是63故選：B．【變式4-2】（23-24高一下·寧夏固原·期末）如圖所示，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=2，BC=2(1)求證：平面AEA1⊥(2)求直線A1B1【解題思路】（1）根據線面垂直的判定定理，證明AE⊥平面BCB1，即可得證平面AEA（2）取BB1中點F，連接EF,A1F，先證明四邊形AA1FE矩形，再由（1）可得A1F⊥平面BCB【解答過程】（1）證明：因為AA1⊥平面ABC，B所以BB1⊥平面ABC，又因為AE?平面ABC又因為AB=AC=2，E為BC的中點，所以BC⊥AE，又因為BC,BB1?平面BC所以AE⊥平面BCB1，又因為AE?平面所以平面AEA1⊥（2）解：取BB1中點F，連接則有EF∥BB1，且由題意可知AA1∥BB所以AA1∥EF，且AA所以四邊形AA1FE為平行四邊形，所以A由（1）可知AE⊥平面BCB所以A1F⊥平面BCB1，B1所以∠A1B1F又因為AB=AC=2，BC=22易知△ABC為等腰直角三角形，所以AE=1所以A1又因為BB在Rt△BB1所以B1在Rt△A1又因為∠A1B即直線A1B1與平面BC【變式4-3】（23-24高一下·廣東茂名·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，AD⊥AB，PD=PA=AD=AB=1，CD=2，E是PA的中點.

(1)證明：DE⊥平面PAB；(2)底邊CD上是否存在異于端點的一點G，使得直線PG與平面PBD所成的角為π6？若存在，求出DG【解題思路】（1）根據面面垂直的性質可知AB⊥平面PAD，即可得AB⊥DE，由題意可得DE⊥PA，結合線面垂直的判定定理分析證明；（2）做輔助線，分析可知∠GPM=π6，由垂直關系可得CD⊥PD，設【解答過程】（1）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥AB，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.由DE?平面PAD，可得AB⊥DE，又因為E是PA的中點，PD=AD，則DE⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，所以DE⊥平面PAB.（2）假設在CD上存在異于端點的點G，使得直線PG與平面PBD所成的角大小為π6過點G作GM⊥平面PBD，垂足為M，連結PM、PG、GB，

則PM⊥GM，∠GPM=π設DGDC=x，DC=2，則由（1）可知：AB⊥平面PAD，AB//DC，可知CD⊥平面PAD，由PD?平面PAD，可得CD⊥PD，在Rt△PDG中，PG=PD在Rt△GPM中，GM=PG?因為底面ABCD是直角梯形，AB//DC，AD⊥AB，PD=PA=AD=AB=1，則BD=AB2+AD可得S△PBD=1由VG?PBD=VP?GBD得，即13×7故存在點G，使得直線PG與平面PBD所成的角大小為π6，此時DG【題型5由線面垂直的性質證明線線平行、垂直】【例5】（24-25高一·全國·課后作業）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線l（與直線A．BB1⊥l B．BB1∥l C．BB1與【解題思路】根據線面垂直的性質即可得出答案.【解答過程】解：因為l⊥平面ABCD，且BB1⊥平面ABCD，直線l所以BB故選：B.【變式5-1】（23-24高一下·四川雅安·期末）已知下面給出的四個圖都是正方體，A，B為頂點，E，F分別是所在棱的中點，則滿足直線AB⊥EF的圖形的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】通過作輔助線構造平面，由線面垂直的判定以及定義逐一證明即可.【解答過程】對于①：如下圖所示，點C為所在棱的中點，由中位線定理及等腰三角形的性質，易證AB⊥FC，由CE⊥平面ACF，得出EC⊥AB，FC,EC?平面ECFFC∩EC=C，從而由線面垂直的判定得出AB⊥平面ECF，則AB⊥EF，故①正確；對于②：如下圖所示，點D為所在棱的中點，由中位線定理及等腰三角形的性質，易證AB⊥DE，由DF⊥平面BDE，得出DF⊥AB，DE,DF?平面DEF,DE∩DF=D，從而由線面垂直的判定得出AB⊥平面DEF，則AB⊥EF，故②正確；對于③：如下圖所示，由中位線定理及等腰三角形的性質，易證EF⊥AG，由BG⊥平面EFG，得出EF⊥BG，AG,BG?平面ABG,AG∩BG=G，從而由線面垂直的判定得出EF⊥平面ABG，則AB⊥EF，故③正確；對于④：如下圖所示，點H為所在棱的中點，由③可知，AB⊥HE，由中位線定理及等腰三角形的性質，易證BM⊥FH，由AM⊥平面FHM，得出AM⊥FH，AB,AM?平面ABM，AB∩AM=A，從而由線面垂直的判定得出FH⊥平面ABM，則AB⊥FH，HE,FH?平面EFH，HE∩FH=H，由線面垂直的判定可得AB⊥平面EFH，則AB⊥EF，故④正確；故選：D.【變式5-2】（2024高一·全國·專題練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，M為BC的中點，PD⊥DC．證明：AB⊥PM．【解題思路】先由余弦定理計算出DM長，由勾股定理證明，CD⊥DM，結合條件證CD⊥平面PDM，得CD⊥PM，由CD∥AB即可證得AB⊥PM.【解答過程】在平行四邊形ABCD中，由已知可得CD=AB=1，CM=12BC=2由余弦定理，得DM則CD2+DM又PD⊥DC，PD∩DM=D，PD,DM?平面PDM，∴CD⊥平面PDM．

而PM?平面PDM，∴CD⊥PM．

∵CD∥AB，∴AB⊥PM．【變式5-3】（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC(1)求證：B1(2)已知A1A=2,P∈平面ABC，且C1P⊥平面【解題思路】（1）連A1G交BC于D，由重心可得D為BC的中點，由已知借助三角形全等證得（2）由給定條件，證得三棱錐A?A1BC為正四面體，進而證得AG⊥【解答過程】（1）在三棱柱ABC?A1B1C1中，連A1G交BC于D，連AD，由由AB=AC，A1A=A1A，∠因此AD⊥BC，A1D⊥BC，又AD∩A于是BC⊥平面A1AD，而A1A?平面A1所以BC⊥B（2）由A1A=AB=2，∠A1AB=60°則A1B=A由G為△A1BC的重心，得AG⊥平面A1BC，菱形AC即直線AC1與平面A1BC的交點為A1C的中點，因此G不在直線所以AG//C【題型6由線面垂直的性質證明面面平行】【例6】（23-24高一下·河北保定·期末）已知直線m，平面α、β、γ，下面條件能推出α//β的是（A．α⊥γ，β⊥γ B．m?α，mC．m與α、β所成的角相等 D．m⊥α，m⊥β【解題思路】舉出反例即可判斷ABC；根據線面垂直的性質即可判斷D.【解答過程】如圖，在正方體ABCD?A對于A，平面ABCD，平面ABB1A對于B，AB?平面ABCD，AB//平面CD而平面ABCD∩平面CDD對于C，AD?平面ABCD，AD?平面ADD則AD與兩個平面所成的角都是零度角，而平面ABCD⊥平面ADD故C錯誤；對于D，若m⊥α，m⊥β，則α//故選：D.【變式6-1】（2024·山東濟寧·三模）已知不重合的平面α、β、γ和直線l，則“α//β”的充分不必要條件是（A．α內有無數條直線與β平行 B．α內的任何直線都與β平行C．α⊥γ且γ⊥β D．l⊥α且l⊥β【解題思路】利用面面位置關系可判斷AC選項；利用面面平行的定義可判斷B選項；利用線面垂直的性質定理可判斷D選項.【解答過程】對于A選項，若α內有無數條直線與β平行且這無數條直線是平行直線，則α、β平行或相交，即“α內有無數條直線與β平行”?“α//對于B選項，由面面平行的定義可知，“α內的任何直線都與β平行”?“α//對于C選項，若α⊥γ且γ⊥β，則α、β平行或相交，則“α⊥γ且γ⊥β”?“α//對于D選項，由線面垂直的性質可知，若l⊥α且l⊥β，則α//反之，若α//β，則“l⊥α且故“l⊥α且l⊥β”是“α//故選：D.【變式6-2】（23-24高一下·云南昆明·期中）已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，則下列命題中正確的是（

）A．如果m//n，m⊥α，n⊥βB．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么αC．如果α//β，m?α，n?βD．如果m?α，n?α，m//β，n【解題思路】由線面垂直的性質可得A正確；由面面平行的性質可得C錯誤；由空間中線線，線面位置關系可判定B，D錯誤.【解答過程】已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面.若m//n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，所以若m⊥n，m⊥α，則n//α或n?α，又n⊥β，所以α⊥β.故選項B錯誤；若α//β，m?α，n?β，則直線m和若m?α，n?α，m//β，n//β，則平面故選：A.【變式6-3】（23-24高三上·北京順義·期中）如圖，在邊長為2的正方體ABCD?A1B1C①AC⊥B②△APC面積的最小值是2；③只存在唯一的點P，使BD1⊥④當BP=233時，平面ACP//其中正確結論的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】證明AC⊥平面BDD1B1判斷①；求出△APC的面積函數求解判斷②；利用過一點有且只有一個平面垂直于已知直線判斷③；證明BD1⊥【解答過程】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，DD又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD,D則AC⊥平面BDD1B1，又連接BD交AC與E，由EP?BDD1B1，得在Rt△BDD1中，當PE⊥BD1時，PEsin∠DBD1因此△APC面積的最小值為2×由①知，AC⊥BD1，同理AB1⊥B因此BD1⊥平面AB1C，當點P為直線BD而過一點有且只有一個平面垂直于已知直線，于是過直線AC與直線BD所以存在唯一的點P，使BD1⊥當BP=233時，在△BPE中，BE=則PE=B即有PE2+BP2=2=BE2，則由①同理BD1⊥A1因此BD1⊥平面A1C所以正確命題的個數為3.故選：C.【題型7根據線面垂直求參數】【例7】（23-24高一下·山西·期末）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，D是A1B1的中一點，點F在BA．13 B．12 C．2【解題思路】易得C1D⊥平面AA1B1B，得到C1D⊥AB1，作DF⊥A【解答過程】∵C1D⊥A1B1，C1作DF⊥AB1交BB此時AB1⊥平面C1DF所以四邊形A1B1BA是正方形，所以又D為A1所以F為BB1的中點，即BB故選：D.【變式7-1】（24-25高二下·江西贛州·開學考試）如圖，直三棱柱ABC一A1B1C1中，側棱長為2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中點，F是BB1上的動點，AB1，A．13 B．32 C．12【解題思路】根據線面垂直的判定定理，結合銳角的三角函數定義進行求解即可.【解答過程】因為AC=BC=1，∠ACB=90°，所以A1C1因此A1B1=A所以C1D⊥A1B1，且DB1=而C1D?平面A1B1AA1,A1B1?平面AA因此C1D⊥AB1，在直角三角形當tan∠DFB1此時∠DFB1=∠AB1即FD⊥AB1，而FD∩C1D=D因此AB1⊥平面C故選：C.【變式7-2】（23-24高一下·山東青島·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，(1)證明：BD⊥面APC；(2)若G滿足PC⊥面BGD，求PGGC【解題思路】（1）證明出△ABD≌△CBD，可得出BD⊥AC，再由已知條件可得出BD⊥PA，利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）分析可知BG⊥PC，計算出△PBC三邊邊長，利用余弦定理求出cos∠PCB的值，可求得CG的長，進而可求得PG【解答過程】（1）證明：因為BA=BC，DA=DC，BD=BD，所以，△ABD≌△CBD，所以，∠ABD=∠CBD，則BD⊥AC，因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以，BD⊥PA，又因為AC∩PA=A，AC、PA?平面APC，所以，BD⊥平面APC.（2）解：因為BD⊥平面APC，PC?平面APC，所以，PC⊥BD，若PC⊥面BGD，BG?平面BGD，則BG⊥PC，因為AB=BC=2，∠ABC=120由余弦定理可得AC=A因為PA⊥平面ABCD，AB、AC?平面ABCD，則PA⊥AC，所以，PC=PA2在△PBC中，PB=7，BC=2，PC=所以，cos∠PCB=所以，CG=BCcos所以，PG=PC?CG=15?2因此，若G滿足PC⊥面BGD，則PGGC【變式7-3】（2025高三·河北·專題練習）如圖，在四棱錐A－BCDE中，四邊形BCDE為菱形，AB=AD=3，BD=23，AE＝AC，點G是棱AB上靠近點B的三等分點，點F是AC(1)證明：DF∥平面CEG．(2)點H為線段BD上一點，設BH=tBD，若AH⊥平面CEG，試確定【解題思路】（1）取AG的中點Ⅰ，記BD∩CE=O，連接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位線定理可得FI∥CG，GO∥DI，然后先證得線面平行，再可證得面面平行；（2）由已知可得△ABC≌△ABE，則GC＝GE，得OC⊥OG，結合已知可得OC⊥平面ABD，則OC⊥AG，利用余弦定理求出GO，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由線面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，從而可得H與B重合，進而可求得結果.【解答過程】（1）證明：如圖，取AG的中點Ⅰ，記BD∩CE=O，連接FⅠ，DⅠ，GO．在△ACG中，F，Ⅰ分別為AC，AG的中點，所以FI∥CG，同理，在△BDⅠ中，有GO∥DI，因為CG,GO?平面IFD，FI,DI?平面IFD，所以CG∥平面IFD，GO∥平面IFD，因為CG∩GO=G，CG,GO?平面GCO，所以平面GCO∥平面IFD，又DF?平面ⅠFD，所以DF∥平面CEG．（2）解：因為底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD．因為AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE，則GC＝GE，又因為點O是EC的中點，所以OC⊥OG．因為OG∩DO=O，OG,DO?平面ABD，所以OC⊥平面ABD，因為AG?平面ABD，所以OC⊥AG．因為AB=AD=3，BD=23所以cos∠ABD=則OG=B則OG2+BG2又因為OC∩OG=O，OC,OG?平面CEG，所以AG⊥平面CEG．若AH⊥平面