專題6.11平面向量中的最值與范圍必考八類問題【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【類型1定義法求最值與范圍問題】 3【類型2基底法求最值與范圍問題】 6【類型3坐標法求最值與范圍問題】 10【類型4與平面向量基本定理有關的最值（范圍）問題】 15【類型5與數量積有關的最值（范圍）問題】 17【類型6與模有關的最值（范圍）問題】 22【類型7平面向量中參數的最值（范圍）問題】 26【類型8極化恒等式】 30【知識點1平面向量中的最值與范圍問題及其解題策略】1．平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相關知識將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結合平面圖形的特征直接進行判斷；(2)“數化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決．2．平面向量中的最值（范圍）問題的常用解題方法：(1)定義法①利用向量的概念及其運算將所求問題進行轉化，得到相應的等式關系；②運用基木不等式、二次函數求其最值（范圍）問題，即可得出結論.(2)坐標法①建立適當的直角坐標系，把幾何圖形放在坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標；②將平面向量的運算坐標化，進行相應的代數運算和向量運算；③運用適當的數學思想方法如：二次函數、基本不等式、三角函數等思想方法來求解最值（范圍）.(3)基底法①適當選取一組基底，利用基底轉化向量；②寫出向量之間的聯系，根據向量運算律化簡目標，構造關于設定未知量的關系式來進行求解；③運用適當的數學思想方法如：二次函數、基本不等式、三角函數等思想方法來求解最值（范圍），即可得出結論.【知識點2極化恒等式】1．極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.2．幾何解釋：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．(1)平行四邊形模型：向量的數量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角線長”平方差的，即(如圖).(2)三角形模型：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即(M為BC的中點)(如圖).極化恒等式表明，向量的數量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系.【類型1定義法求最值與范圍問題】1．（2025高三·全國·專題練習）在△ABC中，點F為線段AC上任一點（不含端點），若BF=3xBA+yBC，則3x+1y的最小值為（

）A．1 B．4 C．9 D．16【解題思路】由題意得3x+y=1，且x>0,y>0，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【解答過程】由題意，在△ABC中，點F為線段AC上任一點（不含端點），若BF=3xBA+y設AF=λAC，則所以3x+y=1?λ+λ=1，則3x當且僅當3yx=3xy，即故選：D．2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知向量a,b不共線，AB=λa+b,AC=A．5 B．4 C．3 D．2【解題思路】根據向量共線定理和基本不等式即可求解.【解答過程】因為A,B,C三點共線，所以存在實數k，使AB→=kAC又向量a,b不共線，所以由λ>0,μ>0，所以λ+4μ≥24λμ當且僅當λ=4μ=2時，取等號，即λ+4μ的最小值為4.故選：B.3．（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）勒洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業上應用廣泛.如圖所示，分別以正三角形ABC的頂點為圓心，以三角形ABC邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為勒洛三角形.已知正三角形ABC邊長為60，點D，E分別為線段AB，AC的中點，點P為圓弧AB上的一動點，則PA+PB+A．60?637 B．300?3037 C．300?1537【解題思路】取三角形ABC的重心和DE中點，由平面向量線性運算化簡所求向量，再又三點共線的逆定理得到點H在平面的位置，用勾股定理求出線段CH長，從而求得所求向量的最小值.【解答過程】取DE中點F，三角形ABC的重心G，∵PG=13則PA+設PH=35PG+25則AM=MH=FM?在扇形CAB中，當C,H,P三點共線時，PH最小，所以PH的最小值為60?1332PA+PB+故選：B.4．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知P是邊長為1的正六邊形ABCDEF內一點（含邊界），且AP=AB+λA．△PCD的面積為定值 B．?λ使得|C．∠CPD的取值范圍是π6,π3 【解題思路】對A，根據AP=AB+λAF,λ∈R可得BP//AF，從而確定P在正六邊形ABCDEF的對角線BE上運動，進而根據【解答過程】對A，由AP=AB+λ即BP=λAF，可得因此，P在正六邊形ABCDEF的對角線BE上運動，所以P到CD的距離為定值，所以△PCD的面積為定值，故A正確；對B，因為正六邊形ABCDEF關于對角線BE對稱，故|PC對C，根據圖形的對稱性，當P為BE中點時，∠CPD取得最大值π3當P與B,E重合時∠CPD取得最小值π6，即∠CPD的取值范圍是π對D，因為正六邊形邊長為1，所以平行線BE,CD的距離d=3又當PC⊥BE時，PC有最小值32故選：AC.5．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習）已知邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，點F為線段BD（含端點）上一動點，點E滿足DE=3EC，則AF?【解題思路】利用基底，結合向量的線性運算表示AF,【解答過程】設BF=λBD，其中已知邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB=π則△ABD為等邊三角形，又DE=3則AF?DE=(AB=341?λAB2+3故AF?DE∈故答案為：32

【類型2基底法求最值與范圍問題】6．（23-24高一下·浙江·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，P為線段CD上一個動點（含端點），AC=mDB+nA．0,1 B．2,3 C．1,2 D．2,4【解題思路】設DP=λDC，以AD,AB為基底表示AC后可得m+λn2=【解答過程】設DP=λDC，則故AC=m又AC=AD+所以m+λn2=12因為0≤λ≤1，故1≤m+n≤2，故選：C.7．（2024·寧夏銀川·模擬預測）在△ABC中，BD=2DC，過點D的直線分別交直線AB、AC于點E、F，且AE=mAB,AF=nAC，其中A．2 B．2 C．3 D．8【解題思路】根據題意以AB,AC為基底表示出AD，再根據E,F,D三點共線，利用共線定理可得13m+2【解答過程】如下圖所示：因為BD=2DC，易知又AE=mAB,易知E,F,D三點共線，利用共線定理可得13m又m>0，n>0，所以m+2n=m+2n當且僅當2m3n=2n所以m+2n的最小值為3.故選：C.8．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習）在矩形ABCD中，已知E,F分別是BC,CD上的點，且滿足BE=EC,CF=2FD．若點P在線段BD上運動，且A．?15,75 B．35【解題思路】建立基底，DC=a,DA=b，則AE=【解答過程】矩形ABCD中，已知E,F分別是BC,CD上的點，且滿足BE=

設DC=a,DA=聯立AE=a?因為點P在線段BD上運動，則可設AP=tAP=tAB+又AP=λAE+μλ+μ=?2因為0≤t≤1，所以λ+μ=4故選：B．9．（23-24高一下·福建漳州·期中）在△ABC中，點P滿足BP=2PC，過點P的直線與AB?AC所在的直線分別交于點M?N，A．AP=23AB+C．AP=13λAM+【解題思路】先利用向量的線性運算判斷AC，再利用三點共線得到13λ【解答過程】如圖所示，因為BP=2PC，則BP=2PC，即所以AP=又因為AM=λ所以AP=因為M?P?所以1=13λ+當且僅當13λ=2所以λμ的最小值為89所以λ+μ=λ+μ當且僅當2λ3μ=μ所以λ+μ的最小值為22故選：BC.10．（23-24高一下·廣東江門·期中）如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，P為AC邊上的一個動點，EF是以B為圓心，3為半徑的圓的直徑，且AC//EF，則PE?PF的取值范圍是39,55【解題思路】選取一組基底PB,BE，把向量PE、PF用這一組基底表示，再利用向量數量積公式可得PE?PF=【解答過程】如圖可知，PE=PB+因為B是EF的中點，所以BE=所以PE?由條件可得BE=3，AB因為P為AC邊上的一個動點，故當P為AC中點時PB最小，此時PB=4當P為A或C時，PB最大，此時PB=8從而PB∈43又因為BE=3，所以PE故答案為：39,55.【類型3坐標法求最值與范圍問題】11．（24-25高二上·湖南岳陽·開學考試）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點，則PA+3PB的最小值為（A．3 B．5 C．4 D．5【解題思路】根據題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，寫出點A、B、C和D的坐標，設出點P，根據向量模的計算公式，利用完全平方式非負，即可求得其最小值.【解答過程】如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，設DC=a，則A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)，設P(0,b)(0≤b≤a)，則PA=(2,?b)，PB=(1,a?b)，∴∴|PA即當3a=4b時，取得最小值5.故選：D.

12．（24-25高三上·北京·階段練習）在△ABC中，AB=AC=42，當λ∈R時，AB+λBC的最小值為4．若AM=MB,APA．2 B．4 C．25 D．【解題思路】由AB+λBC的最小值為4可得△ABC的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標系將向量坐標化，利用平面向量共線定理以及θ的取值范圍表示出MP的表達式，再由二次函數單調性即可求得【解答過程】如下圖所示：在直線BC上取一點D，使得BD=λBC所以AB+λBC=AB+BD=AD，當又AB=AC=42，所以可得△ABC是以A建立以A為坐標原點的平面直角坐標系，如下圖所示：又AM=MB可得M為由AP=sin2θ??AB+可得A0,0所以AB=0,42則MP=令cos2θ=t，由θ∈π所以MP=42由二次函數y=64t2?32t+8在t∈故選：C.13．（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，點E在邊CD上運動（包含端點），則AE?A．22,72 B．[22,4]【解題思路】以A為坐標原點建立直角坐標系，設Ea,2，得AE?BE=a?【解答過程】以A為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系，因為在矩形ABCD中，AB=2則B2又點E在邊CD上運動（包含端點），設Ea,2，則0≤a≤AE=則AE?因為0≤a≤2，所以a?故選：D.14．（23-24高一下·湖北武漢·期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E是BC中點，如圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意點；AP=λAE+μA．λ最大值為1 B．μ最大值為1C．AP?AD最大值是2 D．AP【解題思路】建立平面直角坐標系，由向量的坐標運算可得2λ=cosα+1，且λ+2μ=sinα，【解答過程】以AB中點O為原點，建立平面直角坐標系，則A(?1,0)，D(?1,2)，E(1,1)，設∠BOP=α，則P(cosα,sinα)，所以AP=(cosα+1,sinα)由AP=λAE+μAD，得2λ=cosα+1，且對于A，當α=0時，λmax對于B，μ=1對于C，AP?對于D，AP?AE=故選：ACD．15．（24-25高三上·河北邢臺·期中）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E滿足AE=14AB+34AC，P為平面【解題思路】建立直角坐標系，利用向量的坐標運算，結合二次函數的性質即可求解.【解答過程】建立如圖所示的直角坐標系，設Px,y，M是AD則A0,0由AE=14AB+所以(PA+PD故當x=2,y=52時，取到最小值故答案為：?17【類型4與平面向量基本定理有關的最值（范圍）問題】16．（2024·河南許昌·三模）在△ABC中，點D在BC上，且滿足BD=14BC，點E為AD上任意一點，若實數x，y滿足BE=xA．22 B．43 C．4+23【解題思路】先根據平面向量基本定理及共線向量定理的推論，由三點A、E、D共線得x+4y=1，x>0,y>0，再根據“1”的代換,運用基本不等式即可求得答案.【解答過程】因為BD=14BC，由A，E，D三點共線可得x+4y=1，且x>0,y>0，所以1x當且僅當x=2y，即故選：D.17．（24-25高三上·湖北·開學考試）已知點P在△ABC所在的平面內，且2PA+PB+PC=0.過點P的直線與直線AB,AC分別交于M,NA．74 B．3+224 C．9【解題思路】利用平面向量基本定理可得1α【解答過程】

設BC的中點為D，連接PD,PC,PB，則2PD故2PD+2PA=0即DP因為P,M,N三點共線，故存在實數s，使得AP=s故AP=sαAB+因為AB,AC不共線，故sα=1α+4β=1當且僅當α=34,β=38故選：C.18．（23-24高一下·湖南·期中）△ABC的重心為O，過點O的直線與AB，BC所在直線交于點E，F，若BE=?xAB，BF=yBC（x,y>0），則A．23 B．29 C．4【解題思路】利用向量線性運算，結合三角形重心的性質及共線向量定理的推論得x+y=3xy，再利用基本不等式求解即得.【解答過程】由O為△ABC的重心，得BO延長線必過AC的中點D，則BO=23BD=13BA+即BO=13BA+13BC=1即x+y=3xy，又x>0,y>0，則3xy=x+y≥2x即xy≥49，當且僅當則xy的最小值是49故選：C.19．（24-25高三上·江西·期中）已知點P是△ABC的中線BD上一點（不包含端點），且AP=xAB+yA．x+2y=1 B．xy的最大值為1C．x2+y2的最小值為1【解題思路】由平面向量的基本定理及共線的推論得x+2y=1，再應用基本不等式、二次函數性質判斷各項正誤.【解答過程】因為AP=xAB+yAC，則AP=xAB+2yAD，又由x,y>0，則1=2x+y≥22xy，則xy≤18由x2+y2=因為1x當且僅當2yx=2x故選：ACD.20．（24-25高一下·山東·階段練習）在△ABC中，過重心E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設AM=xAB，AN=yAC，（x>0，y>0），則x+2y的最小值是【解題思路】利用平面向量基本定理及共線向量定理的推論求出x,y的關系，再利用基本不等式求出最小值.【解答過程】在△ABC中，點E為重心，則AE=而點N,E,M共線，則13x因此x+2y=(x+2y)(13x+所以x+2y的最小值是1+2故答案為：1+2【類型5與數量積有關的最值（范圍）問題】21．（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習）已知A，B，C是單位圓上不同的三點，AB=AC，則AB?AC的最小值為（A．0 B．?14 C．?1【解題思路】令A(1,0)，B(cosθ,sinθ),θ∈(0,2π)，進而有【解答過程】不妨令A(1,0)，B(cosθ,sinθ),θ∈(0,2π所以AB=cos當cosθ=12時，AB故選：C.22．（23-24高一下·北京·階段練習）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2AB=2BC=2，點P為梯形ABCD四條邊上的一個動點，則PA?A．?12,4 B．?12,2【解題思路】此題可以先證明一下極化恒等式，再使用，輕松解決此題.【解答過程】如圖△ABP中，O為AB中點，PA·共起點的數量積問題可以使用.如圖，取AB中點O，則由極化恒等式知，PA?·PB?=P由圖，可知PO2最大時，P在D點，即POPO2最小時，P在O點，即PO綜上所得，PA?PB取值范圍為:故選：D.23．（23-24高一下·江蘇泰州·階段練習）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，若正八邊形ABCDEFDH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，則AP?AB的最大值為（A．2 B．4+22 C．2+2 【解題思路】由投影向量的定義得到當P在CD上時，AP?【解答過程】由投影向量的定義可知，當P在CD上時，AP?延長DC交AB的延長線于點T，AP?AB的最大值為其中正八邊形的外角為360°÷8=45°，故AB=BC=2,∠CBT=45°，故BT=2cos45°=2故AB?AT=22+所以AP?AB最大值為故選：B.24．（23-24高一下·江蘇南通·期中）剪紙藝術是一種中國傳統的民間工藝，它源遠流長，經久不衰，已成為世界藝術寶庫中的一種珍藏．某學校為了豐富學生的課外活動，組織了剪紙比賽，小明同學在觀看了2022年北京冬奧會的節目《雪花》之后，被舞臺上漂亮的“雪花”圖案（如圖1）所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”，它的平面圖可簡化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中，六邊形ABCDEF為正六邊形，CD=4CK=4JK=4，CK⊥JK，△HIJ為等邊三角形，P為該平面圖形上的一個動點（含邊界），則（

）

A．CI=1+3 B．C．若FP=λFA+μFE，則λ＋μ的最大值為9+3【解題思路】把題中圖2的平面圖形順時針旋轉30°，設正六邊形ABCDEF的中心為O，連接CH，CJ，連接FI，交HJ于點L，過I作IM⊥AB，垂足為點M，過C作CN⊥AB，垂足為點N，利用數量積結合選項即可逐一求解．【解答過程】如圖，把題中圖2的平面圖形順時針旋轉30°，設正六邊形ABCDEF的中心為O，連接CH，CJ，連接FI，交HJ于點L，易得O，C在FI上，HJ⊥CI．過I作IM⊥AB，垂足為點M，過C作CN⊥AB，垂足為點N．由題意得CH=CJ=2CK=2，∠LCJ=HJ=2HL=2CJsin所以IL=32HJ=32計算JH?JK=(FP=λFA+μFP?所以FP?FE+連接AE，取AE的中點Q，連接QF，則18FP?2當點P與點I重合時λ+μ取得最大值，所以λ+μ的最大值為：14FI?因為四邊形CNMI為矩形，所以MN=CI=1+3，BN=BC所以AM=AB+BN+NM=4+2+(1+3當P與I重合時，AP?AB取得最大值為當P與X重合時，AP?AB取得最小值為所以AP?AB的取值范圍是[?12?43，28+4故選：ACD．

25．（2024高三·全國·專題練習）在直角△ABC中，斜邊AB=2，P為△ABC所在平面內一點，AP=12①AB?AC②點P經過△ABC的外心③點P所在軌跡的長度為2④PC?PA則以上結論正確的是①②④．（填寫序號）【解題思路】對①，由直角三角形結合向量的運算可得AB?AC=AC2判斷即可；對②③，由題意推導AP?=sin2θ?AO?+cos2【解答過程】對①，由△ABC中AB為斜邊，可得AB?又斜邊AB=2，則|AC?∈0,2|，則AB對②，若O為AB中點，則AO＝12AB，故又sin2θ＋cos2θ＝1，所以O，P，C共線，故P在線段OC上，軌跡長為1，又O是△ABC的外心，所以②正確，③錯誤；對④，又PA＋PB＝2PO，則PC·(PA＋PB)＝2PC·PO＝－2|PC||PO|，又|PC|＋|PO|＝|OC|＝1，則|PC||PO|≤PC?+|PO當且僅當|PC|＝|PO|＝12所以PC·(PA＋PB)＝－2|PC||PO|∈?故答案為：①②④.【類型6與模有關的最值（范圍）問題】26．（2024·四川瀘州·一模）已知平面向量OA=4,OB=3,OC=1,A．1 B．2 C．32 【解題思路】由題設A,B,C分別在以O為原點，半徑為4,3,1的圓上運動，且OA⊥OB，數形結合及向量加法的幾何意義確定【解答過程】由題設，A,B,C分別在以O為原點，半徑為4,3,1的圓上運動，且OA?所以OA⊥OB，若D是AB的中點，則|OD|=1由圖知，CA?+CB?=2|所以CA+CB的最小值是故選：D.27．（2024·湖北·模擬預測）四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點P是正方形內的一點，且滿足AP+BP+CP+A．1+2 B．2?1 C．22【解題思路】根據題意建立直角坐標系，設Px,y，寫出A,B,C,D坐標，可得P點的軌跡方程，進而可求出AP【解答過程】根據題意，建立如圖所示的直角坐標系，設Px,y,則AP=故AP+∴AP即x?22故點P在以點2,2為圓心，1為半徑的圓周上運動，所以AP的最大值為22故選：D.28．（23-24高一下·浙江·階段練習）正方形ABCD邊長為1，平面內一點P滿足AP=λAB+μAD，滿足λ+μ=74的P點的軌跡分別與CB，CD交于M，N兩點，令e1，e2分別為AB和AD方向上的單位向量，A．3 B．724 C．52【解題思路】首先根據題意確定，M,N的位置，然后設te1=AE,ke2=AF，利用平面向量的減法運算可得AM?te1=EM，te1?k【解答過程】由題意知，當λ=1μ=34時，點P的軌跡與CB相交于M當λ=34μ=1時，點P的軌跡與CD相交于N設te1=te1?k于是AM?t設點M關于AB的對稱點M1,點N關于AD的對稱點N則EM?所以點M1,E,F,N即EM+故選：B.29．（23-24高三上·安徽·開學考試）已知P2,0，Acosα,sinα，Bcosβ,A．PA?B．PA+C．若PA=λPB，PAD．若PA=λPB，【解題思路】A選項，由幾何意義可得A，B為單位圓上任意兩點，從而得到PA?PB=AB≤2；B選項，取AB中點D，得到PA+PB=2PD【解答過程】A選項，由已知A，B為單位圓上任意兩點，OA=OB=1

B選項，設D為AB的中點，則PA+由于A，B兩點不重合，所以PD∈1,3，則C選項，當P，A，B共線時，PA?D選項，當P，A，B共線時，若A,B坐標分別為?1,0與1,0或1,0與?1,0時，O,D兩點重合，此時PA+若A,B坐標不同時為?1,0與1,0時，此時OD⊥PB，則PD<

故PA+故選：AD.30．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，BC=CD=2，P是腰AD上的動點，則2PB?PC的最小值為【解題思路】建立平面直角坐標系，設出點P坐標，利用數量積的坐標運算結合二次函數的最值求解即可．【解答過程】等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，BC=CD=2，故梯形的高為22根據題意，以A為坐標原點，射線AB為x軸正半軸建立直角坐標系，如圖所示，則B(4,0)，C(3,3)，設P(a,3PB=(4?a,?則2PB則|2PB則當a=12時，則|2PB?PC故答案為：33【類型7平面向量中參數的最值（范圍）問題】31．（2024·全國·模擬預測）已知△ABC中，AO=λAB+(1?λ)AC，且O為△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量為μBC，且cosA．23,56 B．15,【解題思路】根據題意B，O，C三點共線．因為O為△ABC的外心，即有|OA|=|OB【解答過程】因為AO=λ則AO?AC=λ(AB?AC)，所以CO因為O為△ABC的外心，即有|OA所以△ABC為直角三角形，因此AB⊥AC，O為斜邊BC的中點．因為cos∠AOC∈13如圖，過點A作AQ⊥BC，垂足為Q．因為BA在BC上的投影向量為BQ=μBC，所以所以OA在BC上的投影向量為OQ=又因為|OA|=1因為cos∠AOC∈13故μ的取值范圍為23故選：A．32．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=π3，I是∠BAC的平分線上一點，且AI=3，若△ABC內（不包含邊界）的一點D滿足ID=xABA．?16,524 B．?1【解題思路】將向量AB,AC歸一化可得AI=【解答過程】設i=ABAB=AB可得i?則AI=λi+即3=λ21+1+1則AI=因為ID=xAB+12所以AD=x因為x+16>0所以實數x的取值范圍是?1故選：B.33．（23-24高二上·上海黃浦·期中）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內的動點，且PC=2，若CP=λ①λ+μ的最小值為?45；

②PA?③λ+μ的最大值為34；

④PA其中，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】建立以C為原點，CA,CB所在的直線分別為x,y軸，平面直角坐標系，設P2cosθ,2sinθ【解答過程】如圖，以C為原點，CA,CB所在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標系，則C0,0,A3,0,B0,4則CP所以CP=λ則2cosθ=3λ所以λ+μ=23cos所以λ+μmin所以①③錯誤；∵PA=其中sinα=∵?10≤?10sin∴?6≤4?10sin∴?6≤PA所以②正確，④錯誤；故選：A.34．（24-25高一下·全國·課后作業）△ABC中，D為AB上一點且滿足AD=3DB．若P為線段CD上一點，且AP=λAB+μA．CD=14C．λμ的最大值為112 D．1【解題思路】根據平面向量基本定理，結合三點共線的向量性質、基本不等式逐一判斷即可.【解答過程】CD=由AD=3所以AP=4λ3∴4λ3+μ=1由λ,μ為正實數，4λ+3μ=3≥43λμ，得λμ≤3161λ+1故選：AD．

35．（23-24高一下·四川德陽·階段練習）邊長為4的正方形ABCD，點P在正方形內（含邊界），滿足AP=xAB+yAD，當點P在線段BD上時，則x2【解題思路】建立平面直角坐標系，求出BD線段方程，由P在線段BD上可得x+y=1，利用二次函數值域計算即可得出結果.【解答過程】建立平面直角坐標系如圖所示，根據題意可得：A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)，設P為(m,n)，則m，n∈[0，4]，因為AP=x所以(m，n)=x(4，0)+y(0，4)，所以m=4xn=4y易知BD線段方程為：x+y=4，x∈[0，4]，因為點P在BD上，所以m+n=4，m=4x∈[0，4]，所以m+n=4x+4y=4，x∈[0，1]，所以x+y=1，x∈[0，1]，y∈[0，1]，則x2當x=23時取得最小值為故答案為：23【類型8極化恒等式】36．（2025高三·全國·專題練習）如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊AC=2，M為線段AB上的動點（包含端點），D為AC的中點．將線段AC繞著點D旋轉得到線段EF，則ME?

A．?2 B．?C．?1 D．?【