專題6.6解三角形【十大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1余弦定理邊角互化的應用】 4【題型2余弦定理解三角形】 5【題型3正弦定理邊角互化的應用】 7【題型4正弦定理解三角形】 8【題型5正弦定理判定三角形解的個數】 10【題型6正、余弦定理判定三角形形狀】 12【題型7三角形面積公式的應用】 14【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應用】 16【題型9求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】 19【題型10距離、高度、角度測量問題】 24【知識點1余弦定理、正弦定理】1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式表述a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.推論(2)對余弦定理的理解①余弦定理對任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對應的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關系

由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；

③已知三邊，求三角形的三個角.(3)正弦定理在解三角形中的應用公式==反映了三角形的邊角關系.

由正弦定理的推導過程知，該公式實際表示為：=，=，=.上述的每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.4．對三角形解的個數的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個數為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個值，一個大于，一個小于，考慮到“大邊對大角”、“三角形內角和等于”等，此時需進行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：圖形關系式解的個數A為銳角①a=bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b兩解a<bsinA無解A為鈍角或直角a>b一解a≤b無解5．判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.6．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長.

②=，=，=.【題型1余弦定理邊角互化的應用】【例1】（23-24高一下·甘肅天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosB=c?2a，b=2a，則（

）A．2a=3c B．3a=2c C．b=2c D．2b=c【解題思路】根據余弦定理邊角互化即可求解.【解答過程】由2acosB=c?2a得由于b=2a，所以a2?4a故選：B.【變式1-1】（23-24高一下·貴州黔西·期中）在△ABC中，已知a+b+cb+c?a=3bc，則角A等于（A．150° B．120° C．60° D．30°【解題思路】根據題意結合余弦定理運算求解.【解答過程】因為a+b+cb+c?a=3bc，整理得由余弦定理可得cosA=且0°<A<180°，所以A=60°.故選：C.【變式1-2】（24-25高一下·全國·課后作業）在銳角三角形ABC中，a=1，b=2，則邊c的取值范圍是（

）A．1<c<3 B．C．3<c<5 【解題思路】由銳角三角形及余弦定理列不等式組，結合三角形三邊關系即可結果.【解答過程】由題意cosC=a2+b同理a2+c2>b2綜上，3<c<故選：C.【變式1-3】（24-25高一下·安徽滁州·階段練習）若鈍角△ABC的內角A，B，C滿足A+C=2B，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的取值范圍是（

）A．1,2 B．2,+∞ C．3,+∞ 【解題思路】先利用三角形內角和結合條件求得B=60°，然后利用余弦定理及鈍角三角形得ca【解答過程】設三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，因為A+C=2B，則A+B+C=3B=180°，故可得B=60°，根據余弦定理得：cosB=a2因為△ABC為鈍角三角形，故a2+b2?則m=ca>2故選：B.【題型2余弦定理解三角形】【例2】（23-24高一下·天津·期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=13，b=3，c=2，則角A=（A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】根據余弦定理即可求解.【解答過程】由余弦定理可得cosA=∵A∈0,π,∴A=故選：D.【變式2-1】（23-24高一下·河南洛陽·期中）△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosC2=55，BC=2，AC=5A．23 B．17 C．29 D．【解題思路】先利用二倍角余弦公式求解cosC【解答過程】因為cosC2=又BC=2，AC=5，所以AB所以AB=41故選：D.【變式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知△ABC的三條邊長分別為a，b，c，且a+b:b+c:A．π3 B．2π3 C．3【解題思路】根據題意由邊長比例關系可求得a=7k,b=5k,c=8k,再由余弦定理可得A=π【解答過程】根據題意不妨設a+b=12kb+c=13ka+c=15k，k>0所以可得此三角形的最大角與最小角分別為∠C和∠B；由余弦定理可得cosA=b2可得A=π所以C+B=π故選：B.【變式2-3】（23-24高一下·山西長治·期末）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，a=2c=2，tanA+B2+tanCA．2 B．3 C．2 D．5【解題思路】先根據tanA+B2+tanC【解答過程】由tanA+B2+∴tan∴1∴sin又a=2c=2,所以a=2所以C∈0,∴C=π∴cosC=3故選：B.【題型3正弦定理邊角互化的應用】【例3】（23-24高一下·青海海東·期中）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，若B=2A，ab=22，則A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】根據題意利用正弦定理可得cosA=【解答過程】因為asinA=可得cosA=22，且A∈故選：B.【變式3-1】（23-24高一下·北京通州·期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“A>B”是“asinA>bsinA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據正弦定理分別判斷充分性和必要性即可.【解答過程】若A>B，則a>b>0，由正弦定理可知asin則sinA>則asinA>bsinB，則可得“再由asinA>bsinB，由正弦定理得a2則“asinA>bsin所以“A>B”是“asin故選：C.【變式3-2】（23-24高一下·吉林長春·期末）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A:B:C=1:1:4，則a:b:c等于（

）A．1:1:3 B．2:2:3 C．1:1:2 【解題思路】根據正弦定理求解即可.【解答過程】因為A:B:C=1:1:4，故A=B=π1+1+4=由正弦定理，a:b:c=sin故選：A.【變式3-3】（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）在△ABC中，若A=30°,a=1,則b+2csinB+2sinA．2 B．12 C．32 【解題思路】由同角的三角函數關系求出sinA【解答過程】根據正弦定理邊角互化可知asin所以b+2csin故選：A.【題型4正弦定理解三角形】【例4】（23-24高一下·江蘇常州·期末）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=π3，tanB=32，a=A．2 B．5 C．3 D．7【解題思路】利用同角的三角函數的基本關系可求得sinB【解答過程】由tanB=32，可得sin所以(32cos又因為tanB=32>0，0<B<π由正弦定理可得asinA=bsin故選：A.【變式4-1】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知acosC=3ccosA，且tanC=A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】由正弦定理可得sinAcosC=3sinCcosA，從而得sin【解答過程】解：因為acosC=3ccos所以sinA從而得sinC即tanC=又tanC=所以tanA=1又因為A∈(0,π所以A=π故選：B.【變式4-2】（23-24高一下·山東聊城·期中）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA=45，cosC=1213，A．3326 B．6365 C．2113 D．【解題思路】由題意求出cosA=±35【解答過程】由題意知：在△ABC中，sinA=45所以sinC=1?12132=5當A∈0,π2于是sinB=又由asinA=可得b=a當A∈π2,π于是sinB=又由asinA=可得b=a故選：D.【變式4-3】（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c=3，b=6，C=60°，則A=（

A．45° B．75° C．105° D．135°【解題思路】利用正弦定理求出B，即可求出A．【解答過程】由正弦定理得csinC=因為c>b，所以C>B，所以B=45則A=180°?60°?45°=75°，故選：B．【題型5正弦定理判定三角形解的個數】【例5】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列條件解△ABC，其中有兩解的是（

）A．b=20,A=45°,C=C．a=11,b=6,A=45° 【解題思路】根據三角形內角和為180°【解答過程】對于A，由b=20,A=45°,C=80°由a=bsinAsinB和c=bsin對于B，因為a=30,c=28,B=60°，由余弦定理b2所以三角形的三個邊唯一確定，即△ABC只有唯一解，因此B不正確；對于C，因為a=11,b=6,A=45°，由正弦定理得即sinB=bsinAa所以角B只有唯一解，即△ABC只有唯一解，因此C不正確；對于D，因為a=9,c=10,A=30°，由正弦定理得所以sinC=csinAa=109×故選：D.【變式5-1】（23-24高一下·江蘇揚州·期中）在△ABC中，若a=1，cosA=154，b=2A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定【解題思路】先求出sinA=14【解答過程】由題a<b，所以A<B,A∈0,又cosA=154所以0<A<π6且由正弦定理所以由B∈0,π得B=π故選：C.【變式5-2】（23-24高一下·河北張家口·期末）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinB=33,c=3，若△ABC有兩解，則A．3,3 B．3,3 C．【解題思路】根據題意得到三角形有兩解的條件，進而得解.【解答過程】三角形中，sinB=當△ABC有兩解時，csin即3×33<b<3故選：A.【變式5-3】（23-24高一下·湖北·期中）根據下列條件，判斷三角形解的情況，其中有兩解的是（

）A．b=1,A=45°,C=C．a=3,b=1,B=120° 【解題思路】根據已知結合正弦定理判斷各個選項即可.【解答過程】A項是角角邊類型的三角形，有唯一解；B項解兩邊夾一角類型的三角形，是唯一解；C項是兩邊一對角類型的三角形，角B為鈍角，也是三角形的最大角，對應三角形最大邊，但是b<a，故該三角形無解；D項是兩邊一對角類型的三角形，asinA=故選：D.【題型6正、余弦定理判定三角形形狀】【例6】（23-24高一下·福建龍巖·期中）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，cosB=?12，aA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】根據特殊角的三角函數值可得B=2π【解答過程】由cosB=?12，B∈由asinB=bsin由于sinB≠0，則sin∵A，C均為三角形的內角，∴A=C，即a=c，故該三角形的形狀是等腰三角形．故選：B．【變式6-1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若bcosA+acosB=csinA．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】由正弦定理和正弦和角公式化簡得到sinC=1，求出C=【解答過程】由正弦定理得sinB其中sinA所以sinC=因為C∈0,π，所以故sinC=1因為C∈0,π，所以故△ABC為直角三角形.故選：C.【變式6-2】（23-24高一下·天津·階段練習）在△ABC中，已知asinAa2+A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【解題思路】利用余弦定理邊化角化簡等式，再利用二倍角的正弦及正弦函數性質推理判斷即可.【解答過程】在△ABC中，由asinAa整理得sinAcosA=而0<2A<2π,0<2B<2π,0<2A+2B<2π所以A=B或A+B=π2，即故選：C.【變式6-3】（23-24高一下·江蘇鎮江·期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a?ccosB=b?ccosA，則A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角【解題思路】利用余弦定理將等式整理得到a2+b2?【解答過程】由a?ccos由余弦定理得a?c×a化簡得a2當a2+b2?當a2+b2?綜上：△ABC為等腰或直角三角形，故D正確．故選：D．【題型7三角形面積公式的應用】【例7】（23-24高一下·內蒙古赤峰·階段練習）已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若b=2,c=23，且2sinB+CcosC=1?2A．23 B．32 C．34或32 【解題思路】由sinB+C=sinπ?A=sin【解答過程】因為sinB+C所以由2sinB+Ccos所以sinB=12，因為b<c，又B∈0,π所以b2=a化簡為a2?6a+8=0?a=4或所以S△ABC=1故選：D.【變式7-1】（23-24高一下·山西呂梁·期末）在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a+b?ca+b+c=3ab,a=4,b=2，則△ABC的面積是（A．2 B．4 C．23 【解題思路】由余弦定理求出C，再由面積公式求解即可.【解答過程】若a+b?ca+b+c=3ab，則由余弦定理得cosC=因為0<C<π，所以C=則△ABC的面積是12故選：C.【變式7-2】（23-24高一下·山東聊城·期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c=2，a2+b2=A．32 B．1 C．3 D．【解題思路】根據題意利用余弦定理可得C=π3，進而可得【解答過程】因為c=2，且a2+b整理可得a2由余弦定理可得2abcosC=2且C∈0,π，可知C=π又因為a2+b則ab+4≥2ab，即ab≤4，所以△ABC面積的最大值為12故選：C.【變式7-3】（23-24高一下·海南?？凇て谀鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2B+sin2C?sin2A=sinBsinA．3 B．23 C．3 【解題思路】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出A，再用向量的方法表示中線，再由余弦定理可得bc的值，進而求出該三角形的面積．【解答過程】因為sin2B+sin由余弦定理可得b2+c而A∈(0,π)，可得由余弦定理可得a2即16=b因為BC邊上的中線為6，設中線為AD，則2AD兩邊平方可得4AD即4×6=b②?①可得2bc=8，即bc=4，所以S△ABC故選：A．【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應用】【例8】（23-24高一下·北京·期中）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=26(1)求cos∠ABD(2)求BC的長．【解題思路】（1）計算出sinA、sin∠ADB，利用兩角和的余弦公式可求得（2）在△ABD中，利用正弦定理可求出BD的長，然后在△BCD中利用余弦定理可求得BC的長.【解答過程】（1）在△ABD中，cosA=63，cos∠ADB=1則sinA=1?coscos∠ABD=cos（2）在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=由AB//CD，得∠BDC=∠ABD，在△BCD中，由余弦定理得：BC所以BC=11【變式8-1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）在四邊形ABCD中，AB//CD，記∠ACD=α，AD?sinD=3AC?cosα，∠BAC的角平分線與BC相交于點(1)求cosα(2)求BC的值.【解題思路】（1）由正弦定理化簡得到ADsinD=ACsinα，再由（2）根據題意，利用S△BAE+S【解答過程】（1）在△ACD中，由正弦定理得ADsinα=因為AD?sinD=3AC?cos又因為0<α<π，可得α=π3（2）因為AB//CD，所以∠BAC=α=π又因為AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠CAE=π因為S△BAE+S△CAE=所以12即12×3在△ABC中，由余弦定理得B=322【變式8-2】（23-24高一下·內蒙古·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC=2,∠BCD=π6,△BCD

(1)求BD；(2)若AD=22,∠ABD=π【解題思路】（1）由三角形面積公式求出CD的長，再由余弦定理可求出BD.（2）根據已知條件可由正弦定理優先求出sin∠BAD=24，進而可由內角和為π【解答過程】（1）因為S△BCD=1所以CD=3+1．在BD所以BD=2（2）在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD=解得sin∠BAD=24，又∠BAD∈所以sin∠ADB==sin=22×【變式8-3】（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，D為△ABC所在平面內一點且點B，D位于直線AC的兩側，在△ADC中，2AD?DC=A

(1)求∠ADC的大??；(2)若∠BAD=π3，∠ABC=5π6，AB=1【解題思路】（1）由已知條件得|AD|2+|DC|2（2）設∠CAD=α，AC=x，在△ACD和△ABC中都由正弦定理得x=3sinα，x=【解答過程】（1）因為在△ADC中，2|AD|?|DC|=|AC所以|AD|在△ADC中，由余弦定理得|AD|所以cos∠ADC=因為在△ADC中，∠ADC∈(0,π)，所以（2）在△ACD中，設∠CAD=α，AC=x，則由正弦定理得|AC|sin∠ADC=又在△ABC中，∠CAB=π3?α則由正弦定理得|AC|sin∠ABC=則由①②兩式得，3sinα=展開并整理得2sinα=3cosα因為在△ACD中，sinα>0，所以sin把sinα=217【題型9\o"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】【例9】（23-24高一下·湖北武漢·期中）在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，a=4，且2S=a2?b?c2A．8,45+4 B．12,25+2 C．【解題思路】利用面積公式和余弦定理可得tanA2=12【解答過程】∵2S=a∴S=bc?bccos∴1?cosA=12sin∴tanA2=由正弦定理可得asin所以b+c=5=5sinB+35sinB+因為△ABC為銳角三角形，所以π2?A<B<π即：π2所以cosA2<∴8<45sinB+φ故△ABC的周長的取值范圍是12,45故選：D.【變式9-1】（23-24高一下·寧夏石嘴山·期末）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若b2+c2?a2A．3，2 B．3,2 C．3【解題思路】先根據已知式子化簡得出角，再由余弦定理結合基本不等式求邊長和范圍即可.【解答過程】由余弦定理得b2所以cosAsinC所以cosA所以2sin所以2sin可得2由余弦定理可得3=b又因為基本不等式b+c≥2bc,所以所以3=b+c當且僅當b=c=1時，b+c取最大值2，因為a=3,所以b+c>所以3<b+c≤2故選：B.【變式9-2】（23-24高一下·湖北武漢·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，433S=b2(1)求角A；(2)若a=3，求△ABC【解題思路】（1）利用三角形面積公式與余弦定理代入已知條件，整理得tanA=（2）利用基本不等式與兩邊之和大于第三邊求得3<b+c≤2【解答過程】（1）因為433S=b2所以433×12又0<A<π，所以A=（2）△ABC的周長為l=a+b+c=3因為a2=b因為b+c≥2bc，所以bc≤所以(b+c)2≤3+3(b+c)24又b+c>a=3，所以23<所以△ABC的周長的取值范圍為23【變式9-3】（23-24高一下·重慶·期末）在銳角△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，已知2a?c=2bcos(1)求B的大?。?2)求a+bc【解題思路】（1）利用余弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）利用正弦定理化邊為角，再根據三角恒等變換化簡，結合三角函數的性質即可得解.【解答過程】（1）因為2a?c=2bcos由余弦定理得2a?c=2b?a整理得a2所以cosB=又B∈0,π，所以（2）由正弦定理得a+b=32因為0<C<π20<A=所以π12<C而tanπ所以2?3<tan所以a+bc【知識點2測量問題】1．測量問題(1)測量距離問題的基本類型和解決方案

當AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：類型簡圖計算方法A,B間不可達也不可視測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點A可視但不可達測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D與點A,B均可視不可達測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.(2)測量高度問題的基本類型和解決方案

當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：類型簡圖計算方法底部

可達測得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達點B與C,D共線測得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數.

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點B與C,D不共線測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數.

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.(3)測量角度問題測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【題型10距離、高度、角度測量問題】【例10】（24-25高一下·全國·隨堂練習）如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，可以計算出A，B兩點的距離為（

）A．502m B．503m C．【解題思路】求出∠ABC，再利用正弦定理求解即可.【解答過程】因為∠ACB=45°，∠CAB=105°,所以∠ABC=180°?45°?105°=30°，在△ABC中，由正弦定理得A