第三章數列1、設數列{an}的前n項和為Sn,已知，且(n∈N*)，則過點P(n,)和Q(n+2,)(n∈N*)的直線的一個方向向量的坐標可以是（）A．（2，） B．(-1,-1) C．(,-1) D．（）1、D【思路分析】由條件知=2∴{}是等差數列，∴=5+(n–1)×2=2n+3∴Sn=2n2+3n，當n≥2時，an=Sn=Sn–1=4n+1(a1也適合)∴kPQ==4，設直線PQ的方向向量為=(a,b)，則有=4，只有D符合.【命題分析】考查等差數列的通項與前n項和，遞推數列，直線的方程以及方向向量等基礎知識.2（文）已知數列{an}中a1=1滿足an+1=an+2n，nN*，則an=（）A．n2+n+1B．n2-n+1C．n2-2n+2D．2n2-2n+12．解答：由開口向上得：a＞0，由頂點在第二象限得：b＞0選C評析：本題考察考生對導數及一次、二次函數圖象的應用。（文）解答：用特值法，取n=1，2即可。a2=3選B評析：本題考察考生對特值法的應用。3、已知函數且，則()A.100B.-100 C. D.3、A為奇數時為偶數，，為偶數時，為奇數，∴，，，，，，……，∴，，，……，∴….4、已知等差數列{an}的前n項和為，若,則等于 （）A．72 B．54 C．36 D．18A【思路分析】：由得，【命題分析】：考察等差數列的通項公式、求和公式及性質5、數列滿足（且），，是的前次和，則為（）A、B、C、6D、105、（分析：顯然是一個等和數列，即形如：，1，，1,……∴選A項）6．在正項等比數列{an}中，a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根，則a8a10A．32 B．64 C．±64 D．2566．B[思路分析]：由等比數列的性質知：∴a10=4則a8a10[命題分析]：考查等比數列的性質7．設數列的前n項和為，令，稱為數列，，……，的“理想數”，已知數列，，……，的“理想數”為2008，那么數列2，，，……，的“理想數”為A．2002B．2004C．2006D．20087．C【思路分析】：【命題分析】：考查理解能力8．一個正整數數表如下(表中下一行中的數的個數是上一行中數的個數的2倍)：1234567……………則第8行中的第5個數是A、68B、132C、133D、26089．（理）設數列的前項和為，關于數列有下列三個命題：①若數列既是等差數列又是等比數列，則；②若，則數列是等差數列；③若，則數列是等比數列.這些命題中，真命題的個數是 .A．0 B．1 C．2 D．39．理D【思路分析】：①不妨設數列的前三項為，則其又成等比數列，故，∴，即；②由的公式，可求出，故是等差數列；③由可求由，故數列是等比數列.故選.【命題分析】：考查等差、等比數列的概念，與的關系，思維的靈活性.10、（文）等差數列的公差且，則數列的前項和取得最大值時的項數是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或710、文C【思路分析】：由，知. ∴，故選C.【命題分析】：考查等差數列的性質，求和公式.要求學生能夠運用性質簡化計算.11、（理）設=，數列滿足，則數列的通項公式是 .11、理 【思路分析】:令則,則，兩式相減得：時，，且，∴.【命題分析】：考查運用所學知識解決實際問題的能力，數列函數的思想，通項的求法，組合數的公式等知識.12．(14分)已知函數f(x)＝－x3＋ax在(0，1)上是增函數．(1)求實數a的取值集合A；(2)當a取A中最小值時，定義數列{an}滿足：2an＋1＝f(an)，且a1＝b∈(0，1)(b為常數)，試比較an＋1與an的大小；(3)在(2)的條件下，問是否存在正實數c．使0<eq\f(an＋c,an－c)＜2對一切n∈N＊恒成立？12．(1)f'(x)＝3x2＋a＞0，對x∈(0，1)恒成立，求出a≥3．………………4分(2)當a＝3時，由題意：an＋1＝－eq\f(1,2)aeq\s(3,n)＋eq\f(3,2)an，且a1＝b∈(0，1)以下用數學歸納法證明：an∈(0，1)，對n∈N＊恒成立．①當n＝1時，a1＝b∈(0，1)成立；………………6分②假設n＝k時，ak∈(0，1)成立，那么當n＝k＋1時，ak＋1＝eq\f(1,2)ak3＋eq\f(3,2)ak，由①知g(x)＝eq\f(1,2)(－x3＋3x)在(0，1)上單調遞增，∴g(0)＜g(ak)＜g(1)即0＜ak＋1＜1，由①②知對一切n∈N＊都有an∈(0，1)而an＋1－an＝－eq\f(1,2)an3＋eq\f(3,2)an－an＝eq\f(1,2)an(1－an2)＞0∴an＋1＞an…………10分(3)存在正實數c，使0＜eq\f(an＋c,an－c)＜2恒成立,令y＝eq\f(x＋c,x－c)＝1＋eq\f(2c,x－c)，在(c，＋∞)上是減數，∴eq\f(an＋c,an－c)隨著an增大，而小，又{an}為遞增數列，所以要使0＜eq\f(an＋c,an－c)＜2恒成立，只須eq\b\lc\{(\a\al(a1－c＞0,eq\f(a1＋c,a1－c)＜2))∴0＜c＜eq\f(a1,3)，即0＜c＜eq\f(b,3)………13、(本題滿分14分)已知數列{an}中，a1>0,且an+1=，(Ⅰ)試求a1的值，使得數列{an}是一個常數數列；(Ⅱ)試求a1的取值范圍,使得an+1>an對任何自然數n都成立；(Ⅲ)若a1=2，設bn=|an+1－an|(n=1，2，3，…)，并以Sn表示數列{bn}的前n項的和，求證：Sn<．13、【思路分析】：解：(Ⅰ)欲使數列{an}是一個常數數列，則an+1==an……2’又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1=an=……4’(Ⅱ)研究an+1－an=－=(n≥2)注意到>0因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符號7要使an+1>an對任意自然數都成立,只須a2－a1>0即可.由>0，解得：0<a1<……………9’(Ⅲ)用與(Ⅱ)中相同的方法，可得當a1>時，an+1<an對任何自然數n都成立.因此當a1=2時，an+1－an<0……………10’∴Sn=b1+b2+…bn=|a2－a1|+|a3－a2|+…+|an+1－an|=a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an+1=a1－an+1=2－an+1………13’又：an+2=<an+1，可解得an+1>,故Sn<2－=………………14’14、（本題滿分12分）已知數列的前項和，且，。（1）求數列的通項次式；（2）已知定理：若函數在區內D上是凹函數，且存在，則當時，總有且函數在上是凹函數，試判斷與的大小。（3）求證：14、解：（1）時，，又，∴從而當時也滿足∴（2），對于凹函數，，有令得即（3）∵∴又由（2）∴

（點評：本題考查了數列的知識，解起來比較繁瑣，一定要仔細，會常常用到二次項式定理和其它一些知識）15、已知函數（nN+）且y=f(x)的圖象經過(1,n2)，數列{an}為等差數列。（14′）①求數列{an}的通項公式；②當n為奇數時，設g(x)=，問是否存在自然數m和M使得不等式恒成立？若存在，求出m與M，若不存在說明理由。15、[思路分析]：（I）由題意得f(1)=n2，即a0+a1+a2+…+an=n2。令n=1，則a0+a1=1.令n=2，則a0+a1+a2=22.a2=4-(a0+a1)=3.令n=3，則a0+a1+a2+a3=32,a3=9-(a0+a1+a2)=5.設等差數列{an}的公差為d，則d=a3-a2，a1=a2-d=1，a0=0.∴an=1+(n-1)×2=2n-1.…………6′（II）由（I）知：f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.n為奇數時，f(-x)=-a1x+a2x2-a3x3+…+an-1xn-1-anxn.∴=a1x+a3x3+a5x5+…+an-2xn-2+anxn.①②由①-②得∴…………10′設，∴,(nN+)，∴cn隨n的增加而減小.又隨n的增大而減小，∴為n的增函數.當n=1時，=,而=-，∴≤<.由此易知：使恒成立的m的最大值為0，M的最小值為2。[命題分析]：本題是函數、數列與不等式的綜合大題，主要考查了奇函數的概念、數列的單調性及數列求和的方法。16、已知函數，數列{}是公差為d的等差數列，數列{}是公比為q的等比數列（q≠1，），若,，，．求數列{}和{}的通項公式；設數列{}的前n項和為，對都有…求．若數列滿足，，試判斷中的最大項為第幾項，并說明理由。16、解：（1）數列{}為等比數列，∴．為等比數列，又∵，∴，解得d＝2，．∴．又∵為等比數列，∴．而，∴∵，，∴，．∴．4分（2）由…①…②①-②得．∴．對于，，，知其為等比數列．∴，，．∴．8分（3）∴∴∴當時，當時， ，，而故中的最大項為第8項。17、（14分）點,點A1(x1,0),A2(x,0),…，An(xn,0),…順次為x軸上的點,其中x1=a（0＜a≤1).對于任意n∈N*，點An、Bn、An+1構成以Bn為頂點的等腰三角形.(1)求數列{yn}的通項公式，并證明它為等差數列；(2)求證：x-x是常數，并求數列{x}的通項公式；(3)上述等腰ΔAnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此時a的值；若不可能，請說明理由．17、…………2分相減，得x-x=2∴x，x，x，…，x，…成等差數列；x，x，x，…，x，…成等差數列，4分∴x=x+（n-1）·2=2n+a-2，x=x+（n-1）·2=（2-a）+（n-1）·2=2n-a…………7分(3)當n奇數時，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），所以|AnAn+1|=2（1-a）；當n是偶數時，An（n-a，0），An+1（n+a，0），所以|AnAn-1|=2a…………9分要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形，必需且只需|AnAn-1|=2|BnCn|.…………11分…………13分…………14分18、[文]已知{}是公比為q的等比數列，且成等差數列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）設數列的前項和為，試判斷是否成等差數列？說明理由.18[文]、【思路分析】（Ⅰ）依題意，得2am+2=am+1+am∴2a1qm+1=a1qm+a1qm–1在等比數列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2=q+1，解得q=1或.……………4分（Ⅱ）若q=1，Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1，Sm+2=(m+2)a1∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm+Sm+1………………6分若q=，Sm+1=Sm+Sm+1==∴2Sm+2=Sm+Sm+1…………………11分故當q=1時，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差數列；當q=時，Sm,Sm+2,Sm+1成等差數列.……………12分19、（12分）已知數列｛an｝的首項（a是常數），（）．（Ⅰ）是否可能是等差數列.若可能，求出的通項公式；若不可能，說明理由；（Ⅱ）設，（），為數列的前n項和，且是等比數列，求實數a、b滿足的條件．19.解：（Ⅰ）∵∴若是等差數列，則但由，得a=0,矛盾.∴不可能是等差數列(Ⅱ)∵∴(n≥2)∴當a≠－