2024-2025學年高二數學上學期期末模擬卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+第二冊（空間向量與立體幾何、直線和圓的方程、

圓錐曲線的方程、數列、導數）。

4.難度系數：0.65?

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設直線，：無一2y+2=0的傾斜角為a,則cosa的值為（）

V5R逐275n26

AA.D,------Lr.kJ.-----

5555

【答案】C

【解析】由題意可知：直線/的斜率A=L則tana=22q=L>0,可得sine='cosc,旦ae,

2cos?22I2j

又因為sin'a+cos2c=°cos2a=1,可得costz=±36,由e可知cosa>0,所以cosa=2^.

45I5

2.若”，/為三條不同的直線，口,6為兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（）

A.如果mua,I//m,貝i]/〃aB.如果根ua,”ua,m^/3,na/3,則C〃￡

C.如果a〃尸，/u￡,貝l"〃aD.如果e〃刀，“zutz,nu/3,則相〃〃

【答案】C

【解析】A：當/aa時，才能由%ua,/〃加，得到/〃a,所以本選項命題是假命題；

B：只有當"2n=O,mlIf3,nlIP,時才能由根ua,wua,得到a〃4，所以本選項命題是假命題；

C：根據面面平行的性質可知本選項命題是真命題；

D：因為a〃尸，mua,nu/3,所以直線m,n沒有交點，因此m,n可以平行也可以異面，所以本選項

命題是假命題，故選：C

3.若兩個非零向量a,6的夾角為夕，且滿足|a|=2|b|,(a+36)，a,則cosO=()

A-T1

B.cD

3-I-1

【答案】A

所以藍+302=0,所以a.b=_t￡，

【解析】因為(a+36)，a,所以(a+3Z?)-a=0,

3

|2

a\

a-b2

所以cos。=3-女.故選:A.

剛，山a\3

2

22

4.已知橢圓E:1y+券=l(a＞人＞0)的中心是坐標原點。，F是橢圓E的焦點.若橢圓E上存在點尸，使

△OEP是等邊三角形，則橢圓E的離心率為()

A.73-1B.4-273

2

【答案】A

【解析】設點尸為橢圓E上位于第一象限內的點，設轉為橢圓E的左焦點,

因為是等邊三角形,則|「產|=|O同=|0P|=c,"OF=60,

■\OP\^\OF^c,所以，ZOPFt=AOFlP=3Q,ZFPFt=ZOPF+AOPFX=90,

所以，附|=J|尸胤2Tp殲=&,由橢圓的定義可得2a=|尸耳+歸百1=(百+l)j

2

因此，橢圓E的離心率為e=：百-1.

6+1

5.已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為R拋物線上一點尸(U)滿足|尸尸|=2,則拋物線方程為()

A.y2=—xB.y2=—xC.y1=2xD.y2=4x

42

【答案】D

【解析】由題意，得1+5=2,即。=2,所以拋物線方程為丁=以.故選：D.

6.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健

步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”則該人第一天走的路程

為（）

A.228里B.192里C.126里D.63里

【答案】B

【解析】由題意得，該人所走路程構成以g為公比的等比數列，令該數列為{%},其前〃項和為S“，則有

叫（1-

s6=——4=378,解得q=192,

1--

2

故選:B.

7.阿波羅尼斯（約公元前262年?約公元前190年），古希臘著名數學家，主要著作有《圓錐曲線論》、

《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，

進一步提出了許多新的性質.其中也包括圓錐曲線的光學性質，光線從雙曲線的一個焦點發出，通過雙曲

線的反射，反射光線的反向延長線經過其另一個焦點.已知雙曲線C，=1(。>0,Z?>0)的左、

ab2

右焦點分別為片，F2,其離心率6=百，從歹2發出的光線經過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光

線為EP,若反射光線與入射光線垂直，則sinN瑪4E=

k5君c42^/5

6555

【答案】B

FE±EP,￡=所以

【解析】設|環|=機，|E用=寓閶=2。，由題意知加一〃=2a2

a

療+川一2mm，-4a2c=y/5a加2+a2=4,2,所以w=2(?-2/=8/,又m—n=2a,所以

所以sinAFFE=-77=2；=?故選B.

n2+2an-Sa2-0，解得n=2a,2X

-閨閭2石〃5

8.已知VABC是面積為名后的等邊三角形，其頂點均在球。的表面上，當點尸在球。的表面上運動時，三

4

棱錐P-ABC的體積的最大值為%8,則球。的表面積為（）

D.4〃

【答案】A

【解析】如圖所示,

設點M為VABC外接圓的圓心，當點尸、O、M三點共線時，且尸、/分別位于點。的異側時，三棱錐

P-ABC的體積取得最大值.

因為VABC的面積為%8,所以邊長為3,

4

由于三棱錐產一ABC的體積的最大值為工xx=2叵，得PM=3,

344

易知SM_L平面ABC,則三棱錐尸-ABC為正三棱錐，

VABC的外接圓直徑為2AM=。=2有，所以人加二石

sm——

3

設球O的半徑為R,貝！|R。=OA2=AM2+{PM-PO)2=3+(3-7?)2,

解得H=2,

所以球的表面積為5=4萬/?2=16為

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知函數〃x）=x3+g尤2-4無，則（）

A.x=l是〃尤）的極小值點B.有兩個極值點

C./（x）的極小值為1D.在［0,2］上的最大值為2

【答案】ABD

【解析】因為/(同=/+^尤2一?，所以r(x)=3/+x-4=(x-l)(3x+4),

當xe］_oo,_g］(1,+co)時，r(x)>0；當xe(一［,lj時，/(x)<0,

故〃x)的單調遞增區間為1-8，-￡|和(1,+8)，單調遞減區間為

則/(x)有兩個極值點，B正確；

且當x=l時，〃x)取得極小值，A正確；

且極小值為了⑴=-1,C錯誤；

又〃0)=0，〃2)=2,所以“X)在［0,2］上的最大值為2,D正確.

故選：ABD.

10.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上

層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，L.設第〃層有％個球，從上往下〃層球的總數為S,,則

()

A.al:+l-an=n+lB.§6=35

11114044

D.—1----+H------------=------------

。20222023

【答案】AD

【解析】因為%=1,%一%=2,%-%=3,…，an-an_x=n,

以上幾個式子累力口可得%=1+2+3+…+〃="71),n>2,

%=1時也滿足上式，故為=當辿，

對選項A：an+1-an=----3-----——建一-=n+l,正確；

對選項B：56=1+3+6+10+15+21=56,錯誤;

對選項C：Sn+l-Sn=an+1,n>2,錯誤;

對選項D：

nn+1

4044一匕

一十一+一+2023'正確:

故選：AD.

11.已知空間中三點A(。,1/)，8(2,2,1),C(2,l,0),則(

|BC|=2BC方向上的單位向量坐標是。,--

C.〃=(1,-2,2)是平面ABC的一個法向量D.在BC上的投影向量的模為四

【答案】BC

【解析】對于A：BC=(O,-l,-l),則舊C卜而1=后，A錯誤；

一BC(0,-1,-1)(V2忘'

對于B：8C方向上的單位向量坐標是彳J=-----有一=°，--7，--7,B正確；

\BC\”<22.)

對于C：BC=0,-l,-l),AC=2,0,-1),「、，

77AC-n=(2,0,-1).(1,-2,2)=0

又AC與BC不平行，故"=(1,-2,2)是平面ABC的一個法向量，C正確；

對于D：AC在8C上的投影向量的模為半半=±=*，D錯誤.

BCV22

故選：BC.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若圓M：。-3)2+(了+1)2=4與圓/+(〉-機)2=25內切，則機=

【答案】-1

【解析】因為兩圓內切，所以圓心距等于半徑之差的絕對值，所以,32+(僧+1『=5-2,

解得〃=z-1.故答案為：-1.

13.已知點。是坐標原點，點。是圓(x-3)2+(y+4)2=l上的動點，點P(/,V-4),則當實數f變化時,

I尸0+|尸。|的最小值為

【答案】6

【解析】點尸億T-4)在直線/：x+y+4=0上，圓心人(3,4)關于直線方+、+4=。對稱點3(0,—7),

圓A：(x-3)2+(,+4)2=1關于直線/對稱圓B：X2+(J+7)2=1

如圖：

連接02與圓B交直線/于點尸，連接B1交圓A于。，

此時|尸0+「。|最小，(|PQ|+|PO|)mjn=7-l=6,故|PQ|+|PO|的最小值為6.

14.費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內角均小于120時，費馬點與

三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120，根據以上性質，

已知4(-2,0),3(2,0),C(0,4),p為YABC內一點，記f(P)=|R4|+|P8|+|PC|,則知尸)的最小值為_____.

【答案】4+2若

【解析】設。(。，0)為坐標原點,由A(-2,0),8(2,0),C(0,4),

可得|AC|=忸。=2正,3C=4,且VABC為銳角三角形，

所以費馬點M在線段OC上，如圖所示，設”(0,3,

則△AMB為頂角是120的等腰三角形，可得〃=|0同sin30=竽，

又由/(尸)=|尸4|+|尸8|+|尸(7],

貝(J/(尸)+|MC|=-4/z+4-/z=4+26，

所以/(尸)的最小值為4+26.

故答案為：4+20.

yt

AO\

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）若圓C經過點A（-U）和3（1,3）,且圓心在無軸上，貝I：

⑴求圓C的方程.

（2）直線y=x與圓c交于E、尸兩點，求線段斯的長度.

【解析】（1）因為4（一1,1）和8（1,3）,線段48的中點為（0,2）,且磯=士3=1,

1一（一1）

則A3的垂直平分線為x+y-2=0,....................................（3分）

由圓的性質可知，圓心在該直線上，

又已知圓心在x軸上，令y=o,得尤=2,

故圓心為C（2,0）,半徑r=|C8|="2-以+（0-3）2=質,...................（5分）

則圓C的方程為（x-2）2+y2=io.....................................（6分）

\EF\=2^r--d-=2-V10-2=472.....................................（13分）

16.（15分）已知正項數列也｝滿足45.+2a^+1a?=a；-2an+la；,.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

⑵設（）求數列也｝的前九項和T

bn=-1"+2],22II.

【解析】（1）由。；+1+24+。=4一20,+'，

得-d+2a；+。+2a“+4=（4用+）（??+1-an+2an+lan）=0.

an>0,所以。“+1+%>0，故a用一。“+24用。“=0得^———=2,（3分）

是公差為2的等差數列，首項為一,（3分）

11c/1、11

貝I」-=—+2(n-l),由〃=,得％=..................(3分)

%2013

故《=2”+1,于是4=￡................................................。分)

an2n+l

(2)依題意，2=(一1)"(2"+1+2")=(-1)"(2"+1)+(-2)",

故或=乙+a++處=[-3+(-2)]+[5+(-2月++[4〃+1+(-2產],......................................(10分)

；.&=[-3+5-7++(4〃+1)]+[(-2)+(-2)2+(-2)3++(-2)2"],

232

T2n={(-3+5)+(-7+9)++[-4n+1+(4〃+1)]}+[(-2(+(-2)+(-2)++(-2)"],（13分）

-2「1-(-2)刃222K+1

即工《=1n-\-------------------=2n-----1--------......................................(15分)

2"1-(-2)33

17.（15分）如圖，ABCD為圓柱的軸截面，是圓柱上異于AD,BC的母線.

（1）證明：平面￡>E尸;

（2）若AB=BC="，當三棱錐3-DEF的體積最大時，求二面角8-D尸-E的正弦值.

【解析】（1）證明：如圖，連接AE,由題意知48為。。的直徑，所以

因為AD,E尸是圓柱的母線，所以ADE尸且AD=EF,

所以四邊形AEFD是平行四邊形.....................（3分）

所以AE//O尸，所以BE，。產.因為族是圓柱的母線，

所以EF_L平面ME,....................................（5分）

又因為BEu平面ABE,所以EF_LBE.又因為。歹‘EF=F,

DF、EFu平面￡>EF,所以BE_L平面DEF...........................................（6分）

由（1）知BE是三棱錐3-DEF底面DEF上的高，

由（1）知EF，AE,AE〃。尸，所以EF,小，即底面三角形DEF是直角三角形.

^DF=AE=x,BE=y,則在RtABE中有：x2+y2=6,..................（8分）

所以%-=尤.布］.丁二萼孫三手?^^=手’..................（9分）

33<2）6622

當且僅當x=y=6時等號成立，即點E,F分別是A8，CD的中點時,

三棱錐5—DEF的體積最大，..................（10分）

解法二：等積轉化法：VB_DEF=VD_BEF=VD_BCF=VB_CDF=|SCDF-BC

易得當F與CO距離最遠時取到最大值，

此時E、F分別為AB、CQ中點）..................（10分）

下面求二面角3-D尸-E的正弦值：

法一：由（1）得BE工平面DEF,

因為Dbu平面DEF,所以BE，。尸.

又因為砂_LQF,￡FiBE=E,

所以DE1平面BEF.

因為BFu平面BEF,

所以5F_L￡>F,所以N班E是二面角3-。尸-石的平面角，

由（1）知△巫戶為直角三角形，則8尸="（g）2+（n）2=3....................（12分）

故sinZBFE=世^=,

BF3

所以二面角3—。小一片的正弦值為由....................（15分）

3

法二：由（1）知兩兩相互垂直，如圖，以點E為原點，￡4,￡B,EF所在直線

為x,y,z軸建立空間直角坐標系石-孫z,

則B(0,V3,0),D(y/3,0,A/6),￡(0,0,0),F(0,0,A/6)....................................（H分）

由（1）知BE_L平面DEV,故平面DEF的法向量可取為EB=（0,省,0）.

設平面的法向量為"=(x,y,z),

由。F=(一6,0,0),BP=(0,-G,述)，...................(12分)

尸=0[-氐=0fx=0

得“八，即廠L，即房，取Z=l,

[n-BF=0[-5/3^+v6z=0[y=j2z

得“=(0,3,1).....................(13分)

設二面角3—1里-石的平面角為e,

|cos91=|cos(?,EB)1=|W'￡B|=,..................(14分)

\/\n\-\EB\V3xV33

所以二面角3—。尸—E的正弦值為走..................(15分)

3

18.（17分）雙曲線C:\-\=l（a>0,b>0）的左頂點為A,焦距為4,過右焦點下作垂直于實軸的直線

交C于8、D兩點，且是直角三角形.

（1）求雙曲線C的方程;

（2）〃、N是C右支上的兩動點，設直線AM、AN的斜率分別為左、k2,若上的=-2,求點A到直線的

距離d的取值范圍.

【解析】（1）依題意，BAD=90,焦半徑c=2,（1分）

由AF=BR,得a+c=—，^a2+2a=22-a2,......................................（2分）

a

解得：a=l（其中a=—2v0舍去）,....................................（3分）

所以/=/-/=4-1=3,

故雙曲線C的方程為--片=1；....................................（5分）

3

顯然直線MN不可能與軸平行，

故可設直線MV的方程為彳=色+〃,......................................（6分）

x=my+n

聯立消去尤整理得（3/-1）；/+6mny+3^n2-1）=0,.................（8分）

3尤2-V=3

在條件[go"。下，設”（石,％）,NG，%）,

6mn

貝1%+%=一......................................（9分）

3m2—13m2-1

由％I%2=_2,得乂%+2（%+1）（%2+1）=。，......................................（10分）

BPyxy2+2（^+n+l）（my2+n+l）=0,....................................（11分）

整理得（2加之+1）%%+2機（〃+1）（必+V2）+2（〃+1『=0,....................................（12分）

代入韋達定理得，3（n2-l）（2m2+l）-12m2n（n+l）+2（H+l）2（3m2-l）=0,...............................（13分）

化簡可消去所有的含加的項，解得：〃=5或〃=-1（舍去），..................（14分）

則直線的方程為％-色一5=0,得d=7=|=,....................................（15分）

yjm+1

又都在雙曲線的右支上，故有3療_l<0,0<m2<1,

此時IV，療+1<二=,d=[6+石⑹,..................（16分）

v3y]m+1

所以