2025年中考數(shù)學一輪復習學案（全國版）

第二章方程與不等式

2.4一元一次不等式（組）

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1.不等式的性質(zhì)☆☆

數(shù)學中考中，有關一元一次不等式(組)的部分，食欲中

考點2.一元一次不等式考必考內(nèi)容。每年考查1道題,分值為3~6分，通常

☆☆☆

(組)的解法及解集表示以選擇題、填空題、解答題的形式考查。在解答綜

合題里，考查其他知識時還滲透不等式（組）知識點

考點3.一元一次不等式

☆☆☆的考查。是高中階段學習數(shù)學的重要基礎。所以學生

的應用

復習時，要系統(tǒng)熟練學習不等式（組）的解法和應用。

☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。

夯實基礎

考點1.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1：若a＞b，則a±c＞b±c。不等式兩邊加(或減)同一個____(或式子)，不等號的方向不變。

ab

性質(zhì)2：若a＞b，c＞0，則ac＞bc，＞。不等式兩邊乘(或除以)同一個____，不等號的方向不變。

cc

ab

性質(zhì)3：若a＞b，c＜0，則ac＜bc，＜。不等式兩邊乘(或除以)同一個____，不等號的方向改變。

cc

【易錯點提示】利用性質(zhì)3時，需要特別注意不等式的不等號方向的改變。不注意會導致解題錯誤。

考點2.一元一次不等式(組)的解法及解集表示

1.不等式的定義：一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能

使不等式成立的未知數(shù)的____，叫做不等式的解．

2.一元一次不等式的定義：含有_____個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是的不等式，叫做一元一次不等式．

【區(qū)別與聯(lián)系】一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也

有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．

另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩

者也有聯(lián)系，即一元一次不等式屬于不等式．

3.一元一次不等式解法

根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式。基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：

①去______；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．

以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變

不等號方向．

【注意】符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合

寫形式．

4.一元一次不等式組及解集：一般地，關于同一未知數(shù)的兩個一元一次不等式合在一起，組成一元一

次不等式組．兩個一元一次不等式的解集的_____部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集。

【注意】不等式組可能也有三個或者多個含同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的。初中階段只研究

含同一個未知數(shù)的兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組。

5.一元一次不等式組的解法

解一元一次不等式組時，一般先分別求出其中每一個不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利

用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．

【注意】求不等式組的解集的過程叫解不等式組．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間

找；大大小小找不到。

6.幾種常見的不等式組的解集

不等式組

（其中數(shù)軸表示解集口訣

ab）

xa

xb同大取大

xb

xa

xa同小取小

xb

xa大小、小大

axb

xb中間找

xa大大、小小

無解

xb取不了

考點3.一元一次不等式的應用

1.不等式(組)與實際問題解題抓住技巧

（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以得到實際

問題的答案．

（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不

等關系．因此，建立不等式要善于從“______”中挖掘其內(nèi)涵．

2.不等式(組)與實際問題

解有關不等式(組)實際問題的一般步驟：

第1步：______。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。

第2步：_______。根據(jù)題意及各個量的關系設未知數(shù)。

第3步：________。根據(jù)題中各個量的關系列不等式(組)。

第4步：_______，找出滿足題意的解(集)。

第5步：______。

【易錯點提示】

1.利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）：解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解

集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式

組的整數(shù)解．

2.已知解集（整數(shù)解）求字母的取值：一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不

等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結果的限制的條件得到有關字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即

可得到答案．

考點1.不等式的性質(zhì)

【例題1】（2024廣州）若ab，則（）

A.a3b3B.a2b2C.abD.2a2b

【對點變式練1】（2024廣東一模）根據(jù)不等式的性質(zhì)，下列變形正確的是()

A．由a>b得ac2>bc2

B．由ac2>bc2得a>b

1

C．由－a>2得a<2

2

D．由2x＋1＞x得x＜－1

【對點變式練2】（2024深圳一模）用“>”或“<”填空：

（1）已知a>b，則a+3b+3

（2）已知a<b，則a-5b-5

考點2.一元一次不等式(組)的解法及解集表示

2x2x3

【例題2】（2024甘肅威武）解不等式組：x1

2x

2

【對點變式練1】（2024沈陽一模）解不等式：4x-1<5x+15

【對點變式練2】（2024貴州黔東南一模）不等式組的解集是．

【對點變式練3】（2024福州一模）不等式2x﹣1≤3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A．B．

C．D．

【對點變式練4】（2024湖南懷化一模）不等式組的解集表示在數(shù)軸上正確的是（）

A．B．

C．D．

考點3.一元一次不等式的應用

【例題3】（2024吉林）某單位為響應政府號召，需要購買分類垃圾桶6個，市場上有A型和B型兩

種分類垃圾桶，A型分類垃圾桶500元/個，B型分類垃圾桶550元/個，總費用不超過3100元，則不

同的購買方式有（）

A．2種B．3種C．4種D．5種

【對點變式練1】（2024黑龍江黑河一模）如圖，“開心”農(nóng)場準備用50m的護欄圍成一塊靠墻的矩

形花園，設矩形花園的長為a（m），寬為b（m）．

（1）當a＝20時，求b的值；

（2）受場地條件的限制，a的取值范圍為18≤a≤26，求b的取值范圍．

考點1.不等式的性質(zhì)

1.（2024吉林長春）不等關系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學的身高，c表示

臺階的高度．圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學原理是（）

A.若ab，則acbcB.若ab，bc，則ac

ab

C.若ab，c0，則acbcD.若ab，c0，則

cc

2.（2024江蘇蘇州）若ab1，則下列結論一定正確的是（）

A.a1bB.a1bC.abD.a1b

3.（2024上海市）如果xy，那么下列正確的是（）

A.x5y5B.x5y5C.5x5yD.5x5y

4.（2024安徽省）已知實數(shù)a，b滿足ab10，0ab11，則下列判斷正確的是（）

11

A.a0B.b1

22

C.22a4b1D.14a2b0

考點2.一元一次不等式(組)的解法及解集表示

1.（2024湖北省）不等式x12的解集在數(shù)軸上表示為（）

A.B.

C.D.

2.（2024福建省）不等式3x21的解集是______．

3.（2024廣西）不等式7x55x1的解集為______．

4.（2024廣東）關于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是______．

x

5.（2024山東煙臺）關于x的不等式m1x有正數(shù)解，m的值可以是______（寫出一個即可）．

2

x20

6.（2024吉林省）不等式組的解集為______．

x30

x21

7.（2024山東棗莊）寫出滿足不等式組的一個整數(shù)解________．

2x15

8.（2024貴州省）不等式x1的解集在數(shù)軸上的表示，正確的是（）

A.B.C.

D.

x1

9.（2024江蘇連云港）解不等式x1，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

2

3x22x①

10.（2024內(nèi)蒙古赤峰）解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上

2x1x1②

表示正確的是（）

A.B.

C.D.

42x0

11.（2024黑龍江龍東）關于x的不等式組1恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是________．

xa0

2

2x1x2,

12.（2024甘肅臨夏）解不等式組：1．

2x1x4

2

x31①

13.（2024武漢市）求不等式組的整數(shù)解．

2x1x②

2x60

14.（2024江蘇揚州）解不等式組4x1，并求出它的所有整數(shù)解的和．

x

2

2x13①

15.（2024天津市）解不等式組

3x1x7②

請結合題意填空，完成本題的解答．

（1）解不等式①，得______；

（2）解不等式②，得______；

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

（4）原不等式組的解集為______．

考點3.一元一次不等式的應用

1.（2024江蘇常州）“綠波”，是車輛到達前方各路口時，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸

行駛在最高限速80km/h的路段上，某時刻的導航界面如圖所示，前方第一個路口顯示綠燈倒計時

32s，第二個路口顯示紅燈倒計時44s，此時車輛分別距離兩個路口480m和880m．已知第一個路口紅、

綠燈設定時間分別是30s、50s，第二個路口紅、綠燈設定時間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，

小亮爸爸以不低于40km/h的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），

則車速v（km/h）的取值范圍是________．

2.（2024山東棗莊）根據(jù)以下對話，

給出下列三個結論：

①1班學生的最高身高為180cm；

②1班學生的最低身高小于150cm；

③2班學生的最高身高大于或等于170cm．

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.（2024遼寧）甲、乙兩個水池注滿水，蓄水量均為36m3、工作期間需同時排水，乙池的排水速

度是8m3/h．若排水3h，則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．

（1）求甲池的排水速度．

（2）工作期間，如果這兩個水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水幾小時？

4.（2024江西省）如圖，書架寬84cm，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學書和語文書，已知每本數(shù)

學書厚0.8cm，每本語文書厚1.2cm．

（1）數(shù)學書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學書和語文書各多少本；

（2）如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學書最多還可以擺多少本？

5.（2024貴州省）為增強學生的勞動意識，養(yǎng)成勞動的習慣和品質(zhì)，某校組織學生參加勞動實踐．經(jīng)

學校與勞動基地聯(lián)系，計劃組織學生參加種植甲、乙兩種作物．如果種植3畝甲作物和2畝乙作物需

要27名學生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名學生．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學生？

（2）種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學生人數(shù)不超過55人，至少種植甲作物多少畝？

6.（2024河南省）為響應“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學校組織學生到郊外參加義

務植樹活動，并準備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為50g，營養(yǎng)成分表如下．

（1）若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應選用A，B兩種食品各多少包？

（2）運動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每

份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g，且熱量最低，應如何選用這兩種食品？

考點1.不等式的性質(zhì)

1.下列不等式中，是一元一次不等式的是()

1

A．5x－2＞0B．－3＜2＋

x

C．6x－3y≤－2D．y2＋1＞2

2．若a＞b，則下列等式一定成立的是（）

A．a(chǎn)＞b+2B．a(chǎn)+1＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|

3.如果不等式(a＋1)x＜a＋1可變形為x＞1，那么a必須滿足________.

4.用三個不等式a＞b，ab＞0，1＜1中的兩個不等式作為題設，余下的一個不等式作為結論組成一

ab

個命題，組成真命題的個數(shù)為（）

A．0B．1C．2D．3

考點2.一元一次不等式(組)的解法及解集表示

5x23(x1)

1.不等式組13的非負整數(shù)解有（）

x17x

22

A．4個B．5個C．6個D．7個

2.下列數(shù)值不是不等式組的整數(shù)解的是（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

3.不等式組的所有非負整數(shù)解的和是（）

A．10B．7C．6D．0

4．對于不等式組,下列說法正確的是（）

A．此不等式組無解

B．此不等式組有7個整數(shù)解

C．此不等式組的負整數(shù)解是﹣3，﹣2，﹣1

D．此不等式組的解集是﹣＜x≤2

5．不等式組的解集為．

6．若關于x的不等式3x+a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）

A．﹣7＜a＜﹣4B．﹣7≤a≤﹣4C．﹣7≤a＜﹣4D．﹣7＜a≤﹣4

7.x的不等式的整數(shù)解只有4個，則m的取值范圍是（）

A．﹣2＜m≤﹣1