2025年中考數學總復習《如何作輔助圓》專項測試卷(附答案)

學校:班級：姓名：考號：

1.(10分)(1)【學習心得】

小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決,

可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB=AC,NB4c=90°,。是△ABC外一點，且AO=AC,求/BOC的

度數，若以點A為圓心，為半徑作輔助圓。4,則點C、。必在OA上，N8AC是OA的圓心角，而

是圓周角，從而可容易得到NBr)C=°.

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形中，/BAD=NBCD=90°,/BDC=25°,求N8AC的度數.

小剛同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△A3。的外接圓就是以

8。的中點為圓心，工8。長為半徑的圓；△8CQ的外接圓也是以8。的中點為圓心，工8。長為半徑的

22

圓.這樣A、B、C、。四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出NA4c的度數，請運用小

剛的思路解決這個問題.

(3)【問題拓展】

如圖3,在△ABC中，ZBAC=45°,是BC邊上的高，且2D=6,CD=2,求的長.

2.(10分)小明在學習了圓內接四邊形的性質“圓內接四邊形的對角互補”后，想探究它的逆命題“對

角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上”是否成立.他先根據命題畫出圖形，并用符號表示已知，求

證.

己知：如圖①，在四邊形ABC。中，ZB+ZAZ)C=180°.

求證：點A,B,C,。在同一個圓上.

他的基本思路是依據“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，先作出一個過三個頂點A,B,C的。。，

再證明第四個頂點D也在。。上.

具體過程如下；

步驟一、作出過A,B,C三點的O。.

如圖1,分別作出線段42,2C的垂直平分線相，n,設它們的交點為O,以。為圓心，的長為半徑作

QO.連接OA,OB,OC,

：.OA=OB,OB=OC(①).(填推理依據)

：.OA=OB=OC.

.?.點8,C在。。上.

步驟二、用反證法證明點。也在。。上.

假設點。不在。。上，則點。在。。內或。。外.

i、如圖2,假設點。在。。內.

延長CD交O。于點。1,連接AD1.

.1.ZB+ZDi=180°(②).(填推理依據)

ZADC是△ADDi的外角，

第1頁共17頁

AZADC=ZDADi+ZDi（③）.（填推理依據）

ZADOZDi.

：.ZB+ZADC>180°.

這與已知條件/3+NAOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在O。內.

爪如圖3,假設點。在。。外.

設C￡）與。。交于點。2,連接AO2.

：.ZB+ZAD2C=1SO°.

,：ZAD2C是△A6。的外角，

/AD2C=ZDAD2+ZADC.

：.ZADC<ZAD2C.

.?.ZB+ZADC<180°.

這與已知條件NB+/AOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在。。外.

綜上所述，點。在。。上.

...點A,B,C,。在同一個圓上.

閱讀上述材料，并解答問題：

(1)根據步驟一，補全圖1（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡）；

(2)填推理依據：①.,②.

3.（10分）綜合與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組

繼續利用上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側有兩點8,D,連接AD,AB,BC,CD,如果那么A,B,C,。四點

在同一個圓上.

探究展示：

圖1圖2

如圖2,作經過點A,C,。的OO,在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE,貝I/AEC+

ZD=180°（依據1）

,:/B=/D

：.ZA￡C+ZB=180°

...點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

:.點B,。在點A,C,E所確定的。。上（依據2）

...點A,B,C,。四點在同一個圓上

反思歸納：

（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？

第2頁共17頁

依據1:;

依據2：.

(2)如圖3,在四邊形ABC。中，/1=N2,N3=45°,則/4的度數為.

拓展探究：

(3)如圖4,已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,點。在3C上(不與8C的中點重合)，連接AD作

點C關于的對稱點E,連接班并延長交AD的延長線于F,連接AE,DE.

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若AB=2&,的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

圖3圖4

4.(5分)如圖，已知四邊形ABCD是矩形，8c=4,AB>2,若CE=2,且點E在矩形ABC。的內部,

求NABE的取值范圍.

5.(10分)如圖，已知矩形A8CD

(1)如圖①，請在矩形ABC。的內部或邊上畫出使/APB=45°的點尸的軌跡；

(2)如圖②，請在矩形ABC。的內部或邊上畫出使NAP8=90°的點尸的軌跡；

(3)如圖③，請在矩形48cD的內部或邊上畫出使/APB=120°的點P的軌跡.

6.(3分)如圖，在四邊形A8CD中，CZ>〃A8,CB=4,AB=AC=AD=3,則8。的長

為_____________.

7.(3分)如圖，在Rt^ABC中，ZABC=9Q°,8C=2,點。在AC邊上運動，將△BCD沿8。翻折,

點C的對應點為C',在點。從點C到點A的動過程中，點C'運動的路徑長為.

第3頁共17頁

C'

8.（3分）如圖示，A,2兩點的坐標分別為（-2,0）,（3,0）,點C在y軸上，S.ZACB=45

則點C的坐標為.

A01BX

9.（3分）如圖，平面直角坐標系中，點A、B坐標分別為（3,0）、（0,4）,點C是無軸正半軸上一

點，連接BC.過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D,連接BD,則sin/BOC的

值是__________________.

0\ACx

10.（3分）如圖，△ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,A8=2,點尸從C點出發，沿C8運動到點8

停止，過點8作射線AP的垂線，垂足為。，點。運動的路徑長為.

11.（3分）如圖，在矩形A8CD中，4B=3,BC=5,點E在對角線AC上，連接8E,作垂足

為E,直線所交線段。C于點R則里=.

參考答案與試題解析

第4頁共17頁

1.(1)［學習心得］

小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決,

可以使問題變得非常容易.

例如：如圖①，在△ABC中，AB^AC,ZBAC=90°,。是△ABC外一點，且AO=AC,求NBOC的

度數.若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓04則點C,。必在OA上，NBAC是。4的圓心角，而

NBOC是圓周角，從而可容易得到N3r)C=45或135°.

(2)［問題解決］

如圖②，在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD^90°,NBDC=25°,求N8AC的度數.小剛同學認

為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：AABD的外接圓就是以BD的中點

為圓心，工8。長為半徑的圓；的外接圓也是以8。的中點為圓心，上8。長為半徑的圓.這樣A,

22

B,C,。四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質求出/BAC的度數，請運用小剛的思路解決

這個問題.

(3)［問題拓展］

如圖③，在△ABC中，ZBAC=45°,AD是2C邊上的高，且BD=6,CD=2,求A。的長.

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解即可；

(2)根據已知90°的角不難得到點A,B,C,D共圓，然后根據同圓中，同弧所對的圓周角相等即可

得解；

(3)作△ABC外接圓，構造等腰直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：(1)'：AD=AC,AB=AC,

以點A為圓心，點8,D,C必在OA上.］

當點。在劣弧上時，

是OA的圓心角，而/CDB是圓周角，

ZCDB=^-ZCAB=45°；

2

當點。在優弧上時，則NBOC=135°；

故答案為：45或135.

(2)如圖①，取8。的中點。，連接04OC,

:?/BAD=NBCD=90°,

.?.點A,B,C,。共圓，

：.ZBDC=ZBAC=25a；

(3)如圖②，作△ABC的外接圓，過圓心。作0E_L8C于點E,作于點「連接04OB,

OC.

第5頁共17頁

：NBAC=45°,

:./BOC=90°.

在Rt/YBOC中，BC=6+2=8,OB2+CO2=BC2,

:.B0=C0=4M.

'：OE±BC,

，8E=EC=LC=4,

2

:.DE=OF=EC-C￡>=2.

在RtABOE中,B0=4近,BE=4,

：.OE=DF=4.

在RtzXAOF中，40=4、、歷，OF=2,

AF=VAO2-OF2=V(4V2)2-22=2V7>

①

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質以及勾股定理等知

識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

2.小明在學習了圓內接四邊形的性質“圓內接四邊形的對角互補”后，想探究它的逆命題“對角互補的

四邊形的四個頂點在同一個圓上”是否成立.他先根據命題畫出圖形，并用符號表示已知，求證.

已知：如圖①，在四邊形ABC。中，ZB+ZAZ)C=180°.

求證：點A,B,C,。在同一個圓上.

他的基本思路是依據“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，先作出一個過三個頂點A,8,C的

OO,再證明第四個頂點。也在。。上.

具體過程如下；

第6頁共17頁

步驟一、作出過A,B,C三點的OO.

如圖1,分別作出線段AB,BC的垂直平分線加，”，設它們的交點為。，以。為圓心，04的長為半徑

作O。.連接。4,OB,0C,

：.0A=0B,0B=0C(①).(填推理依據)

J.OA^OB^OC.

:,點B,C在O。上.

步驟二、用反證法證明點。也在。。上.

假設點。不在O。上，則點。在O。內或。。外.

i、如圖2,假設點。在。。內.

延長C。交。。于點。1,連接AD.

.?.ZB+ZDi=180°(②).(填推理依據)

ZADC是的外角,

AZADC^ZDADi+ZDi(③).(填推理依據)

ZADOZD1.

AZB+ZADO180°.

這與已知條件N3+NAOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在O。內.

花、如圖3,假設點。在。。外.

設CD與。。交于點。2,連接AO2.

.?.ZB+ZAD2C=180°.

ZAD2C是△ADz。的外角，

ZAD2C=ZDAD2+ZADC.

：.ZADC<ZAD2C.

：.ZB+ZADC<180°.

這與已知條件/2+NAOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在O。外.

綜上所述，點。在OO上.

.?.點A,B,C,。在同一個圓上.

閱讀上述材料，并解答問題：

(1)根據步驟一，補全圖1(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡)；

(2)填推理依據：①線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，②圓內接四邊形的對

角互補，③三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

【分析】(1)根據作線段的垂直平分線的基本作法作圖;

(2)根據反證法的步驟進行證明.

【解答】解：(1)如圖：OO即為所求；

第7頁共17頁

A

圖1

（2）步驟一、作出過A,B,C三點的O。.

如圖1,分別作出線段A8,8C的垂直平分線處n,設它們的交點為O,以。為圓心，OA的長為半徑

作00.連接OA,OB,OC,

J.OA^OB,0B=0C（線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）.

；.0A=0B=0C.

:.點B,C在。。上.

步驟二、用反證法證明點。也在上.

假設點。不在O。上，則點。在O。內或O。外.

i、如圖2,假設點。在。。內.

延長交O。于點。1,連接AO1.

.-.ZB+ZZ）i=180o（圓內接四邊形的對角互補）.

,/ZADC是的外角,

：.ZADC^ZDADi+ZDi（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）.

ZADOZD1.

AZB+ZADO180°.

這與已知條件/3+/4￡^=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在O。內.

ii、如圖3,假設點。在。。外.

設CD與O。交于點。2,連接AO2.

.?.ZB+ZAD2C=180°.

,/ZAD2C是△AD?。的外角，

ZADiC=ZDAD2+ZADC.

：.ZADC<ZAD2C.

AZB+ZADC<180°.

這與已知條件/8+/AOC=180°矛盾.

假設不成立.即點。不在。。外.

綜上所述，點。在OO上.

.?.點A,B,C,。在同一個圓上.

故答案為：①線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；②圓內接四邊形的對角互補；③三

角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

【點評】本題考查了反證法，掌握線段的垂直平分線的性質及有關圓的性質是解題的關鍵.

3.綜合與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小

組繼續利用上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段AC同側有兩點8,D,連接A。，AB,BC,CD,如果那么A,B,C,。四

點在同一個圓上.

第8頁共17頁

探究展示：

如圖2,作經過點A,C,。的O。，在劣弧AC上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE,則/

A￡C+ZD=180°（依據1）

:/B=/D

：.ZA￡C+ZB=180°

...點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

...點2,。在點A,C,E所確定的O。上（依據2）

...點A,B,C,。四點在同一個圓上

反思歸納：

（1）上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？

依據1：圓內接四邊形對角互補；依據2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓.

（2）如圖3,在四邊形A8C。中，Z1=Z2,Z3=45°,則/4的度數為45°.

拓展探究：

（3）如圖4,已知△ABC是等腰三角形，A8=AC,點D在BC上（不與2C的中點重合），連接AD作

點C關于AD的對稱點E,連接班并延長交AD的延長線于R連接AE,DE.

①求證：A,D,B,￡四點共圓；

②若AB=2近,的值是否會發生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

圖1圖2

【分析】（1）根據圓內接四邊形的性質、過三點的圓解答即可；

（2）根據四點共圓、圓周角定理解答；

（3）①根據軸對稱的性質得到AE=AC,DE=DC,ZAEC=AACE,ZDEC=ZDCE,進而得到/

AED=ZABC,證明結論；

②連接CR證明根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

【解答】（1）解：依據1：圓內接四邊形對角互補；依據2：過不在同一直線上的三個點有且只有一個

圓，

故答案為：圓內接四邊形對角互補；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓；

（2）解:VZ1=Z2,

...點A,B,C,。四點在同一個圓上，

.*.Z3=Z4,

第9頁共17頁

VZ3=45°,

；./4=45°,

故答案為:45°；

(3)①證明：'：AB^AC,

：.ZABC^ZACB,

:點E與點C關于AD的對稱，

：.AE^AC,DE=DC,

：.ZAEC^ZACE,ZDEC=ZDCE,

：./AED=ZACB,

：.ZAED=ZABC,

：.A,D,B,E四點共圓；

②解：的值不會發生變化，

理由如下：如圖4,連接CF,

:點E與點C關于AD對稱，

:.FE=FC,

:./FEC=/FCE,

：.ZFED=ZFCD,

VA,D,B,E四點共圓，

NFED=ZBAF,

:./BAF=NFCD,

：.A,B,F,C四點共圓，

NAFB=NACB=ZABC,

?；/BAD=NFAB,

：.△ABDs^AFB,

.AD=AB

,.而AF'

：.AD'AF=AB2=8.

圖4

【點評】本題考查的是四點共圓、相似三角形的判定和性質、軸對稱的性質，正確理解四點共圓的條件

是解題的關鍵.

如圖，已知四邊形ABC。是矩形，BC=4,AB>2,若CE=2,且點E在矩形A8CD的內部，則/ABE的

取值范圍為60°.

AD

B

第10頁共17頁

【分析】以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，當3E與OC相切時，NCBE最大,此時NABE最小，這

時求出NC3E,即可解決問題.

【解答】解：以點C為圓心，CE長為半徑畫圓，

當BE與。C相切時，/CBE最大,此時N4BE最小，

?半徑CE±BE,

：.smZCBE^—=—=—,

BC42

：.ZCBE^30°,

AZABE=90°-30°=60°,

:點E在矩形ABCD的內部，

ZABE<90°,

.1.60°W/ABE<90°.

故答案為：60°^ZABE<9Q°.

【點評】本題考查矩形的性質，三角函數定義，圓的性質，關鍵是以點C為圓心，CE長為半徑畫圓,

判斷出BE與OC相切時NA8E最小.

5.如圖，已知矩形4BCD

（1）如圖①，請在矩形ABC。的內部或邊上畫出使/APB=45°的點P的軌跡;

（2）如圖②，請在矩形ABCD的內部或邊上畫出使/APB=90°的點P的軌跡;

（3）如圖③，請在矩形A8CD的內部或邊上畫出使/AP8=120°的點P的軌跡

圖①圖②圖③

【分析】（1）作等腰直角三角形AOB,使/AOB=90°,以。為圓心，為半徑畫圓即可;

（2）以為直徑作圓，則篇即為所求；

（3）作等腰△A02,使NAOB=120°,以。為圓心，。4為半徑畫圓，則忘即為所求.

【解答】解：（1）如圖，作等腰直角三角形A08,使/AO8=90°,以。為圓心，04為半徑畫圓,

第11頁共17頁

則PP'即為所求;

(3)如圖，作等腰△A08,使/AOB=120°,以。為圓心，為半徑畫圓，則窟即為所求(不與A、

2重合)；.

【點評】本題主要考查了圓周角與圓心角的關系，等腰三角形的性質，軌跡問題，熟練掌握同弧所對的

圓周角相等是解題的關鍵._

6.如圖，在四邊形ABC。中，CD//AB,CB=4,AB=AC=AD=3,則BD的長為2芯.

【分析】以A為圓心，長為半徑作圓，延長A4交OA于R連接。？在△2。尸中，由勾股定理即

可求出BD的長

【解答】解：以A為圓心，長為半徑作圓，延長8A交OA于凡連接。尸.

'：AB=AC=AD=3,

：.D,C在圓A上，

■:DC//AB,

.?.弧。尸=弧左，

：.DF=CB=4,BF=AB+AF=2AB=6,

是04的直徑，

第12頁共17頁

：.ZFDB=90°,

BD={BF2-DF2=V20=2V5

故答案為：2A/^.

【點評】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是作出以A為圓心，A3長為半徑的圓，構建直角三角形，

從而求解.

7.如圖，在RtaABC中，ZABC=90°,BC=2,點。在AC邊上運動，將△BC。沿8。翻折，點C的

對應點為C',在點。從點C到點A的動過程中，點C'運動的路徑長為2TT.

【分析】由題意可知點C'的運動軌跡是以2為圓心，BC為半徑的扇形，由此即可解決問題.

【解答】解：由題意可知點C'的運動軌跡是以8為圓心，BC為半徑的扇形，

當點。從點C到點A的動過程中，點C'運動的軌跡是扇形，扇形的圓心角為180。，

點C,運動的路徑長=也。兀2=2m,

180

故答案為：2TT.

【點評】本題考查翻折變換，弧長公式等知識，解題的關鍵是正確尋找點C'的運動軌跡，屬于中考常

考題型.

8.如圖示，A,B兩點的坐標分別為(-2,0),(3,0)，點C在y軸上，且/AC8=45°,則點C的

【分析】在x軸的上方作等腰直角△ABF,FB=FA,ZBAF=90°,以尸為圓心，剛為半徑作。尸交y

軸于C,連接C2,CA.首先證明NACB=45°,根據尸。=至返，構建方程即可解決問題.

2

【解答】解：在無軸的上方作等腰直角△A8RFB=FA,ZBAF=90°,以尸為圓心，剛為半徑作。F

交y軸于C,連接CB,CA.

第13頁共17頁

2

■:B(-2,0),A(3,0),是等腰直角三角形,

：.F(A,a),物=五2=尸0=殳！2,設C(0,m),

22_2

則（1）2+（7M--）--(返2,

222

解得771=6或-1（舍棄）

：.C（0,6）,

根據對稱性可知C（0,-6)也符合條件，

綜上所述，點C的坐標為(0,6)或(0,-6).

故答案為（0,6）或（0,-6).

【點評】本題考查圓周角定理，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決問題，屬

于中考常考題型

9.如圖，平面直角坐標系中，點A、B坐標分別為（3,0）、（0,4）,點C是無軸正半軸上一點，連接

BC.過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D,連接BD,則sinZBDC的值是

1

【分析】作。軸于點E,設AO交BC于點尸，先證明導出相應的條件以證明4

AFCsABFD,則再證明/A￡)E=N8OC=N8AO,由勾股定理求出AB的長，則sin

Nsin/BAO=絲=匹.

AB5

【解答】解：作無軸于點E,設AO交8C于點F，

VAD1AB,CDYBC,

：.ZBAF=ZDCF=90°,

'：ZAFB=ZCFD,

：.△AFBs^CFD,

.AF=BF

"CFDF'

.AF=CF

-，BFDF)

??ZAFC=NBFD,

：.△AFCs^BFD,

：.ZFAC=ZFBD,

VZAED=ZBCD=90°,

第14頁共17頁

AZADE^ZDAE=90°,ZBDC+ZDBC=90°,

???ZADE=ZBDC,

VZAED=ZBAD=90°,

；?NADE=900-ZDAE=ZBAO,

：.ZBDC=ZBAO,

TA、3坐標分別為(3,0)、(0,4)