專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型

相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關(guān)系離不開(kāi)數(shù)量的計(jì)

算。相似和勾股是產(chǎn)生等式的主要依據(jù)（其他依據(jù)還有面積法，三角函數(shù)等），因此要掌握相似三角形的基

本圖形，體會(huì)其各種演變和聯(lián)系。相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合

題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）/字模型和（雙）8

（X）字模型.

目錄導(dǎo)航

例題講模型

模型L“N”字模型.................................................................................1

模型2."X，字模型（“8”字模型）.................................................................4

模型3.“0^字模型（“N8”字模型）..............................................................6

習(xí)題練模型

9

【知識(shí)儲(chǔ)備】/字型和8（X）字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過(guò)分割點(diǎn)（將線段分割的點(diǎn)）作平行線構(gòu)造模型，有的

是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長(zhǎng)中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點(diǎn)在模考中無(wú)論

小題還是大題都是屢見(jiàn)不鮮的。

例題講模型

模型字模型

，，/，，字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾

這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似。

①“4,字模型②反“N”字模型③同向雙叱4”字模型④內(nèi)接矩形模型

模型證明

條件：如圖結(jié)論：?jiǎn)?/p>

①“”字模型1,DE//BC-,AADEsdABCc9=9=

ABACBC

證明:：DE〃8C,:./ADE=/ABC,N4ED=NACB,：.LADE^/^ABC,=妲=型。

ABACBC

②反“"字模型條件：如圖2,/AED=NB；結(jié)論：MDEs△4CB=9=^=@。

ACABBC

證明:AZA=ZA,（公共角）Z.LADE^^\ACB,

ACABBC

③同向雙“N”字模型條件：如圖3,EF//BC-,

結(jié)論：4AEFSA4BC,44EGs^ABD,MGFsAADC=王=里=坦。

BDCDAD

證明：/〃BC,：./AEF=NABC,ZAFE=ZACB,：.i^AEF^^ABC,

同理可證："EGS/\4BD,^AGF^AADC,=逆=①

ABACBC

④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4,△48C的內(nèi)接矩形。EFG的邊跖在3c邊上，D、G分別在48、4c邊

上，1.AMIBC^結(jié)論：MDGSAABC,"DNS^ABM,LAGN^/\ACM^>DG_=AN_=AN_Q

BCABAM

證明：是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.LADG^/\ABC,

同理可證：KADNsAABM,AAGNSAACM,:.吧=處=處。

BCABAM

模型運(yùn)用

例1.（2024?吉林長(zhǎng)春?三模）如圖，在一5C中，點(diǎn)。、￡為邊45的三等分點(diǎn)，點(diǎn)少、G在邊5C上,

AC//DG//EF,CE交DG于點(diǎn)H.若ZC=12,則G”的長(zhǎng)為.

A

E

H

BFGC

例2.（2023?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形"A?。內(nèi)接于AABC,點(diǎn)/，N在8c上，點(diǎn)P,。分別

在/C和邊上，且3C邊上的高4D=6,BC=12,則正方形跖VP。的面積為.

例3.（2024?湖南永州?模擬預(yù)測(cè)）如圖：RtAABC中，ZC=90°,BC=\,AC=2,把邊長(zhǎng)分別為毛，4，

尤3,…%的〃個(gè)正方形依次放在“3C中；第一個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別放在RtZ\/3C的各邊上；第二

個(gè)正方形如"避生的頂點(diǎn)分別放在Rd/甲皆的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)

CMW4

例4.（2024?山東?中考真題）如圖，點(diǎn)E為YN8CD的對(duì)角線/C上一點(diǎn)，4c=5,CE=\,連接DE并延

長(zhǎng)至點(diǎn)尸，使得M=連接B尸，則BF為（）

例5.（23-24九年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí)）如圖，AD1BC,垂足為D,BELAC,垂足為E,AD與BE

相交于點(diǎn)尸，（1）判斷△MC與ABEC是相似三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）連接ED,求證：CD?AB=AC?DE；

（3）若5/=5C,DE=3,BD=5,求CD的長(zhǎng).

BDC

模型2."X9字模型（“8”字模型）

“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)

三角形相似.

①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型

模型證明

①“8”字模型

條件：如圖1,AB//CD-,結(jié)論:△AOB-COD=符黑=*

.AB_OA0B

證明:?.?N5〃C￡>,/B=/D,：.^AOB^hCOD,：

CDOCOD

②反“8”字模型

條件：如圖2,/A=ND；結(jié)論：MOBs4口0（：09="=嗎

CDODOC

.AB_0AOB

證明=AZAOB=ZDOC,（對(duì)頂角）：.AAOB^^DOC,

"CD~OD~OC

③平行雙“8”字模型

條件：如圖3,AB//CD；結(jié)論：處=些=坐。

DFCFCD

證明：：/臺(tái)〃。。，...//=/￡）,ZAEO=ZDFO,：.^AEO^/\DFO,

同理可證：XBEOsMFO,"BOsADCO,=—=—.

DFCFCD

④斜雙“8”字模型

條件：如圖4,N1=N2；結(jié)論：AAODs^BOC,A71OS^>ADOC<^>Z3=Z4?

證明:：/l=N2,//0D=N80C（對(duì)頂角），^AOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,即NO：r）O=8O:CO；

（對(duì)頂角），,MAOBsADOC,.*.Z3=Z4=

模型運(yùn)用

例1.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形N3C。的對(duì)角線ZC,相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)下

是。。上一點(diǎn).連接所.若/口0=45。，則竺的值為.

例2.（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，4D與3c交于點(diǎn)。，E尸過(guò)點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)、E,交CD于點(diǎn)

39CD

F,BO=1,CO=3,AO=-,DO=-.(1)求證：ZA=ZD.⑵若AE=2BE,求一.

22DF

例3.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，菱形48CD的邊長(zhǎng)為6,ZBAD=120°,過(guò)點(diǎn)。作。交BC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)NE分別交3D,CD于點(diǎn)、F,G,則FG的長(zhǎng)為.

例4.（23-24九年級(jí)上?安徽蚌埠?期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的

重心.⑴特例感知：如圖（一），已知邊長(zhǎng)為3的等邊的重心為點(diǎn)。，求△08C與28c的面積；

（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知小8C的重心為點(diǎn)O,請(qǐng)判斷空、沁是否都為定值？如果是，分別求出

OA

這兩個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形4BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線/C于點(diǎn)

①若正方形/BCD的邊長(zhǎng)為4,求的長(zhǎng)度；②若5久皿=2,求正方形/BCD的面積

模型3."NX，字模型（“N8”字模型）

模型解讀

①一"4，+“8”模型②兩“N”+“8”模型（反向雙“N”字模型）③四“4”+“8”模型

圖3

模型證明

①一””+“8”模型條件：如圖1,DE//BC；

ADAEDEDFFE

結(jié)論：44DESA4BC,XDEFsMBF,

ABACBCFCBF

.ADAEDE

證明：???DE〃5C,；.NADE=NABC,ZAED=ZACB,：.LADE^LABC,==

'AB~AC~BC

*：DE//BC,:?/FDE=/FCB,ZDEF=ZCBF,：.LDEF^^\CBF,?,?匹=空=三

BCFCBF

,AD_AE_DE_DF_FE

''^B~~AC~~BC~~FC~~BFQ

②兩””+“8”模型條件：如圖2,DE//AF//BC；

結(jié)論：XDAFSADBC,ACAFS^CED,=J_=J_+J_。

AFBCDE

證明：??7/〃BC,；?/DAF=NB,/DFA=/DCB,：.^DAF^/\DBC,，江="。

DCBC

?：DE〃AF,；?NCAF=/E,NCFA=NCDE,：.^CAF^ACED,:?殳=

CDDE

兩式相加得到：變+竺=9+更，即1=9+9，故_￡=，+」_。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四“力，，+“8”模型3條件：如圖3,DE//GF//BC；結(jié)論：AF=AG,_L+-L=_L=_L=/_

BCDEAFAGGF

證明:同②中的證法，易證：_+x=x,x+x=x

BCDEAFBCDEAG

BPAF=AG,故1?1=1=2。

AFAGBCDE空GF

模型運(yùn)用

例1.（2022?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，點(diǎn)。為A4BC邊A8上任一點(diǎn)，DE〃BC交AC于點(diǎn)、E,連接BE、CD

相交于點(diǎn)尸，則下列等式中不成文的是（）

FFAF

空=些B匹=變C型=型D.—=—^|J2.（2023?安徽?三模）如圖，已知

DBECBCFC-BCECBFAC

ABIBC.DC工BC,/C與8。相交于點(diǎn)O,作（W，BC于點(diǎn)M,點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，EF，BC于點(diǎn)、G,

交/C于點(diǎn)尸，若48=4,CD=6,則（W-E/值為（）

7122

A.-B.—cD.

55-15

例3.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）（1）【問(wèn)題背景】如圖1,AB//EF//CD,4。與相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在上.求

111

---1--------

ABCDEF

圖3

請(qǐng)你按照小雅的思路完成原題的證明過(guò)程.

（2）【類比探究】如圖2,AEVAB,BD1AB,GH1AB,DE與8c相交于點(diǎn)G,點(diǎn)〃在48上，=求

1____12

麗.工―訪

（3）【拓展運(yùn)用】如圖3,在/C四邊形/8CD中，AB//CD,連接，BD交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)又作E尸〃

交/。于點(diǎn)￡,交BC于點(diǎn)、F,連接EC,FD交于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)、N作GH〃AB,交/。于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)、H,

若4B=3,CD=5,直接寫出GH的長(zhǎng).

例4.（2024?江蘇泰州?三模）綜合與實(shí)踐

在初中物理學(xué)中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯(lián)系.請(qǐng)耐心閱讀以下材料：

【光學(xué)模型】如圖1,通過(guò)凸透鏡光心O的光線40,其傳播方向不變，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)廠的光線/E經(jīng)凸透鏡乙折

射后平行于主光軸沿EH射出，與光線49交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)?作主光軸的垂線段垂足為"，

即可得出物體所成的像/的.

MB

【模型驗(yàn)證】設(shè)焦點(diǎn)尸到光心的距離R9稱為焦距，記為/；物體N3到光心的距離8。稱為物距，記為，，；

像4?到光心的距離08’稱為像距，記為v.

已知/3=4，A'B'=h，當(dāng)/<“<2/時(shí)，求證：-+-=^.

證明：VA'B'LAdN,ABLMN,：.AABO=ZA'B'O=90°,

又ZAOB=ZA'OB',：.AAOBS△HOB',

ABOBh,u,

=即廣=—,同理可得A/3尸SA￡C凡

ABOB?2v

.?.絲=”，即*旦，

OEOFh2v

111111

uv-vf=uf,：.———=-,即一+—=7

fuvUVf

請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決以下問(wèn)題：

（1）請(qǐng)補(bǔ)充上述證明過(guò)程中①②所缺的內(nèi)容（用含V、/的代數(shù)式表示）；（2）若該凸透鏡工的焦距為20cm,物體

距凸透鏡工的距離為30cm,物高為10cm,則物體所成的像N?的高度為cm；

（3）如圖2,由物理學(xué)知識(shí)知“經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且平行于主光軸兒W的光線/C經(jīng)凸透鏡工折射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)H”，小明在

做凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)時(shí)，不斷改變物距發(fā)現(xiàn)光線。'始終經(jīng)過(guò)主光軸MN上一定點(diǎn).若該凸透鏡工的焦距為

20cm,物高為10cm,試說(shuō)明這一物理現(xiàn)象.

習(xí)題練模型

1.（2024?浙江溫州?三模）如圖，在Y48co中，/G平分分別交2。，BC,DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，G,

E,記△/￡>尸與ACEG的面積分別為E，邑，若A8:4D=2:3,則去的值是（）

AD

S

2.（2024?安徽合肥?三模）如圖，已知四邊形力BCD是平行四邊形，點(diǎn)E是4。的中點(diǎn)，連接/C相交

于點(diǎn)尸,過(guò)少作4。的平行線交于點(diǎn)G,若尸G=2,則的值是（）

3.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在Y/BCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)5為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

作弧，分別交A4,3c于點(diǎn)N；②分別以N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在

內(nèi)交于點(diǎn)。；③作射線5。，交AD于點(diǎn)E,交延長(zhǎng)線于點(diǎn)廠.若8=3,DE=2,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

BE5

A.AABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.——二—

EF3

4.（2024九年級(jí)下?廣東?專題練習(xí)）如圖，在中，80=120,高4。=60,正方形EFGH一邊在5C

上，點(diǎn)、E,尸分別在/C上，AD交EF于點(diǎn)、N,則4N的長(zhǎng)為（）

A.15B.20C.25D.30

5.（2024?云南楚雄?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，E線段力。上一點(diǎn)，且Z￡:C￡=1:2,過(guò)點(diǎn)C作CD〃AB,

交班的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D若的面積為10,則△EC。的面積為（）

A.10B.15C.20D.25

6.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，￡是3。上的點(diǎn)，連接。E交對(duì)角線/C于點(diǎn)八若/。4。=30。,

A.gB.V2C.2D.1.5

7.（2024?河南?中考真題）如圖，在口45。。中，對(duì)角線ZC,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)石為OC的中點(diǎn)，EF//AB

交BC于點(diǎn)F.若45=4,則所的長(zhǎng)為（）

4

C.1D.2

3

8.（2024?山東威海?中考真題）如圖，在Y/BCD中，對(duì)角線/C,AD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)廠在。

上，連接ZE,AF,EF,EF交AC于點(diǎn)、G.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

什CEAD〃

A.若——=——，則nil斯〃2。B.若/EJ.BC,AFLCD,AE=AF,則EF//BD

CFAB

C.若EF〃BD,CE=CF,則/￡4C=ZE4cD.AB=AD,AE=AF,則E/〃

9.（2024?陜西西安?一模）如圖，在“3C中，D,“是邊42的三等分點(diǎn)，N,E是邊/C的三等分點(diǎn).連

接并延長(zhǎng)與C8的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.若。￡=4,則線段CP的長(zhǎng)為（）

10.（2024?江蘇南京?一模）如圖，AB,分別垂直8D,垂足分別為8,D,連接4D,BC交于點(diǎn)￡,

作EF工BD,垂足為尸.設(shè)/3=a,CD=b,EF=c,若）-巴=1,則下歹!］等式：@a+c=b；?b+c=2a；

ab

③/=b-c,其中一定成立的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

11.（2024?陜西?中考真題）如圖，正方形CE/G的頂點(diǎn)G在正方形48co的邊上，4F與DC交于點(diǎn)H,

8

D.

3

12.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，AABC,44cB=90。，CB=5,C/=10,點(diǎn)。，E分別在/C,48邊

上，AE=45AD,連接。E,將V/OE沿DE翻折，得到V尸。E,連接C￡,CF.若△CEF的面積是ABEC

面積的2倍，則

B

13.（2024?云南?中考真題）如圖與。交于點(diǎn)。,且“C〃瓦）.若職則徐=---------

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形/BCD中，48=2,4D=4,E、尸分別是邊CZXAD

上的動(dòng)點(diǎn)，且CE=DF.當(dāng)/E+C尸的值最小時(shí)，則C￡=.

15.（23-24九年級(jí)上?河南駐馬店?期中）如圖，AB〃GH〃DC,點(diǎn)、H在BC上,/C與8。交于點(diǎn)G,若

16.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考三模）【閱讀理解】構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法,

我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問(wèn)題.例如：如圖，D是“LBC邊4B上一點(diǎn),E是ZC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作

CF//AB,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則易證E是線段。尸的中點(diǎn).

【經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用】請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題.

（1）如圖1,在正方形/BCD中，點(diǎn)E在Z8上，點(diǎn)尸在8c的延長(zhǎng)線上，且滿足/E=C尸，連接E尸交4C

于點(diǎn)G.求證：①G是E尸的中點(diǎn)；②CG與5E之間的數(shù)量關(guān)系是：

【拓展延伸】（2）如圖2,在矩形中，4B=23C,點(diǎn)E在上，點(diǎn)尸在3C的延長(zhǎng)線上，且滿足

4E=2CF,連接E尸交/C于點(diǎn)G.探究3E和CG之間的數(shù)量關(guān)系是：:

17.（2024?遼寧大連?二模）【問(wèn)題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問(wèn)題：

如圖1,在中，點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，點(diǎn)E是/C的一個(gè)三等分點(diǎn)，S.AC=3CE,連接CD,BE交于點(diǎn)、

F,求證：CF=FD.

①如圖2,小鵬同學(xué)利用“三角形中位線的性質(zhì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，取班的中點(diǎn)G,連接。G,再通過(guò)“全等三角

形的性質(zhì)”解決問(wèn)題；②如圖3,小亮同學(xué)利用“三角形相似的性質(zhì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，過(guò)點(diǎn)C作CG〃/3,交.BE

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,再通過(guò)“全等三角形的性質(zhì)”解決問(wèn)題.

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過(guò)程.

【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將證明三角形線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為我

們熟悉的角度去理解.為了幫助同學(xué)們更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師又提出了一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：如圖4,

在“BC中，點(diǎn)。是43的中點(diǎn)，點(diǎn)E,G是/C的三等分點(diǎn)，BG,8E與CD分別交于點(diǎn)4,F,求HD:HF

的值.

【學(xué)以致用】（3）如圖5,在AABC中，AC=BC,在射線上取點(diǎn)。，使30=248,連接CD,在CD上

取點(diǎn)E,射線班，。相交于點(diǎn)尸，當(dāng)E8=E。時(shí)，求尸的值.

18.（2023?湖北隨州?模擬預(yù)測(cè)）［初步嘗試］（1）如圖①，在三角形紙片48c中，ZACB=90°,將V48c折

疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)。重合，折痕為則與端的數(shù)量關(guān)系為；

［思考說(shuō)理］（2）如圖②，在三角形紙片N8C中，AC=BC=6,48=10,將V4BC折疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)C重

合，折痕為求瞿的值；