動點在二次函數(shù)圖象中的分類討論

1、如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,cosA=1，點P是邊AB上的動點，以B4為半徑作。尸.

4

(1)若。.尸與AC邊的另一個交點為。，設AP=尤，APC。的面積為》求y關于x的函數(shù)解析式，并

直接寫出函數(shù)的定義域；

(2)若。尸被直線8C和直線AC截得的弦長相等，求4尸的長；

(3)若。C的半徑等于1,且。P與。C的公共弦長為應，求AP的長.

2、如圖1,在四邊形OA8C中，AB//OC,軸于點C,A(l,-1),8(3,—1),動點尸從。出發(fā)，沿著x

軸正方向以每秒2個單位長度的速度移動.過點尸作P。垂直于直線。4,垂足為Q.設點尸移動的時間為

f秒(0?2),AOP。與四邊形042c重疊部分的面積為S.

(1)求經(jīng)過。、A、8三點的拋物線的解析式，并確定頂點〃的坐標；

(2)用含f的代數(shù)式表示點尸、。的坐標；

(3)如果將AOP。繞著點尸按逆時針方向旋轉90。，是否存在3使得AOP。的頂點。或。在拋物線

上？若存在，請求出f的值；若不存在，請說明理由；

(4)求出S與/的函數(shù)關系式.

3

3、如圖1,△A8C是以BC為底邊的等腰三角形，點A、。分別是一次函數(shù)y=—+3的圖像與y軸、x

軸的交點，點2在二次函數(shù)y=g/+笈+c的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點。使四邊形ABC。能

構成平行四邊形.

(1)試求6、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式;

（2）動點P從A到。，同時動點。從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：

①當P運動到何處時，由PQLAC?

②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？

4、如圖1,拋物線？=2_/一3工一9與無軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,聯(lián)結BC、AC.

22

（1）求A2和0C的長；

（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作BC的平行線交AC于

點。.設AE的長為機，AADE的面積為s,求s關于相的函數(shù)關系式，并寫出自變量機的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，聯(lián)結CE,求ACDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與8C相切的

圓的面積（結果保留兀）.

5、如圖1,圖2,在AABC中，AB=13,8C=14,cosZABC=--

13

探究如圖1,AHL8C于點“，則A”=,AC=,A4BC的面積SAABC=.

拓展如圖2,點。在AC上（可與點A、C重合），分別過點A、C作直線8。的垂線，垂足為E、F.設

BD=x,AE=m,CF=n.（當點。與點A重合時，我們認為SAABD=O）

（1）用含X,機或〃的代數(shù)式表示SxABD及SACBD；

（2）求（“z+”）與x的函數(shù)關系式，并求（"z+a）的最大值和最小值；

（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點。，指出這樣的x的取值范圍.

發(fā)現(xiàn)請你確定一條直線，使得A、3、C三點到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這

個最小值.

AA

BH

6、如圖1,在RtA4BC中，ZC=90°,AC=8,8C=6,點尸在AB上，AP=2.點、E、E同時從點尸出發(fā)，

分別沿B4、以每秒1個單位長度的速度向點A、8勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿A8向點

8運動，點尸運動到點8時停止，點E也隨之停止.在點E、尸運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH,

使它與AABC在線段的同側.設E、下運動的時間為f秒Q>0),正方形E尸G8與AABC重疊部分的面積

為S.

(1)當f=l時，正方形EFGH的邊長是；當f=3時，正方形EFGH的邊長是；

(2)當1<二2時，求S與f的函數(shù)關系式；

(3)直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？

AEP

1.思路點撥

1.APCO的底邊C￡>上的高，就是弦A￡>對應的弦心距.

2.若。尸被直線和直線AC截得的弦長相等，那么對應的弦心距相等.

3.OC的半徑等于1,公共弦MN=0,那么ACMN是等腰直角三角形.在四邊形CMPN中，利用

勾股定理列關于x(。2的半徑)的方程.

滿分解答

(1)如圖2,在RtAABC中，AC=4,cosA=-,所以A8=16,BC=4715.

設弦AD對應的弦心距為PE,那么AE=-AP=_x,PE=

所以y=SAPco=LcD.PE=L(4—'x)x^

2224

定義域是0<x<8.

(2)若。尸被直線BC和直線AC截得的弦長相等，那么對應的弦心距尸b=PE.

因此四邊形AEP尸是正方形(如圖3),設正方形的邊長為江

由SAABC=SAACP+SABCP，得ACBC=m(AC+BC).所以m=4、彳妙=30-2后

4+4岳7

此時A￡="30.2詬=口叵二2,……8A-8

AP=4AE=-.....

777

(3)如圖4,設。C與。尸的公共弦為MMMN與CP交于點、G.

由于CM=CN=1,MN=也,所以ACMN是等腰直角三角形，CG=NG=—.

2

如圖5,作于〃，由AC=4,那么AH=1,CH2=15.

所以CP=dcH2”H2=J15+(x—1)2.因止匕/G=J15+(X-1)2—與(如圖4).

由勾股定理，得Y=“15+(x—?一與Y+(與丫.

如圖4,在RtAPNG中,

整理，得2f—64x+257=0.解得玉=%二手見，々=衛(wèi)苧邁(舍去).

2.思路點撥

1.AOP。在旋轉前后保持等腰直角三角形的形狀.

2.試探取不同位置的點尸，觀察重疊部分的形狀，要分三種情況討論.

滿分解答

(1)由A(l,—1)、8(3,—1),可知拋物線的對稱軸為直線尤=1,點。關于直線r1的對稱點為(4,0).

于是可設拋物線的解析式為y=ox(x—4),代入點A(l,-1),得-3a=-1.

解得a=；.所以y=gx(x_4)=；(x—2)2.頂點Af的坐標為(2,—：).

(2)AOPQ是等腰直角三角形，P(2t,0),

(3)旋轉后，點。，的坐標為(2f,—2f),點。，的坐標為(3f,—t).

將。'⑵,一2f)代入y=g尤(無-4),得-2f=gx2f⑵-4).解得r.

將0(3乙一。代入了=3尤(無-4),得T=；x3?3t-4).解得f=L

因此，當f=g時，點。落在拋物線上(如圖2)；當f=l時，點落在拋物線上(如圖3).

(4)①如圖4,當0</1時，重疊部分是等腰直角三角形。尸。.此時S=P.

②如圖5,當1〈云1.5時，重疊部分是等腰梯形OP朋.此時Ab=2f—2.

此時S=：(2t+2/-2)xl=2-l.

③如圖6,當時，重疊部分是五邊形OCEFA.

此時CE=CP=2t—3.所以BE=BF=l-(2/-3)=4-2f.

所以S=；(3+2)xl-g(4-2。2=-2?+&-?.

圖6

3.思路點撥

1.求拋物線的解析式需要代入8、。兩點的坐標，點8的坐標由點C的坐標得到，點。的坐標由AO

=BC可以得到.

2.設點產(chǎn)、。運動的時間為3用含有f的式子把線段AP、CQ、A。的長表示出來.

3.四邊形PDC。的面積最小，就是AAP。的面積最大.

滿分解答

(1)由y=—工》+3,得A(0,3),C(4,0).

-4

由于2、C關于OA對稱，所以3(—4,0),BC=8.

因為AD//BC,AD=BC,所以。(8,3).

將3(—4,0)、。.(8,3)分另1]代入)=—X2+以+°,得4

-8[8+8b+c=3.

解得6=-工，c=—3.所以該二次函數(shù)的解析式為>=工/—Lx—3.

4-84

(2)①設點尸、。運動的時間為

4

如圖2,在AAP。中，AP=t,AQ=AC~CQ=5~t,cosZPAQ=cosZACO=-.

當PQLAC時，蛋=3.所以解得AP=，=空.

AP5t59

圖2圖3

②如圖3,過點。作QHLAO,垂足為H.

111333

由于SA”°=——AP-AQsin/PAQ=—f(5—t)x—=——t2+-t，

2225102

SAACD=—AD-OA=—x8x3=12>

22

所以S四邊形P?C2=SAAC?—SAAP2=12—(——Z2+—Z)=—(Z——)2+—?

1021028

所以當AP=|■時，四邊形POC。的最小值是￡.

4.思路點撥

1.A4￡)E與AACB相似，面積比等于對應邊的比的平方.

2.ACDE與AAOE是同高三角形，面積比等于對應底邊的比.

滿分解答

1Q1

(1)由丫=±/—士》一9=上(》+3)(》一6)，得4一3,0)、8(6,0)、C(0,—9).

,222

所以AB=9,OC=9.

(2)如圖2,因為DEHCB，所以△AOES/XACB.

所以黑些=(絲)2.

SAACBAB

1QI

而SAACB=5A3OC=5,AE=m,

所以S=S2DE=(若fX5MCB=(￡)2X?=；加2?

AnyZZ

m的取值范圍是0〈根<9.

(3)如圖2,因為OE7/C8,所以02=殷='二生.

ADAEm

因為ACDE與AADE是同高三角形，所以&些=烏="”.

SgDEA°JTl

grpic9—m121291,9281

nTTASArnP=----------x—m=——m+—m=——(m——)-1----------

△CDEm222228

當機=2時，△CDE的面積最大，最大值為以.

28

此時E是AB的中點，BE=上

2

如圖3,作EHLCB,垂足為

在R3B0C中，0B=6,。。=9,所以sinB=-J==^l

V1313

在RtAB即中，EH=BE-sinB=?=?屈.

21326

當。E與3c相切時，r=EH.所以s=yr/=%萬.

52

6.答案探究AH=12,AC=15>SAABC~84.

拓展(1)S^ABD=_mx，S^CBD=—nx-

22

(2)由SAABC=SAAB￡>+SACBO,W—mx+—=84?所以m+〃=

22x

由于AC邊上的高3G=史，所以x的取值范圍是變裝14.

55

所以(/〃+〃)的最大值為15,最小值為12.

(3)尤的取值范圍是尤=色或13c爛14.

5

發(fā)現(xiàn)A、B、C三點到直線AC的距離之和最小，最小值為變.

5

6.思路點撥

1.全程運動時間為8秒，最好的建議就是在每秒鐘選擇一個位置畫8個圖形，這叫做磨刀不誤砍柴工.

2.這道題目的運算太繁瑣了，如果你的思路是對的，就堅定地、仔細地運算，否則放棄也是一種好的

選擇.

滿分解答

(1)當￡=1時，EF=2；當/=3時，EF=4.

(2