2025年中考數學二輪復習：圓與二次函數壓軸練習題

一'選擇題（每題3分，共24分）

1.用一個圓心角為心（n為常數，0<n<180）的扇形作圓錐的側面，記扇形的半徑為R,所作的圓錐

的底面圓的周長為1,側面積為S,當R在一定范圍內變化時，與S都隨R的變化而變化，貝也與R,S與R滿

足的函數關系分別是（）

A.一次函數關系，一次函數關系B.二次函數關系，二次函數關系

C.一次函數關系，二次函數關系D.二次函數關系，一次函數關系

2.如圖，拋物線y=——2%—3與x軸交于A、B兩點，拋物線的頂點為D,點C為AB的中點，以C

為圓心，4C長為半徑在x軸的上方作一個半圓，點E為半圓上一動點，連接DE,取DE的中點F,當點

E沿著半圓從點A運動至點B的過程中，線段2F的最小值為（）

A.V5-1B.2V5-1C.2V2-1D.242-2

3.如圖，動點P在線段AB上（不與點A,B重合），AB=1.分別以AB,AP,BP為直徑作

半圓，記圖中所示的陰影部分面積為y,線段AP的長為%.當點P從點A移動到點B時，y

隨久的變化而變化，則陰影面積的最大值是（）

4.如圖，點P在拋物線y=x2-3x+l上運動，若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，則符合上述條件

的所有的點P共有（）

B.3個C.4個D.5個

5.已知拋物線y=a(x-3)2+孕過點C(0,4),頂點為M,與x軸交于A、B兩點.如圖所示以AB為直徑

作圓，記作。D,下列結論：①拋物線的對稱軸是直線x=3；②點C在。D夕卜；③在拋物線上存在一

點E,能使四邊形ADEC為平行四邊形；④直線CM與。D相切。正確的結論是()

C.①③④D.①②③④

6.如圖，ZBAC=60°,點O從A點出發，以2cm/s的速度沿NBAC的角平分線向右運動，在運動過程

中，以O為圓心的圓始終保持與NBAC的兩邊相切，設。。的面積為S(cn?),則。。的面積s與圓心

。運動的時間t(s)的函數圖象大致為()

7.如圖，拋物線y=義/一％一|與X軸交于點4,B,與y軸交于點C,頂點為。，以4B為直徑在X軸上方

畫半圓交y軸于點E,圓心為/,P是半圓上一動點，連接DP,點Q為PD的中點.下列四種說法：

①點C在上；

②IQCD；

③當點P沿半圓從點B運動至點4時，點Q運動的路徑長為兀；

④線段BQ的長可以是3.2.

其中正確說法的個數為（）

8.圖，拋物線y=^/—3%-3的圖像與x軸交于點A,B,交y軸于點C,動點P在射線AB運動,

作ABCP的外接圓。M,當圓心M落在該拋物線上時，則AP的值（）

二'填空題（每題3分，共15分）

9.在平面直角坐標系中，已知OP的半徑為2,圓心P在拋物線y=2上運動，當。尸與x軸相

切，且圓心P在第二象限內時，圓心P的坐標為.

10.劉微是我國魏晉時期卓越的數學家，他首次提出“割圓術”，利出圓內接正多邊形逐步逼近圓來近似

計算圓周率.如圖，多邊形公慶&…4是。。的內接正九邊形.已知。。的半徑為r，乙生。4的度數為

a,點。到&A2的距離為d，△AiO&的面積為S.下面推斷中,

①當n變化時，a隨n的變化而變化，a與n滿足函數關系a=當5.②無論"，r為何值，總有ziS=

nr2.③若ri為定值，當r變化時，S隨r的變化而變化，S與r滿足二次函數關系.其中正確的

是.（填序號）.

11.如圖，已知OP的半徑為2,圓心P在拋物線y=E久2一2上運動；當OP與X軸相切時；圓

心P的坐標為.

12.如圖，拋物線y=5久2—4與x軸交于A、B兩點，P是以點C（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動

點，Q是線段PA的中點，連結OQ.則線段0Q的最小值是.

13.如圖，拋物線y=（久-2）2-1與y軸交于點4,與％軸交于B、C,點Z關于拋物線對稱軸的對稱點為

點。，點E在y軸上，點F在以點C為圓心，半徑為④的圓上，當DE+EF取得最小值時，點E坐標

是

A'D

三'解答題(共7題，共61分)

14.如圖，以E(3,0)為圓心，5為半徑的OE與x軸交于A、8兩點，與y軸交于C點，拋物線y=

(2)求拋物線的解析式及頂點口的坐標;

(3)已知P是拋物線上位于第四象限的點，且滿足SU4BP=S/4BC，連接PF,判斷直線PF與。E的位

置關系并說明理由.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，以。4為直徑的半圓，圓心為8,半徑為1.過y軸上

點C(0,2)作直線CD與。3相切于點E,交x軸于點D二次函數產加―2G的圖象過點c和。

交x軸另一點為b點.

(1)求拋物線對應的函數表達式；

(2)連接OE,如圖2,求sin/AOE的值;

(3)如圖3,若直線CD與拋物線對稱軸交于點Q,M是線段0C上一動點，過“作MN//CD交x軸

于N,連接QM,QN,設CM=3AOMN的面積為S,求S與/的函數關系式，并寫出t的取值范圍.S

是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.

16.已知：如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(4,0),點B在y軸的正半軸上，且

tan/OAB=,，點P是線段AB上的一個動點，以點P為圓心，PA為半徑作。P交x軸于C點，記過點

A、B、C的拋物線頂點為D點，設PA=5m.

(1)求線段OA和AB的長.

(2)①求用含字母m的代數式來表示點C的坐標.

②當點C在x軸的正半軸上，且OC：PA=8：15時，求拋物線的解析式.

(3)如圖2,過點D作DE〃x軸交y軸于點E,作直線CD交y軸于點F,當。P與ADEF其中一邊

所在的直線相切時，求所有滿足條件的m的值.

17.如圖1,過點A(0,4)的圓的圓心坐標為C(2,0),B是第一象限圓弧上的一點，且BC_LAC,

拋物線y=x?+bx+c經過C、B兩點，與x軸的另一交點為D.

(1)點B的坐標為(),拋物線的表達式為

(2)如圖2,求證：BD〃AC；

(3)如圖3,點Q為線段BC上一點，且AQ=5,直線AQ交。C于點P,求AP的長.

18.如圖，OE的圓心E(3,0),半徑為5,OE與y軸相交于A,B兩點(點A在點B的上方)，與x

軸的正半軸交于點C,直線1的解析式為y=,x+4,與x軸相交于點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線1與。E的位置關系，并說明理由；

(3)動點P在拋物線上，當點P到直線1的距離最小時，求出點P的坐標及最小距離.

19.如圖1是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后可近似看成一個J圓，即弧AOC,已知OA和

遮陽棚桿子OD在同一條直線上，且與地面垂直，當上午某一時刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈45°

角時，光線恰好能照到桿子底部D點，已知OD長為2m.

(2)如圖2當下午某一時刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60°角，在遮陽棚外，距離遮陽棚外檐

C點正下方E點(遮-1)血的F點處有一株高為1.2m的植物，請問植物頂端是否會被陽光照射到?請說明理

由.(遙?1.73)

(3)如圖3為擴大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一部分，已知

新遮陽棚上最高點仍為2點，且外檐點c'到AD的距離為差小、至的距離為現需過遮陽棚上-點

P為其搭設架子，架子由線段GP、線段PH兩部分組成，其中GP14D,PH與地面垂直，若要保證從遮陽

棚上的任意一點P(不含4點)都能按照上述要求搭設架子，則至少需要準備多少加的鋼材搭設架子？

20.【項目式學習】

項目主題：建筑學中“拱”的建造及裝飾

項目背景：拱結構由于其美觀且堅固的特點，在古代建筑中得到了廣泛的應用，并在現代建筑中也有不

少應用.目前已知對拱最早的使用是公元前2000年美索不達米亞地區的磚拱，公園前200年兩河流域

Ctesip/ione（現在伊拉克中部）Sascmicm王朝的近似拋物線型磚拱已經橫跨近28米、高40米了（如圖）.（注：

拋物線拱，就是由截面均為拋物線形狀弧構成的拱.）

(a)(b)(c)

項目素材：

素材1：某地在進行景觀改造過程中模擬建設了一座與Sasmian王朝的石專拱同樣跨度（即圖中的地面

AB=28米）和高度（最高點離地面40米）的拋物線拱（圖（a）為其中一處拋物線拱截面）.

在圖（a）的拋物線拱截面距離地面20米高的墻面上安裝有一根用于燈光布置的橫梁GH.

素材2：圖（b）為另一處拋物線拱截面.景點要求工人師傅在拋物線拱上做一個正方形（PCQD）裝飾

品，要求C,。兩點在拋物線上（C在。的左側），P是拋物線的頂點，且PQ與地面垂直.

素材3：如圖（c）,景點管理公司利用素材1中的橫梁GH安裝了一個半徑為8米的圓形燈光飾品，后來

為了美觀，公司要求安裝燈光的師傅將圓形燈光飾品改裝成月牙形的燈光飾品，安裝師傅于是將原圓形燈

光飾品的一段劣弧EN沿一條直線翻折，EMN交GH于點、M.

項目任務：

任務1：素材1中橫梁GH的長度是多少米？（結果若有根號則保留根號）

任務2：素材2中工人師傅的安裝計劃若能實現，那么點C距離地面的高度是米.

任務3：在素材3中，經測量發現EM=10,FM=6.請直接寫出兩月牙尖的距離.

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】（-2也2）

10.【答案】①③

11.【答案】（，2）或（-2魚，2）或（0,-2）

12.【答案】|

13.【答案】（0,

14?【答案】（1）解：?.?以E（3,0）為圓心，5為半徑的OE與x軸交于A、B兩點,

；.4（一2,0）,B（8,0），

連接CE,

在RtZkOCE中，0E=4E-。4=5-2=3,CE=5,

由勾股定理得0C=y/CE2-0E2=V52-32=4，

."（0,-4）;

（2）解：點4（—2,0）,B（8,0）在拋物線上,

，設拋物線的解析式為y=a(x+2)(%-8),

;點C(0,-4)在拋物線上，

**?—4-a(%+2)(%—8))解得a=J,

，拋物線的解析式為：y=,(%+2)(%—8)，即y=^x2——4，

11”

??》=4(%+2)(無-8)=4。-3)2—彳

—令:

(3)解：直線PF與。E相切，理由如下：

V△ABC中，底邊AB上的高0C=4,

；.P是拋物線上位于第四象限的點，且滿足S4ABp=S4ABe，則P(6,-4)，

如圖，連接PE,PF，過點P作PG1對稱軸EF于點G,貝!JPG=3,EG=4，

在Rt△PEG中，由勾股定理得：PE=yJPG2+GE2=V32+42=5，

.?.點P在OF上，

由(2)知，尸(3,一令，

.25

??即=~4~'

Q

???FG=EF-EG=^，

在RtAPGF中，由勾股定理得：PF=VPG2+GF2=卜+=苧,

22

在△EFP中，YEP?+FP=5+得尸=(竽＞=EF2,

...△EFP為直角三角形，/.EPF=90°,

:點P在OE上，且Z.EPF=90°,

，直線PF與OE相切.

15.【答案】（1）證明：連接BE訃、

~~lo（B

VCD與。B相切于點E.\BE±CD

設點D的坐標為（x,0）,則BD=x—1

在AOCD和AEBD中，｛第憶瑞一(CD^AEBD

:端=照即1=合.\CD=2x—2在RtAOCID中，OC2+OD2=CD2即22+X2=(2X-2)2解得XI=1,

X2=0（舍去）

即點D的坐標為(”0)

把C(0,2),D(|,0)代入y=ax2—2ax+c中得：

函數解析式為：y=—葛x2+2x+2

04

(2)解：連接BE,CB,CB交OE于H碌、\-

；CD與。O相切于E,COLOB于

JR3,

0,BO為。O半徑

；.CO與。O相切于O

.\BC±OE于點H?.ZOCH+ZCOH=ZBOH+ZCOH=90°,

ZBOH=ZCOH

即NAOE=/OCBAsinZAOE=sinZOCB=空

CD

在RtAOCB中，VOB=1,OC=2由勾股定理得BC=y/OB2+OC2=V5

：.stn^AOE=^==^~

(3)存在，理由如下：連接DM,據題意有CM=t,OC=2,OD=1,貝！J0M=2-t

?.?MN//CDZONM=ZODC且SAQMN=SADMN

tanZONM=tanZODC

284844

2-t_PC-D

8---t----t

?'-'0N=OD33333

3-

114772

.S—SAQMN-SADMN-ND?0M??S—5x滅_t）=_我（t_1）+滅

?點M在OC上運動0<t<2

?.?s與t成二次函數關系，且—|<。

.?.當t=l時，S有最大值，為,

16.【答案】(1)解：「yin，0),

0A=4,

在RtzlOAB中，tcinz.OAB——,，

OB=3,

由勾股定理得力B=5,

即04長為4,43長為5；

(2)解：①如下圖所示，過點P作軸于點M,

圖1

在4PM中，tanZ.OAB=彳，

PM：MA：PA=3：4：5,

???PA=5m,

:.PM=3m,MA=4m,

???CM=MA=4m,

??.AC=8m,

即C(4—8zn,0);

②,:OC：PA=8：15,

4-8m_8

'~5m~=15，

解得771=I，

o

AC(l,0),

設拋物線的解析式為：y=a(x-l)(x-4),

把B(0,3)代入解析式得3=a(0-1)(0—4),

解得a

=Jq,

QQIC

???y=4。-1)(久一4)=4/一彳%+3，

即拋物線的解析式為y=-苧久+3;

(3)解：?"(4,0),C(4-8m,0)，

:.設拋物線解析式為y=a(x-4)(x-4+8m),

由圖知，點C在x軸正半軸上，

①當。P與DE相切時，如下圖所示，

??,PM經過點D,且DEJ.PM,

OE且。P于點D,

PD=5m,

DM=2m,

即0(4—4m,—2m),

把B(0,3),。(4一4m,-2m)代入拋物線的解析式,

把.(3=a(—4)(—4+8m),

'I—2m=a(-4m)4m'

7

a=

解得162

n_

m=7

.,.此時血的值為,

②當G)P與OF相切時，如下圖所示,

連接PC,

???PC1DF,

???/,PCM+2LDCM=90°,

???乙DCM+乙CDM=90°,

???乙CDM=乙PCM,

又???乙PMC=乙CMD=90°,

???APCM?ACDM,

CM_DM

'PM=~CMf

即DM=-

c416、

D(4—4m,-^-mp

把B(0,3),0(4—4m,竽m)代入拋物線的解析式,

3=a(-4)(—4+8)7i)

得：16rA9

--g-m=a(—4m)4m

(_41

解得"魯

lm=41

???此時m的值為莫；

41

③當OP與EF相切時，如下圖所示，

則％P=5m,

???4—4m=5m,

m=%

綜上，符合條件的m的值為，或辭或*

".【答案】(1)6；2；y=x2+|x-7

⑵證明：在拋物線表達式y=x2+3x-7中，令y=0,即一4x2+|x-7=0,

解得x=2或x=7,AD(7,0).

如答圖2所示，

to

/答圖2\

過點B作BE_Lx軸于點E,則DE=OD-OE=1,CD=0D-OC=5.

在RtABDE中，由勾股定理得：BD=VBE2+DE2=V22+I2=V5;

在RtABCE中，由勾股定理得：BC=JBE?+CE2=V22+42=V20.

BCD中，BD=V5,BC=V20,CD=5,

,."BD2+BC2=CD2

；.△BCD為直角三角形，ZCBD=90°,

；.NCBD=NACB=90。，

；.AC〃BD

(3)解：如答圖3所不：

答圖3

由(2)知AC=BC=V20,又AQ=5,

則在RtAACQ中，由勾股定理得：CQ=AQ2-AC2=52-(V20)2=居■

過點C作CFLPQ于點F,

VSAACQ=|AC?CQ=1AQ?CF,

?AGCQ=720-75

??5-~AQ—5-=—92.

在R3ACF中，由勾股定理得：AF=VXC2-AF2=(V20)222=4.

由垂徑定理可知，AP=2AF,

；.AP=8.

18.【答案】(1)解：如圖1,連接AE,由已知得：AE=CE=5,OE=3,

在R3AOE中，由勾股定理得：OA=yjAE2-OE2=V52-3=4,

VOCXAB,

...由垂徑定理得：OB=OA=4,OC=OE+CE=3+5=8,

AA(0,4),B(0,-4),C(8,0),

?.?拋物線的頂點為C,

.?.設拋物線的解析式為：y=a(x-8)2,

將點B的坐標代入得：64a=-4,

a--1

a-16'

；.y=一克(x-8)2,

...拋物線的解析式為：y=--x2+x-4；

(2)解：直線1與。E相切；

理由是：在直線1的解析式y=|x+4中，

當y=0時，即1x+4=0,x=-竽，

；.D(-竽，0)，

當x=0時,y=4,

.?.點A在直線1上，

在RtAAOE和RtADOA中,

..OF_3OA_3

-0A=4,OD=4'

.OE_OA

''OA=OD'

?.?NAOE=NDOA=90。，

；.△AOE^ADOA,

.\ZAEO=ZDAO,

VZAEO+ZEAO=90°,

.\ZDAO+ZEAO=90°,

即NDAE=90。，

直線1與。E相切；

(3)解：如圖2,過點P作直線1的垂線PQ,過點P作直線PMLx軸，交直線1于點M,

設M(m,最m+4),表m2+m-4),

4

則PM=+4-(上m2+m-4)_121m+8=表（吐―2猿+苧，

16一16m

當m=2時，PM取最小值是斗,

此時，P(2,-1),

對于△PQM,

,.?PM1,X軸，

ZQMP=ZDAO=ZAEO,

又NPQM=90°,

PQM的三個內角固定不變，

在動點P運動過程中，△PQM的三邊的比例關系不變，

當PM取得最小值時，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小?sinNQMP=PM最小?sinNAEO=卒=把，

455

當拋物線上的動點P(2,-I)時，點P到直線1的距離最小，其最小距離為卷.

19.【答案】(1)解：：弧AOC

???OA=OC

???OC±AD,ZODC=45°

???OD=OC=2m

OA=2m

(2)解：如圖所示，MP與弧線AOC相切于M