重難點05空間向量中的易錯題型（六種）匯總

題型解讀

好量滿分技巧/

易錯一.向量概念的問題，忽略了零向量的特殊性.

易錯二.五方的夾角問題，注意去掉共線的問題.

易錯三.混淆異面直線的夾角與向量的夾角

1.兩異面直線所成角的范圍是ee（0,自，兩向量的夾角a的范圍是［0,捫，所以要注意二者的區別與聯系，

應有cose=|cosa\.

易錯四.易混淆直線與平面所成角與向量角

用向量法求直線OP與a成的角時一般有兩種途徑:一是直接求線面角；二是通過求＜萬麗〉進而轉化求解,

其中元為平面a的法向量，此時應特別注意OP與平面a所成角8與＜元麗〉的關系，它們互為余角，注意最

后轉化.

易錯五.二面角的求解注意判斷鈍角與銳角

1.二面角注意區分銳角與鈍角

2.兩個平面所成角為,不需要判斷銳角與鈍角.

卻*題型提分練

題型1忽視零向量

【例題1]（2023秋?高二單元測試）給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體力BCD-4/1的。1中，必有芯=不互；

③⑷=同是向量五=B的必要不充分條件；

④若空間向量而無力滿足而〃元元〃力，則下〃戶.

其中正確的命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【分析】對于①，有向線段不是向量，只是可以表示向量；對于②，根據向量相等的定義可知命題正確；

對于③，若向量相等，則模一定相等，但若模相等，則方向不一定相同；對于④，當元=6時，成萬不一定

平行.

【詳解】對于①，有向線段可以表示向量，但不是向量，故①不正確；

對于②，根據正方體4BCD-4/聲心中，向量尼與咫的方向相同，模也相等，則衣=，故②正確；

對于③,因為五=3可以推出同=同，⑷=同推不出2=b,故③正確；

對于④，向量的平行不具有傳遞性，比如當元為零向量時，零向量與任何向量都平行，則而萬不一定平行.故

④不正確.

故選：B.

【點睛】本題考查了命題真假的判斷，考查了必要不充分條件，考查了空間向量的有關概念，屬于基礎題.

【變式1-1]1.（2020秋?北京平谷?高二校考階段練習）給出下列命題:

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體ABC。-A%G5中，必有前=兀石；

③⑷=網是向量a=b的必要不充分條件；

④若空間向量m,n,p滿足7n\\n,n\\p,則mIIp.

其中正確的命題的個數是

A.1B.2

C.3D.0

【答案】B

【分析】①有向線段起點和終點是固定的，而空間向量是可以平移的；②前和az,大小一樣方向相同，

二者相等；③⑷=網不能推出a=b；④n為零向量時，這一特殊情況要注意，就不成立.

【詳解】有向線段可以表示向量，但不是向量，故①不正確；根據正方體4BCD-&%的5中，向量而與砧:

的方向相同，模也相等,則尼=砧T，故②正確；命題③顯然正確；命題④不正確，向量的平行不具有傳

遞性，比如當"為零向量時，零向量與任何向量都平行，則巾,n不一定平行.故選B.

【點睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量與任何向量都是平行向量

【變式1-1]2.（多選）（2022秋?廣東陽江?高二校聯考期中）以下關于向量的說法正確的有（）

A.若五=b,則|五|=同

B.若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓

C.若五=-bS.b--c,貝!]五

D.若五與3共線，B與，共線，貝皈與3共線

【答案】AC

【分析】根據向量的基本概念和性質即可逐項判斷.

【詳解】若五=石，則蒲麗的大小相等，方向相同，故A正確；

將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個球，故B錯誤；

若五=-b,b--c,貝!]五=-（-c）=c,故C正確；

若匯與旗線，B與洪線，則當B=。時，無法判斷五與汨勺關系，故D錯誤.

故選：AC.

【變式1-1]3.（2022?全國?高二專題練習）下列命題正確的是（）

A.若d與另共線,另與0共線，貝心與0共線

B.向量房共面就是它們所在的直線共面

C.零向量沒有確定的方向

D.若明/另，則存在唯一的實數4使得3=Ab

【答案】C

【分析】根據向量共線、共面、零向量等知識確定正確選項.

【詳解】若2與3共線，B與0共線，則五與0共線，如果3=0,2與0不共線，4不正確.

向量a3,共面就是它們所在的直線共面，這是不正確的，三個向量所在直線可以互為異面直線.B錯誤.

零向量沒有確定的方向，滿足零向量的定義C正確.

若附加，則存在唯一的實數4使得。=焉,不正確，因為另=0,時不成立.D錯誤.

故選：C.

題型2忽略向量夾角定義

【例題2]（2023春?河南南陽?高二校考階段練習）如圖，四面體ABCD中，M,N分別為AB和CD的中點,

AD=2,BC=4,且向量而與向量近的夾角為120。，則線段MN長為（）

A.V3B.V7C.W或板D.3或3百

【答案】A

【分析】取AC的中點E,可得標=ME+EN,然后利用模長公式即得.

【詳解】取AC的中點E,連接ME、EN,又M,N分別為和CD的中點，

.-.MEllBC,且ME==2,ENIIAD,且EN=1,

一.向量而與向量前的夾角為120。，

，向量前與向量麗的夾角為120。,

又而=流+麗，

二|麗?=(而+麗『=砒2+2M￡,EN+EN2=22+2x2xlx(-|)+l2=3,

=V3,即線段MN長為禽.

故選：A.

—>—>

【變式2-1]1.(2022?全國?高二專題練習)已知空間中四個不共面的點0、A、B、C,若|。8|=\OC\,且

—>—>—>—>—>—>

cos<0A,OB>=cos<0A,OC>,貝!]sin<0A,BC>的值為()

A.1B.-C.-D.-

222

【答案】A

【分析】根據cos<0A,OB>=COS<0A,OC>和|赤I=I而I可得正?礪=OA-OC.故而就?麗=瓦??

{OC-OB)=0,彳導出1BC.

【詳解】.COS<OA,OB>=COS<0A.,OC>,

.OAOB_OAOC

,'\OA\-\OB\=\OA\-\OC\'

?I畫二|南,

.\OA?OB=OA^OC,

.<OA-BC=OA^OC-OB)=0,

：^0A1BC.

.-.sin<01,BC>=sin^=l.

故選：A

【變式2-1]2.（2021?高二課時練習）如圖所示，在正三棱柱TWC-&B1G中，若[4即=V3I5BJ,則

向量福與向量畫的夾角為（）.

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

【答案】C

【解析】先建立建直角坐標系，設=V3,根據關系寫點和向量畫，跖,計算向量夾角余弦值，求角

即可.

【詳解】以4為原點，4C為y軸，44為Z軸，建立如圖空間直角坐標系，

設|4Bi|=V3IBBJ=V3,故底面等邊三角形的邊長MB|=V2,

則4（0,0,0）,8（苧凈0）,Bi（y,-y,l）,^（0,72,1）,

則福.跖號X（—?）+梟￥+1*1=0,

二福1跖，二（福，跖）=90".

故選：C.

【變式2-1]3.（多選）（2023秋?四川成都?高二校考階段練習）如圖，在平行六面體力BCD

其中以頂點A為端點的三條棱長均為6,且彼此夾角都是60。,下列說法中不正確的是（)

A.ACr=6V6

8.ACrlBD

C.向量瓦1與河夾角是60。

D.向量西與前所成角的余弦值為彳

【答案】CD

【分析】根據題意，利用空間向量的線性運算和數量積運算，對選項中的命題進行分析判斷，能求出結果.

【詳解卜在平行六面體4BCD-4/165中其中以頂點力為端點的三條棱長均為6目彼此夾角都是60。，

AA1-AB=AAj^-AD=AD-AB=6x6xcos60°=18.

對于A,（AAl+AB+AD）2=AA[+AB2+AD2+2標-AB+2AB-AD+2標?AD

=36+36+36+3x2x18=216,\ACr\=\AA1+AB+AD\—V216=6V6,A正確；

對于B,宿.麗=（近+AB+ADy（AB-AD）

=AA1-AB-AAl-AD+AB2-AB-AD+AB-AD-AD=0,

.■.ACllBD,即AC11BD,B正確；

對于C,連接，由題意可知△是等邊三角形，則乙=60°,

???瓦Z=初，且向量初與五二的夾角是120。，

向量瓦下與西夾角是120。,C錯誤；

對于D,???西=AD+AAI-~AB,AC=AB+AD,

：.~BDI.尼=（詬+磯-硝?（樂+砌

=AD-AB+AD2+AA^-AB+磯-AD-AB2-AB-AD=36,

|西|+AA^-AB）2=6V2,\AC\=J（AB+AD）2=6A/3,

cos<BD1，AC>=溫氤=6日陋=弓'D錯誤，

故選：CD

【變式2-1J4.（2023秋?重慶石柱?高二?？茧A段練習）如圖，空間四邊形04BC的各邊及對角線長都為2,

E是48的中點，尸在。C上,且赤=2FC,則向量屈與向量方所成角的余弦值為

【答案】-鬻

【分析】由題設。-ABC是棱長為2的正四面體，數形結合可得加=^AO+^AC-AB.OE=^AB-AO,

利用向量數量積的運算律及向量夾角公式求向量麗與向量不所成角的余弦值.

【詳解】由題意，。-4BC是棱長為2的正四面體,

_------?------>------>------>1--->--->--->7--->1--->7--->---?

而BFnBE+EO+OF'Ba+M+AO+iOC'AO+pCfB,

---?--->---?1---?--->

OE=OA+AE=-AB-AOl

所以|函=J(|Z04-|ZC-Z5)2=J而2+［前2+荏2+(而.尼_|而.荏前.荏

(4,16,4,848277

=-H------F4H-------------=-----,

7999333

\OE\=J(|AB-Zo)2=IAB2-AO-AB+AO2=V1-2+4=V3,

?~BF=AB-ZO)?(-ZO+-AC-AB)=-AB-AO+-AB-AC--AB2--AO2--AO-AC+AO-

、27k33763233

AB

445

=-+--2--+2=-

33333

所以3西明=京=e=-管

故答案為：-限

【變式2-1】5.（2023?全國?高二專題練習）如圖，在平行六面體4BCD-4當6。1中，以頂點4為端點的

三條邊的長度都為1,且兩兩夾角為60。.求西與前所成角的余弦值.

【分析】設出基向量，然后根據圖形，結合幾何關系用基向量表示出袍=-a+b+c,AC=a+1進而

根據數量積的運算律求出向量的模以及數量積，即可根據數量積的定義公式得出西以及就夾角的余弦值.

【詳解】設48=a,AD=b,AAt=c,

由已知可得五-b=d-C=b-c=lxlxcos60°=

因為BO】=BA+BC+BBi=—AB+AD+AA-1=—CL+b+3,

AC=AB+AD=a+bt

所以，麗2=(一/+3+。2=^2+p+-2_2-,g+2g,-_2-,-=1+1+1_2xl+2x|-2xi=

2,

AC2=(a+b)2=a2+b2+2a-b=1+1+2x(=3,

BD],AC—(—CL+b+c)?(a+b)———a,b+a?b+b2+a?c+b?3——1——4--+1+—+—=1,

所以網二魚，國二百，

所以，cos(BD；就)=竺?=-廠1廠=—,

八八'\L'忸D/|AC|V2XV36，

故國與北所成角的余弦值為言

6

題型3忽略異面直線所成角的范圍

【例題3]（2023秋?寧夏銀川?高二校考階段練習）已知直平行六面體ABCD-2/心必中，AA.=AB

BC=2,乙BAD=60°,則直線8&與3也所成角的余弦值為（）

A.-B.C.-D.0

424

【答案】A

【分析】以｛而，而，高｝為一組基底，利用向量法求解.

【詳解】解：如圖所示：

以｛屈，而，麗]為一組基底，

則友7=AD+AA1,B]D；=AD-AB,

則跖-B]D；=(AD+AA^)■(AD-AB},

=AD2-AD-AB-AAl-AB+磯-AD,

=AD2-\AD\-\AB\■cos60°-\AA^\■\AB\?cos90"+\AA^\■\AD\■cos90°,

=4-2-2?|-22。+22。=2,

2----->>>------>>2>—

+240.初+|皿=2近，

-2AD-AB+\AB\2=2,

以cos(BC；,B[D；)=BC],B’D]2_V2

甌H旃I2V2-2-4'

故選：A

【變式3-1]1.（2023秋?江蘇常州?高三常州高級中學校考開學考試）在空間直角坐標系。-孫z中,已知

異面直線4,%的方向向量分別為a=（1，-1,-2）,b=（1,1,2），則4,%所成角的余弦值為（）

A.|B.*C.-|D..f

【答案】A

【分析】根據向量的夾角公式結合已知條件直接求解即可

【詳解】設異面直線人，G所成角為。，

因為異面直線4,%的方向向量分別為之=（1,-1,-2）,b=（1,1,2）,

所以cos。=|cos(a,h)|=Iab|1-1-4|_2

I㈤同V1+1+4XV1+1+4—3

故選：A

【變式3-1]2.（2023秋?河南商丘?高二?？茧A段練習）如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱

^lABCD-a/iGA中，A4i=2AB=2,則異面直線4/與4必所成角的余弦值為（）

【答案】D

【分析】以點。為坐標原點，04DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量

法可求得異面直線&B與力久所成角的余弦值.

【詳解】在直四棱柱4BCD-48停1。1中，四邊形ABC。為正方形，

以點。為坐標原點，DA,DC、DA所在直線分別為％、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

貝1M(1,0,0)、8(1,1,0)、4式1,0,2)、M0,0,2),

所以，幣=(0,1,-2),M=(-1,0,2),

所以,cos(4B,4Di)=篇.篙=而泉=—1

因此，異面直線&B與2么所成角的余弦值為，

故選：D.

【變式3-1]3.(2023秋?江西撫州?高三黎J11縣第二中學?？奸_學考試)在正方體4BCD-4/道1劣中，E

是棱4。上一點,DE=24E,F是棱上一點，FC=3。/,則異面直線&E與BF所成角的余弦值為()

AV85B叵c—D—

34683468

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】不妨設4B=1,

以D為坐標原點，DADGDDi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

貝必E(|,0,0),￡>1(0,0,1),5(1,1,0),C(0,l,0),

所以硬=(一：,0,-1),珂==(0,1,-1),

所以方=西+印=西+]9=(-1,一滂),

所以COS(麗硒==_迤，

所以異面直線&E與BF所成角的余弦值為萼.

故選：A

【變式3-1J4.（多選）（2023秋?寧夏銀川?高二?？茧A段練習）如圖，在平行六面體4BCD-2/164中,

以頂點A為端點的三條棱長都為1,且=功力4=ABAAr=60°,則下列說法中正確的有（）

A.異面直線B4與CQ所成的角為120。

B.西=~BA+JB^+JC

C.BD1=2

D.直線DB與CG所成角的余弦值為0

【答案】BD

【分析】A選項，由異面直線夾角范圍可判斷選項正誤；B選項，由向量首尾相連法則結合圖形可判斷選項

正誤；C選項，由B選項結合向量模長公式可判斷選項正誤；D選項，注意到礪=AB-AD,后由向量夾

角余弦公式可判斷選項正誤.

【詳解】A選項，因異面直線夾角范圍為（0,5,故A錯誤；

B選項，由圖可知西=^A+AD+西,又說=就，西=西,則西=瓦？+兩+阮，故B正確.

C選項，由題可得，|朗=\AD\=|西I=1,(BA,AD)=~,(BA,AD)=g,(福西)=|,

貝!|畫|=J?+AD+

-------->--->2-->-->-->>>>

22

BA+AD+DD1+2BA■AD+2AD-DDr+2BA-DDr

=3-2xlxlxi+2xlxlxi-2xlxlx-=V2,KC錯誤;

Y222

D選項，施=屈_而，因I屈I=|AD|=1,（AB,AD）=]n\DB\=1.

又殖=說,則cos（屈-AD.AAi）=黨=AB-AA^-AD-AAl=

lxlx|-lxlx|=O,S^D正確.

故選:BD

題型4忽略五是的夾角為（銳）鈍角的條件中共線部分

【例題4】(2023秋?山東德州?高二?？茧A段練習)已知向量N=(1,1,0)5=(-1,0,2).

(1)若(a+fch)II(2a+h),求實數k；

⑵若向量N+癌與22+防斤成角為銳角，求實數k的范圍.

【答案】(疇

(2)(-1,i)ug,+00)

【分析】(1)利用向量的坐標運算及向量平行的坐標表示即可求解；

(2)根據已知條件及(1)的結論，利用數量積為正求出k的范圍，再去掉兩向量共線的情形即可.

【詳解】(1)因為江=(1,1,0),b=(-1,0,2),

所以d+kb=(1—k,1,2k),2a+b=(1,2,2),

因為(d+)||(2五+3),

所以—=；與，解得々，

(2)由(1)矢口，a+kB=(1—k,1,2k),2a+b=(1,2,2),

因為向量2+k另與2N+而斤成角為銳角，

以(a+kb),(2a+b)=(1—fc)X1+1X2+2X2k=1—k+2+4k>0，角單彳導k>—1,

又當k=1時，(N+小)||(2a+b),

所以實數k的范圍為(—I,1)U6,+8)

【變式4-1】L(2023?全國?高三專題練習)下列命題不正確的是()

①空間中任意三個不共面的向量都可以作為基底.

②直線的方向向量是唯一確定的.

③若直線a的方向向量和平面a的法向量平行，則alia.

④在空間直角坐標系中,在Oyz平面上的點的坐標一定是(0,b,c).

⑤若日?石<0,則值研是鈍角.

A.①③④B.②③⑤C.③④⑤D.①②④

【答案】B

【分析】利用基底向量的定義、空間向量的坐標特征以及向量的夾角以及直線的方向向量的定義逐一判斷

五個選項的正誤即可求解.

【詳解】對于①：空間中任意一個向量都可以用三個不共面的向量作為基底來表示，選項正確；

對于②：由直線的方向向量定義知，直線的方向向量有無數多個，故選項錯誤；

對于③：直線a的方向向量和平面a的法向量平行，則a1a,選項錯誤；

對于④：Oyz平面上的點的久坐標一定是0,選項正確；

對于⑤：若2不<0,則何研是鈍角或者夾角為n,選項錯誤；

故選：B.

【變式4-1】2.(2023秋?湖北武漢?高二華中師大一附中?？茧A段練習股動點P在棱長為1的正方體力BCD-

的對角線BDi上,記若=上當乙4PC為鈍角時，貝IU的取值范圍是

【答案】0,1)

【分析】建立空間直角坐標系，求得刀，而，根據可?同<0求得力的取值范圍.

【詳解】由題設可知，以。為坐標原點，以瓦I比，西的方向為X軸、y軸、Z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系。-xyz,

則有4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),(0,0,1),

則取=(1,1,-1)，得取=4點=(A,A,-A),

所以PAPD]+D^A=(—A,—A,A)+(1,0,—1)=(1—A,—A,A—1),

PC=PD]+D[C—(—A,—A,A)+(0,1,—1)=(-A,1—X,A—1),

顯然乙4PC不是平角，所以乙4PC為鈍角等價于方-PC<0,

即—4(1—A)—2(1—2)+(2—1)2<0,即(2-1)(32-1)<0,

解得?<A<1,因此4的取值范圍是G，1).

X

【變式4-1]3.（2023秋?高二課時練習）如圖，設4BCD-4/傳也為正方體，動點P在對角線8%上,

⑴證明：4P1BiC；

(2)若異面直線4P與D/i所成角為；,求4的值；

(3)當乙4PC為鈍角時，求義的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)4=1

(3)1<A<1

【分析】(1)建立坐標系，利用向量數量積為0,證明線線垂直；

(2)寫出向量坐標，利用夾角公式可得答案；

(3)利用鈍角可得數量積小于零且不等于-1,求解即可.

【詳解】(1)以。為坐標原點，。4。&。。1所在直線分別為招力2軸，建立空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1,則,Di(0,0,1),4(1,0,0),C(0,l,0)；

取=(1,1,-1),即=(-1,0,-1),

因為需=4,所以取=2用，

所以標=河+印=河+W^B=(-1,0,1)+2(1,1,-1)=(A-1,2,1-A),

因為存?BZC=1-/L+A-1=O,所以4P1SjC.

(2)瓦瓦=(1,1,0),AP(A-1,A,1-A)；

因為直線4P與AB1所成角為，，

而、J麗麗=以-1|==叱.

所以向H瓦瓦廠V2x^+2(A-iy—C°S4—2，

解得％=±i,因為動點P在對角線BA上,所以a=1.

(3)PC——PB+BC——(1—+BC=(—A,1—A,A—1),PX=(1—A,—A.,A—1),

因為“PC為鈍角，所以而?PC=322-4A+1<0,解得2<A<1.

又因為"2—奴+1K—1在R上恒成立，所以:<A<1.

【變式4-1]4.(2023春?江蘇淮安?高二統考期末)如圖，正方體4BCD-A/1G5的棱長為1，點P是對

角線8%上異于B,%的點，記黑=A.

(1)當NAPC為銳角時，求實數4的取值范圍；

(2)當二面角P-4C-B的大小為患寸，求點當到平面P4C的距離.

【答案】(1)|<A<1；

⑵手

【分析】(1)利用坐標法，表示出向量方，刀,然后結合條件列出不等式，進而即得；

(2)利用面面角的向量求法可得力=等，然后利用點到平面的距離的向量求法即得.

【詳解】(1)以胸，比，兩｝為單位正交基底，建立空間直角坐標系。-％".

貝必(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0)血(0,0,1).

因為生=2,0<A<1.則品=ABDl=(-A,-A,A).

則對=BA-BP=(A,A-1,-A),PC=BC-BP=(A-1,A,-A).

z

由乙4PC為銳角，貝Ucos乙4PC=贏贏>0且COSNAPC力1.

則P7?元=3萬—24>0.又0<2<1,

所以|<2<1；

(2)設平面4PC的法向量4=(x,y,z),則演-(=0且葉五=0,又同=GU-1,-4),

AC=(-1,1,0),所以+(4—l)y—Az=0,—x+y=0.

令x=1,則y=1,z=2—.

A

故平面P4C的一個法向量蘇=（1,1,2-Q.

易知平面4BC的一個法向量底=（0,0,1）.因為二面角P-AC-B為？,則|cos（可矽|=日,

彳，解得4=等

因為o<%<1,則％=

則平面4PC的一■個法向量4=（1,1,-或），又向量函=（0,1,1）,

所以點當到平面24c的距離d=嚕守=符.

【變式4-1]5.（2023春?四川綿陽?高二統考期中）在三棱錐4-BCD中，滿足AD1AB,AD1AC,給出

下列結論：

①麗-DC=DA2-AB-AC；②若NB4C是銳角，則麗-XC>0；

③若NB4C是鈍角,貝LkBDC是鈍角；④若|AC|<\AD\^\AB\<\AD\,貝IkBDC是銳角.

其中正確結論的序號為（）

A.①②④B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【分析】易得礪=DA+AB,DC=DA+AC,再根據數量積的運算律即可判斷①；由NB4C是銳角，得荏■

AC>0,再根據數量積的運算律即可判斷②；舉出反例即可判斷③，如="=4。=1./.BAC=120°；

由|4C|<\AD\S.\AB\<\AD\,可得|而『>\AC\\AB\,再結合①即可判斷④.

【詳解】因為4。1AB,AD1AC,所以而-AB=0,AD-AC=0l

對于①，礪=瓦？+南，反=瓦？+近，

則笳.反=(瓦？+屈).畫+硝

=DA2+DA-AB+DA-AC+AB-AC=DA2+AB-AC,故①錯誤；

對于②，若NB4C是銳角,則屈-AC>0,

DB-AC=(DA+AB)-AC=DA-AC+AB-AC=AB-AC>0,故②正確；

對于③，若NB4C是鈍角,則四AC<0,

若AB=AC=AD=l.^LBAC=120°,

則笳-DC=DA2+AB-XC=l-|^|>0,

此時NBDC是銳角，故③錯誤；

對于④,若MCI<\AD\S.\AB\<\AD\,

DB-DC=DA2+AB-AC=[DA^+|AB|■何cosNB"

>|AB||XC|+|AB|?\AC\cos/-BAC=\AB\■|xc|(l+cos^BAC),

因為NBACe(O,TT),\AB\■|Ic|(l+cos/B力C)>0,

所以麗DC>0,所以NBOC是銳角,故④正確.

故選：D.

題型5線面角與向量角的轉化不清楚

【例題5]（2023春?河南周口?高二統考期中）如圖，在三棱柱ABC-2/iG中，A4]="=2,AB=

243,BC=4,且的1BiC,N&AC為銳角.

證明：

（1）AB1AAr；

（2）若二面角4-AB-C的大小為],求直線AC】與平面力BiC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵R

【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，從而證明線線垂直，再利用勾股定理證明線線垂直，進而利用

線面垂直的判定定理證明線面垂直，即可證明線線垂直；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面A/C的法向量，利用線面角的向量公式求解即可.

【詳解】（1）連接&C,如圖所示.

因為44i=AC,所以四邊形力&QC是菱形，所以1ACr,

又aq1BrC,ArCnBtC=C,又C,B1Cu平面4/停,所以4G_L平面A/C,

又A/】u平面4/iC,所以AR14久,又AB||4%,所以4的1AB.

在小ABC中，AC=2,ZB=2V3,BC=4,所以AC?+人爐=BC2,所以AC±AB,

又4cHAC1=A,AC,ACru平面力力1CiC,所以4B1平面44i&C,

又A4iu平面44?。,所以AB1AAt；

(2)因為4B1AAVAC1AB,所以二面角力i-4B-C的大小為乙生4C,即乙％力C=熱

以4為坐標原點，ABAC所在的直線分別為無軸，y軸，垂直于4B,4C所在的直線為z軸，

建立空間直角坐標系，如圖所示：

所以1(0,0,0),41(0,1,⑹,G(0,3,⑹,)(0,2,0),B(2心0,0),

所以尼=(0,2,0),福=屈+西=屈+標=(2V3,0,0)+(0,1,V3)=(2V3,1,V3),

'TT

設平面44C的一個法向量為元=(x,y,z),所以__nAC=2y=°

n-ABr=2V5%+y+V3z=0

令％=1,解得y=0,z=-2,所以平面//C的一個法向量為元=(1,0,-2),

又溫=（0,3,V3）,設直線4cl與平面所成角為8,

所以sin。=|cos（n，M）|=母=7g=f，

所以直線4G與平面2B]C所成角的正弦值為

【變式5-1]1.（2023秋?廣東深圳?高二深圳大學附屬中學校考期末）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面

4BCD邊長為2舊是菱形/DAB=60。，0是對角線AC和BD的交點,AB=4P/B4P為銳角,SAABP=子，

點M為線段P。上一動點，且始終有AM1BD.

⑴求三棱錐。-4BP的體積；

（2）若二面角M-AB-。為:,求此時直線BM與平面MCD所成角的正弦值.

【答案】⑴|

⑵牛

【分析】（1）由小4BP面積為斗，求得sin/BAP=g，解三角形力8P得8P=V6，證明BD1平面P"得8。1

PO,得PO=V3,證明PO1AC，得P。，平面力BCD,利用等體積法求?！狝BP的體積；

（2）由二面角M-AB-。為:，解得M。=|,建立空間直角坐標系，計算直線BM與平面MCD所成角的

正弦值.

【詳解】（1）在小月BP中，48=4P=，SAABP=[x4BxBPxsin^BAP=",

則sin/BAP=-,且NB4P為銳角，cos^BAP=Vl-sin2zB4P=-,

44

由余弦定理,BP2=AB2+AP2-2AB-AP?cos/BAP=6,即BP=V6,

由于四邊形ABC。為菱形，貝帕。1AC,且8。1AM,

ACAM=A,AC,AMu平面P4C,貝!]BD1平面PAC,

因為P。u平面JMC,所以8。1PO,

因為△48。為正三角形,BO=6，AO=3,貝[]P。=y/PB2-BO2=V3,

因為「。2+AO2=AP2,所以P。1AC,由于ACCBD=0,AC,BDu平面4BC0,

所以P。，平面ABCD,

如圖，過點。作?！?AB,連接M”，

由(1),PO_L平面力BCD,SABu平面4BCD,貝！]P。1AB,

所以NMH。=-,則M。=OH=三，

42

由于OP,OB,OC兩兩垂直，如圖建系，

M(0,0,|),B(V3,0,0),BM=(-V3,0,|),C(0,3,0),D(-V3,0,0),

則說=(-V3,-3,0),CM=(0,-3,1),

設元=(x,y,z)是平面PCD的一個法向量，

—yj3x—3y=0z-、

BP.3，W=l，W=(V3,-l,-2),

＜：g：o3y+z=0

設所求角為。，那么sine=*=半

則所求角正弦值為華.

【變式5-1]2.(2023秋?河南新鄉?高二統考期末)如圖，正三棱錐P-ABC的所有側面都是直角三角形，

過點P作PD,平面ABC,垂足為。,過點。作DE1平面248,垂足為E,連接PE并延長交4B于點F.

(1)證明：F是AB的中點.

(2)求直線DE與平面BCE夾角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)^.

【分析】(1)連接DF,根據題意證得4B1平面PDF,得到4B1PF,結合P4=PB,即可得到F是的中

占.

八、、/

(2)以P為坐標原點，建立空間直角坐標系，把直線DE與平面8CE的夾角即直線PC與平面8CE的夾角，求

得平面E8C的一個法向量為沆=(2,1,1),結合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)證明：連接。尸,因為1平面ABC,ABu平面4BC,所以P。1AB,

因為DE1平面P4B,4Bu平面P4B,所以DE1AB,

因為DECPD=D,S.DE.PDu平面PDF,所以48_L平面POF,

又因為PFu平面POF,所以AB1PF,

因為P4=PB,所以F是2B的中點.

(2)解：因為正三棱錐P-力BC的所有側面都是直角三角形，可得P4PSPC兩兩垂直，

以P為坐標原點，P4PB,PC所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系，如圖所示,

p

不妨設P4=2,則4(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2)/(1,1,0),

由PC1PA,PCLPB,S.PAr\PB=P,PA,PBu平面P48,

所以PC1平面P4B,因為DE1平面24B,所以PC〃DE,

直線DE與平面BCE的夾角即直線PC與平面BCE的夾角，且麗=(0,0,2),

連接CF,由正三棱錐性質可知，點。是△4BC的重心，所以*=2,故魯=2,

則E(|,|,0),麗=(一|彳,0),麗=(0.-2.2),

(24

設平面EBC的法向量為記=(x,y,z),貝［］一十孑丫一U,

1―2y+2z=0

令y=1可得尤=2,z=1,所以沅=(2,1,1).

因為cos(而,m)=藤=磊=彳，

所以直線DE與平面BCE夾角的正弦值為萼.

O

【變式5-1J3.(2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯考期末)如圖，在四棱錐Q-4BCD中,

底面48CD是矩形，若2。=QD=Q2=2,CD=1,QC=V5.

⑴證明：平面QAD1平面4BCD；

(2)若E,F分別是QC,QD的中點，動點P在線段EF上移動，設。為直線BP與平面ABCD所成角，求sin。

的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)殍，哥

【分析】(1)由QC2=QD2+,得到CD±QD,再由CD±AD,利用線面垂直的判定定理，證得CD1平

面Q4D,進而證彳導平面Q4D1平面4BCD；

(2)根據題意得到直線。Q,。7,。。兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，求出對應點的坐標，結合題

意設齊=4而(0<A<1),分別求出直線BP的方向向量和平面4BCD的法向量，利用向量的夾角公式得

【詳解】(1)在小QC。中,QC，CD=\,QD=2'：.QC2=QD2+CD2,

QC。為直角三角形且CD1QD,

又底面4BCD是矢巨形,貝!]CD1AD,

???QDQADD,且均含于面QAD內二CO1平面Q40,

又；CDu平面力BCD,.??平面QAD_L平面4BCD；

(2)在平面48CD內，取40中點為。，過點。作。TIICD,交8C于點T,CD1AD,0T1AD,

由題意可得Q01平面ABCD,S.0T,ADu平面ABCD,

貝[|0QLAD,0Q10T,.-.^,0Q,0T,。。兩兩互相垂直，

???以。為坐標原點,0T,0D,0Q所在直線分別為x,y,z軸建如圖所示的空間直角坐標系，

則。(0,1,0),Q(0,0,V3),,C(l,l,0),,

,?,CP=(-1,0,0),BF=(-|,|,y),

設前=A￡T(0<A<1),

貝回=（麗=（-pO,o），前=屁+而=（_:3|,亨）,

又麗=(0,0,V3),

\BPOQ\_V3

貝。=

Hsin西麗=9+1)2+12

■■■Ae[0,1],苧<sine<唱,

...BP與平面4BCD所成角的正弦值的取值范圍為諄，等]

413

【變式5-1]4.（2023秋?新疆烏魯木齊?高二烏魯木齊101中學校考期末）吳老師發現《九章算術》有"芻

V這個五面體，于是她仿照該模型設計了一個學探究題，如圖：E,F,G分別是正方形的三邊AB、CD、

AD的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起,

連接AB、CG就得到一個"芻普".

圖1圖2

⑴若。是四邊形EBCF對角線的交點，求證：AOWW-^GCF；

（2）若二面角A-EF-B的大小為我，求直線4B與平面GCF所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵當

【分析】（1瞰線段CF中點H，連接。乩GH，則根據已知條件可證得四邊形40HG是平行四邊形，則40IIHG,

再利用線面平行的判定定理可證得結論；

(2)由題意可得Z4E8即為二面角A-EF-8的平面角，則乙4E8=|n,以E為坐標原點，EB,而分別為x

軸和y軸正向建立空間直角坐標系E-xyz如圖所示，然后利用空間向量求解即可.

【詳解】(1)取線段CF中點H,連接OH.GH,

由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且CB=2EB,

0是線段BF與CE的中點,

-1

???OHWBCS.OH=^BC,

在圖1中AGIIBC且4G=；BC,EF\\BC^.EF=BC.

所以在圖2中，4GIIBCS.AG=^BC,

???AGIIOHSAG=OH

???四邊形40HG是平行四邊形，則40I1HG

由于4。，平面GCF,HGu平面GCF,

AOWW^GCF.

(2)由圖1,EF14E,EF1BE,折起后在圖2中仍有EF1AE,EF1BE,

NAEB即為二面角A-EF-B的平面角.

?2

??Z-AEB=3-n',

以E為坐標原點，EB,而分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標系E-xyz如圖，

且設=2EB=2E4=4,

貝！|B(2,0,0),尸(0,4,0),4(—1,0,⑹,

.-.FG=TE+EA+AG=VE+EA+|EF=(-1,-2,V3),

BA=(-3,0,V3),FC=~EB=(2,0,0),

設平面GCF的一^個法向量完=(x,y,z),

由/If二;，得=取尸百，贓=2,

于是平面GCF的一個法向量元=(O,V3,2),

/-?n八n-BA2^3y/7

???cos｛nfBA)=面前=尿■=~，

，直線4B與平面GCF所成角的正弦值為今

題型6二面角為鈍角或銳角區分不清

【例題6](2023春?江蘇揚州?高二統考期末)如圖，在直三棱桓4BC-2/iG中,△4BC是以BC為斜邊的等

腰直角三角形，AAr=AB=3,。*分別為8。,當6上的點,且兼=^=t(0<t<1).

⑴若土=/求證平面//E；

⑵若t>直線&C與平面&BE所成角的正弦值為當求二面角G-4。-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵更

'79

【分析】(1)當1=決寸可得點，E分別