重難點06不等式易錯題七大題型匯總

題型解讀

題型5多次使用基本不等式

忽略等號成立的條件

題型6分式根式不等式等價

轉(zhuǎn)化不全

題型7混淆不等式能成立、

恒成立、恰成立

’?量滿分技巧/

技巧一.忽略二次項系數(shù)為零

解形如ax2+bx+c>0類型的不等式的步驟首先判斷二次項系數(shù)與0的大小，否則分類討論，當a<0時，

利用不等式性質(zhì)化為正值，然后若能分解因式，則分解因式，然后判斷根的大小，寫出解集）；若不能分

解因式，需判斷判別式，若判別式符號不確定，則分類討論；在解題中注意三個二次（二次函數(shù)、二次方

程、二次不等式）之間的聯(lián)系，同時要樹立起函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.

技巧二.分類討論不全

含參數(shù)不等式求解的通法是"定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵"，注意解完之后要寫

上："綜上，原不等式的解集是……”.注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知

數(shù)討論，最后應(yīng)求并集

注意：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值.

技巧三.忽略基本不等式成立的條件導(dǎo)致錯

利用基本不等式求函數(shù)最值時，注意其前提："一正、二定、三相等"，如果沒有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題

目創(chuàng)設(shè)情境；還要注意選擇恰當?shù)墓剑?和定積最大，積定和最小"，可用來求最值；基本不等式具有

放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致.

技巧四.多次使用均值忽略等號

連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時，要注意各不等式取等號時的條件是否一致，若不能同時取等號，則連續(xù)用

基本不等式是求不出最值的，此時要對原式進行適當?shù)牟鸱只蚝喜ⅲ钡饺〉忍柕臈l件成立.

技巧五.解不等式時等價轉(zhuǎn)化條件不全

注意用"根軸法"解整式(分式)不等式的注意事項及分式不等式祟>a

0(%)

(a/0)的一般解題思路：移項通分.注意轉(zhuǎn)化為整式,不等式后需要確保分母對應(yīng)的因式不能為0根式不等

式要注意保證根號有意義等隱含條件.

技巧六.混淆不等式的恒成立、能成立、恰成立

不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題，不等式成立問題的常規(guī)處理方式(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和"分

離變量法"轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法).(1)恒成立問題

若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)min>A;

若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)max<B.

(2)能成立問題

若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)>A成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)max>A;

若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)<B成立，則等價于在區(qū)間D上的f(x)min<B.

(3)恰成立問題

若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f(x)>A的解集為D;

若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f(x)<B的解集為D.

用M題型提分練

題型1忽略不等式成立的條件

【例題1】（2023秋?四川南充高一閶中中學校考開學考試）已知a-l>0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.-1V—CL<a<1B.—ciV—1<1<a

C.-a<—1<a<1D.-1V—a<1Va

【答案】B

【分析】先得到a>1,再由不等式基本性質(zhì)得到-a<-1,從而比較出大小關(guān)系.

【詳解】因為a-l>0,所以a>1,由基本不等式性質(zhì)可得-a<-1,

故-a<—1<1<a,B正確，ACD錯誤.

故選：B

【變式1-1]1.（2023春?江西吉安?高一校聯(lián)考期中）如癡>b,那么下列運算正確的是（）

A.a-3<6-3B.a+3<b+3C.3a<3bD.

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：因為a>b,

所以a—3>5-3,故A錯誤；

a+3>b+3,故B錯誤；

3a>3b,故C錯誤；

故D正確.

-J—j

故選：D.

【變式1-1]2.（2022秋?天津濱海新?高一校考期中）已知a>0,b>0,M=+Vb,N=V^+b,則

A.M>NB.M<NC.M>ND.M<N

【答案】A

【分析】平方后比較大小即可

【詳解】由題意得“2=a+b+2y[ab,N?=a+b,而a>0,b>0,得M>N,

故選：A

【變式1-1]3.（多選）（2023?全國?高一專題練習）已知a,6,c為實數(shù)，若a>b,則下列不等關(guān)系一定正

確的是（）

A.a-c>b—cB.a2>b2C.a3>b3D.ac>be

【答案】AC

【分析】利用不等式性質(zhì)可知A正確，D錯誤；利用作差法然后進行因式分解即可知B錯誤，C正確.

【詳解】對于A,由不等式性質(zhì)可知不等式兩邊同時加減同一個實數(shù)，不等號方向不改變，即A正確；

對于B,易知a?—b2—（a—b）（a+b）,又a>b,若a+b>0時,a2>b?;若a+b<0時，a2<爐；若

a+b=0時，a?=爐；

所以a?>人2并不一定成立，即B錯誤；

對于C,由a3—=（a—b）（a2+ab+b2）=（a—b）[（a+觸）+於？可知，當a>6時，a—b>0,

（a+割2+於2>0,所以>/,即c正確；

對于D,當c<0時，由不等式性質(zhì)易知a>b時，ac<6c,即D錯誤；

故選：AC

【變式1-1]4.（多選）（2023秋?湖南婁底高一校考期末）對于實數(shù)a,b,c下列說法正確的是（）

A.若a>b>0,則:<-B.若a〉b,貝！jac?>be2

C.若a>0>6,貝！1ab<a2D.若c>a>6,則，->—

【答案】ABC

【分析】利用不等式的性質(zhì)，分析、推理判斷ABC;舉例說明判斷D作答.

【詳解】對于A,a>6>0,兩邊同時除以ab，則:<)A正確；

對于B,a>6,c220,貝Dae?>be2,當且僅當c=0時取等號，B正確；

2

對于C,因為a>0>b,貝！Jab<0<arC正確；

對于D,取c=-l,a=-2,b=-3,滿足c>a>b,而士=-2<-1=芻，D鐲吳.

故選：ABC

題型2忽略二次項系數(shù)為零

【例題2](2023秋?全國?高一期中)已知不等式小/一小刀+1>o,對任意實數(shù)%都成立，則小的取值范

圍()

A.(—8,—4)U[0,+8)B.[0,4)

C.(—co,0]U(4,+oo)D.[—4,0)

【答案】B

【分析】分兩種情況考慮，爪=0時，不等式成立；小大。時，需滿足%/n，綜上，即可得到

(A=4一4m<0

本題答案.

【詳解】①當巾=。時，不等式成立，:.m=0；

②當小中0時，則有｛7>?/n，解得0(巾<4；

LA=-4m<0

綜上I0<m<4.

故選：B.

2

【變式2-1]1.(2023?全國?高一專題練習)若不等式小久2+mx-4<2x+2x-1對任意實數(shù)x均成立，

則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(—2,2)B.(—10,2]C.(—8,—2)U[2,+8)D.(—8,—2]

【答案】B

【分析】化簡已知不等式，對也進行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的知識求得小的取值范圍.

【詳解】依題意，不等式+mx-4<2x2+2x-1對任意實數(shù)X均成立，

即不等式(m-2)x2+(m-2)%-3<0恒成立,

當爪=2時，不等式可化為-3<0恒成立，

當m<2時，△=(m—2)2+12(m-2)=m2+8m-20

=(m+10)(m—2)<0,解得-10<m<2,

綜上所述，山的取值范圍是(-10,2].

故選：B

【變式2-1]2.(2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一統(tǒng)考期末)若不等式2k/+依一?<。對一切實數(shù)x都成

O

立，則k的取值范圍是()

A.-3<fc<0B.-3</c<0

C.fc<-3或k>0D.k<—3或k>0

【答案】A

【分析】由2k/+for-|<。對一切實數(shù)x都成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分成k=0,k手0討論進行求解.

【詳解】2kxz+依_|<。對一切實數(shù)%都成立，

①k=0時，—|<。恒成立，

O

②"。時，｛△=/；*<()，解得一3“<0，

綜上可得，—3<kW0.

故選：A.

【變式2-1J3.(多選)(2023秋?高一課時練習)(多選)若命題"存在實數(shù)x，使得(a-2)/+2(a-2)x-

4>0成立"是假命題，則實數(shù)a可以是()

A.—2B.—1

C.1D.2

【答案】BCD

【分析】根據(jù)條件得到原命題的否定"任意實數(shù)x，使得(a-2)%2+2(a-2)%-4<0成立"為真命題，再

分類討論二次項系數(shù)為0和不為0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.

【詳解】命題"存在實數(shù)％，使得(a-2)/+2(a-2)%-4>0"是假命題，

則其否定為"任意實數(shù)無，使得(a-2)%2+2(a-2)x-4<0成立"是真命題，

當a=2時，原不等式化為—4<0恒成立；

當a02時,貝山(a_2,；嬴0■幻<0，解得：二<a<2.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是(-2,2].

故選：BCD.

【變式2-1]4.(2023秋?廣西南寧?高一校考階段練習)若不等式2k/+kx-l<0對一切實數(shù)x都成立，

則k的取值范圍為

【答案】(-3,0]

【分析】根據(jù)題意，分2k=。和2k*0,兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由不等式2k/+kx_l<0對一切實數(shù)x都成立，

當2k=。時，即k=0,可得-：<0,此時對一切實數(shù)x都成立；

O

(2fc<0

當2k*0時，則滿足*2_4x2kx(―三)<0，解得一3<k<0,

綜上可得，實數(shù)k的取值范圍是(-3,0].

故答案為:(—3,0].

題型3二次不等式的討論情況不全

【例題3](2023秋?湖北荊州?高一沙市中學校考階段練習)若。>1，則關(guān)于x的不等式(％-a)1-?>0

的解集為

【答案】｛x|x<:或x>a｝

【分析】由a>1可得0(工<1,則可求出一元二次不等式的解.

a

【詳解】a>1,o<i<1,則a>-,

aa

???(％-a)D>0,

???x<!或%>a.

a

故答案為：[x|x<(或X>a｝.

【變式3-1]1.(2023?全國?高一專題練習)已知函數(shù)y=mx2-mx-l.

(1)若y<。時，對任意的％GR都成立，求實數(shù)小的取值范圍；

(2)求關(guān)于x的不等式y(tǒng)<(1-m)x-1的解集.

【答案】(1)一4<m<0

(2)答案見解析

【分析】(1)分m=0、m豐。兩種情況討論，在爪=0時，直接驗證即可；在山牛0時，根據(jù)二次不等式

恒成立，可得出關(guān)于小的不等式組，綜合可得出實數(shù)小的取值范圍；

(2)由y<(1-m)x-1可得出一X<。，分爪=0、巾>0、m<。三種情況討論，利用一次不等式、

二次不等式的解法解原不等式，即可出原不等式的解集.

【詳解】(1)解：因為y<。對任意的XeR都成立，

當巾=0時，則有一1<0,合乎題意；

當m豐0時，即zu/一小》一1<0對任意的xeR都成立，貝皿4/n，解得一4<m<0.

綜上所述，實數(shù)小的取值范圍是-4<m<0.

(2)解：由y<(1—m)x—1可得nt/—mx—1<(1—m)x—1,

BPmx2—x=x(mx-1)<0,

當血=o時，解得％>0,則原不等式解集為｛%|%>0｝；

當小>。時，即!>o,可得皿-5)<0,則原不等式解集為核［o<x<5｝；

當山<0時，即!<0,可得%-5)>0,則原不等式的解集為上|%<'或%>0｝.

綜上所述：當巾=0時，原不等式解集為｛“國>0｝；

當山>0時，原不等式解集為｛%|0<%<^］；

當m<0時,原不等式解集為｛%,'或x>0｝.

【變式3-1］2.(2023?全國?高一專題練習)

解關(guān)于x的不等式a/+(1—a)x+a—2<a—l(aG/?).

【答案】答案見解析

【分析】將所求不等式變形為(〃+1)(%-1)<0,對實數(shù)a的取值進行分類討論，利用二次不等式或一次

不等式的解法解原不等式，綜合可得出原不等式的解集.

【詳解】解：不等式a/+(1—d)x+a—2<a—1等價于a/+(1-a)x—1<0,

不等式可化為(3+l)(x-l)<0,

當a>0時，則=<1,解原不等式可得-工<%<1；

aa

當a=-1時，則—；=1,原不等式即為一0-I)2<0,解得比豐1；

當-1<a<0時，則=>1,解原不等式可得x<1或%>一；

aa

當a<一1時，則一：<1,解原不等式可得x<—(或久>1；

當a=0時，原不等式即為％-1<0z解得％<1.

綜上所述，當a<-1時，原不等式的解集為比卜<-：或x>1｝

當a=-1時，原不等式的解集為｛x|xHl｝；

當—1<a<。時,原不等式的解集為｛x|x<1或%>-3；

當a=0時，原不等式的解集為｛x|x<1］；

當a>0時，原不等式的解集為3

【變式3-1]3.(2021秋遼寧朝陽?高一建平縣實驗中學校考階段練習)(1)不等式皿2一2機久+1>o,

對任意實數(shù)x都成立，求m的取值范圍；

(2)求關(guān)于x的不等式a/一g+1)乂+1<。的解集.

【答案】(1)[0,1),(2)見解析，

【分析】(1)由題意列不等式求解，

(2)分類討論求解，

【詳解】(1)當巾=0時，不等式恒成立，滿足題意，

M>0

當時，由題意得｛AA2./。，解得0<小<1,

綜上，山的取值范圍是[0,1),

(2)①當a=。時,原不等式的解集為(1,+8),

當a*0時，不等式可化為a(x-^)(x-1)<0,

②當a<0時,^<1,原不等式的解集為(—8,》u(1,+8),

③當a=1時，原不等式的解集為0,

④當0<a<1時，5>1,原不等式的解集為(1,》,

⑤當a>1時，，<1,原不等式的解集為。,1).

【變式3-1]4.(2020秋河北石家莊?高一石家莊外國語學校校考期中)已知函數(shù)y^mx2-mx-l.

(1)若y>0,對任意的久eR都成立，求實數(shù)小的取值范圍；

(2)求關(guān)于x的不等式y(tǒng)<(-2m-2)x-3/的解集

【答案】Q)me0

(2)見解析

【分析】(1)對小進行分類討論，分為巾=0與小豐。兩種情況；(2)對不等式變形，對二次項系數(shù)和根

的分布進行分類討論，結(jié)合二次不等式的解法，求出不等式的解集

Q)

y>。對任意的％eR都成立，

當m=0時，y=-1V0,不合題意，舍去

當TnH。時，二次函數(shù)y=mx2一mx-1一定要開口向上，所以m>0，且A=(-m)2+4m<0,解得：-4<

m<0,結(jié)合zn>0,則THG0,所以實數(shù)血的取值范圍為0

(2)

y<(—2m—2)x—3x2,BPmx2—mx—1<(-2m—2)x—3x2

2

整理得：(血+3)x+(m+2)x—1<0z即[(m+3)x—l](x+1)<0

當m+3=0,即TH=—3時,—%—1V0,解得：]>—1；

當771+3>0,即771>—3時,此時->0,解得：—1V%V1；

m+3m+3

當m+3<-1,即TH<一4時，此時一1<<0,解得：x<一1或％>；

當TH+3=—1,即?71=—4時，此時二=—11解得：％H—1

m+3

當一1Vm+3<0,即一4<m<一3時，此時<-1,解得：x>一1或％<

綜上：當血=一3時，解集為(一1,+8);

當TH>一3時，解集為(一；

當m<—4時，解集為(―8,—1)u(]},+8)

當7n=-4時,解集為(―8,—1)u(―1,4-oo)

當—4<m<—3時,解集為(-8,笠0U(―1,+8)

【變式3-1]5.(2023?全國?高一專題練習)解關(guān)于%的不等式：ax2-(2a+l)x+2<0.

【答案】答案見解析

【分析】分成a=0,0Va<Ja=Ja>Ja<0幾種情況分別討論不等式的解集；

【詳解】原不等式可化為(a%-1)0-2)<0.(*).

(1)當a=。時,有一(一％—2)<0<=>x>2.

(2)當a>0時，(*)式=(x-(%-2)<0,vi-2=^,

①當0<a<:時,^>2,：.2<x<［.

②當a=］時，［=2，0—2)2<。，此時解集為0.

③當a>5時(~<2..<x<2.

(3)當a<0時，(*)式Q(%—：)(x—2)>0,ravO,：.；<2..'.x<1或x<2.

綜上所述，原不等式的解集為：

當a<0時，為<［或無>2］；

當a=0時,為｛巾>2｝；

當0<a<(時，為｛%|2<%<,｝；

當a=省寸，為0；

當a>用寸，為｛久［^<%<2］.

【變式3-1］6.(2023?全國?高一專題練習)解關(guān)于x的不等式/一3-2a2>0.

【答案】答案見解析

【分析】對參數(shù)a分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),分別求出不等式的解集.

【詳解】由題意(％-2a)(%+a)>0,分以下三種情形來解不等式：

情形一：當a=0時，不等式變?yōu)榫?>0,解得x豐0；

情形二：當a>0時，一a<0<2a,不等式的解為x>2a或久<-a；

情形三：當a<0時，a<0<-2a,不等式的解為x<2a或x>-a；

綜上所述：當a=0時，不等式的解集為｛用久豐0｝；

當a>0時，不等式的解集為｛x|x>2a或x<-aj；

當a<。時，不等式的解集為｛x|x<2a或x>-a］.

題型4忽略基本不等式的成立條件

【例題4］（2023秋?遼寧沈陽?高一沈陽鐵路實驗中學校考期末）當x<0時，函數(shù)y="+：（）

A.有最大值-4B.有最小值-4C.有最大值4D.有最小值4

【答案】A

【分析】利用基本不等式可直接得到函數(shù)的最值.

【詳解】??,%<0,-x>0,

y=x+￡=-［（一x）+（―￡）］W-2J（-%）X（-￡）=-4,當且僅當x=一2時等號成立，

故選：A

【變式4-1】1.（多選）（2023春?安徽滁州?高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a,b滿足a+"1,則（）

A.ab的最大值為:B一+甘勺最小值為4

4ab

C.Va+也的最小值為近D.a-1的最大值為一1

【答案】AB

【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗各選項即可判斷.

【詳解】對于選項A,正實數(shù)a,b滿足a+b=l,由基本不等式得ab<（等產(chǎn)=］,當且僅當a=b=（時

取等號，則A正確；

對于選項B,-+i=—+^=2+-+^>2+2^=4,當且僅當a=b=為寸取等號，則B正確；

ababab7ba2

2

對于選項Cz（Va+VF）=a+b+2yl~ab=1+2^ab<l+a+b=2，當且僅當a=b=決寸取等號，即VH+

血工夜，則C錯誤;

對于選項D,a=l—h>0,貝！］0<b<1,

a--=1—b--=1—<1—2b--=—1,

bb\bJAJb

當且僅當b=*,即b=1時，取等，但0vb<1,故等號無法取到，故D錯誤.

故選：AB.

【變式4-1]2.（多選）（2023秋?浙江杭州?高一杭十四中校考期末）下列選項正確的是（）

A.若a力。，則a+士的最小值為4B.若xeR,則莖的最小值是2

aVxz+2

C.若ab<0,貝哈+2的最大值為—2D.若正實數(shù)x,V滿足％+2y=1,則乙+生勺最小值為6

【答案】CD

【分析】A選項，分a<0與a>0時，利用基本不等式求解；B選項通過使用基本不等式，一正二定三相等，

發(fā)現(xiàn)等號不成立；C選項，先判斷出<0,^<°，再基本不等式進行求解；D選項，1的妙用，使用基本

ab

不等式進行求解

【詳解】當a<0時，a+（=—（—a-2卜.㈢=—2，當且僅當—a=,即a=—1時取等號，

則a+工有最大值為一2，當a>0時，a+工22『=2,當且僅當a=工，即a=1時取等號，

aaaa

則a+二的最小值為2,故A錯誤；

CL

因為，龍2+2>2,>0,所以+2+后*>2Jvx2+2-=2,

等號成立的條件是=鼻,即/+2=1,方程無解，即最小值不為2,B錯誤；

VX2+2

若ab<0,故：<0，￡<0,則￡+：=-[（-^）+（-/宅-2J常—=-2,

當且僅當-9=—即a=時取等號，此時取得最大值-2,C正確；

ab

正實數(shù)%,y滿足％+2y=1,貝!]2+2=生也+±=2+把+、22+2/—?-=6,

xyxyxyxy

當且僅當?=,即X=2y=泄取等號，貝u|+英勺最小值為6,D正確.

故選：CD

【變式4-1]3.（多選）（2023秋?安徽黃山?高一統(tǒng)考期末）已知a>0、b>0,a+26=ab,則下列說

法正確的是（）

A.a>2,fa>1B.ab的最小值為8

C.a+6的最小值為3D.（a-2）2+（匕-1）?的最小值為4

【答案】ABD

【分析】對于A,將a+26=ab化為6=2與a=金；對于B,直接利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式

a—2b—1

可求出ab的最小值；對于C,a+2b=ab化為2+J=1,禾煙乘T法可求a+b的最小值；對于D,將

ab

b=言代入(a-2)2+(6-1)2,利用基本不等式即可求解.

【詳解】因為a+2b=ctb,所以b=——>。且a>0可得a>2.

a—2z

又a=金>0且b>0,可得6>1,故A正確；

ab=a-^-2b>27a.2b,即ab>8,當且僅當b=2,a=4時等號成立，故B正確；

因為a+2b-db,所以:+，=1.

所以a+h=(a+h)Q+0=3+^+^>3+2J??\=3+2A/2Z

當且僅當a=2+魚力=&+1時等號成立，故C錯；

將b=六代入(。一2/+(b-1下,可得(a-2)2+(匕-I)2=(a-2)2+(￡-1)=(a-2)2+(￡)=

(”2)2+備

N2卜2)27=4,

當且僅當a=2+々時等號成立，此時b=a+1,故D正確.

故選：ABD.

【變式4-1】4.(多選)(2023秋㈣“綿陽高一統(tǒng)考期末)設(shè)正實數(shù)a,b滿足a+6=4,則()

A.-+1的最小值為2aB.Va+傷的最小值為

ab

C.“后的最大值為2D.a2+爐的最小值為8

【答案】CD

【分析】根據(jù)給定條件，利用均值不等式逐項計算判斷作答.

【詳解】正實數(shù)a,b滿足a+b=4,

對于人，：+￡=h。+>)。+》=13+千+32((3+2舟)=宇，

當且僅當空=E,即a=8—4a,b=4a-4時取等號，A錯誤；

ab

對于Bim+&=4a+b+2^ab<Ja+b+(a+b)=242,當且僅當a=b=2時取等號，B錯誤；

對于C,病<手=2,當且僅當a=b=2時取等號，C正確；

對于D,a2+b2-(a+b)2-2ab>(a+b)2—2(^)2=(°；')=8,當且僅當a=b=2時取等號，D正

確.

故選：CD

【變式4-1]5.（多選）（2023秋?江西萍鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）

3

A奉

>-

22%-3

B.器的最小值為4

Vx2+1

C.若x>0,y>0,且x+y=1,則瀉的最小值為2

D.若x>0,y>0,且x+y=l,則上+會的最小值為―

【答案】BD

【分析】利用基本不等式求最值，逐項判斷，即可得到本題答案.

【詳解】A選項,x>|,x-1>0,2%-3>0,

5

2

當且僅當X-1=七,X=省寸等號成立，所以A選項錯誤；

zz.x-Jz

B選項，"舞=^=^TI+占.4=4,

當且僅當&E=高,X=8時等號成立，所以B選項正確；

C選項，x+y=l,沁工"+也=11122濘+」,

xyxyxy

當且僅當r=^,x=y=粗寸等號成立，所以C選項錯誤；

D選項,x+y=1,2%+2+2y+l=5,

TT^+ir^=l(rli+iT2S；)(2x+2+2y+1)

“2+1+也+文為>“3+2呼分)=，

5V1+x2y+lJ-5\1+x2y+lJ5

當且僅當筌=矢,魚（l+x）=2y+l,x=4-竽,y=苧一3時等號成立，

所以D選項正確.

故選:BD

題型5多次使用基本不等式忽略等號成立的條件

【例題5】（2023?全國?高三專題練習）已知正實數(shù)比,y滿足4久2+25必=1,則升羊勺最小值為（）

A.20B.40C.20V2D.40V2

【答案】C

【分析】由（1+（）2=（等?=空1等膽兩次應(yīng)用基本不等式即可求解?

【詳解】（鴻）24x2+25y2+20xy40xy400、400

>-------------222=800

-%2y22x5y-4x+25y

2

當且僅當2x=5y=噂，即「一，時等號成立,

（y=百

故?+司勺最小值為2。魚.

故選：C.

【變式5-1]1.（2023?全國?高一專題練習）設(shè)。>2b>0,貝！]+4+的最小值為.

aba{a—2b）-----------

【答案】6

【分析】對式子進行變形，然后利用基本不等式求解即可.

【詳解】。2+專+思麗=聯(lián)”2切+2防+總+益麗

N2-26)x+242abx*=2+4=6,

ab=-(a=V3

ab取等號，即追取等號，

(a3—2b)=小\b=-

所以a?+彳+的最小值為6.

aba{a—2b)

故答案為：6

【變式5-1]2.（多選）（2022秋?安徽合肥?高一校考階段練習）設(shè)。>b>c>0,則當2a2+吃+-

aba^a—b）

10ac+25c2取最小值時，下列說法正確的是()

A.a=V2B.b=2V2C.c=VD.a+b+c=3V2

【答案】AC

【解析】將原式整理為烹+ab++a(a-fa)+a2-lOac+25c2,根據(jù)基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)

可得選項.

【詳解】因為a>b>c>0,所以

工(=-—一

abFab4--a-^-a---b-)--FCL、(CL—b'，)+a?lOtzc+25c2

119

———+abH—-----+CL(CL-b)+(CL-5c)

aba(a—b)

當且僅當a(a-6)=1,即a=/，b=j,c=爭寸，等號成立，此時a+b+c=,

CL—5c

故選：AC.

【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

【變式5-1]3.(2020秋廣東?高二校聯(lián)考階段練習)已知機>0,n>0,則當81—+聲+爭取得最小

值時，n的值為()

1359

ABCD

2-2-2-2-

【答案】D

【分析】直接利用基本不等式用即可得解.

【詳解】由血>0,n>0,得81zn2+九2+232.>18nm+>81,

9m=n9m=nm=-

當且僅當729=59=>?；時，等號成立

18mn=—mn=-

Qmn4n=-

2

故選：D.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

【變式5-1]4.(2022?全國?高三專題練習)a,b,c是不同時為0的實數(shù)，則點累二的最大值為()

A-B.iC.-D.3

2422

【答案】A

【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.

【詳解】若要使最大，貝，比均為正數(shù)，即符號相同，

az+2bz+czMba”,c

不妨設(shè)a,b,c均為正實數(shù)，

m.iab+bc_a+ca+c_a+c

人」西赤?=￥+2〃-2產(chǎn)+c2“如=2j2(a2+c2)

1la2+2ac+c2

2?2(a2+c2)

當且僅當亨=2b,且。=c取等，即a=b=c取等號，

即則丹累的最大值為1，

故選：A.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，注意多次運用不等式，等號成立條件是否一致.

題型6分式根式不等式等價轉(zhuǎn)化不全

【例題6](2023秋?河北唐山?高一灤南縣第一中學校考期末)已知x是實數(shù)，那么"久<1"是"I>1"

成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】解不等式工>1求出x的范圍，再根據(jù)必要不充分條件定義判定可得答案.

X

【詳解】由注1得號20,解得0<xWl,

所以"x<1"是"0<xW1"成立的必要不充分條件，

即"X<1"是>1"成立的必要不充分條件.

故選：B.

【變式6-1J1.(2022秋?安徽合肥?高一校考期末)已知集合4={%|-2<%<8]集合B={久<3),

則An8=()

A.{x|-2<x<3}B.{%|—2<%<8]

C.{x\l<%<3]D.{x|l<%<8]

【答案】D

【分析】先化簡集合8,然后利用集合交集的定義求解即可.

【詳解】由^<3可得0<%-1<9,解得1<%<10,

所以8={x|l<x<10},AC\B—{x\l<x<8},

故選：D

【變式6-1]2.(2021秋?江蘇鹽城?高一校聯(lián)考期中)解下列不等式：

(l)|2x-1|<Vx2+1

(2)—<2

X

【答案】⑴[。曰

⑵92]

【分析】(1)將不等式兩側(cè)平方并化簡得3/一4xW0,即可求解集，注意根式有意義；

(2)不等式化為{雙0,即可得解集.

22

【詳解】(1)將兩側(cè)平方得(2x-I)<x+1,貝加2一?4o,可得o<x<i,經(jīng)驗證滿足題設(shè),

所以,不等式解集為[o,J

(2)由題設(shè)三二-2=U<o,即產(chǎn)x-2)^0可得0<%<2

尤％I%W0

所以，不等式解集為(0,2].

【變式6-1]3.(2023秋?浙江?高一期末)已知集合4={x|%2+3%-4<0},B={久<2}.

(1)求集合A;

(2)求(CRA)UB.

【答案】⑴{x|-4<x<l}

(2){x|x<—4或久>0).

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合A;

(2)解不等式求得集合B,求出集合A的補集，再進行并集運算即可.

【詳解】(1).「/+3%-4V00(%+4)(%-1)<0=-4<%<1

.t.A={x|—4<x<1}.

(2),.，Vx<2=?0<x<4

：.B={x|0<x<4}

?「CRZ={x\x<-4或%>1]

「.(CR4)UB={x\x<-4或%>0}.

【變式6-1]4.(2023秋?重慶渝中?高一重慶巴蜀中學校考期末)若關(guān)于x的不等式{'I/+p%+q<0}的

解集是氏|-1<X<2},則關(guān)于x的不等式式黑工>0的解集是()

A.(―3,—2)U(4,+8)B.(—3,2)U(4,+8)

C.(一0,-3)U(2,4)D.(一8,-2)U(3,4)

【答案】B

【分析】根據(jù)關(guān)于x的不等式{x|%2+px+q<0}的解集是{x|-1<久<2}，利用韋達定理可得p=-1,q=

-2,將不等式等價轉(zhuǎn)化為d)(；+3)>0,進而求解.

x—2

【詳解】因為關(guān)于X的不等式{久|%2+px+q<0}的解集是{x|-1<%<2},

所以/+px+q=。的兩根是一1或2,由韋達定理可得：p==-2,

所以巴爐>0可轉(zhuǎn)化為(，-*+3)>0,解得_3<%<2或x>4.

x+qx—2

所以原不等式的解集為(-3,2)U(4,+8),

故選：B.

【變式6-1]5.(2023春?黑龍江大慶?高一大慶中學校考開學考試)不等式在^口>x的解集是.

【答案】[-2,a)

【分析】解根式不等式，要先求定義域，然后再解不等式，根據(jù)題意可知：不等式成立的條件是-2<%<2,

然后解不等式，取交集即可求解.

【詳解】要使不等式VTF>X有意義，則有4一/20,解得：一2wXW2.

當一2WxW0時，不等式-刀2>久恒成立；

當0<%42時，不等式，4-叱>萬可化為4—x2>x2，解得：x2<2，所以一夜<x<V2，因為0<xW2,

所以0〈尤<企，

綜上：原不等式的解集為［-2,/)，

故答案為：［—2,V2).

題型7混淆不等式能成立、恒成立、恰成立

【例題7］(2021春?四川廣安?高一校聯(lián)考期末)已知a>0,若關(guān)于x的不等式(x-I)2>(ax)?的解集中

的整數(shù)恰有3個,則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】A

【分析】將不等式化為(a?-I)%2+2%-1<0,可知x=。滿足不等式，%=1不滿足不等式，由此可確定3

個整數(shù)解為-2,-1,0；當a=1和0<a<1時，解不等式可知不滿足題意；當a>1時，解出不等式的解集,

-3<^<-2

z

要保證整數(shù)解為-2,-1,0,則需a-l解不等式組求得結(jié)果.

0<^<1

a2-l

【詳解】由(％—I)2>(a%)2得：(a2—l)x2+2%—1<0

當％=0時,-1<0成立x=。必為不等式的一個整數(shù)解

當％=1時，a2-l+2-l<0不成立%=1不是不等式的整數(shù)解

??.3個整數(shù)解分別為：-2,-1,0

當a=1時，*］不滿足題意

當0<a<1時，解不等式得：%<目或x>黑

不等式不可能只有3個整數(shù)解，不滿足題意

-l-a-1+a

當a>1時,~: