Page1課時訓練(六)一元二次方程及其應用(限時:35分鐘)|夯實基礎|1.[2024·懷化]一元二次方程x2+2x+1=0的解是 ()A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=-1,x2=22.[2024·金華]用配方法解方程x2-6x-8=0時,配方結果正確的是 ()A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14C.(x-6)2=44 D.(x-3)2=13.[2024·泰州]方程2x2+6x-1=0的兩根為x1,x2,則x1+x2等于 ()A.-6 B.6 C.-3 D.34.[2024·河南]一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的狀況是 ()A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根C.只有一個實數根 D.沒有實數根5.[2024·煙臺]當b+c=5時,關于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的狀況為 ()A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根 D.無法確定6.[2024·遂寧]已知關于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一個根為x=0,則a的值為 ()A.0 B.±1 C.1 D.-17.[2024·聊城]若關于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有實數根,則k的取值范圍為 ()A.k≥0 B.k≥0且k≠2C.k≥32 D.k≥32且8.[2024·遵義]新能源汽車節能、環保,越來越受消費者寵愛,各種品牌相繼投放市場,我國新能源汽車近幾年銷售量全球第一,2024年銷售量為50.7萬輛,銷量逐年增加,到2024年銷量為125.6萬輛,設年平均增長率為x,則可列方程為 ()A.50.7(1+x)2=125.6B.125.6(1-x)2=50.7C.50.7(1+2x)=125.6D.50.7(1+x2)=125.69.[2024·黑龍江]某校“研學”活動小組在一次野外實踐時,發覺一種植物的主干長出若干數目的支干,每個支干又長出同樣數目的小分支,主干、支干和小分支的總數是43,則這種植物每個支干長出的小分支個數是 ()A.4 B.5 C.6 D.710.[2024·泰安]已知關于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+3=0有兩個不相等的實數根,則實數k的取值范圍是.

11.[2024·鹽城]設x1,x2是方程x2-3x+2=0的兩個根,則x1+x2-x1·x2=.

12.數學文化[2024·寧夏]你知道嗎,對于一元二次方程,我國古代數學家還探討過其幾何解法呢!以方程x2+5x-14=0,即x(x+5)=14為例加以說明.數學家趙爽(公元3~4世紀)在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是:構造圖(如圖K6-1)中大正方形的面積是(x+x+5)2,它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積,即4×14+52,據此易得x=2.那么在圖K6-2所示三個構圖(矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網格格點上)中,能夠說明方程x2-4x-12=0的正確構圖是.(只填序號)

圖K6-1圖K6-213.[2024·黃岡]一個三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊長是方程x2-10x+21=0的根,則三角形的周長為.

14.[2024·山西]如圖K6-3,在一塊長12m,寬8m的矩形空地上,修建同樣寬的兩條相互垂直的道路(兩條道路分別與矩形的一條邊平行),剩余部分栽種花草,且栽種花草的面積為77m2,設道路的寬為xm,則依據題意,可列方程為.

圖K6-315.(1)[2024·無錫]解方程:x2-2x-5=0.(2)[2024·呼和浩特]用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的實數根.(3)[2024·紹興]x為何值時,兩個代數式x2+1,4x+1的值相等?16.[2024·衡陽]關于x的一元二次方程x2-3x+k=0有實數根.(1)求k的取值范圍;(2)假如k是符合條件的最大整數,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0與方程x2-3x+k=0有一個相同的根,求此時m的值.17.[2024·徐州]如圖K6-4,有一矩形的硬紙板,長為30cm,寬為20cm,在其四個角各剪去一個相同的小正方形,然后把四周的矩形折起,可做成一個無蓋的長方體盒子,當剪去的小正方形的邊長為何值時,所得長方體盒子的底面積為200cm2?圖K6-4|拓展提升|18.[2024·濱州]依據要求,解答下列問題.(1)解下列方程(干脆寫出方程的解即可):①方程x2-2x+1=0的解為;

②方程x2-3x+2=0的解為;

③方程x2-4x+3=0的解為;

…(2)依據以上方程特征及其解的特征,請猜想:①方程x2-9x+8=0的解為;

②關于x的方程的解為x1=1,x2=n.

(3)請用配方法解方程x2-9x+8=0,以驗證猜想結論的正確性.

【參考答案】1.C2.A3.C[解析]依據一元二次方程根與系數的關系,x1+x2=-62=-3,故選C4.A5.A[解析]因為b+c=5,所以c=5-b.因為Δ=b2-4×3·(-c)=b2+4×3·(5-b)=(b-6)2+24>0,所以該一元二次方程有兩個不相等的實數根.6.D[解析]當x=0時,a2-1=0,∴a=±1,∵a-1≠0,∴a≠1,∴a=-1,故選D.7.D[解析]∵原方程是一元二次方程,∴k-2≠0,∴k≠2,∵原方程有實數根,∴(-2k)2-4(k-2)(k-6)≥0,解得k≥32∴k的取值范圍為k≥32且k≠2,故選D8.A[解析]由題意知,在2024年50.7萬的基礎上,每年增長x,則到2024年為50.7(1+x)2,所以選A.9.C[解析]設這種植物每個支干長出x個小分支,依題意,得1+x+x2=43,解得x1=-7(舍去),x2=6.10.k<-114[解析]∵關于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+3=∴Δ=(2k-1)2-4(k2+3)>0,解得k<-11411.112.②[解析]∵x2-4x-12=0,即x(x-4)=12,∴構造如題圖②中大正方形的面積是(x+x-4)2,它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積,即4×12+42,據此易得x=6.故填②.13.16[解析]解方程x2-10x+21=0,得x1=3,x2=7,因為已知兩邊長為3和6,所以第三邊長x的范圍為:6-3<x<6+3,即3<x<9,所以三角形的第三邊長為7,則三角形的周長為3+6+7=16.14.(12-x)(8-x)=7715.解:±x2-2x-5=0,∵Δ=4+20=24>0,∴x=2±24∴x1=1+6,x2=1-6.(2)原方程化為一般形式為2x2-9x-34=0,x2-92x=x2-92x+8116=17+x-942=35316,x-94=±353∴x1=9+3534,x2=(3)由題意得x2+1=4x+1,∴x2-4x=0,∴x(x-4)=0,解得x1=0,x2=4,∴當x的值為0或4時,代數式x2+1,4x+1的值相等.16.解:(1)由一元二次方程x2-3x+k=0有實數根,得b2-4ac=9-4k≥0,∴k≤94(2)k可取的最大整數為2,∴方程可化為x2-3x+2=0,該方程的根為1和2.∵方程x2-3x+k=0與一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一個相同的根,∴當x=1時,方程為(m-1)+1+m-3=0,解得m=32當x=2時,方程為(m-1)×22+2+m-3=0,解得m=1(不合題意).故m=3217.解:設剪去的小正方形的邊長為xcm,依據題意有:(30-2x)(20-2x)=200,解得x1=5,x2=20,當x=20時,30-2x<0,20-2x<0,