習題課曲線運動知識點一運動的合成與分解的理解[基礎梳理]1．合運動性質的判斷分析兩個直線運動的合運動的性質時，應先根據平行四邊形定則，求出合運動的合初速度v0和合加速度a，然后進行判斷。(1)判斷是否做勻變速運動①若a＝0時，物體沿合初速度v0的方向做勻速直線運動。②若a≠0且a恒定時，做勻變速運動。③若a≠0且a變化時，做非勻變速運動。(2)判斷軌跡的曲直①若a與速度共線，則做直線運動。②若a與速度不共線，則做曲線運動。2．研究曲線運動的基本方法：運動的合成與分解的方法[典例精析]【例1】(2016·浙江紹興學考適應考)手持滑輪把懸掛重物的細線拉至如圖1所示的實線位置，然后使滑輪水平向右勻速移動，運動中始終保持懸掛重物的細線豎直，則重物運動的速度()圖1A．大小和方向均不變 B．大小不變，方向改變C．大小改變，方向不變 D．大小和方向均改變解析重物參與兩個分運動，一個是豎直向上的分運動，由細線收縮的運動決定；另一個是水平方向的分運動，由滑輪的運動決定，這兩個分運動均是勻速直線運動，所以重物的合運動也是勻速直線運動。故選A。答案A[即學即練]1．如圖2所示，豎直放置的兩端封閉的玻璃管中注滿清水，內有一個紅蠟塊能在水中以速度v勻速上浮。紅蠟塊從玻璃管的下端勻速上浮的同時，使玻璃管由靜止水平勻加速向右運動，則蠟塊的軌跡可能是()圖2A．直線P B．曲線Q C．曲線R D．無法確定解析紅蠟塊在豎直方向上做勻速直線運動，在水平方向上做勻加速直線運動，所受合力水平向右，合力與合速度不共線，紅蠟塊的軌跡應為曲線，A錯誤；由于做曲線運動的物體所受合力應指向彎曲的一側，故B正確，C、D錯誤。答案B知識點二小船過河[基礎梳理]v水為水流速度，v船為船相對于靜水的速度，θ為v船與上游河岸的夾角，d為河寬。小船渡河的運動可以分解成沿水流方向和垂直河岸方向兩個分運動，沿水流方向小船的運動速度為v水－v船cosθ的勻速直線運動，沿垂直河岸方向小船的運動是速度為v船sinθ的勻速直線運動。(1)最短渡河時間：在垂直于河岸方向上有t＝eq\f(d,v船sinθ)，當θ＝90°時，tmin＝eq\f(d,v船)。(如圖3甲所示)。圖3(2)最短渡河位移若v船>v水，則當合速度的方向垂直岸時，渡河位移最小xmin＝d，此時船頭與上游河岸成θ角，滿足cosθ＝eq\f(v水,v船)(如圖乙所示)。[典例精析]【例2】小船在200m寬的河中橫渡，水流速度是2m/s，小船在靜水中的航速是4m/(1)要使小船渡河耗時最少，應如何航行？(2)要使小船航程最短，應如何航行？解析(1)如圖甲所示，船頭始終正對河對岸航行時耗時最少，即最短時間tmin＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,4)s＝50s。(2)如圖乙所示，航程最短為河寬d，即應使v合的方向垂直于河對岸，故船頭應偏向上游，與河岸成α角，有cosα＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，解得α＝60°。答案(1)船頭正對河岸航行耗時最少，最短時間為50s(2)船頭偏向上游，與河岸成60°角，最短航程為2001．抓住“兩個區別”(1)正確區分分運動和合運動(2)正確區分船頭的指向與船的運動方向(航向)不同2．解題流程[即學即練]2．小船在靜水中速度為4m/s，它在寬為200m，流速為3m/s的河中渡河，船頭始終垂直河岸，如圖4所示。圖4A．40s B．50s C．66.7s D．90s解析船頭始終垂直河岸，渡河時間t＝eq\f(d,v)＝eq\f(200,4)s＝50s，故選項B正確。答案B知識點三關聯速度的分解問題[基礎梳理](1)速度特點：對運動方向與繩、桿不共線的物體進行速度分解，兩物體沿繩、桿方向的速度分量相等，如圖5所示。圖5(2)思路與方法：合運動速度→物體的實際運動速度。分運動速度→eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(其一：沿繩或桿的分速度；,其二：與繩或桿垂直的分速度。))方法：遵循平行四邊形定則。[典例精析]【例3】汽車甲通過一段鋼絲繩以恒定的速度v1拉動汽車乙，某時刻鋼絲繩跟水平面的夾角為θ，如圖6所示，求此時汽車乙的速度v2的大小。圖6解析汽車乙的實際速度(v2)沿水平面向左，可以看成沿繩方向的分速度(v2x)和垂直于繩方向的分速度(v2y)的合速度，如圖所示。由v2x＝v2cosθ＝v1得v2＝eq\f(v1,cosθ)。答案eq\f(v1,cosθ)[即學即練]3．如圖7所示，桿AB沿墻滑下，當桿與水平面的夾角為α，B端的滑動速度為vB時，求A端的滑動速度vA。圖7解析將桿A、B兩端點的速度進行分解，使其一個分量沿桿的方向，另一個分量垂直于桿的方向，利用沿桿方向的vB′＝vBcosα，vA′＝vB′，由A點速度分解的平行四邊形，可知，vA＝eq\f(vA′,sinα)＝eq\f(vB,tanα)。答案eq\f(vB,tanα)1．關于運動的合成，下列說法中正確的是()A．兩個直線運動的合運動，一定是直線運動B．兩個直線運動的合運動，一定是曲線運動C．兩個互成角度的勻速直線運動的合運動，一定是勻速直線運動D．兩個互成角度的勻加速直線運動的合運動，一定是勻加速直線運動解析兩個勻速直線運動的合成，就是其速度的合成，其合速度是確定的，等于兩個分速度的矢量和，加速度為零，即合力為零，故合運動一定是勻速直線運動，C對；兩個分運動的合加速度方向與合速度的方向不一定在同一直線上，既有可能做曲線運動，也有可能做直線運動，不是“一定”，而是“可能”，故A、B、D錯。答案C2．(多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線。則其中可能正確是()解析由運動的合成可知，小船從河岸M駛向對岸N的實際航線可能正確是A、B。答案AB3．(2016·金華十校高一下學期期末)一小船垂直河岸渡河，從出發到河中間劃行速度逐漸增大，然后劃行速度逐漸減小到達對岸。假設河水流速保持不變，則小船運動的全過程中軌跡可能是下列圖中的()解析水流速保持不變，船的速度先增大，當過河中間后開始減速運動，根據曲線運動條件，運動軌跡偏向加速度方向，故C正確，A、B、D錯誤。答案C4．如圖8所示，在河岸上用細繩拉船，為了使船勻速靠岸，拉繩的速度必須是()圖8A．加速B．減速 C．勻速D．先加速后減速解析將船的速度分解，則沿繩方向分速度等于繩速，故v繩＝v船cosθ，θ變大，故v繩減小，B正確。答案B5．質量m＝2kg的物體在光滑水平面上運動，其分速度vx和vy隨時間變化的圖象，如圖9所示，圖9(1)物體的初速度；(2)t＝8s時物體的速度；(3)t＝4s時物體的位移。解析(1)t＝0時，vx＝3m/s，vy＝0，所以初速度v0＝3m/s，沿(2)t＝8s時，vx＝3m/s，vy＝4m/s，v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(32＋42)m/s＝5m/s，設v與x軸正方向的夾角為θ，tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(4,3)，θ≈53.13°。(3)t＝4s時，x＝vxt＝3×4m＝12m，y＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)×0.5×42m＝4m，合位移s＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(122＋42)m≈12.6m，s與x軸正方向的夾角為α，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4,12)，得α≈18.4°。答案(1)3m/s，沿x軸正方向(2)5m/s，與x軸正方向成53.13°角(3)12.6m1．關于兩個分運動的合運動，下列說法中正確的是()A．合運動的速度一定大于兩個分運動的速度B．合運動的速度一定大于一個分運動的速度C．合運動的方向就是物體實際運動的方向D．由兩個分速度的大小就可以確定合速度的大小解析合速度大小可以大于分速度的大小，也可以小于或等于分速度大小，故A、B錯誤；僅知道兩個分速度大小無法畫出平行四邊形，故求不出合速度大小，故D錯誤；合運動就是物體實際運動，故C正確。答案C2．一輪船以一定的速度垂直河流向對岸行駛，當河水勻速流動時，輪船所通過的路程、過河所用的時間與水流速度的正確關系是()A．水速越大，路程越大，時間越長B．水速越大，路程越短，時間越短C．水速越大，路程和時間都不變D．水速越大，路程越長，時間不變解析渡河時間由垂直河岸的船速決定，水流速度大，不影響渡河時間，但路程變長，D正確。答案D3．(2016·諸暨市第一學期期末考試)某條河的寬度為120m，水流速度恒為3m/s，一條小船在靜水中的速度為4m/A．17s B．24s C．30s D．40s答案C4．(多選)有a、b兩個分運動，它們的合運動為c，則下列說法正確的是()A．若a、b的軌跡為直線，則c的軌跡必為直線B．若c的軌跡為直線，則a、b必為勻速運動C．若a為勻速直線運動，b為勻速直線運動，則c必為勻速直線運動D．若a、b均為初速度為零的勻變速直線運動，則c必為勻變速直線運動解析a、b的軌跡為直線，則c的軌跡可能是直線，也可能是曲線，故A錯誤；若c的軌跡為直線，則有可能合速度與合加速度共線，故B錯誤；兩個勻速直線合成必為勻速直線運動，故C正確；兩個v0＝0的勻變速直線運動合成，一定仍為v0＝0的勻變速直線運動，故D正確。答案CD5．船在靜水中的速度為4m/s，河岸筆直，河寬50m，適當調整船的行駛方向，使該船運動到河對岸時航程最短，設最短航程為A．當水流速度為2m/s時，LB．當水流速度為6m/s時，LC．當水流速度為6m/s時，LD．當水流速度為2m/s時，L解析當水流速度為2m/s時，水速小于船速，可以垂直河岸渡河，此時的最短航程等于河寬，即L＝50m，選項A、D錯誤；當水流速度為6m/s時，水速大于船速，此時不可能垂直河岸渡河，此時的最短航程為L＝eq\f(v水,v船)×河寬＝75m答案C6．如圖1所示，中間有孔的物塊A套在光滑的豎直桿上，通過滑輪用不可伸長的輕繩將物塊拉著勻速向上運動。則關于拉力F及拉力作用點的移動速度v的下列說法正確的是()圖1A．F不變、v不變 B．F增大、v不變C．F增大、v增大 D．F增大、v減小解析設繩子與豎直方向的夾角為θ，因為A做勻速直線運動，在豎直方向上合力為零，有：Fcosθ＝mg，因為θ增大，則F增大。物塊A沿繩子方向上的分速度v＝v物cosθ，因為θ增大，則v減小。D正確。答案D7．(多選)質量為2kg的質點在x－y平面上做曲線運動，在x方向的速度圖象和y方向的位移圖象如圖2所示，圖2A．質點的初速度為5B．質點所受的合外力為3NC．質點初速度的方向與合外力方向垂直D．2s末質點速度大小為6解析由x方向的v－t圖象可得，ax＝1.5m/s2，受力F＝3N，由y方向的位移圖象，vy＝4m/s，故Fy＝0，因此，v0＝5m/s，F＝3N，A、B正確；合外力方向在x軸上，故質點初速度方向與合外力方向不垂直，C錯誤；2s末質點的速度應該為v＝eq\r(62＋42)m/s＝2答案AB8．(多選)如圖3所示的直角三角板緊貼在固定的刻度尺上方，若使三角板沿刻度尺向右勻速運動的同時，一支鉛筆從三角板直角邊的最下端，由靜止開始沿此邊向上做勻加速直線運動，下列關于鉛筆尖的運動及其留下的痕跡的判斷，其中正確的是()圖3A．筆尖留下的痕跡是一條傾斜的直線B．筆尖留下的痕跡是一條曲線C．在運動過程中，筆尖的速度方向始終保持不變D．在運動過程中，筆尖的加速度方向始終保持不變解析筆尖實際參與的是水平向右的勻速直線運動和向上的初速度為零的勻加速直線運動的合運動，則合外力方向與初速度方向不在同一條直線上，其運動軌跡為曲線，A錯，B對；筆尖做曲線運動，在運動過程中，筆尖的速度方向不斷變化，C錯；筆尖的加速度方向始終向上，D對。答案BD9．如圖4所示，在不計滑輪摩擦和繩子質量的條件下，當小車以速度v勻速向右運動到如圖所示位置時，物體P的速度為()圖4A．v B．vcosθ C．eq\f(v,cosθ) D．vcos2θ解析如圖所示，繩子與水平方向的夾角為θ，將小車的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向的速度等于P的速度，根據平行四邊形定則得，vP＝vcosθ，故B正確，A、C、D錯誤。答案B10．如圖5所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車沿斜面升高。當滑輪右側的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度大小為()圖5A．vsinθ B．eq\f(v,cosθ) C．vcosθ D．eq\f(v,sinθ)解析重物以速度v沿豎直桿下滑，繩子的速率等于小車的速率，將重物的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向的分速度等于繩速，如圖所示。由繩子速率v繩＝vcosθ，而繩子速率等于小車的速率，則有小車的速率v車＝v繩＝vcosθ，故選C。答案C11．(2016·浙江省東陽中學高一期中)如圖6所示，物體A和B的質量均為m，且分別與跨過定滑輪的輕繩連接(不計繩與滑輪、滑輪與軸之間的摩擦)，在用水平變力F拉物體B沿水平方向向右以2m/s的速度做勻速直線運動的過程中，繩子的拉力________(填“>”“＝”“<”)物體A的重力，當α＝60°時，則物體A的速度大小為________m/圖6答案>112．已知某船在靜水中的速率為v1＝4m/s，現讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100m，河水的流動速度為v2＝3m/s，方向與河岸平行。(1)欲使船以最短時間渡河，船的航向怎樣？最短時間是多少？到達對岸的位置怎樣？船發生的位移是多大？(2)欲使船渡河過程中的航行距離最短，船的航向