高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省丹東市2025屆高三上學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i是虛數單位，復數z=，則復數z的虛部為（）A.i B.-i C.1 D.-1【答案】C【解析】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.2.設集合，集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，所以，或，，或，所以，或.故選：B.3.雙曲線的頂點到其漸近線的距離為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】由，可得漸近線方程為：，頂點坐標為，由對稱性，取頂點，漸近線，由距離公式可得：頂點到其漸近線的距離為，故選：A.4.的展開式中的系數為（）A.5 B.10 C.20 D.【答案】B【解析】的通項為，所以的展開式中的項為，則系數為10.故選：B.5.在邊長為2的正方形ABCD中，E是AB的中點，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】邊長為2的正方形ABCD中，E是AB的中點，故，.故選：D.6.把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向右平移個單位長度得到，然后所有點的橫坐標縮短到原來的倍得到，所以.故選：D.7.函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D.8.已知正三棱錐中，D是棱PC上點，，且，則直線BD與平面PAB所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取中點，連接，因為為中點，所以，，因為，平面，所以平面，以為原點，所在直線分別為軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，設，，，，，，因為，所以，解得，則，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數據，由這組數據得到新樣本數據，其中，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本極差相同C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本標準差相同【答案】BD【解析】，故A錯；設，則兩組樣本數據的樣本極差都為，故B正確；若原樣本數據的中位數為，則新樣本數據的中位數為，故C錯；，故D正確.故選：BD.10.已知拋物線的焦點為F，直線與C交于M，N兩點（M在第一象限），l為C的準線，若點M到l的距離為4，，則（）A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.點F到直線MQ的距離為【答案】BCD【解析】拋物線，其準線為，因為到的距離為，則，代入拋物線方程得，則，所以，解得，故A錯；聯立得，解得或3，則，，故B正確；中點坐標為，點到直線的距離為，所以以為直徑的圓與相切，故C正確；，所以直線的方程為，整理得，則點到直線的距離，故D正確.故選：BCD.11.已知等比數列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，且，則下列說法正確的是（）A.若，為遞增數列B.，，為等比數列C.D.若，的n的最小值為10【答案】AD【解析】由故，對于A,若，則，所以為遞增數列，故A正確；對于B，若則，此時，，不是等比數列，故B錯誤；對于C,，若則，當且僅當時取等；時，，當且僅當時取等，故C錯誤；對于D,若，則當時，，當時，，因為，，，故的n的最小值為10，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數為奇函數，則__________.【答案】2【解析】因為為奇函數，所以，解得或，當時，，成立；當時，，，，故不成立，所以.故答案為：2.13.已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是圓心角為的扇形，則圓錐的體積為__________.【答案】【解析】由題意得底面圓的周長為，設圓錐的母線長為，則，解得，所以圓錐的體積.故答案為：.14.已知，為橢圓的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，，且四邊形的面積為6，則C的方程為__________.【答案】【解析】設，，由題意得，，因為，所以四邊形為矩形，所以，，則，解得，所以，橢圓的方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記銳角內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）在所在的平面內有一點D，使，，若，求的面積.解：（1）根據正弦定理，得，，因為，所以.所以，，故.（2）由，，可知在四邊形ABDC中，，因為，所以，則，由，所以，是等邊三角形，所以的面積.16.已知函數.（1）當時，求在處的切線方程；（2）當，時，求證：.解：（1）因為，當，所以，則，且，所以在處的切線方程為，即.（2）由，所以在上單調遞減，的最大值為，令，則，，所以，所以在上單調遞減，，在上最大值為，所以，所以.17.如圖，在邊長為4的正方形MBCD中，A為線段MB的中點，沿AD將翻折至，使得.（1）求證：平面平面PCD；（2）求平面PBC與平面PCD所成角的正弦值.（1）證明：連接AC，，可得，,所以，，因為，平面，所以平面PCD，因為平面PAB，所以平面平面PCD.（2）解：取CD的中點Q，連接PQ，AQ由（1）知，，，，平面，所以平面PAQ，因為平面ABCD，所以平面平面ABCD，過P作，垂足為N，因平面，平面平面，所以平面ABCD，因為平面，所以，在中，，，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，可知z軸在平面PAQ內.則，，，，，，設平面PBC的法向量，由，可得，可取由（1）可知，為平面PCD的法向量，則平面PCD的法向量為.故，所以平面PBC與平面PCD所成角的正弦值為.18.某駕校的張教練帶領甲、乙、丙三名學員進行科目三練習，由于教練車只有一輛，張教練在排隊系統中設定：每次甲練習后，系統抽到甲練習的概率為，抽到乙練習的概率為，每次乙練習后，系統抽到甲練習的概率為，抽到丙練習的概率為，每次丙練習后，系統抽到甲練習的概率為，抽到乙練習的概率為，直到這天練習結束，一共練習了n（，）輪，已知練習從甲開始.（1）當時，求甲一共參與練習次數X的分布列與期望；（2）求第n輪為甲練習的概率.解：（1）根據題意得，X的可能取值分別為1，2，3，則時，表示第1輪為甲，第2輪為乙，第3輪為丙，即，時，表示第1輪為甲，第2輪為甲，第3輪為乙，或第1輪為甲，第2輪為乙，第3輪為甲，即，時，表示第1輪為甲，第2輪為甲，第3輪為甲，即，所以X的分布列如下表X123P.（2）設第n輪練習為甲，乙，丙的概率分別為，，，由題意得，①，②由②得，所以數列是首項為，公比為的等比數列，，則代入①中，得，故第n輪為甲練習的概率為.19.設A，B分別是直線和上的動點，，O為坐標原點，動點P滿足，記動點P的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）設C與x軸正半軸的交點為D，與y軸正半軸的交點為E，當點P在第一象限時，直線PD交y軸于點M，直線EP交x軸于點N.（ⅰ）求證：為定值；（ⅱ）求面積的最大值.（1）解：設，，，由，，得，①，②聯立①②消去，可得C的方程為；（2）（ⅰ）證明：設（，），，，由三點共線可知，得，由三點共線可知，得，所以，，所以，因為，所以代入上式得.（ⅱ）解：由圖知，的面積為，即因，則（時等號成立）所以，即面積的最大值為.遼寧省丹東市2025屆高三上學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i是虛數單位，復數z=，則復數z的虛部為（）A.i B.-i C.1 D.-1【答案】C【解析】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.2.設集合，集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，所以，或，，或，所以，或.故選：B.3.雙曲線的頂點到其漸近線的距離為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】由，可得漸近線方程為：，頂點坐標為，由對稱性，取頂點，漸近線，由距離公式可得：頂點到其漸近線的距離為，故選：A.4.的展開式中的系數為（）A.5 B.10 C.20 D.【答案】B【解析】的通項為，所以的展開式中的項為，則系數為10.故選：B.5.在邊長為2的正方形ABCD中，E是AB的中點，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】邊長為2的正方形ABCD中，E是AB的中點，故，.故選：D.6.把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向右平移個單位長度得到，然后所有點的橫坐標縮短到原來的倍得到，所以.故選：D.7.函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D.8.已知正三棱錐中，D是棱PC上點，，且，則直線BD與平面PAB所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取中點，連接，因為為中點，所以，，因為，平面，所以平面，以為原點，所在直線分別為軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，設，，，，，，因為，所以，解得，則，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數據，由這組數據得到新樣本數據，其中，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本極差相同C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本標準差相同【答案】BD【解析】，故A錯；設，則兩組樣本數據的樣本極差都為，故B正確；若原樣本數據的中位數為，則新樣本數據的中位數為，故C錯；，故D正確.故選：BD.10.已知拋物線的焦點為F，直線與C交于M，N兩點（M在第一象限），l為C的準線，若點M到l的距離為4，，則（）A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.點F到直線MQ的距離為【答案】BCD【解析】拋物線，其準線為，因為到的距離為，則，代入拋物線方程得，則，所以，解得，故A錯；聯立得，解得或3，則，，故B正確；中點坐標為，點到直線的距離為，所以以為直徑的圓與相切，故C正確；，所以直線的方程為，整理得，則點到直線的距離，故D正確.故選：BCD.11.已知等比數列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，且，則下列說法正確的是（）A.若，為遞增數列B.，，為等比數列C.D.若，的n的最小值為10【答案】AD【解析】由故，對于A,若，則，所以為遞增數列，故A正確；對于B，若則，此時，，不是等比數列，故B錯誤；對于C,，若則，當且僅當時取等；時，，當且僅當時取等，故C錯誤；對于D,若，則當時，，當時，，因為，，，故的n的最小值為10，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數為奇函數，則__________.【答案】2【解析】因為為奇函數，所以，解得或，當時，，成立；當時，，，，故不成立，所以.故答案為：2.13.已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是圓心角為的扇形，則圓錐的體積為__________.【答案】【解析】由題意得底面圓的周長為，設圓錐的母線長為，則，解得，所以圓錐的體積.故答案為：.14.已知，為橢圓的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，，且四邊形的面積為6，則C的方程為__________.【答案】【解析】設，，由題意得，，因為，所以四邊形為矩形，所以，，則，解得，所以，橢圓的方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記銳角內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）在所在的平面內有一點D，使，，若，求的面積.解：（1）根據正弦定理，得，，因為，所以.所以，，故.（2）由，，可知在四邊形ABDC中，，因為，所以，則，由，所以，是等邊三角形，所以的面積.16.已知函數.（1）當時，求在處的切線方程；（2）當，時，求證：.解：（1）因為，當，所以，則，且，所以在處的切線方程為，即.（2）由，所以在上單調遞減，的最大值為，令，則，，所以，所以在上單調遞減，，在上最大值為，所以，所以.17.如圖，在邊長為4的正方形MBCD中，A為線段MB的中點，沿AD將翻折至，使得.（1）求證：平面平面PCD；（2）求平面PBC與平面PCD所成角的正弦值.（1）證明：連接AC，，可得，,所以，，因為，平面，所以平面PCD，因為平面PAB，所以平面平面PCD.（2）解：取CD的中點Q，連接PQ，AQ由（1）知，，，，平面，所以平面PAQ，因為平面ABCD，所以平面平面ABCD，過P作，垂足為N，因平面，平面平面，所以平面ABCD，因為平面，所以，在中，，，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，可知z軸在平面PAQ內.則，，，，，，設平面PBC的法向量，由，可得，可取由（1）可知，為平面PCD的法向量，則平面PCD的法向量為.故，所以平面PBC與平面PCD所成角的正弦值為.18.某駕校的張教練帶領甲、乙、丙三名學員進行科目三練習，由于教練車只有一輛，張教練在排隊