第06講勾股定理的逆定理

T模塊導航一素養目標傕

模塊一思維導圖串知識1.經歷勾股定理的逆定理的探索過程，知道勾股定理與

逆定理的聯系與區別；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）

2.能用勾股定理的逆定理解決一些簡單的實際問題；

模塊三核心考點舉一反三

3.初步認識勾股定理的逆定理的重要意義，會用勾股定

模塊四小試牛刀過關測理就解決一些幾何問題。

模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點：勾股定理逆定理

L定義：如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+62=02,那么這個三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗證與/+〃是否具有相等關系.若02=/+〃，則AABC是NC=90°的直角三角形；若

c2jta2+b2,則AABC不是直角三角形.

注意：當/+/<C2時，此三角形為鈍角三角形；當/+〃〉02時，此三角形為銳角三角形，其中。

為三角形的最大邊.

1

6模塊三核心考點舉一?反三----------------------------

考點一：判斷三邊能否構成直角三角形

1.若實數X的立方根是2,且實數y、Z滿足(y—z+2)2=_Jy-15.

⑴分別求x、y、z的值；

(2)若X、八z是△力BC的三邊長，試判定△ABC的形狀，并說明理由；

(3)求其最大邊上的高.

【變式1-1】下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）

A.4cm,5cm,6cmB.lcm,V2cm,3cm

C.2cm,3cm,4cmD.1.5cm,2cm,2.5cm

【變式1-2］下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）

A.a—15,b=20,c=25B.a\b\c=3:4:5

C.Z-A+Z-B=Z,CD.Z.A:Z.B:Z.C=3:4:5

【變式1-3］下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.0.1,0.1,0.2B.2,2,4C.6,8,10D.32,42,52

考點二：在網格中判斷直角三角形

2.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格圖中，△A8C的三個頂點均在格點上

⑴求△A8C的周長；

(2)試判斷△4BC的形狀.

2

【變式2-1］如圖，每個小正方形的邊長為1,請借用網格解決以下問題:

1111

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1111

1111

1111

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圖1圖2

(1)如圖1所示，請計算△4BC的面積；

(2)在圖2中畫△￡)￡1「，使三邊DE、EF、DF的長分別為VTU、VI62遍，并判斷aDEF的形狀，說明

理由.

【變式2-2］如圖，每個格子都是邊長為1的小正方形，乙ABC=90°,四邊形4BCD的四個頂點都在格點上.

卜L一?I一-?I?一-盧I?-*-k一l?-一i

卓、

一：.：?，.、1￡>」

(1)求四邊形48CD的周長；

(2)連結力C,試判斷△力CD的形狀，并說明理由.

【變式2-3】如圖所示，在邊長均為1的5x5正方形網格中，/、BC、。均在格點上.

D

IWI

B

(1)求44DC的度數；

(2)求四邊形48CD的面積.

3

考點三：利用勾股定理的逆定理求解

；!|3.如圖，在△A8C中，AB=AC,。是邊上的一點，BD=5cm,BC13cm,CD=12cm.

⑴判斷△4CD的形狀，并說明理由;

⑵求△ABC的周長.

【變式3-1］如圖，在四邊形4BCD中，Z.B=90°,AB=BC=642,CD=16,AD=20.求四邊形4BCD

的面積.

【變式3-2】如圖所示，在四邊形2BCD中，AB=AD=2,BC=3,CD=1,乙4=90。，求乙4DC的度數.

【變式3-3】已知44=9。。，AB^AC^1cm,BD=位,CD=3.回答下列問題.

(1)求乙4BD的度數；

(2)求四邊形4BDC的面積.

考點四：勾股定理逆定理的實際應用

4

例4.如圖，某中學有一塊四邊形的空地4BCD,學校計劃在空地上種植草皮，經測量=90°,AD=

4m,AB=13m,CD=3m,BC=12m.

(1)求四邊形ABC。的面積；

(2)若每平方米草皮需要200元，問學校需要投入多少資金買草皮？

【變式4-1］如圖，某居民小區有一塊四邊形空地小道4C和CE把這塊空地分成了△ABC、AACE

和△CDE三個區域，分別擺放三種不同的花卉.已知N8=90。,4B=12米，BC=16米，4E=15米,

CE=25米.

(1)求四邊形48CE的面積；

(2)小明和小林同時以相同的速度同時從點E出發，分別沿E-4-C和E-D-C兩條不同的路徑散步,

結果兩人同時到達點C,求線段DE的長度.

【變式4-2］如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運輸貨物，現要從公路4B上的點。處開鑿隧道修通

一條公路到點C處，已知點C與公路上的?？空?的距離為15km,與公路上的另一停靠站B的距離為

20km,?？空?B之間的距離為25km,且CD1AB.

(1)判斷△ABC是什么三角形？并說明理由;

(2)求修通的公路CD的長.

【變式4-3】森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國科技、經濟的不斷發展，開始應用飛機

5

灑水的方式撲滅火源.如圖，有一臺救火飛機沿東西方向4B,由點力飛向點B,已知點C為其中一個著

火點，已知4B=1000m,AC=600m,BC=800m,飛機中心周圍500m以內可以受到灑水影響.

(1)在飛機飛行過程中，求飛機距離著火點C的最短距離；

(2)若該飛機的速度為14m/s,要想撲滅著火點C估計需要15秒，請你通過計算說明著火點C能否被飛

機撲滅.

<?>模塊四小試牛刀過關測-------------

1.下列各組數據，能作為直角三角形三邊長的是()

A.1,4,5B.11,15,13C.5,12,13D.4,5,6

2.園丁住宅小區有一塊草坪如圖所示.已知AB=6m,BC=8m,CD=24m,DA=26m,且481BC,

這塊草坪的面積是（）

3.已知a,b,c是三角形的三邊長，如果滿足(a-6)2++|c-10|=0,則三角形的形狀是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.直角三角形

5.如圖，小正方形的邊長均為1,4、B、C是小正方形的頂點，貝吐ACB的度數是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.已知△A8C的三邊長分別為10,24,26,則△2BC的面積為

6

7.如圖，△ABC中，4D是BC邊的中線，AC=17,BC=16,AD=15,△ABC的面積為.

8.如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，則△4BC是三角形（填直角、銳角或鈍角）.

9.如圖，在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60。的方向以每小時8海里速度前進，乙船沿南偏東某

方向以每小時15海里的速度前進，2小時后甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，則乙船沿—

方向航行.

北

10.如圖，一塊四邊形草地4BCD,測得48=8m,BC=17m,CD=9m,AD=12m,Z.ADC=90°.求

該四邊形草地的面積.

n

11.如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，818型和7188型海警船同時離開港口，各自沿一固定方向

7

巡航.818型海警船航速為32節(1節=1海里/小時)，718B型海警船航速為24節，它們離開港口

一小時后分別位于點Q,R處，且相距40海里.若818型海警船沿北偏東42。方向航行，請解答下列問

題.

(1)試說明△PRQ是直角三角形.

(2)7188型海警船沿哪個方向航行？

12.如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊C,河邊原有兩個取水點4,B,由C到/的路現在已經不

通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點〃(點/、3在同一條直線上)，并新修一條

路測得C8=1.5km,CH=1.2km,HB=0.9km.

(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明；

(2)已知新的取水點〃與原取水點A相距0.5千米，則新路CH比路C力少多少千米？

13.如圖，某小區的兩個噴泉8的距離48=250m.現要為噴泉鋪設供水管道力M,BM,供水點M在

8

小路4c上，至必8的距離MN=120m,到噴泉8的距離=150m.

(1)求供水點“到噴泉48需要鋪設的管道總長;

(2)求出噴泉B到小路4C的最短距離.

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第06講勾股定理的逆定理

模塊導航素養目標傕

模塊一思維導圖串知識1.經歷勾股定理的逆定理的探索過程，知道勾股定理與

逆定理的聯系與區別；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）

2.能用勾股定理的逆定理解決一些簡單的實際問題；

模塊三核心考點舉一反三

3.初步認識勾股定理的逆定理的重要意義，會用勾股定

模塊四小試牛刀過關測理就解決一些幾何問題。

模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點：勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+〃=。2,那么這個三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

（3）首先確定最大邊（如c）.

（4）驗證與/+〃是否具有相等關系若02=/+〃，則AABC是/C=90。的直角三角形；若

c2^a2+b2,則AABC不是直角三角形.

注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當/+62>02時，此三角形為銳角三角形，其中。

為三角形的最大邊.

10

6模塊三核心考點舉一?反三------------------------------

考點一：判斷三邊能否構成直角三角形

1.若實數X的立方根是2,且實數八Z滿足(y—z+2)2=-77TF.

⑴分別求x、y、z的值；

(2)若x、y、z是△力BC的三邊長，試判定△4BC的形狀，并說明理由；

(3)求其最大邊上的高.

【答案】(1)X=8,y=15,z=17

(2)直角三角形，理由見解析

(3塔

【分析】(1)由立方根的定義可求出x的值，由平方和算術平方根的非負性可求出y和2的值；

(2)根據勾股定理逆定理求解即可；

(3)設最大邊上的高為心根據三角形面積公式可得出八=%，代入數據求解即可.

Z

【詳解】(1)解：???實數尤的立方根是2,

.,.%=23=8.

V(y-z+2)2-Jy-15,則(y-z+2=+Jy-15=0,

,(y-z+2=0

,?(y-15=0'

解得：n

lz=17

(2)解：V82+152=289=172,

x2+y2=z2,

ABC的形狀為直角三角形；

(3)解：設最大邊上的高為八，

"-"SAABc^lxy=^hz,

...h=?=答=詈，即最大邊上的高為翳.

【點睛】本題考查立方根的定義，非負數的性質，勾股定理逆定理，代數式求值，三角形的面積計算.熟

練掌握上述知識是解題關鍵.

【變式1-1】下列四組線段中，可以構成直角三角形的是()

A.4cm,5cm,6cmB.lcm,V2cm,3cm

C.2cm,3cm,4cmD.1.5cm,2cm,2.5cm

【答案】D

【分析】根據三角形存在的條件，勾股定理的逆定理，解答即可.

本題考查了三角形的存在，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

11

【詳解】解：：6<4+5,與兩邊之和大于第三邊一致，構成三角形，

22

但42+5=41*6=36,構不成直角三角形，

.,.A不符合題意；

Vl+V2<3,與兩邊之和大于第三邊不一致，構不成三角形，

更不可能構成直角三角形，

.,.B不符合題意；

V4<2+3,與兩邊之和大于第三邊一致，構成三角形，

但22+32=1342=16,構不成直角三角形，

；.C不符合題意；

V1.5+2=3.5>2.5,與兩邊之和大于第三邊一致，構成三角形，

且1.52+22=6.25=2.52,構成直角三角形，

.'.D符合題意；

故選：D.

【變式1-2］下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）

A.a=15,b=20,c=25B.a'.b:c=3:4:5

C.Z-A+Z-B=Z.CD.NB:=3:4:5

【答案】D

【分析】本題考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形內角和定理是解題的關鍵.利

用勾股定理的逆定理，三角形內角和，直角三角形兩個銳角互余，逐項分析即可.

【詳解】解：A.152+202=625,252=625,

152+202=252,

???故該選項能判斷△ABC為直角三角形，不符合題意；

B.a\b\c=3:4:5,

—3k,b—4/c,c—5k,

則。2+爐=25k2,c2=25k2,

a2-+b2=c2,

???故該選項能判斷△ABC為直角三角形，不符合題意；

C.,?*Z-A+Z-B=Z.CZ-A+Z-B+Z.C=180°,

???zC=90°,

???故該選項能判斷△ABC為直角三角形，不符合題意；

D.???乙4:/C=3:4:5,

設乙4=3a,Z-B—4a,Z.C=5a,

???zX+ZB+zC=180°,

???12a=180°

12

解得a=15°

???Z.A=45°,NB=60°,NC=75°

???故該選項不能判斷△力BC為直角三角形，符合題意；

故選：D.

【變式1-3］下列長度的三條線段能組成直角三角形的是()

A.0.1,0.1,0.2B.2,2,4C.6,8,10D.32,42,52

【答案】C

【分析】題目主要考查勾股定理逆定理，理解題意，熟練掌握運用勾股定理逆定理是解題關鍵.運用勾

股定理逆定理驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可判斷直角三角形.

【詳解】解：A、0.1+0.1=0.2,不滿足三角形三邊關系，不能組成三角形，不符合題意；

B、2+2=4,不滿足三角形三邊關系，不能組成三角形，不符合題意；

C、62+82=100=102,能組成直角三角形，故符合題意；

D、(32)2+(42)2=337,(52)2=625,^(32)2+(42)2(52)2,故不能組成直角三角形,故不符合題

思-Vr、.，

故選：C.

考點二：在網格中判斷直角三角形

例2.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格圖中，△力BC的三個頂點均在格點上

?-一?—?—

(1)求△ABC的周長；

(2)試判斷的形狀.

【答案】(1)5+3病

(2)△力BC是直角三角形，見解析

【分析】本題主要考查了網格與勾股定理，勾股定理的逆定理等知識點，熟練掌握勾股定理以及勾股

定理的逆定理是解題的關鍵.

(1)利用勾股定理可得：AB2=5,AC2=20,CB2=25,從而求出力B,AC,BC的長，然后利用三

角形的周長公式，進行計算即可解答；

(2)利用(1)的結論，再根據勾股定理的逆定理，進行計算即可解答；

【詳解】(1)由題意得：

AB2=22+12=5,

13

AC2=22+42=20,

CB2=32+42=25,

：.AB=V5,/IC=V20=2V5,BC=V25=5,

△力BC的周長=AB+AC+BC—V5+2v5+5=3V5+5,

.?.△ABC的周長為5+3V5；

（2）△ABC是直角三角形，

理由：由（1）可得：

AB2+AC2=5+20=25,BC2=25,

：.AB2+AC2=BC2,

△力BC是直角三角形.

【變式2-1］如圖，每個小正方形的邊長為1,請借用網格解決以下問題:

⑴如圖1所示，請計算△力BC的面積；

(2)在圖2中畫△￡>M,使三邊DE、EF、DF的長分別為VIU、V10,2星,并判斷aDEF的形狀，說明

理由.

【答案】譙

(2)直角三角形，見解析

【分析】本題考查了根據網格求三角形面積，勾股定理和無理數，勾股定理逆定理.

(1)用割補法即可解答；

(2)由VTU=732+12,2*=聞=V42+22確定DE,EF,DF,根據勾股定理逆定理，即可確定

形狀.

【詳解】(1)角星：SAABC=3x3——x1x3——x1x2——x2x3=—

(2)解：vVlO-V32+l2,2V5=V20=V42+22,

如圖所示，△DEF即為所求.

14

即。#+EF2=DF2,

...△DEF是直角三角形.

【變式2-2］如圖，每個格子都是邊長為1的小正方形，/.ABC=90°,四邊形2BCD的四個頂點都在格點上.

(1)求四邊形4BCD的周長；

(2)連結力C,試判斷△力CD的形狀，并說明理由.

【答案】⑴12+5金

(2)Z\4CD是直角三角形

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定義，正確計算是解題的關鍵.

(1)利用網格和勾股定理求出四邊形4BCD的各邊長即可求解；

(2)利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定義可得△4CD是等腰直角三角形.

【詳解】(1)解：AB=4,BC=3,CD=V32+42=5,AD=Vl2+72=5V2,

?"四邊形4BCD=4+3+5+5應=12+5V2；

(2)解：△力CD是等腰直角三角形，理由如下，

?：AC=V32+42=5,CD=432+42=5,AD=5V2,

：.AC2+CD2=50,AD2=50,AC=DC

.,.AC2+CD2=AD2,

△力CD是等腰直角三角形，^ACD=90°.

【變式2-3】如圖所示，在邊長均為1的5x5正方形網格中，A、B、C、。均在格點上.

15

D

(1)求乙4DC的度數；

(2)求四邊形4BCD的面積.

【答案】(1)N4DC=90°

【分析】本題考查了勾股定理與網格，勾股定理得逆定理，掌握勾股定理及逆定理是解題關鍵.

(1)由網格可知，AD2=5,CD2=20,AC2=25,再根據勾股定理的逆定理求解即可；

(2)根據S四邊形ABCD=S&4CD+S&4BC求解即可?

【詳解】(1)解：AD2=I2+22=5,CD2=22+42=20,AC2=52=25,

：.AD2+CD2=25=AC2,

：.Z.ADC=90°；

⑵解：=S&ACD+^AABC=^X5X2+-X5x3=—.

考點三：利用勾股定理的逆定理求解

IXi例3.如圖，在△力BC中，AB=AC,。是力B邊上的一點，BD=5cm,BC=13cm,CD=12cm.

(1)判斷△ACD的形狀，并說明理由；

(2)求△ABC的周長.

【答案】(1)直角三角形；理由見解析

(2)46.8cm

【分析】本題主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，屬于?？碱}型，熟練掌握勾股

定理及其逆定理是解題的關鍵.

(1)根據勾股定理的逆定理解答即可；

(2)設力。=%cm,貝=力。=(x+5)cm,然后在Rt△ACD中根據勾股定理即可得到關于x的方程,

解方程即可求出x,進一步即可求出A8的長，從而求得△力BC的周長.

16

【詳解】(1)解：△力CD是直角三角形；理由如下：

BD=5cm,BC=13cm,CD=12cm,

：.BD2+CD2=52+122=169,BC2=169,

：.BD2+CD2=BC2,

.?.△BCD是直角三角形，貝ijNBDC=90。，

：.Z.ADC=90°,

...△acD是直角三角形；

(2)解：設AD=xcm,貝=AD+BD=(x+5)cm,

.'.AB=AC=(%+5)cm,

V^ADC=90°,

：.AC2=AD2+CD2,即(X+5)2=/+i22,

解得：%=11.9,貝IjAB=力。=16.9cm

.?.△4BC的周長=16.9+16.9+13=46.8cm.

【變式3-1］如圖，在四邊形4BCD中，乙8=90。，AB=BC=60,CD=16,AD=20,求四邊形ABC。

的面積.

【答案】132

【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理判斷直角三角形是解題的關

鍵；

連接AC,根據勾股定理求出AC,再證明AC?+力屏=CD2t得出mac=90。，根據S四邊形ABCD=S.+

SNCD即可得出答案?

【詳解】解：連接AC,

VZ.B=90°,AB=BC=6V2,

22

：.AC2=AB2+BC2=(6V2)+(6V2)=144,

VCD=16,AD=20

：.AD2=202=400,CD2=162=256,

vAC2+CD2=144+256=400,

17

：.AC2+CD2=AD2,

：.ADCA=90°,

四邊形4BCD的面積為：s四邊形"CD=SOBC+S&ACD=IX6V2x6V2+1x12x16=132.

【變式3-2】如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=2,BC=3,CD=1,乙4=90。，求乙4DC的度數.

【答案】135°.

【分析】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定與性質，連接BD,由題意可

得△4BD是等腰直角三角形，推出乙4DB=45。，由勾股定理結合勾股定理逆定理得出△BC0是直角三

角形，且NBDC=90。，即可得解.

【詳解】解：連接B0,

在RtaB力。中，■：AB=AD=2,

??.△ABD是等腰直角三角形

?-?AADB=45°,BD2=AD2+71F2=22+22=8

在aBCD中，DF2+CD2=8+I2=9=CB2,

??.△BCD是直角三角形，且NBDC=90。，

?-?AADC=乙ADB+乙BDC=45°+90°=135°.

【變式3-3］已知乙4=90。，AB=AC=1cm,BD=V7,CD=3.回答下列問題.

⑴求41BD的度數；

(2)求四邊形4BDC的面積.

【答案】⑴135°

(加+日

【分析】此題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及二次根式的應用，利用勾股定理逆定理判定

△BCD是直角三角形是解決此題的關鍵.

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(1)根據乙4=90。，AB=AC=1cm,易證△力BC是等腰直角三角形，得至UNABC=45°,再利用勾股

定理求出BC,再利用勾股定理的逆定理證出△BCD是直角三角形，得到NCBD=90。，即可求解出N4BD

的角度；

(2)根據四邊形2BCD的面積就等于兩個直角三角形的面積之和即可求解.

【詳解】(1)解：力=90。，4B=AC=1cm,

是等腰直角三角形，

：.AABC=45°,

BC-y/AC2+AB2=Vl2+l2=V2.

'：BD=巾,CD=3.

ABC2+BD2=CD2,

.?.△BCD是直角三角形，且ZCBD=9O。，

：.^ABD=乙4BC+乙CBD=135°；

(2)解：?.,△ABCABCO都是直角三角形，

??S四邊形4BCD=S^ABC+SABCD=5xABxAC+-xBCxDB=-xlxl+-xV2x幣=1H—?

即四邊形2BCD的面積為1+苧.

考點四：勾股定理逆定理的實際應用

例4如圖,某中學有一塊四邊形的空地力BCD,學校計劃在空地上種植草皮，經測量ND=90。，力。=

4m,AB=13m,CD=3m,BC=12m.

(1)求四邊形48CD的面積；

(2)若每平方米草皮需要200元，問學校需要投入多少資金買草皮？

【答案】(l)24m2

⑵學校需要投入4800元買草皮

【分析】此題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應用，通過勾股定理由邊與邊的關系也可證明直

角三角形是解題的關鍵.

(1)連接ZC,利用勾股定理求出AC,由AC、AB、BC的長度關系可得三角形力BC為一直角三角形，用

S；MBC-S/V1CD即可解答；

(2)根據總價=單價x數量計算即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接AC,

19

D

H

乙D-90°,AD=4m,CD—3m,

在Rt△ACD中，AC=y/AD2+CD2=5m,

AB=13m,BC=12m,

：.BC2=144MB2=169,AC2=25,

：.BC2+AC2=AB2,

???△ABC是直角三角形，且乙億8=90。，

???四邊形/BCD的面積為：^/\ABC~

11

=-AC-BC--AD-CD

22

11

=-x5x12----x4,x3

22

=24(m2)；

(2)解：根據題意：200x24=4800(元)

答：學校需要投入4800元買草皮.

【變式4-1］如圖，某居民小區有一塊四邊形空地A8CD,小道4C和CE把這塊空地分成了△ABC、AACE

和△CDE三個區域，分別擺放三種不同的花卉.已知N8=90。,4B=12米，BC=16米，4E=15米,

CE=25米.

(1)求四邊形4BCE的面積；

(2)小明和小林同時以相同的速度同時從點E出發，分別沿E-4-C和EtD-C兩條不同的路徑散步,

結果兩人同時到達點C,求線段DE的長度.

【答案】(1)246平方米

(2)線段OE的長度為6米

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應用；

(1)根據勾股定理求得力C2,進而根據勾股定理的逆定理證明△2CE是直角三角形，再根據三角形的

面積公式，即可求解；

(2)根據題意得出ED+DC=35米，設=米，貝l]CD=(35-x)米，在RtZXACD中，根據勾股定

理建立方程，解方程，即可求解.

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【詳解】(1)解：=90。,48=12米，BC=16米

：.AC=7AB2+BC2=20米

?：AC2+AE2=202+152=625=252=CE2

△力CE是直角三角形，S.Z.CAE=90°

四邊形4BCE的面積為S^BC+SAAEC=\ABXBC+|XCx/IE=1x12x16+1x20x15=96+

150=246平方米

(2)解：由(1)可得△ACE是直角三角形，^LCAE=90°

依題意，ED+DC=EA+AC=15+20=35米，

設DE=x米，則CD=(35-x)米

在RtWCD中，CD2=AC2+AD2

.1.(35-x)2=202+(15+x)2

解得：x=6,即線段DE的長度為6米.

【變式4-2］如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運輸貨物，現要從公路力B上的點。處開鑿隧道修通

一條公路到點C處，已知點C與公路上的?？空?的距離為15km,與公路上的另一?？空綛的距離為

20km，停靠站4,B之間的距離為25km,且CD148.

(1)判斷△ABC是什么三角形？并說明理由；

(2)求修通的公路CD的長.

【答案】(1)直角三角形，理由見解析；

(2)修通的公路CD的長是12km.

【分析】(1)根據勾股定理的逆定理，由4C2+BC2=4爐得到aACB是直角三角形；

(2)利用的面積公式可得SA4BC=XLBC="B-CD,從而求出CD的長；

本題考查了勾股定理逆定理的應用，以及三角形的面積公式等知識，熟練掌握勾股定理逆定理是解題

的關鍵.

【詳解】(1)解：直角三角形，理由，

?：AC=15km,BC=20km,AB=25km,

A152+202=252,

：.AC2+BC2=AB2,

...△4C8是直角三角形；

(2)解：由(1)得：△力CB是直角三角形；

：.^ACB=90°,

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VCD1AB,

：.S^ABC=\AC^BC=\AB-CD,

???CD="竺二"等=12(km),

AB25

修通的公路CD的長是12km.

【變式4-3】森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國科技、經濟的不斷發展，開始應用飛機

灑水的方式撲滅火源.如圖，有一臺救火飛機沿東西方向4B,由點力飛向點B,已知點C為其中一個著

火點，已知48=1000m,AC=600m,BC=800m,飛機中心周圍500nl以內可以受到灑水影響.

(1)在飛機飛行過程中，求飛機距離著火點C的最短距離;

⑵若該飛機的速度為14m/s,要想撲滅著火點C估計需要15秒，請你通過計算說明著火點C能否被飛機

撲滅.

【答案】(l)480m

(2)著火點C能被撲滅，理由見解析.

【分析】本題考查了勾股定理及逆定理的應用，熟練掌握這兩個定理是解題的關鍵.

(1)過點C作CD14B于點D,先根據勾股定理的逆定理得出aaBC是直角三角形，利用直角三角形的

面積計算出CD的長，與500比較即可得出結論;

(2)當EC=FC=500m時求出ED的長，進而得出EF的長，再根據路程、速度、時間之間的關系即可

求出時間，從而作出判斷.

【詳解】(1)解：如圖，過點C作CD1于點D,

1000m,AC—600m,BC=800m,

AC2+BC2=6002+8002=10002,AB2=10002,

???AC2+BC2=AB2,

??.△ABC是直角三角形,

?t,SAABC=54。,BC='CD,

600x800

???CD=---------=480(m),

1000

因為飛機中心周圍500m以內可以受到灑水影響，480<500,

所以著火點C受灑水影響;

22

(2)解：如圖，當EC=FC=500m時，飛機正好噴到著火點C,

ED=DE,

在Rt△CDE中,ED=VCF2-CD2=V5002-4802=140(m),

所以EF=2ED=280m.

因為飛機的速度為14m/s,

所以280+14=20(s),

20秒〉15秒,

答：著火點C能被撲滅.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

1.下列各組數據，能作為直角三角形三邊長的是()

A.1,4,5B.11,15,13C.5,12,13D.4,5,6

【答案】C

【分析】本題考查了勾股數的定義，及勾股定理的逆定理：已知△力BC的三邊滿足a?+人2=c2,則△ABC

是直角三角形，掌握勾股數的定義及勾股定理的逆定理是解答本題的關鍵.

根據勾股數是正整數以及勾股定理的逆定理逐項判斷即可解答.

【詳解】解：A、???1+4=5,

二不能組成三角形，故A選項錯誤；

B、???II2+132=290豐152,

???不能作為直角三角形三邊長，故B選項錯誤；

C、???52+122=169=132,

???能作為直角三角形三邊長，故C選項正確；

D、???42+52=4162,

???不能作為直角三角形三邊長，故D選項錯誤.

故選：C.

2.園丁住宅小區有一塊草坪如圖所示.已知48=6m,BC=8m,CD=24m,DA=26m,S.AB1BC,

這塊草坪的面積是()

23

■D

工廠/

-----A

A.48m2B.72m2C.121m2D.144m2

【答案】D

【分析】此題主要考查了勾股定理的運用及直角三角形的判定等知識點.連接AC,先根據勾股定理求出

力C的長，然后利用勾股定理的逆定理證明△ACD為直角三角形.從而用求和的方法求面積.

【詳解】解：連接AC,則由勾股定理得AC=7AB2+BC2=10m,

V102+242=262,^AC2+DC2=AD2,

：.^ACD=90°.

這塊草坪的面積=SRQABC+SRQACD=?BC+?DC=Tx（6x8+10x24）=144m2.

故選：D.

3.已知a,6,c是三角形的三邊長，如果滿足（。-6）2+花飛+忙-10|=0,則三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.直角三角形

【答案】D

【分析】本題考查了非負數的性質及勾股定理的逆定理，解題的關鍵是解出a,"c的值，并正確運用

勾股定理的逆定理.

根據非負數的性質可知a,6,c的值，再由勾股定理的逆定理即可判斷三角形為直角三角形.

【詳解】解:（a-6）2+Vb-8+|c-10|=0,

a-6=0,b—8=0,c—10=0,

???a=6,b=8,c=10,

a24-b2=62+82=100,c2=100,

222

???a+b=cf

???三角形的形狀是直角三角形，

故選：D.

5.如圖，小正方形的邊長均為1,4B、C是小正方形的頂點，貝此4cB的度數是（）

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A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】本題主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求48,BC,4C的長可判斷△力BC為等腰直角

三角形，再利用等腰直角三角形的性質可求解.

【詳解】解：由圖可知：AB=Vl2+22=V5,BC=Vl2+22=V5,AC=Vl2+32=V10,

???AB2+BC2=AC2,AB=BC,

：.△ABC為等腰直角三角形，乙ABC=90。，

乙ACB=45°.

故選：B.

6.已知△ABC的三邊長分別為10,24,26,則△力BC的面積為.

【答案】120

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆運算，三角形中，若兩較小的邊的長的平方和等于最大邊的平方,

那么這個三角形是直角三角形，據此可證明是直角三角形，再根據三角形