第17講楊輝三角的性質與應用

T模塊導航—T素養目標—

模塊一思維導圖串知識1.了解楊輝三角的數字規律，掌握它與二項式系數

模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)之間的關系

模塊三核心考點舉一反三

【考點一：觀察楊輝三角數字規律】

【考點二：楊輝三角與二項式系數】

【考點三：楊輝三角與組合數的性質】

模塊四小試牛刀過關測

3模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理-------------------------

一、楊輝三角

當”依次取1,2,3,…時，(a+b)”展開式的二項式系數可以表示成如下形式:

(a+b)1..................................................11

(cz+6)2.................................................................121

3+6)3..........................................................1331

(a+6)4.....................................................14641

(a+6)5...............................................15101051

3+6)6.........................................1615201561

...…上表稱為“楊輝三角”.

從上面的表示形式可以直觀地看出“楊輝三角”的特點：

(1)在同一行中，每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數相等；

(2)在相鄰的兩行中，除1以外的其余各數都等于它“肩上”兩個數字之和.

由此可知，當二項式次數不大時，可借助“楊輝三角”直接寫出各項的二項式系數.

二、二項式系數的性質

①各二項式系數和：C+C"..+C"..+C：=2"（neN*）；

②奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等：

C：+C".?=C；+C；+…=2"T（〃eN*）

三、楊輝三角至少具有以下性質

①每一行都是對稱的，且兩端的數都是1

②從第三行起，不在兩端的任意一個數，都等于上一行中與這個數相鄰的兩數之和.

H—1H—1

③當上<——時，二項式系數是逐漸變大的；當k>——時，二項式系數是逐漸變小的.

22

（4）當〃是偶數時，中間一項的二項式系數最大，當〃是奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大.

6模塊三核心考點舉一反三

【考點一：觀察楊輝三角數字規律】

一、單選題

1.（24-25高二上?全國?課堂例題）觀察圖中的數所成的規律，則。所表示的數是（）

1

121

1331

14a41

15101051

A.8B.6C.4D.2

2.（23-24高二下.北京朝陽?期末）“楊輝三角”是數學史上的一個重要成就，本身包含許多有趣的性質，如

圖:

第

0行

..........................................1

第

1行

11

第

2行

1.....21

第

3行

1331

第

4行

第

行14641

5

..............................1.....5101051

則第8行的第7個數是（）

A.8B.21C.28D.56

3.（23-24高二下.北京大興.期末）我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了如圖所示

的“楊輝三角”.若將這些數字依次排列構成數列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,

則此數列的第2024項為（）

四六四

五乂十）（十乂五

A.V

D.M

【考點二：楊輝三角與二項式系數】

一、單選題

1.（2024高二下.河南南陽?階段練習）下表出現在我國南宋數學家楊輝的著作《詳解九章算法》中，稱之

為“楊輝三角'該表中第10行第7個數是（)

四/、，四

五I-十五

十五）（二十）（十五六

A.120B.210C.84D.36

2.（22-23高二下?廣東珠海?期末）在楊輝三角中，每一個數值是它肩上面兩個數值之和.這個三角形開頭幾

行如下圖，若第〃行從左到右第12個數與第13個數的比值為2,則九二)

第。行

第1行11

第2行12

第3行1331

第4行464

A.15B.16C.17D.18

3.（23-24高三上?浙江?階段練習）“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成

則％2的值為（）

4.（23-24高二下.陜西咸陽?階段練習）當時，將三項式+x+l）"展開，可得到如圖所示的三項展

開式和“廣義楊輝三角形”：

廣義楊輝三角

(f+x+l)°=l第0行1

(xWlj'^+x+l

第1行111

1x12+x+1)2=X4+2X3+3X2+2X+1

第2行12321

(x2+x+1)3=/+3?+6X4+7X3+6X2+3X+1第3行1367631

(x2+x+1)4=X8+4X7+10x6+16X5+19X4+16X3+10X2+4X+1第4行14101619161041

若在（1+詞（尤2+x+l『的展開式中，『的系數為75,則實數。的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.（2024高一上?浙江?階段練習）我國古代數學的許多創新和發展都位居世界前列，如南宋數學家楊輝（約

13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖的三角形解釋二項式和（。+卬的展開式的各項系數，此

三角形稱為“楊輝三角”，若“楊輝三角”中第〃行的各數之和比上一行各數之和大64,則〃的值為（）

11

121

1331

14641

510105

A.7B.8C.9D.10

6.（22-23高二下?湖南?期中）“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在南宋數學家楊輝于

1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形數表中的一種幾何排列規

律，如圖所示.下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（）

三角

楊輝

第0行

1

第1行

11

第2行

21

1

第3行

1

3

13

第4行

41

6

14

第5

行

1

5

10

10

5

1

第6

行

1

56

1

20

15

16

第7

行

71

1

52

353

21

17

第8

1

8

628

05

567

28

行18

/

220

C：=

…+

C；+

C；+

C；+

A.

相等

2個數

101

與第

個數

1011

右第

左往

中從

3行

202

B.第

〃+1

4"

""=

則￡3

外,

數為

第i個

行的

第八

C.記

1=1

18

為13:

之比

個數

第13

數與

第12個

行中

第30

D.

質】

的性

合數

與組

三角

楊輝

三：

【考點

單選題

一、

,一,

0,15

36,1

列：1

個數

成一

數構

行的

第3斜

往右

從左

角”中

楊輝三

，在“

）如圖

?期中

.湖北

二下

4高

（23-2

1.

（）

和為

項的

前10

數列

則該

第行

0

第行

1

第行

1

2

1

2

第行

3

3

1

1

3

第行

4

4

6

1

1

4

第行1

5

5

5

10

第行10

6

6

20

15

15

20

D.2

165

C.

120

B.

6

A.6

角

輝三

末）楊

西?期

上?江

4高二

（23-2

2.

行

從第2

角中

輝三

，楊

成就

偉大

一個

上的

學史

是數

示）

圖所

（如下