第03講平面向量基本定理及坐標表示

T模塊導航AT素養目標A

模塊一思維導圖串知識1.掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）標系，更應該學會用基底表示平面向量

模塊三核心考點舉一反三2.會利用坐標法，理解和掌握兩個向量是否共線

模塊四小試牛刀過關測的判斷.

3.掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行平面

向量數量積的坐標運算；

加模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理

知識點1平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果，，可是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量Z,有且只有一對實數4,4，

使a=44+%02.

若只不共線，我們把，｛1,￡｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

知識點2平面向量基本定理的有關結論

(1)設1是平面內一組基底，若當4=0時，￡與1共線；當4=。時，Z與［共

線；當4=4=0時，a=0,同樣的a=。時，4=%=0,

Y—X

(2)設a,B是同一平面內的兩個不共線的向量，若不。+%1=9。+%B，貝！P「_:.

知識點3平面向量的正交分解

(1)把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)在不共線的兩個向量中，垂直是一種特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一種分解.

在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,會給問題的研究帶來方便.'J

知識點4平面向量的坐標表示

(1)向量的坐標表示\\

在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個不共線單位向量7、］?作為基底，。1，’

對于平面內的一個向量Z，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x,y使得

a=xi+yj,則把有序數對(x,y),叫做向量Z的坐標.記作Z=(x,y),此式叫做向.'j

ylA(x,y)/

量z的坐標表示，其中X叫做￡在X軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，|；■."

注意：①對于Z，有且僅有一對實數(x,y)與之對應—*

②兩向量相等時，坐標一樣

③7=(1,0)，］=(o,i),6=(o,o)

④從原點引出的向量05的坐標(x,y)就是點A的坐標

(2)點的坐標與向量的坐標的關系

區別：①表示形式不同向量￡=(x,y)中間用等號連接，而點A(X,y)中間沒有等號

②意義不同點A(x,y)的坐標(x,y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，a=(x,y)的坐標(x,y)既表示

向量的大小，也表示向量的方向.另夕卜(x,y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點(x,y)或向

量(x,y).

聯系：當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.

知識點5平面向量的坐標表示

(1)兩個向量和(差)的坐標表示

兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).

坐標表示：a=(%,%),b=(9,%)則:

a+b=(%+x2,%+%)；a-b=(xl-x2,yl-%)

(2)任一向量的坐標

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標

B(x2,y2),則荏=(/一%,為一%)?

(3)向量數乘的坐標表示

實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.

坐標表示:tz=(x,y),貝UAa=(Ax,Ay).

知識點6平面向量共線的坐標表示

設a=(%,%),B=(%,%),其中BH。，則。B=當且僅當存在唯一實數2,使得￡=4；

用坐標表示,可寫為a||Bo(%,%)=丸(%2,%)，即：

消去％得到：%%-%%=0.

這就是說,向量3,方(BH。)共線的充要條件是石％-々%=0.

知識點7平面向量數量積的坐標表示

在平面直角坐標系中，設7，7?分別是％軸，y軸上的單位向量.向量坂=(9,%)分別等

價于Z=+b=x2i+y2j,根據向量數量積的運算，有：

a-b=(x；z+^]j)-(x2z+y2j)=xxx2i+xxy2i-j+x2yxj-i+yxy2j由于i，J為正交單位向量，故,1=1，

『=1，7-7=0,從而。啰=石為2+X%.即。4=百馬+X%，其含義是：兩個向量的數量積等于它們

對應坐標的乘積的和.

知識點8兩個向量平行、垂直的坐標表示

已知非零向量0=(菁,%),)=(/,為)'

(1)a_L.B<=>a-B=0o.《x,+yry2=0.

(2)a||bo玉%-彳2>1=。

知識點9向量模的坐標表示

(1)向量模的坐標表示

若向量a=(x,y),由于|￡|=JU，所以+/.

其含義是：向量的模等于向量坐標平方和的算術平方根.

(2)兩點間的距離公式

已知原點。(0,0)，點4(石，%),3(々，為)，則48=05-。4=(打％)一(%，乂)=(/一%，為一,于是

IAB|=%>+(%-MP-

其含義是：向量荏的模等于A,B兩點之間的距離.

(3)向量￡的單位向量的坐標表示

設Z=(x,y),烏表示￡方向上的單位向量

\a\

知識點10兩向量夾角余弦的坐標表示

已知非零向量。=(玉,％)]=(9,%)，。是￡與B的夾角，則cos6=f222

\a\\b\+城?+

模塊三核心考點舉一反三

考點一：用基底表示向量

1.(24?25高三上?陜西漢中?期中)如圖，在VABC中，BD=^DC,則而=()

1—.3—?

B.-AB+-AC

2244

1>22?1

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【答案】D

【知識點】用基底表示向量、向量加法的法則、向量減法的法則、向量的線性運算的幾何應用

【分析】根據向量加減、數乘的幾何意義，數形結合求解.

【詳解】因為麗=：況,

11Q1

所以15=15+彷=+§而+蔗—通)=1通

故選：D

【變式(2024高三?全國?專題練習)在△A5C中，點。為A5的中點，記演=味，CB=n,則①=()

1一1-

A.m+nB?m-nC.—m+—nD.-m--n

2222

【答案】C

【知識點】向量加法法則的幾何應用、向量的線性運算的幾何應用、向量減法法則的幾何應用、用基底表

示向量

【分析】利用向量線性運算的幾何表示即得.

UUU1UUUUI

【詳解】因為點。為AB中點，CA=m,CB=n,

^f^a)=CA+Ab=CA+-AB=CA+-[CB-CA)=-CA+-CB=-m+-n.

222222

故選：c.

【變式1-2](23-24高一下?福建福州?期末)在平行四邊形ABC。中，E是BC的中點，則詼=()

A.AB+-ADB.-AB+-ADC.AB--ADD.-AB--AD

2222

【答案】C

【知識點】向量的線性運算的幾何應用、用基底表示向量

【分析】直接根據平行四邊形的性質分解向量即可.

【詳解】

故選：C

【變式1-3](23-24高一下?湖北武漢?期末)平行四邊形ABC。中，點M是線段5c的中點，N是線段C。

的中點，則向量麗為（）

—.1--1—.___.1—.3―-

A.MN=-AB——ADB.MN=-AD+-AB

2244

--1一1一___.1一3一

C.MN=-AD——ABD.MN=-AD——AB

2244

【答案】C

【知識點】用基底表示向量、平面向量基本定理的應用

【分析】根據三角形中位線性質和向量線性運算即可.

【詳解】根據三角形中位線知：MN=^BD=^AD-7^）=^AD-^AB

故選：C.

考點二：根據平面向量基本定理求參數

.例2.（23-24高一下?貴州貴陽?階段練習）在VABC中，。為邊BC的中點，E,F分別為邊48,AC

上的點，且通=3淳，AC=4AF,若而=4通+〃/,/L,〃eR,則〃值為（）

【答案】A

【知識點】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求參數、平面向量基本定理的應用

【分析】由向量的線性運算分別求出九〃的值即可.

【詳解】Ab=AAE+^iAF=^AB+^AC,因為。為邊BC的中點，

所以=所以幾=|，〃=2,從而”一〃=1.

故選：A.

【變式2?1】（2024高三?全國?專題練習）如圖，在VABC中，點。，￡分別在邊A5,BC±,且均為靠近

5的四等分點，CD與AE交于點尸,若麗=乂而+y/，則3x+y=（）

A.-1

【答案】A

【知識點】平面向量基本定理的應用、利用平面向量基本定理求參數

DFDF1__?，3—>一?2一?1.

【分析】作出輔助線，得到O石//AC,二=蕓=從而OC=AC—=A3,BF=~AB+^AC9得到

FCAC455

21

x==得到答案.

【詳解】連接。￡,

“BDBE1miDEBD1

由題意可知，-=—=->所以DE//AC,則二大==7=:，

BABC4ACBA4

DFDE1—?I—.—.—.—?—.3--

所以——=——=-,所以50=--AB,DC=AC-AD=AC一一AB,

FCAC444

uumiuumiuum3uim

貝（IDF=-DC=-AC——AB,

5520

uimuunuum1uun1uum3uun9uun1uum

故BF=BD+DF=——AB+-AC——AB=一一AB+-AC.

452055

__._,2i

JLBF=xAB+yAC,所以％=則3%+y=-L.

故選：A

【變式2-2］（2025高三?全國?專題練習）在三角形Q4b中，點?為邊A5上的一點，且Q=2而，點。為

直線”上的任意一點（與點。和點尸不重合），且滿足而=4函+4礪，則年=.

【答案】1/0.5

【知識點】已知向量共線（平行）求參數、平面向量基本定理的應用

【分析】以礪，礪為基底，其他向量用基底表示后，結合。，P,。共線列式可解.

［詳解］由已知無=函+而=函+：通=函+|（而一函）=g函+g加，

__,_A_A；1

OQ=\OA+^OB9因為麗，而共線，所以1-2,所以/=

———/Lj乙

33

故答案為：;

【變式2-3］（2024高三?全國?專題練習）如圖，在VABC中，點。,E分別在BC,AC上，S.BD=DC,

AE=2EC,^DE=xAB+yAC,貝1jx+y=.

A

BDC

【答案】-j

【知識點】向量加法的法則、平面向量基本定理的應用、向量的線性運算的幾何應用

【分析】根據已知條件知。C=；8C,CE=-：AC,再根據平面向量基本定理，把向量通與向量次作為

一組基底表示出向量成即可

【詳解】因為BD=DC,AE=2EC,

所以詼=成+在=；就_(/二函一碉一正二一；通+[宿

所以x=_g,y=J,則x+y=_^.

263

故答案為：--.

考點三：平面向量正交分解及坐標表示

\?例3.(2024高一下?全國?專題練習)如圖，向量入b，Z的坐標分別是,

【答案】(-4,0)(0,6)(-2,-5)

【知識點】用坐標表示平面向量

【分析】結合圖象運用平面向量坐標表示求解即可.

【詳解】如圖，

將各向量分別向單位正交基底7=(1,0),]=(o,i)所在直線分解，

貝！|￡=-4：+07，/.?=(-4,0),

石=07+6],B=(0,6),

c=-2i-5j,Ac=(-2,-5),

故答案為:(-4,0)；(0,6)；(-2,-5).

【變式3-1](23-24高二上?上海虹口?階段練習)若向量通=27+3亍,初=1-2]，則工對應的位置向量

的終點坐標是.

【答案】(3,1)

【知識點】平面向量有關概念的坐標表示

【分析】利用向量運算法則進行求解即可.

【詳解】AC=AB+BC=2i+3j+i-2j=3i+j,所以正對應的位置向量的終點坐標是(3,1).

故答案為：(3,1)

【變式3-2](24-25高一下?全國?課堂例題)如圖，設憶了｝為一組標準正交基，用這組標準正交基分別表

示向量“，b，c，d,并求出它們的坐標.

【知識點】用基底表示向量、用坐標表示平面向量

【分析】根據各向量在水平和豎直方向上的分解向量，將其分別用7,7表示，即得其坐標.

【詳解】由圖可知￡=27+2”(2,2)；^=-27+37=(-2,3)；

c=—3i—2j=(—3,—2)；d=i—2j=(1,—2).

考點四：平面向量坐標運算

.例4.(2024?山東一模)已知向量1=(1,-3)3=(-2,4),若43+(3方-2耳+0=0,則向量％的坐標為

()

A.(1,-1)B.(-1,1)

C.(-4,6)D.(4,-6)

【答案】D

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示

【分析】利用向量的坐標運算求解.

【詳解】向量。=(1,-3)3=(-2,4),若4々+傍-2耳+八0,

貝(11_(3石-2日)=-2a-35=-2一3)-3(-2,4)=(4,-6).

故選：D.

【變式4-1](2024高二上嘿龍江佳木斯?學業考試)若力=(2,1)出=(-1,0),則N-5的坐標是()

A.(1,-1)B.(-3,-1)C.(3,1)D.(2,0)

【答案】C

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示

【分析】根據減法的坐標運算即可得解.

【詳解】?-5=(2+1,1-0)=(3,1),

故選：C

【變式4-2](23-24高一下?新疆?期中)已知向量方=(2,1)3=(1,3),則,+3萬=()

A.(10,5)B.(1,8)C.(5,10)D.(7,6)

【答案】C

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示

【分析】根據平面向量線性運算的坐標表示計算可得.

【詳解】因為2=(2,1)3=(1,3),

所以方+35=(2,1)+3(1,3)=(5,10).

故選：C

【變式4-3](23-24高一下?廣西南寧?期末)已知向量益=(3,1),B=(-l,3),若e滿足"2石+>=0,則

【答案】(一5,5)

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示

【分析】依題意可得^=25-Z,根據平面向量線性運算的坐標表示計算可得.

【詳解】因為商=（3,1）,5=（-1,3）且汽-2=+^=0,

所以々=需_之=2（_1,3）_（3,1）=（_5,5）.

故答案為：（-5,5）

考點五：根據坐標求模運算

|'例5.（23-24高一?上海?課堂例題）已知向量）=（-2,3）,5=（2,-5）,求31各的坐標及弧-4

［答案］3a—b=（-8,14）,卜4-可=2,65

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、坐標計算向量的模

【分析】根據平面向量的坐標運算，模長公式求解即可.

【詳解】根據向量的坐標運算公式，

3a-b=3（-2,3）-（2,-5）=（-8,14）,

|3a-5|=7（-8）2+142=A/260=25/65.

【變式5-1］（2024高三?全國?專題練習）已知向量二=（2,1）,3=（-2,4）,貝“>'=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、坐標計算向量的模

【分析】由平面向量線性運算的坐標表示，利用摸長公式，可得答案.

【詳解】因為=（2,1）-（一2,4）=（4,-3）,所以，一q=#2+（-3）2=5.

故選：D.

【變式5-2］（24-25高二上?湖南長沙?開學考試）平面內給定兩個向量乙=（3,2）石=（-1,2）.

（1）求cosl,方；

⑵求國一日.

【答案】（1）晅

65

⑵屈

【知識點】坐標計算向量的模、向量夾角的坐標表示、數量積的坐標表示

【分析】（1）先求出小6、同和忖，接著由向量夾角余弦公式coso,5=3,即可得解.

（2）由坐標形式的向量模長公式即可計算得解.

【詳解】(1)由題無5=3X(-1)+2X2=1,同="+2?=相,W=J(-+2?=君,

1V65

_r日，6

所以8肛八所

屈乂亞-65,

(2)由題得2"9=(7,2),

所以忸_司=|(7,2)|=，72+22=后.

【變式5-3](23-24高一下?江蘇徐州?期末)已知向量2=(3,2),&=(-2,-1),貝！]|￡+2司=

【答案】1

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、坐標計算向量的模

【分析】利用向量線性運算的坐標表示，結合向量模的坐標表示求解即得.

【詳解】向量2=(3,2),b=(-2,-V),則Z+2B=(3,2)+2(-2,-l)=(-l,0),

所以|Z+2昨J(-l)2+()2=1.

故答案為：1

考點六：平面向量數量積的坐標表示

|\?例6.(24-25高三上?廣東深圳?期中)設2=(2,-1),^=(-3,1),"=(1,-2),則(￡+242=()

A.-2B.1C.-6D.-7

【答案】C

【知識點】數量積的運算律、數量積的坐標表示

【分析】根據向量相加的坐標運算以及向量相乘的坐標運算可求得結果.

【詳解】因為萬=(2,-1),5=(-3,1),

所以。+2石=(-4,1),又己=(1,一2),

所以R+25)?乙=-4x1+1x(-2)=-6,

故選：C.

【變式6-1](24-25高三上?黑龍江?階段練習)向量Z=(L-1),^=(-1,2),貝!!(22+4￡=()

A.-1B.0C.-2D.1

【答案】D

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、數量積的坐標表示

【分析】用坐標表示出正+以再由向量的數量積的坐標運算得出結果.

【詳解】由題可知2商+B=(1,0),

/.(2n+Bja=i+o=i.

故選：D.

【變式6-2］（24-25高三上?浙江?階段練習）已知平面向量口=卜6,-1）,5=卜26,4）,則（）

A.2B.10C.-2右D.2-J3

【答案】A

【知識點】數量積的坐標表示

【分析】根據向量數量積的坐標運算公式求解即可.

【詳解】?.2=卜嶼,一1）為=卜2也,4）,

.?.那5=卜⑹乂卜2@+（-1*4=2.

故選：A.

【變式6-3］（2024高三?全國?專題練習）已知向量商=（U）,6=（2,0）,貝！|,+5y（2"5）=.

【答案】2

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、數量積的坐標表示

【分析】根據題意先求2+方，2a-b，再結合數量積的坐標運算求解即可.

【詳解】因為益=（1,1）,1=（2,0）,則江+加=（3,1）,21-方=（0,2）,

所以（商+5卜（2萬一5）=3乂0+2乂1=2.

故答案為：2.

考點七：向量垂直的坐標表示

7.（24-25高三上?浙江?開學考試）已知向量力=（x,l）,B=（l,x）,若+貝!|x=（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】C

【知識點】利用向量垂直求參數、向量垂直的坐標表示

【分析】利用向量數量積的坐標表示解方程即可得出結果.

【詳解】易知。+B=（x+l,l+x）,

由可得=1x（尤+I）+X（I+尤）=o,

即X2+2X+1=0,解得x=-1

故選：C

【變式7-1］（23-24高二下?貴州六盤水?期末）已知向量3=5,-3）,b=（3m,m+2）,Kalb,則邸=（）

A.2B.-1C.2或—1D.2或-2

【答案】C

【知識點】利用向量垂直求參數、向量垂直的坐標表示

【分析】應用向量垂直數量積坐標公式計算即可.

【詳解】由aZ=0n3加2—3機—6=0=＞相=2或—1,

故選:C.

【變式7?2】(2024高三?全國?專題練習)已知向量Z=(m,3),&=(l,m+l).若2,人則機=.

3

【答案】/-0.75

4

【知識點】向量垂直的坐標表示、利用向量垂直求參數

【分析】利用向量垂直的坐標表示，列式計算得解.

_/、3

【詳解】依題意，〃?〃=機+3(m+l)=O,所以m=一“

3

故答案為：-:

4

【變式7-3](24-25高三上?安徽?期中)已知平面向量M=(T,2),B=(狐-3)滿足26+B),貝!!

m=.

【答案】-1

【知識點】向量垂直的坐標表示

【分析】由向量垂直可得5-冽-6=0,求出m即可.

2

【詳解】由題意知a-^a+b^=a+a-b=5—m—6=0f解得根=—1.

故答案為：—1

考點八：向量投影

'例8.(23-24高二下?河北石家莊?期末)設向量6=(3,4),5=(1,-1),則4在5方向上的投影向量為()

A.(2,-2)B.(-2,2)C

【答案】C

【知識點】數量積的坐標表示、求投影向量

【分析】利用求投影向量的公式進行求解即可.

【詳解】△在5方向上的投影向量為

a-bb-1b1(11

口川&、&二r(「下力

故選：c.

【變式8-1](24-25高二上?陜西?期中)已知向量入B滿足石=(2,0),且76=-2,貝壯在B上的投影向量

的坐標為()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)

【答案】A

【知識點】求投影向量

【分析】根據給定條件，利用投影向量的意義求出答案.

【詳解】依題意，Z在5上的投影向量為空/7?77—6=/—9—匕=（-1,0）.

聞-4

故選：A

【變式8-2］（23-24高一下?河北?期末）已知力,最是夾角為號的單位向量，則，在晟方向上的投影向量為

()

A.B.C.緊D..

【答案】B

【知識點】求投影向量

【分析】直接利用投影向量定義及數量積的幾何意義進行求解即可.

【詳解】因為同8s/0g=-祟.

故選：B.

【變式8-3］（24-25高三上?遼寧?期中）已知向量￡=（-3,1）,方=（2,1）,則Z在分方向的投影向量為.

【答案】（-2,-1）

【知識點】求投影向量

【分析】根據投影向量的公式求解即可.

a-bb-3x2+lxl,.,

【詳解】2在B方向的投影向量為=.僅1）=（一2，T）.

故答案為：（-2,-1）

考點9：向量夾角

；例9.（23-24高一下?河北邯鄲?階段練習）已知向量益=（3,-2）,石=（4,1）.

⑴求正6與人+樂

⑵求九與B的夾角的余弦值.

【答案】⑴萬石=10，歸+.=5后

01（）因

w----------

221

【知識點】數量積的坐標表示、向量夾角的坐標表示、坐標計算向量的模

【分析】（1）根據數量積的坐標公式及模的坐標公式計算即可；

（2）根據向量夾角的坐標公式計算即可.

【詳解】（1）由2=（3,-2）,方=（4,1）,得無3=12-2=10,

而N+方=(7,-1),貝!|卜+1=749+1=5近；

/_r\a-b10107221

。)T

⑵cos\(a,b/)=同——Mrzj=V/——i3—xV=n=-----2--2--1------

即的夾角的余弦值為臂

【變式9-1］（24-25高二上?云南昭通?期中）若。（）（）則（）（

=2,0,5=-1,1,cosa,B=)

1

B.——

-42cI

【答案】A

【知識點】向量夾角的坐標表示

［分析】利用向量夾角余弦的計算公式即可求得cosa石的值.

I_r\-2__V2

【詳解】COS（6Z,^）=—7r--==7=

【詳解】\/同r忖亞父百

故選：A.

【變式9-2］（23-24高三上?貴州黔東南?開學考試）已知向量@=。,3）,5=（-2,1）,則向量a與B夾角的余

弦值為.

【答案限

【知識點】向量夾角的坐標表示

【分析】根據向量的夾角公式直接求解即可

【詳解】因為商=（1,3）,&=（-2,1）,

所以。。《吟=左土舟

故答案沏》

【變式9-3］（23-24高一下?吉林?期末）已知向量￡=（1,2）,S=（2-A,2A）,若￡與9的夾角為銳角,則實

數X的取值范圍為

|,lL(l,+a>)

【答案】

【知識點】向量夾角的坐標表示、由向量共線（平行）求參數、數量積的坐標表示

【分析】由題意列出關于％的不等式組即可求解.

f2—A+4-A->02

【詳解】由題可知無B>o且2與B不共線，即“””，得加（-1,1）U（1,+S）.

4—27tW2兒3

、2

故答案為：1）U（L+8）.

【變式9-4]（2024高二下?湖北）已知平面內兩個向量3=（2%,1）,B=若々與6的夾角為鈍角，則

實數％的取值范圍是.

【答案】1）U（-L,O）

【知識點】向量夾角的坐標表示、向量夾角的計算

【分析】當兩向量的夾角是鈍角時，其數量積是負數，但必須排除兩向量反向（夾角為180°）.

【詳解】由題意，a*b=2A:+—<0,<0,

2k1八

------II

當日范反向時，有1K,解得々=一1,

2

的取值范圍是（y,-i）u（-1,0）；

故答案為：（F,-1）U（T,O）.

考點10：向量數量積的最值范圍問題

10.（23-24高一下?浙江臺州?期末）已知尸是邊長為2的正六邊形ABCD所內（含邊界）一點，M

為邊8C的中點，則".畫7的取值范圍是（）

A.[-2,6]B.[-1,9]C.[-2,4]D.[-1,6]

【答案】B

【知識點】數量積的坐標表示、平面向量數量積的幾何意義

【分析】通過數量積定義得出P與C重合時Q.戒取得最大值，P與尸重合時，Q.麗取得最小值，然后

建立如圖所示的平面直角坐標系，用坐標法求數量積.

【詳解】如圖,過尸作PN,AM于N,則而?赤=|麗||說卜。s/FAN=?V-|可，當前與寂同向時4V

為正，當麗與前反向時AN為負,

分別過C,/作CK_LAM,FH±AM,K,H為垂足,

則得當N與K重合（即尸與C重合）時，讓說取得最大值，當N與“重合（即尸與歹重合）時，AP-AM

取得最小值,

ABCDEF是正六邊形，因此以AB為x軸，AE為V建立如圖所示的平面直角坐標系,

則40,0),8(2,0),c⑶拓)，F(-1,A/3),M是BC中點，則〃

謝=(3,烏，AC=(3,A/3),AF=(-I,A/3),

___.一153___.-.53

AM-AC=—+-=9,AMAF=——+-=-1,

2222

所以4?謝的范圍是[T，9],

故選：B.

【變式10-1］（23-24高一下?江蘇泰州?階段練習）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民

間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正

八邊形ABCDMC歸的邊長為2,P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，則Q.通的最大值為（）

A.&B.4+2應C.2+應D.20

【答案】B

【知識點】用定義求向量的數量積、向量與幾何最值、平面向量數量積的幾何意義

【分析】由投影向量的定義得到當P在CD上時，Q.通取得最大值，進而得到答案.

【詳解】由投影向量的定義可知，當尸在。上時，方.費取得最大值，

延長DC交4B的延長線于點T,

荏的最大值為AB-AT,

其中正八邊形的外角為360。+8=45°,故A8=BC=2,/CBT=45°,

故BT=2cos45°=④,AT=AB+BT=2+y/2,

故4小47=2（2+&）=4+2立,

所以通最大值為4+2應.

【變式10-2](23-24高一下?上海?期中)如圖，這個優美圖形由一個正方形和以各邊為直徑的四個半圓組

點尸在四段圓弧上運動，則通的取值范圍為.

【答案】[-8,24]

【知識點】用定義求向量的數量積、平面向量數量積的幾何意義、求投影向量

【分析】借助于正方形建系，利用平面向量數量積的幾何意義，找到使而在通方向上的投影向量的數量

最大和最小的點即得Q.麗的取值范圍.

如圖，以點A為原點，分別以4民4。所在直線為％V軸建立坐標系.

因Q?麗=|/|?|南|cos〈通,/初二41福|?cos〈ZA,福，

MlAPI-cos(AP.AB)表示而在通方向上的投影向量的數量,

由圖不難發現，設過正方形的中心作與x軸平行的直線與左右兩個半圓分別交于點用5，

則當點P與點1重合時，投影向量的數量最大，當點尸與點鳥重合時，投影向量的數量最小.

易得6(6,2),￡(-2,2),貝!]|衣|.cos〈毒，麗〉的最大值為6,最小值為-2,

故一84而?通424?

故答案為：[-8,24].

3模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學業考試）設向量值=（x,2）石=（6,3）.若2〃,，貝！|x=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【知識點】由向量共線（平行）求參數

【分析】由向量平行的坐標表示即可求解.

【詳解】因為苕〃5,

所以3尤=12,

解得：x=4,

故選：A

2.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學業考試）若方=（2,1）3=（-1,0）,則不一分的坐標是（）

A.（1,-1）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（2,0）

【答案】C

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示

【分析】根據減法的坐標運算即可得解.

【詳解】a-^=（2+l,l-0）=（3,l）,

故選：C

3.（23-24高二上?吉林?期中）已知荏=（2,1）,BC=（-l,0）,貝！）西=（）

A.72B.2C.710D.10

【答案】A

【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、坐標計算向量的模

【分析】根據須=莉+就求出衣的坐標，再計算其模.

【詳解】因為荏=（2,1）,BC=（-l,0）,

所以*=麗+前=（2,1）+（—所以|相=#+12=應.

故選：A

4.（24-25高三上?海南?階段練習）已知向量￡=（-1,3）,5=（2,0）,"=（1,3）,若￡與"一"平行，則實數2

的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【知識點】由向量共線（平行）求參數

【分析】由平面向量共線的坐標表示求解即可.

【詳解】因為Z=（T3）,5=（2,0）,c=（l,3）,所以"一"="2,0）-（1,3）=（2丸一1,一3）,

由Z與平行，得3（24-1）-（-1）x（-3）=0,解得與=1.

故選：C.

5.（2024高二下?安徽?學業考試）已知同=2,忖=石，萬石=亞，貝!I苕與方的夾角為（）

A.tB.四C.&D.為

44-66

【答案】A

【知識點】向量夾角的計算

【分析】根據數量積的定義求解.

【詳解】由已知cos（a@=i|iw=2X6=空-,又依般［0,兀］,

故選：A.

6.（2024高三?全國?專題練習）已知同=4,忖=3,40=_12,則向量B在d方向上的投影向量為（）

33-4--京

A.--aB.--bC.--bD.

443

【答案】A

【知識點】求投影向量

【分析】根據題意，結合向量投影向量公式直接計算即可.

【詳解】設4與B的夾角為6,

則向量5在2方向上的投影向量為

a-b一一12一3一

=—z-,a——--xa=—d

同2424.

故選:A.

7.（2024?廣東?模擬預測）已知向量力=（x+3,4）石=（蒼一1）,^\a+B\=\a-b\,則實數x的值為（）

A.4B.T或1C.-1D.4或一1

【答案】B

【知識點】數量積的運算律、利用數量積求參數

【分析】將卜+可=卜-?平方化簡得無石=0,然后利用數量積的坐標公式列式計算即可.

【詳解】將卜+5|=卜-可兩邊平方，得無方=o,

由a=（x+3,4）,B=得（x+3）x+4x（-l）=0,

即f+3x-4=0,解得x=T或1.

故選：B.

8.（2024高三?全國?專題練習）已知向量N=-g],則下列關系正確的是（）

A.B.（苕+5）_1_5

C.（萬+5）_1_（1-5）D.（a+b^La

【答案】C

【知識點】垂直關系的向量表示

【分析】根據向量的坐標表示進行計算并判斷.

【詳解】由題意向第=1,無5=-gx*爭臼=-#，

因為（彳+5）.（彳_5）=萬2_52=0,

所以僅+方）,所以C正確，A錯誤.

???,+5）0=a2+無5=1一*/0,所以D錯誤

；+=無5+廬=1一w0,所以B錯誤.

故選：C.

二、多選題

9.（24-25高三上?重慶?階段練習）已知點4（0,2）、磯2,0）、C（l,y）,其中yeR,則（）

A.若A、B、C三點共線，貝！|，=1B.若荏_L/，貝！|>=3

C.若|通|=|向則y=2-V7D.當y=2時，（血，衣）=巳

【答案】ABD

【知識點】由坐標解決三點共線問題、坐標計算向量的模、向量夾角的坐標表示、已知向量垂直求參數

【分析】利用共線向量的坐標表示可判斷A選項；利用平面向量垂直的坐標表示可判斷B選項；利用平面

向量的模長公式可判斷C選項；利用平面向量夾角余弦的坐標公式可判斷D選項.

【詳解】因為4（0,2）、3（2,0）、C（l,j）,其中yeR,則通=（2,-2）,AC=（l,y-2）,

對于A選項，若A、3、C三點共線，則卷〃泥，貝！|2仃-2）=-2,解得了=1,A對；

對于B選項，若通，/，貝!J萬?恁=2-2（y-2）=6-2y=0,解得y=3,B對；

對于C選項，若|網=|明，即商+（一2）2="+（y_2『,可得（y-2）2=7,

解得y=2+?或y=2-77,C錯；

對于D選項，當>=2時，AC=（1,0）,則8s（人民40=同同=顯=下-,

因為04（荏，/）4無，故（初,衣）=：,D對.

故選：ABD.

10.（2024?江西?一模）已知向量萬=（-2,1）,b=（t,-l）,則（）

A.若&_1_5,則，=—萬B.若日，B共線，則/=—2

C.方不可能是單位向量D.若，=0,則口-5卜5

【答案】AD

【知識點】利用向量垂直求參數、坐標計算向量的模、由向量共線（平行）求參數、平面向量線性運算的

坐標表示

【分析】根據給定條件，利用垂直關系、向量共線的坐標表示計算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C,

利用向量線性運算的坐標表示及利用坐標求模判斷D.

【詳解】對于A,由H5，得無5=-2f-l=0，解得"-5，A正確；

對于B,由。，B共線，得-2x（_l）_11=0,解得7=2,B錯誤；

對于C,當f=O時，B是單位向量，C錯誤；

對于D,當/=0時，22-5=（-4,2）-（0,-1）=（-4,3）,貝!一q=5,D正確.

故選：AD

11.（24-25高二上?湖南郴州?開學考試）設向量1=（3#）,3=（2,-1）,則下列說法錯誤的是（）

A.若萬與B的夾角為鈍角，貝！U>6

B.同的最小值為9

C.與5共線的單位向量只有一個，為卜垓，一孝

D.若同=3例，貝!]%=±6

【答案】BC

【知識點】由向量共線（平行）求參數、零向量與單位向量、向量夾角的坐標表示、坐標計算向量的模

【分析】A選項，7后<0且不反向共線，得到不等式，求出%>6；B選項，利用模長公式得到同的最

小值為3；C選項，求出忖=石，從而得到利用;求出答案；D選項，利用模長公式得到方程，求出左=±6.

【詳解】A選項，2與5的夾角為鈍角，故￡.石<0且日，方不反