重難點(diǎn)02不等式恒成立、能成立問題【七大題型】

【新高考專用】

一元二次不等式是高考中的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，“含參不等式恒成立與能成立問題”

是高考常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)

多、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)備受高考命題者的青睞.另一方面，在解決這類數(shù)學(xué)問題的過程中涉及的

“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力,

高考復(fù)習(xí)過程中要注重知識(shí)與方法的靈活運(yùn)用.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1不等式恒成立、能成立問題】

1.一元二次不等式恒成立、能成立問題

不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)X恒成立，就是不等式的解集為R,對(duì)于一元二次不等式辦2+區(qū)+少0,它的解集為

R的條件為k?：4vn

一元二次不等式"2+8+。》0,它的解集為R的條件為

一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為0的條件為

2.一元二次不等式恒成立問題的求解方法

(1)對(duì)于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成

立.

(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的

范圍，誰就是參數(shù).

①若aN+6x+c>0恒成立，則有a>0,且△<()；若ax2+bx+c<Q恒成立，則有a<Q,且△<().

②對(duì)第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).

3.給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題的解題策略

解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求

誰的范圍，誰就是參數(shù)；即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列

式求解.

4.常見不等式恒成立及有解問題的函數(shù)處理策略

不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，具體如下：

(1)對(duì)任意的xe[加閉，。次x)恒成立今a>f(x)max；

若存在xG[m,n],。次x)有解今d>fix)min；

若對(duì)任意xd[加用，。刁㈤無解今加.

(2)對(duì)任意的。勺(x)恒成立=>

若存在xG[m,n],。勺(x)有解今a<f(x)max；

若對(duì)任意xe[加閉,。勺(x)無解今a^f[x)max.

?舉一反三

【題型1一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題】

【例1】(2024?江西九江?模擬預(yù)測)無論x取何值時(shí)，不等式2kx+4>0恒成立，貝睡的取值范圍是

()

A.(_8,_2)B.(_8,_4)C.(_4,4)D.(_2,2)

【變式1-1](2024?山東濰坊一模)“€(-2,2)”是‘VxeR,久2_°久+12。成立，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【變式1-2](24-25高一上?吉林長春?階段練習(xí))對(duì)于任意的尤eR,不等式+(6一1)久<1-爪恒成立，

則m的取值范圍是()

A.m<0B.m<—^C.—^<m<0D.m>0

【變式1-3](24-25高一上?貴州六盤水?期中)若關(guān)于x的不等式(a-1)久2+(a-l)x-l<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都

成立，則a的取值范圍為（）

A.（-3,1]B.（-3,1）

C.（-00,-3）U（1,+oo）D.（一8,-3）U[1,+8）

【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立問題】

【例2】（2024?遼寧鞍山?二模）若對(duì)任意的xe（0,+8）,/—皿+1>。恒成立，則加的取值范圍是（）

A.（—2,2）B.（2,+8）C.（-8,2）D.（—8,2]

【變式2-1]（24-25高一上?北京大興?期中）若不等式式2-（。+2）%+2。40對(duì)任意的工^[-1,1]恒成立，則

a的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[-1,+8）C.[-1,2]D.（-8,-1]

【變式2-2]（24-25高一上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）對(duì)任意的;W久W1,關(guān)于x的不等式（a+2）x2-4x+1>0

恒成立，則。的取值范圍為（）

3

A.a>—2B.a>-C.a>2D.a>1

【變式2-31（23-24高一上?安徽馬鞍山?期末）已知對(duì)一切xe[2,3],yG[3,6],不等式m4—+y220恒

成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【題型3給定參數(shù)范圍的不等式恒成立問題】

【例3】（24-25高一上?黑龍江大慶?階段練習(xí)）已知me[—1,1],不等式/+（m一⑨％+4—2m>0恒成立，

則無的取值范圍為（）

A.（—oo,l]B.（1,3）C.（—oo,l）U（3,+oo）D.[1,3]

【變式3-1]⑵-24高一上?山東淄博?階段練習(xí)）若命題叼一1<a<3,ax2-（2a-l）x+3-a<0”為假命題,

則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）

A.{x|—1<x<4}B.<x<|j

C.1x|-1<%<0^|<%<4jD.|x|—1<%<Ong|<%<4j

【變式3-2]（23-24高一上?廣東深圳?階段練習(xí)）當(dāng)1WmW2時(shí)，山/一小萬一1<。恒成立，則實(shí)數(shù)%的取值

范圍是（）

B.（皿

22

C.

22

D.—<x<—

22

【變式3-3］（23-24高一下?河南濮陽?期中）已知當(dāng)—IWaWl時(shí)，/+缶一與％+4—2a>0恒成立，則實(shí)

數(shù)x的取值范圍是（）

A.（-oo,3）B.（-oo,l］U［3,+oo）

C.（—00,1）D.（—00,1）u（3,+00）

【題型4一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解問題】

【例4】（2024?陜西寶雞?模擬預(yù)測）若存在實(shí)數(shù)x,使得機(jī)久2_（租—2*+巾<0成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

為（）

A.（—8,2）B.（―8,0］u（：,|）

C.（一8,|）D.（-8」）

【變式4-1］（23-24高三上?山東青島?期末）若命題FxeR,（1-a）K2+（i—2a）x+120”為真命題，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為（）

A.a<1B.a>1

C.aW—^^或aD.aER

【變式4-2］（23-24高一上?山東臨沂?階段練習(xí)）若不等式-%2+Q%_1>0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（）

A.aV—2或a>2B.-2<a<2C.aW±2D.1<a<3

【變式4-3］（24-25高一上?河北石家莊?期中）若存在xeR,使得不等式若黑22成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍為（）

A.{m\m>2}B.{m\m<0}C.{m\m<2}D.{m\m<2}

【題型5一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】

【例5】（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式6*+2—a>0在區(qū)間［0,5］內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是（）

A.（2,+8）B.（—8,5）C.（—8,—3）D.（—8,2）

【變式5-1］（24-25高一上?山東德州?期中）若1,4］,使%2-4%+1-爪20成立，則實(shí)數(shù)小的取值范

圍是（）

A.（—8,6]B.（—8,1]C.（—8,—3]D.[1,6]

【變式5-2]（23-24高一上?北京?階段練習(xí)）若存在x6[0,1],有產(chǎn)+（l-a）x+3—a>0成立，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是（）

A.（一84）B.（—00,3）

C.（|,3）D.（―8,|）U（3,+8）

【變式5-3]（23-24高一上?福建?期中）若至少存在一個(gè)x<0,使得關(guān)于x的不等式3-|3x-a|>#+2工成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A?（*，3）B.（―3,9C.（告5）D.（-3,3）

【題型6基本不等式求解恒成立、有解問題】

【例6】（24?25高一上?河南駐馬店?階段練習(xí)）已知久>0,y>0且4%+y=%y.若X+y>根2+8?n恒成立，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.|m||<m<3jB.{m|-8<m<0}

C.{m\m>1}D.{m|-9<m<1}

【變式6-1]（23-24高一上?湖北武漢?階段練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足工+[=L且不等式x+（<爪2一3小

xy4

有解，則實(shí)數(shù)冽的取值范圍是（）

A.{m|-1<m<4}B.{租|血V0或>3}

C.{m\—4<m<1}D.{mlm<-1或m>4}

【變式6-2]（23-24高二上?廣東深圳?期末）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,>滿足4久+y=￡y,且存在這樣的x,y使不

等式％+*V血2+3ni有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.-1<m<4B.-4<m<1

C.mV—4或m>1D.mV—3或租>0

【變式6-3]（23-24高一下?江蘇?開學(xué)考試）已知a>0,bER,若第,0時(shí)，關(guān)于％的不等式（@%-2）（%2+bx-4）

20恒成立，貝必+?的最小值為（）

A.2B.2V5C.4D.3近

【題型7一元二次不等式恒成立、有解問題綜合】

【例7】（24-25高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=3/—2ax—b,其中a,6eR.

(1)若不等式/(%)<0的解集是{%|0<%<6},求戒的值；

(2)若b=3a,對(duì)任意XCR,都有/(%)20成立，且存在xeR,使得/(x)W2-|a成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式7-1](24-25高一上?江西南昌?階段練習(xí))已知二次函數(shù)/'(久)=/+6久+c的圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(比)的解析式；

(2)若VxeR,恒成立，求ni的取值范圍；

(3)若mx€(3,+8),(x-l)2N爪/(久)成立，求Hl的取值范圍.

【變式7-2](23-24高一上?山東濰坊?階段練習(xí))已知關(guān)于萬的不等式2%-1>機(jī)

(1)是否存在實(shí)數(shù)根，使不等式對(duì)任意X6R恒成立，并說明理由；

(2)若不等式對(duì)于me[-2,2]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(3)若不等式對(duì)x￡[2,+8)有解，求機(jī)的取值范圍.

【變式7-3](23-24高一上?浙江臺(tái)州?期中)己知函數(shù)/(久)=2/一口久+-4,g(x)=x2-x+a2-—,

(aGR)

⑴當(dāng)a=1時(shí)，解不等式/(?>((%)；

(2)若任意x>0,都有/(x)〉g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若WxiC[0,1],3x26[0,1],使得不等式/(小)>gQ2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

?課后提升練(19題

一、單選題

1.(2024?福建廈門?二模)不等式a7—2%+1>。(aeR)恒成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a>2B.a>1C.a>1D.0<a<|

2.(2024?浙江?模擬預(yù)測)若不等式H2+(k—6)x+2〉0的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.2<fc<18B.-18<fc<-2

C.2</c<18D.0<k<2

3.(23-24高一上?江蘇南通?階段練習(xí))若Vxe使得3久2-雙+1n0成立是真命題，則實(shí)數(shù)2的最大

值為()

7"1R

A.-B.2V3C.4D.y

4.(2024?遼寧鞍山?二模)已知當(dāng)％>0時(shí)，不等式：好一+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)zn的取值范圍是

()

A.(—8,8)B.(—8,8]C.(—8,8)D.(8,+8)

5.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知命題叼配6[_1,1],-密+3%0+。>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(—8,—2)B.(—8,4)C.(—2,+8)D.(4,+8)

171

6.(23-24高一上?江蘇徐州?期中)若正實(shí)數(shù)%,y滿足％+2y=4,不等式m2+『n>]+國有解，則m的取

值范圍是()

A.(-*1)B.(-8,—g)U(1,+oo)

44

C.(-1,-)D.(-00,-1)u(-,+OO)

7.（2024?寧夏中衛(wèi)?二模）已知點(diǎn)4（1,4）在直線:+1=l（a>0,/）>0）上，若關(guān)于珀勺不等式a+/?>t2+5t+3

恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）

A.[—6,1]B.[—1,6]

C.（—8,-1]U[6,+8）D.（—8,-6]U[1,+8）

8.（2024?上海黃浦?模擬預(yù)測）已知不等式p：a*2+"+c<o（aK0）有實(shí)數(shù)解.結(jié)論（1）：設(shè)/，相是p

的兩個(gè)解，則對(duì)于任意的打，X2,不等式/+冷<和久1,刀2<2恒成立；結(jié)論（2）:設(shè)久0是P的一個(gè)解，

若總存在％0,使得ax（）2-6xo+c<0,貝l]c<0,下列說法正確的是（）

A.結(jié)論①、②都成立B.結(jié)論①、②都不成立

C.結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立D.結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立

二、多選題

9.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式（a-l）比2-2（a-l）x-4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a

可能是（）

A.-2B.0C.-4D.1

10.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.不等式4/—5x+l>0的解集是卜卜〉：或比<1}

B.不等式2/-乂一6<0的解集是卜卜4一|或久22}

C.若不等式32+85+21<0恒成立，則a的取值范圍是0

D.若關(guān)于x的不等式27+px-3<0的解集是則p+q的值為一9

11.（24-25高一上?湖北?期中）下列說法正確的有（）

A.當(dāng)xeR時(shí)，不等式kN一日+1>0恒成立，則左的取值范圍是[0,4）

B.久2一日+左一1<0在（1,2）上恒成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是[3,+8）

C.當(dāng)久〉0時(shí)，不等式%2一3+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（—8,8）

D.若不等式/-口久+420對(duì)任意久e[1閉恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（-8,5]

三、填空題

12.（2024?河北?模擬預(yù)測）若