Page8數與代數（第77～103頁）本小節涉及的內容主要有4個方面：一是整數、小數、分數、百分數、負數等數概念和數的關系的整理與復習；二是整數、小數、分數的四則運算的整理與復習；三是等式與方程的整理與復習；四是比例的整理與復習。全節教科書以數和數的關系為主線，詳細支配了數概念（含數的性質和關系）、數的運算、方程、比例等4個板塊，并將解決問題與相關的內容結合起來，一共支配了13個例題、5個課堂活動和4個練習。本部分教科書和原義務教化小學數學教科書的總復習相比有較大的變更，主要表現在以下幾個方面：一是綜合性更強，有利于促進學生認知結構的完善和綜合應用學問實力的培育。教科書將數概念、數的關系和性質整合成一個整體讓學生進行梳理與復習，并將量的計量融合在數概念中進行復習；對解決問題沒有進行分類，而是將其與數的運算、方程和比例緊密結合；在練習中也比較突出對學問的綜合應用。二是突出了整理復習的重點。教科書在正文和例題中只呈現重要的學問點，對其他一些學問通過課堂活動或練習的形式加以復習。三是對內容的選擇突出與學生現實生活的聯系，與現代社會中經濟、科技、文化的聯系，有利于讓學生感受數學的價值。四是留意呈現學生自主整理學問的情景圖，體現引導學生自主整理學問。五是支配數學文化，讓學生感受到數在生活中的廣泛應用。1數的相識1教科書分析上圖是反映學生對整數、小數、分數、百分數、負數等數概念（含數的性質和關系）進行自主整理的情景。教科書用問題“我們學了哪些數？你對這些數有哪些了解？”為學生提出了整理學問的線索。學生依據線索通過自主回憶、合作溝通的方式，對整數、小數、分數、百分數、負數的學問進行自主整理。本情景圖中只呈現了4個學生的對話，它僅僅是一個線索，通過這個線索對小學數學內容中數的概念進行全面的整理與復習。數概念須要整理的內容很多，包括整數、自然數、小數、分數、百分數、負數的意義和性質、數的關系及數的讀寫法、數的改寫和大小比較等。詳細講，對于什么是整數，課標只要求知道整數，所以教科書只要求學生能判定一個數是不是整數，能直觀區分整數與小數、分數。對于小數概念的梳理，包括用列舉的方法相識小數，理解一個小數表示的意義，如0．5表示510，0．05表示5100，駕馭小數的數位依次、計量單位、大小比較及讀寫方法。對于分數概念的整理，包括理解分數、約分、通分、最簡分數等概念的意義和分數的讀寫、大小比較的方法等。對于百分數的整理，包括百分數的意義（含百分比、百分率）。對于負數的整理，包括結合生活情景了解負數的意義，會用負數表示一些日常生活中的問題。數的性質指的是數的一些特性，探討數的一些性質，有助于學生對數的理解。在小學數學中，依據學生的接受實力，主要學習了數的以下一些性質：一是小數的性質，即在小數的末尾添上0或去掉0，小數的大小不變；二是分數的基本性質，即分數的分子和分母同時乘或除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變；三是整除的一些性質（或特征），如含有因數2，3，5的數的特征、自然數的特征、質數合數的特征等。整數、小數、分數、百分數、負數等是數的不同表現形式。但這些數及其相關的運算也有內在的聯系，探討這些聯系，能幫助學生對數和數的運算的理解和把握，促進學生數感的發展。在小學數學中涉及的數和數的運算之間的關系有：一是分數與除法的關系，即ba=b÷a(a≠0)；二是分數的基本性質、除法的基本性質與比的基本性質的關系；三是通過整數、小數、分數、百分數的互化，反映它們之間的關系；四是通過整數、小數、分數四則運算法則在本質上的同一性，反映整數、小數、分數等之間的關系，例如，加減法都要相同數位上的數相加減、小數乘除法先轉化為整數乘除法計算、異分母分數轉化為同分母分數計算等；五是通過因數和倍數反映整數的一些關系。在引導學生對數概念進行了整理后，例1詳細讓學生通過數學活動對數概念進行復習鞏固，并進一步感受大數的意義。例1（見教科書第77至78頁）由題材（數據）和問題（線索）兩部分組成，在編排上具有以下一些特點：一是題材的選擇具有現實意義，通過呈現中國、俄羅斯、美國、加拿大4個國家的陸地面積、人口數以及占世界的比率，不但能讓學生感受到數在現實生活中的運用，也增長了學生的人文學問。二是涵蓋的內容廣，它包含了整數、小數、分數、百分數等數的意義、讀法、寫法、多位數的改寫以及數的大小比較等內容。三是提出復習的線索，通過5個問題引導學生對數的有關學問進行自主復習。詳細講，問題1主要是讓學生通過讀表中的數，復習數的讀法。這里重點是復習多位數的讀法，即從高位起一級一級往下讀，每一級上的數先依據各級上的數的讀法去讀，并在后面加上對應那一級的計數單位“億”或“萬”，每一級的末尾不管有幾個0都不讀，級的開頭和中間有一個0或連續幾個0都只讀一個0（詳細詳見教科書四年級下冊）。至于數的寫法，考慮到學生可能都比較嫻熟，所以，這里沒有單獨提出復習。問題2主要是結合詳細情景復習分數、百分數的意義。這里不僅要讓學生能記住分數、百分數的定義，更重要的是要能結合實際問題理解分數的含義，內化學生對分數和百分數的理解。問題3和問題4是結合表中詳細的數復習數的改寫，這里不但要復習把一個多位數改寫成用“萬”或“億”作單位的數，還要復習用“四舍五入”法把一個多位數四舍五入到“萬位”或“億位”，學生在改寫中加深對改寫方法的駕馭和技能的形成。問題5讓學生通過把表中的人口數和國土面積數按多少、大小排一排，在加深學生對數的大小比較方法駕馭的同時，又獲得一些人文社會學問。當然，這里不僅是復習整數大小的比較，也還可以復習分數、百分數大小比較的方法，但要留意讓學生感受數的大小比較方法的聯系。第78頁的課堂活動支配了1個題目，主要涉及對基數和序數的復習。從一張小小的車票和產品說明書上（如下圖），呈現出了很多學生學習過的數，這些數有的表示數量的多少，如車票票價166元、在3日內到有效、容量60L、額定功率2000W、最高水溫75℃、凈重20kg等；也有表示排列依次的，如車票上的2007年09月18日14：03、07車15號上鋪；還有表示編碼的，如車票上的編號00H01388及下面的條碼，熱水器的型號D03E060例2是對分數的基本性質、小數的性質進行的復習。這兩條性質是小學數學里重要的內容，學生在約分、通分、比較分數的大小、小數的改寫等內容的學習中都要用到它，因此，對這些內容單獨支配例題進行復習非常必要。該例題有兩個問題組成，問題（1）復習分數的基本性質，教科書通過兩組詳細的分數，讓學生依據分數的基本性質填空，并反思在填寫時的思索過程和方法來達到對分數基本性質復習的目的。問題（2）復習小數的性質，教科書讓學生把一些小數（有一位小數、三位小數和整數）改寫成兩位小數，學生在改寫時，要全面用到小數的基本性質，所以，通過本題目的教學，不但可以達到對小數的基本性質復習的目的，也有利于讓學生感受到小數與整數的關系。例題的最終支配了議一議，讓學生依據分數的基本性質、小數的性質以及小數與分數的關系，并通過對詳細數學事實的視察去發覺分數的基本性質與小數的性質的聯系，促進學生認知結構的進一步完善。即：由于一位小數可以表示為非常之幾，兩位小數可以表示成百分之幾……所以，在小數的末尾添上一個0，相當于將小數化成分數后分子、分母同時擴大10倍，在小數的末尾添兩個0，相當于將小數化成分數后分子、分母同時擴大100倍……第80頁例3是對因數和倍數學問的復習。這部分內容的詳細要求是：能在100以內的自然數中找出10以內某個自然數的全部倍數，知道2，3，5的倍數的特征，能找出10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數，能在100以內的自然數中找出某個自然數的全部因數，能找出兩個自然數的公因數和最大公因數，知道整數、奇數、偶數、質數、合數。本部分內容分三部分，一是通過表格呈現100以內的自然數；二是讓學生結合100以內的數對因數和倍數的學問進行自主梳理；三是用問題的形式對一些比較重要的概念單獨列出引導學生復習，如奇數和偶數、質數與合數、分解質因數、公倍數等。這里雖然是分三部分呈現，但這三部分是一個整體，表格中的數為學生梳理學問和進行復習供應了素材依據和學習情景，學生的自主梳理要結合表格中100以內的自然數進行，同時，可以把對學問的梳理與復習、練習結合起來。第81頁的課堂活動，支配了3個題目，該組題目將動手活動與思維活動結合，加深學生對學問的理解和鞏固。第1題是讓學生在數軸上填數，既是對數序的復習，更有利于溝通分數、小數、整數的聯系。第2題將小數點位置移動引起小數大小變更的規律應用到現實生活中去解決問題，讓學生在解決問題中達到復習、鞏固學問的目的。第3題是讓學生在活動中對因數和倍數的學問進行練習，隨意兩張卡片組成的兩位數可以從多方面加以描述。例如，2和3可以組成23，它是奇數，又是質數，它的因數只有1，23；也可以組成32，它既是偶數，又是合數，它的因數有1，2，4，8，16，32。由此可見，本題具有較強的開放性，通過本活動不但可以讓學生在活動中鞏固因數和公因數的有關學問，更能促進學生思維實力的發展。練習十七是針對數概念支配的練習，雖然涉及的內容很多，但在習題的支配上既堅持精選習題，避開機械重復，又做到學問的涵蓋面盡量大，重要的學問不遺漏。整個練習一共只支配了13道題（其中包括1道選作題和1道思索題），包含了數概念的主要內容，其中第1，2，3，4，5題主要針對整數概念進行練習。詳細包括讀數、寫數、大小比較、多位數的改寫，其中第2，3，4題具有肯定的綜合性，如第4題既包括多位數的改寫，也包括多位數大小的比較。第6題是對數概念位置值的練習，有利于加深學生對整數、小數、分數概念的理解。第7題復習分數、小數、百分數的互化。第8題是一道綜合性的填空題，主要是針對一些重要的學問點進行練習，如小數點位置移動引起小數大小變更的規律、小數的性質、時間、質量等計量單位、分數、小數大小比較等。第9，10題主要是針對因數和公因數、倍數、公倍數進行練習。第11題是時間的計算，該題材具有較強的現實性和科學教化價值。第12題是找規律的題目，綜合性和思索性都較強，這些數的變更規律是從2起先，依次增加2，3，5，7，11，13，17，19，23，29（質數依次排列），所以問號處應分別填102，131。思索題具有較強的思索性和綜合性，要用到時間計算、公倍數等有關學問。2教學建議本部分內容建議用5課時教學。本部分教學的重點是讓學生經驗對學問的整理過程，在詳細的整理中，通過獨立回憶，相互溝通，促進對學問的理解，并通過適當的練習加強對學問的駕馭。在對數概念整理的教學時，老師可以先提出“我們學了哪些數？你對這些數有哪些了解？”等引導性的問題，然后讓學生進行自主整理。學習方式既可以是先讓學生獨立整理再合作溝通，也可以是讓學生分組進行合作整理，再全班溝通。學生在自主整理和溝通時，可以分類進行。對整數概念的整理，可以依據這樣的線索進行：舉例什么是整數→結合詳細的數復習整數的讀法和寫法→結合數的組成復習十進制計數法和比較大小→結合詳細的數復習數的改寫。對分數概念的整理，可以依據這樣的線索進行整理：分數的意義→分類→分數的基本性質→約分和通分→分數與小數，詳細可以形成如下圖解：分數（意義）分類真分數假分數基本性質約分：意義互質數最簡分數通分：意義同分母分數最小公倍數分數與小數對小數的整理，應重點使學生明確分數與小數的關系，促進對小數意義的理解。詳細可以按下面的線索進行：小數的意義→結合小數的數位依次表復習小數的讀寫、大小比較→小數的性質和改寫→結合小數點位置移動引起小數大小的變更復習名數的互化→求小數的近似值。對百分數的整理，可以按下面的線索進行：結合生活讓學生理解百分數的意義（包括出勤率、合格率、大小比較等）→百分數和分數、小數的互化。對負數的整理，只要學生能舉誕生活中的負數，能結合生活實際理解負數的意義，會用負數表示日常生活中常見的問題就可以了。對于數的性質整理的教學，除了結合有關數的相識進行復習外，重點還要留意歸類和聯系，詳細說，首先應讓學生知道我們學習過關于數的哪些性質。其次，引導學生對這些性質進行梳理。梳理整數的性質（整除的性質）可以先讓學生回憶整除、因數、倍數、質數、合數、最大公因數、最小公倍數等概念；梳理分數的基本性質、小數的基本性質可以先讓學生舉例說明這些性質，再結合分數與小數的聯系讓學生理解分數的基本性質與小數的基本性質及其聯系，如：可以結合0．8（810）＝0．80（80100）去理解兩種性質的聯系。關于數的關系的教學，一是應結合分數、除法的意義，復習分數與除法的關系，即分數與除法的共同點都是要平均分，如23可以是2的13（把2平均分成3份取1份），2÷3也可以表示把2平均分成3份取1份，最終概括為ba=b÷a(a≠0)。二是將分數的意義、除法的意義及比的意義結合起來讓學生理解分數的基本性質、除法的基本性質與比的基本性質的關系。三是通過適當的練習和結合整數、小數、分數四則運算法則在本質上的同一性，體會整數、小數、分數、百分數的關系，如：5＝()()＝（）%＝（）（填小數）。例1的教學可以有兩種方式，一是結合對數概念的整理進行，也就是將例1的內容分解后融合到對有關數概念的整理時一并進行復習，通過對概念的復習和練習加深學生對學問的理解和駕馭。例如，結合讀表中的陸地面積數和人口數，對讀多位數讀法進行梳理。二是首先讓學生對數概念進行自主梳理，再通過例1的教學加深學生對學問的理解和駕馭。不論采納哪種方式，對例1的教學應留意以下幾點：首先，讀表中的多位數時，一方面可以適當補充級的開頭、中間和末尾有0的數讓學生讀，以便加深學生對多位數讀法的全面復習；另一方面讓學生說一說讀多位數應留意些什么，學生可以用自己的語言總結多位數的讀法，但應留意抓住幾個關鍵的問題，如級的開頭、中間的0的讀法等。其次，結合學生理解表中的分數、百分數表示的意義，還可以讓學生列舉生活中的一些分數、百分數并說一說它們表示的意義。再次，復習數的改寫時，一方面要通過對表中的數進行改寫，讓學生說一說把多位數改寫成用“萬”或“億”作單位的數的方法，用“四舍五入”法將一個較大的數精確到萬位或億位的方法；另一方面可以適當補充一些小數的改寫，如將表中各國的人口數占世界總人口的百分之幾改寫成兩位小數。最終，除了讓學生將表中的人口數和國土面積數按要求排列復習多位數大小比較的方法外，還可以將表中的分數、百分數按肯定要求排列，以便復習分數、百分數、小數大小比較的方法。結合例1的教學，可以介紹第103頁的數學文化。對數學文化的教學，可以結合整數、小數、分數的梳理，讓學生讀一讀表中的數，還可以選擇本班學生更加熟識的、有意義的現實生活中的數據讓學生了解，并讓學生說一說讀了這些數的感想。教學第78頁課堂活動時，可以先讓學生獨立視察題中車票上的數和產品說明書上的數，再溝通他們對這些數的相識和理解，最終溝通生活中表示多少、排列依次或編碼的數。學生在溝通時留意強化以下一些問題：一是應讓學生明確數可以表示兩種含義，既可以表示數量的多少（基數），也可以表示事物排列的依次（序數），編碼就本質上看是指事物的編排依次。二是讓學生說明火車票和產品說明書上的數表示的意義，加深他們對基數和序數的理解，如火車票上的“1145”次是表示編碼，車票上的票價16600是表示從鄭州到重慶須要16600元車費，所以16600是表示數量的多少。除此之外，火車票和產品說明書上表示數量多少的數還有：在“3日”內到有效、容量“60L”、額定功率“2000W”、最高水溫“75℃”、凈重“20kg”，表示排列依次的還有：2007年09月18日14：03、07車、15號上鋪，表示編碼的還有：00H010388、（編碼）、D03E060第79頁例2的教學，可以先讓學生獨立填一填，再溝通。溝通時重點引導學生對分數、小數的基本性質進行復習。在溝通問題（1）的填法時，老師可以讓學生說一說他們在填這些括號里的數時是怎樣想的，比如，23=6（），讓學生說出：依據23=6（），分子由2變成6，擴大了3倍，要使分數的大小不變，分母也應擴大3倍就是9。當兩組題目的填法都溝通后，老師再引導學生說出，填這些數時都用到了分數的基本性質。在溝通問題（2）時，可以提問學生，要使這些小數都變成兩位小數，要在小數的什么位置添0或去掉0？這樣做小數的大小會變更嗎？為什么？從而讓學生進一步理解在小數的末尾添上0或去掉0，小數的大小不變。關于議一議的教學，先可以讓學生視察這組等式，并溝通他們的發覺。學生在溝通時，估計能比較順當的說出分數、小數的基本性質，對兩條性質之間的聯系，用語言表述可能有肯定的困難，這時老師可以這樣引導：由0.2變成0.20后，相當于將0.2變成210后，在分子、分母的后面填寫了幾個0得到20100，20100與210比相當于將原分數的分子、分母都擴大了多少倍？從而讓學生進一步感受到在小數的末尾填寫2個0，就相當于將這個小數化成分數后，分子、分母同時擴大100倍。第80頁例3的教學，也可以采納兩種方式進行，一是結合學生對因數和倍數的整理，讓學生一邊回憶有關概念，一邊結合詳細的數進行練習，加深對學問的理解。二是讓學生依據表中的數，結合因數和倍數的學問提出問題并相互回答。例如，12的因數有哪些？6的倍數有哪些？但對重要的、關鍵的問題假如學生沒有提到時，老師可以提出來讓學生思索或練習，如教科書上提到的在100以內的自然數中找稀奇數、偶數、質數、合數，在表中找一些數分解質因數，找出10以內兩個數的公倍數等。關于第81頁課堂活動的教學。教學第81頁課堂活動第1題時，先讓學生獨立填一填，再溝通，溝通時重點引導學生說說分數與小數、整數的聯系。例如，讓學生感受到在數軸上面填12，下面填0.5，說明12等于0.5，并進一步復習分數與小數、整數互化的方法。教學第2題時，先讓學生看一看六下的語文、數學數的單價，并填在表中，再計算10本、100本、1000本的價錢（金額），填后讓學生說一說填寫10本、100本、1000本的金額時是怎樣想的，再比較本數由1本、10本、100本到1000本有怎樣的變更，并對應視察金額由1本、10本、100本到1000本的價錢有怎樣的變更，進而復習小數點位置移動引起小數大小變更的規律。第3題的教學可以是兩個同學一組，也可以是多人一組。學生在用組成的數進行溝通時，可以圍繞因數、倍數的有關內容綻開，如摸到2和4，可以組成的數是24，24是偶數也是合數，它既是2的倍數，也是1，3，4，6，8，12，24的倍數；也可以組成42，42也是偶數、合數，它的因數有1，2，3，6，7，14，21，42。同時，也可以溝通學生對組成的數的其他理解，如42是7的6倍，6是24的25%等。關于練習十七的教學建議。第1題可以先讓學生獨立讀一讀，讀后再讓他們說一說多位數的讀法。學生在溝通時，應重點突出級的開頭、中間、末尾有零的數的讀法。第2題學生獨立改寫后，要讓學生說一說兩種改寫方法的區分，加深學生對兩種改寫方法的理解和駕馭。第3題學生寫出數后，再讓他們將寫的數讀一讀，通過讀數，一方面檢查寫的數是否正確，另一方面鞏固讀數的方法。此外，還可以讓學生說一說寫數時留意的問題。第4題留意讓學生理解題意和駕馭思索的方法，首先應關注填的數應是用“萬”作單位還是用“億”作單位，再看中間的數萬位或億位上是幾，思索括號里該填多少。如（）萬＞376820＞（）萬，中間的數376820萬位上是7,表示7萬，所以，比376820大的整萬數至少是38萬，比它小又最接近它的是37萬，因此這樣填：（38）萬＞376820＞（37）萬。第5題學生填后溝通，留意讓學生理解負數表示的意義，如小東的媽媽炒股虧了600元說明什么意思，最終還可以讓學生用負數表示生活中的其他一些問題。第6題一方面讓學生干脆說一說這些數中的“3”表示的意義，另一方面也讓學生說一說它們表示的意義為什么不同。比如307中的3是在百位上，表示3個百，而13的3是在個位上，表示3個1，23中的3表示把單位“1”平均分成3份，34中的3表示把單位“第7題干脆讓學生填一填，并溝通填寫的結果和思索方法。第8題學生填后可以讓學生說一說他們的思索過程，特殊是第（7）題復習名數互化的方法。如第（2）題，學生可以這樣想：38變成0．038，小數點向左移動了三位，依據小數的性質，說明這個數應縮小1000倍。第10題要結合找因數和公因數讓學生理解集合圈表示的意思，以便為今后進一步學習打下基礎。第12題可以先讓學生獨立視察找尋規律，再溝通。假如學生有困難，老師可以啟發：像這樣的問題我們可以把相鄰兩個數的差計算出來，再視察這些數有什么規律。通過計算，相鄰兩個數的相差數分別是：2，3，5，7，11……且這些數都是質數，由此可以看出，這些數是從2起先，依次按2，3，5，7，11……增加，按這樣的規律，填出后面兩個數分別是102和131。思索題有肯定的難度，教學時留意以下問題：一是可以讓學生獨立思索后溝通他們的想法和解決問題的過程。二是假如學生感到困難較大，老師應做適當的引導，如老師可以提問：從6：00起先他們發車的時間與5和8有什么關系（分別是5或8的倍數）？同時發車的時間與5和8有什么關系（是5和8的公倍數）？他們同時發一次車至少要多少時間（40分）？三是讓學生駕馭計算的方法：即從6：00到22：00兩路車都在發車的時間是（22－6）×60＝960分，960里有24個40，再加上6：00同時發車，所以一天同時發車25次。3教學案例數的相識（教學片斷）教學內容：教科書第77頁的內容。教學過程一、引發復習須要老師：同學們，經過6年的小學數學學習，你們學到了很多數學學問，獲得了很多數學技能，你們的數學實力提高了，人也變聰慧了。但細致想一想，是不是有的學問可能也遺忘了，是否須要我們去復習呢？這樣才便于為你們進入中學數學學習打下堅實的基礎。老師：你們能歸納一下我們小學學習的數學內容主要有哪幾個方面嗎？學生可能說到：數的相識、數的計算、比和比例、方程、幾何學問、方向與位置、旋轉與平移、解決問題、統計、概率……老師在學生回答的基礎上概括：其實，這些內容可以概括為這樣幾個方面：數的相識與計算、比和比例、用字母表示數與方程等都屬于數與代數的內容；幾何學問、方向與位置、旋轉與平移都屬于空間與圖形的內容；統計與概率。除此之外，還有綜合應用這些學問解決問題。今日我們就來對數的相識的相關學問進行復習。板書課題：數的相識復習（一）二、對學問進行自主梳理1學生自主整理老師：我們在小學里學習了哪些數？你對這些數有哪些了解？請先獨立想一想，也可以動筆把你想到的寫一寫。學生先獨立回憶，再在小組中溝通。2全班溝通以小組為單位匯報，有的問題假如學生沒有說到，老師適當引導，以便對學問進行全面的梳理。各小組可能有以下一些回答：老師：請先說一說我們在小學里學了哪些數。小組1：我們學習了整數、小數、分數，也相識了負數。老師板書：老師：你們對整數有哪些了解？小組2：我知道0，1，2，3，4……這些都是整數，也是自然數，它們可以表示物體的個數，可以表示數量的多少；最小的自然數是0，它表示一個也沒有，沒有最大的自然數；除0外，全部自然數的單位都可以看成是1,任何自然數都可以看成是若干個1組成的。老師板書：1，自然數（0除外）的基本單位老師：你們對分數有哪些了解？小組3：分數是把單位“1”平均分成若干份，表示這樣1份或幾份的數叫分數，其中取1份的數是這個分數的單位；我們學過的分數有真分數、假分數和帶分數，真分數的分子小于分母，假分數的分子大于或等于分母，帶分數是由一個不是0的整數和一個真分數合成的數。分數的基本性質是分數的分子與分母同時乘以或除以同一個不為0的數，分數的大小不變