專題十三二次函數綜合2

二次函數的綜合探究題一直是中考的必考題.通常考查與動點、存在性、相似有關的二次

函數綜合題,解答與動點有關的函數探究問題,通常需要把問題拆開,分清動點在不同位置運

動,或不同時間段運動時對應的函數關系式,進而確定函數圖象,這類問題往往與函數知識、特

殊三角形、特殊四邊形的性質，以及分類討論思想、方程思想、數形結合思想相聯系.解題時

要特別注意把握題目中的“動中有變（圖形的變化）、變中有靜（特殊三角形或四邊形的性質及

其數學思想）”的內在規律并注意挖掘隱含條件，綜合運用數學知識解決問題.此類問題的考查

形式通常為解答題，解答此類問題時要注意分析問題存在的多種情況.

二次函數綜合題型除了上一講的五種常見題型還有以下五種類型：

題型一:二次函數中的特殊三角形存在性問題；題型二:二次函數中的特殊四邊形存在性問

題；

題型三:二次函數與相似綜合性問題；題型四：二次函數與圓綜合性問題；

題型五:二次函數中的創新性問題.

高頻考點-釋疑難

【類型一】二次函數中的特殊三角形存在性問題

本類型題考查的是二次函數與特殊三角形的綜合運用，主要涉及等腰三角形和直角三角

形，只有熟練掌握等腰三角形和直角三角形相關性質才能解決問題,解題過程中要注意分類求

解,避免遺漏.

【例11（2024?雅安）在平面直角坐標系中，二次函數尸aV+力x+3的圖象與x軸交于

4（1,0）,8（3,。兩點，與y軸交于點C.

⑴求二次函數的表達式；

⑵如圖①，若點P是線段勿上的一個動點（不與點4C重合），過點P作y軸的平行線交拋物

線于點Q,當線段國的長度最大時，求點0的坐標；

⑶如圖②,在⑵的條件下，過點0的直線與拋物線交于點〃且N6W2N%。在y軸上是否

存在點區使得△皮應為等腰三角形?若存在,直接寫出點￡的坐標;若不存在,請說明理由.

【解析】(1)由題意得:尸&(尸1)(尸3)=a(/-4A+3)=ax"加+3,

則a=l,

則拋物線的表達式為產*一4肝3;

(2)由拋物線的表達式知,點＜7(0,3),

由點瓦。的坐標得,直線組的表達式為:產3-百

設點P(x,3-x),則點Q(x,y-4^r+3),

貝!)PQ^Z-x-(x-4A+3)=~X+3X,

V-KO,

故尸。有最大值，

此時則產V-4戶3=-：,

L4

即點0(|,-》；

(3)存在,理由:

由點G0的坐標可得,直線。的表達式為產-|x+3,

過點0作70〃y軸交x軸于點T,則/7仇＞/仇〃

■:ZCQD=2ZOCQ,ZTQOZQCO,

:./CQB/DQT,

即直線8和〃。關于直線0T對稱，

:.直線DQ的表達式為7=|(k|)3，

聯立上式和拋物線的表達式得/-4出3=|(『|)-|,

解得井|(舍去)或尸5,點2(5,8);

設點￡(0,血，由&〃￡的坐標得,勵=68,西=25+(獷8)2,初=9+著,

當妗的時，68=25+(獷8)；

解得j=8±V43,即點以0,8±V43)；

當D取BE或BFBE時,

同理可得25+(nr8)2=9+jn或9+4=68,

解得0=5或TZF±V59,

即點￡(0,5)或(0,+V59)；

綜上，點夙0,8土房)或(0,5)或(0,±V59).

【類型二】二次函數中的特殊四邊形存在性問題

二次函數與特殊四邊形的結合,考查較多的有平行四邊形、矩形、菱形，解此類題通常運

用數形結合的思想方法,通過構圖和特殊四邊形的性質分析問題.常用方程或不等式來解決此

類問題.

[例2]（2024?無錫）已知二次函數尸aV+x+c的圖象經過點和點1）.

⑴求這個二次函數的表達式；

⑵若點以加1,。（加2,%）都在該二次函數的圖象上,試比較必和灰的大小，并說明理由；

⑶點P,0在直線/方上，點〃在該二次函數圖象上.問：在y軸上是否存在點N,使得以P,Q,M,N

為頂點的四邊形是正方形?若存在,請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標;若不存在,請說明

理由.

【思路點撥】（1）將點A和點方的坐標代入尸aV+x+c,求出a和c的值，即可得出這個二次函

數的表達式；

⑵根據題意得出廳《（加〉+（加1）+1/冶（加2尸+（加2）+1,再用作差法得出必-后*,進行

分類討論即可；

⑶求出直線47的函數表達式為產權，然后進行分類討論：當國為正方形的邊時；當國為正

方形對角線時,結合正方形的性質和三角形全等的判定和性質，即可解答.

【解析】⑴把力(-1,4)，雙2,1)代入尸aV+x+c得.

a-1+c=—1

4a+2+c=1

解得:

C=1

,這個二次函數的表達式為尸q*+戶1；

⑵???C(ml,%),。(加2,%)都在該二次函數的圖象上,

廳一;(加1)2+(加1)+1,^=~|(加2)2+(研2)+1,

/.%_%=_；(/zz+i)2++1-[~|(m2)2+(加2)+]]=研;,

當布＞0時,即%時,%＞為;

當*=0時，即爐-1時,斤為;

當加"o時，即水時,

(3)設直線48的函數表達式為尸kx+e,

,8(2,1)代入得:上二次十，

把4(-1,

11=2k+e

解得k二I

le=0

.?.直線相的函數解析式為尸%,

當國為正方形的邊時，

①???8(2,1),

，tanN*，

過點〃作y軸的垂線,垂足為點G,過點尸作協的垂線,垂足為點H,如圖1,

圖1

'：PQ"MN,MG"x蝴,

：./BOO/NMG,

.'.tan/BOOtan貝!|吩2臨

設止t,則MG^2t,

〃(一21,-212-21+1),

:.點〃的縱坐標為-2&2t+l+1=-2&t+1,

BPMO,-2t2-i+l),

???以KQ,朋〃為頂點的四邊形是正方形，

用淤90°,P^MN,

，N/W乙愀*90°.

■:MP卞90：

AZNMG^ZMPH.

■:ANMG^ZMPH,4t/MGN,P拒MN,

:.P*M12t,小幃t,

二尸(-31,-2/+1),

把A-31,-2t2+l)代入產/得：-2t2+l=jx(-31),

解得：少手,（舍去）,

"(0,-霽至)；

16

②如圖2:構造Rt△解￡RtA^W

圖2

和①同理可得:△磔涇△曬tan

設佛法21,貝！|QG^MH-t,

#(21,-2/+2方+1),MO,-2/+方+1),0(方，-2/+4方+1),

把0(t,-2/+41+1)代入產/得：-2/+4t,

解得：右=2,22=_:(舍去),

4

.??M0,-5);

③如圖3:構造Rt△刎Rt△幽4

和①同理可得:△酸忸△用物tanN醐號

設的初2。貝！|GM=HP=t,

:.〃(一21、-2/-2Z+l),MO,一2/一Z+l),P(-1、-212-4t+1),

把P(-1,~2/一4t+1)代入尸%得：一2/一4t+1二一號t,

解得：於4,62=-2(舍去)，

4

O

④如圖4:構造Rt△刎Rt△曲有

N,

和①同理可得:△頌白△的區tan/倒叫，

設跺冊2。貝!|G^HP=t,

：?〃(2方，-2/+2方+1),MO,-2/+2+1),P[t,-2方+1),

把P(t,-2產~>1)代入j=|x得：-2/-t+l=|t,

16

當網為正方形對角線時，

⑤如圖5:構造矩形HGJI,過點夕作PKLIJ于點、K,

：.PK//x^,

:./QPQ/BOC,

1

tan/QP笈tanZ.BOC=~,

設礪x,貝(J慌2x,

和①同理可得:△剛名△的啥△QM按4NQL

：.HN^PG^MJ=IQ,P田GM^Q戶NI,

...四邊形■"為正方形，

：.Pl^IJ=2x,

：.I牛P"J吟(JJ-Q片x,貝!|P+GgQJ=NI%,

p(:1

AtanZPMG=—=\

GM3

設PG^HIDt,貝！|PH=GM=31,

/.#(21,-2/+2Z+l),MO,-2/+6Z+l),P(一力-212+31+1),

把P(-1,~2/+31+1)代入尸%得:-2/+3t+1=-;t,

解得：力=2,右=-：(舍去)，

4

???M0,5);

⑥如圖6:構造R14PMH,Rt△從知

同理可得:△冏侑△加藝tan々PNG%

設吩臟。貝!|■阱3,，

:.〃（一21、-2/-2Z+l）,MO,一2/一6Z+l）,P（一31,-2/-51+1）,

把P（-3-2/-5t+1）代入尸）得：一2/-5^+1=—11,

解得：於4,62=-2（舍去），

4

AM0,;

綜上:Mo,一15；*）或Mo,-15；/或Mo,-5）或Mo,5）或M0,》或Mo,-|）.

【類型三】二次函數與相似綜合問題

本類型題考查的是二次函數與相似的綜合運用，主要涉及三角形的相似,只有熟練掌握相

似三角形相關性質、判定定理才能解決問題,解題過程中要注意分類求解,避免遺漏.

【例3】（2024?內江）如圖,在平面直角坐標系中，一次函數尸-2矛+6的圖象與x軸交于點4

與y軸交于點B,拋物線j=-*+6x+c經過A,8兩點,在第一象限的拋物線上取一點D,過點。作

軸于點C,交48于點E.

（1）求這條拋物線所對應的函數表達式；

⑵是否存在點〃使得△皿出和△力四相似?若存在,請求出點。的坐標,若不存在,請說明理由;

⑶尸是第一象限內拋物線上的動點(不與點。重合)，過點戶作X軸的垂線交48于點G,連接

DF,當四邊形￡67刃為菱形時,求點。的橫坐標.

【解析】(1)令尸0,則-2戶6=0,

則JF3;

令不0,則7=6,

."(3,0),庾0,6),

把4(3,0),3(0,6)代入產-/+加+c,

得(分+c=O

???拋物線所對應的函數表達式為產-夕+戶6.

(2)存在點D,使得△應后和△力龍相似.

設點〃-/+什6),

①如圖，當AACES^BDE怙,N9反NZ毋90°,

：.BD//AC,

工。點縱坐標為6,

—/+力+6=6,

解得i=0或i=l,

?"(1,6);

②如圖,當龍s△順時,ABDE=ACAE,

過8作BH工DC于H,則〃(t,6)

Z.Z?=90°,BH=t,DH=~^+t,

=tanN應層tanZCAB=—,

.*.-2F+21=t,

解得i=0(舍去)或i=|,

???嗚爭，

綜上所述,點D的坐標為(1,6)或?金.

24

(3)如圖，???四邊形麗為菱形，

：.DE//FG,DB=FG,EAEG,

設點〃(%，-/+加6),夙山,-2加6),F{riy-n+加6),G(乙-2加6),

DE^-m+3%,FG^-ii+3/7,

:._4+3爐一//+3〃，

即(nrn)(研n-3)=0,

*/2zr〃W0,

加27-3=0,

即加77=3或爐3-%，

???4(3,0),M0,6),

???Z33,BO=&,

：.AB=^AO2+BO2=3V5,

過點G作GK1DE于K,

：.KG//AC,

：./EGI^/BAC,

:/cos/EG拒cosNBA*,

EGAB

日儼-m_3

即訪一布，

:.EG=V5(n-面二居(3-2/zz),

YD序EG,

-幫+3/ZFV^(3-2%)，

:.in~(3+2V5)2Z^3\/5=0,

解得屋⑻產(不合題意,舍去)或建必產,

...點。的橫坐標為包等空.

【類型四】二次函數與圓綜合問題

二次函數與圓的綜合題,各地中考常常作為壓軸題進行考查，這類題目難度大，考查知識

很全面,考生需要對此引起重視.解這類題的關鍵就是要把握好圓的特性,對圖形要具備敏銳

的洞察能力，能夠觀察出圓、三角形、四邊形之間的聯系，從而求解.

【例4】如圖1,在平面直角坐標系中,/(-2,-1),庾3,-1),以。為圓心，物的長為半徑的半圓0

交加的延長線于C,連接AB,BC,過。作切〃8。分別交四和半圓。于區〃連接OB,CD.

⑴求證:是半圓。的切線；

⑵試判斷四邊形OBCD的形狀,并說明理由；

⑶如圖2,若拋物線經過點。且頂點為E.

①求此拋物線的解析式；

②點P是此拋物線對稱軸上的一個動點，以區〃夕為頂點的三角形與△如方相似，問拋物線上

是否存在一點Q.使5k.后必族?若存在,請直接寫出0點的橫坐標;若不存在,說明理由.

【解析】(1)如圖1,設四與y軸交于四

?.3(-2,-1),夙3,-1),

：.AB//x^,且好2,好1,心5,J.OA=OC=V5,

'：DE//BC,。是4。的中點，.'./1是△放的中位線，后［仍532龐;

.?.娉,一1),.?.斯去

O^OM2+ME2=Jl2+(|)2=y,

：.BC=2OE=4S,

在△被7中，?.3C2+初=(2/2=25,

初=5'25,，〃+旌股

△被7是直角三角形，且乙4位=90。，.?.優比4C；

,.?zc為半圓。的直徑，.?.交是半圓。的切線.

(2)四邊形的是平行四邊形，

理由：如圖1,由⑴得:除少=%=7§,

'.'OD//BC,二四邊形如W是平行四邊形.

⑶①如圖2,由⑴知：叱好追,￡是熊的中點，且￡0-1),0嗎

過〃作加ly軸于N,則DN//EM,

/

圖2

???△〃*△網..?需鬻器

即ONDNV5

11V5,

2T

工昕2,好1,1,2),

設此拋物線的解析式為產a（『32-l

把〃（-1,2）代入得:2=以-1-，-1,解得色,

，此拋物線的解析式為K（H）T

即日ny—^4-x2—4x—2

333

②存在,過〃作DGLEP于G,設0的橫坐標為x,

.3+與除2+1=3,

3

：.DE=yJDG123*+EG2=J(|)2+32=亭，tanN〃除:DG-2-1

EG32

VtanN如游籌=|,且/頌和都是銳角，

如圖3,當△版sA4必時，翳嘿

3V5

即詈去，.??止|,???易斯為小嬌;X5X1=1，

V552222

9

,:SAEP〒SAOAB,：?3?EP

即gxjx|x-i|=|,解得V或q

如圖4,當△頗時,祭嘿

即普春?.?年黃同理得*吟

2

綜上，存在符合條件的點Q,0點的橫坐標為總或干或繳。

【類型五】二次函數中的創新題

二次函數中的創新題沒有固定的方向，但亦有規律可言，通常是在新定義的條件下引出問

題，主要考查學生的閱讀理解能力和運用新知識進行證明計算的能力.解決此類題目關鍵是要

能讀懂題意,用規定的方法去解決問題.

【例5】閱讀下面材料，回答問題

材料一:若三個非零實數滿足:只要其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則

稱這三個實數x,y,z構成“和諧三數組”；

材料二：一元二次方程af+加+O（aW0）兩根X,苞有如下關系：否+苞=-3為苞=，

aa

⑴實數1,2,3可以構成“和諧三數組”嗎?請說明理由.

⑵若直線尸26x+2c（5cW0）與x軸交于