2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第8講一元一次方程

一．選擇題（共10小題）

1．今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步．問(wèn)人與車(chē)各幾何？（選自《孫子算經(jīng)》）現(xiàn)假設(shè)有x輛車(chē)，

則有方程（）

A．3（x﹣2）＝2x+9B．3x﹣2＝2x+9

C．3x﹣2＝2（x+9）D．3（x﹣2）＝2（x+9）

2．智能手機(jī)是現(xiàn)代人必備的通信工具，手機(jī)軟件種類(lèi)繁多，實(shí)驗(yàn)課上為了測(cè)試手機(jī)應(yīng)用不同軟件的耗電

量，進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)，當(dāng)用一款智能手機(jī)刷短視頻90分鐘和微信聊天30分鐘消耗了電量的30%，經(jīng)試

驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，將刷短視頻時(shí)間縮短，微信聊天時(shí)間變成3倍后消耗電量和之前一樣，已知微信聊天10分鐘

1

耗電量約70毫安，則下列說(shuō)法3不正確的是（）

A．該手機(jī)電池容量4900毫安

B．設(shè)刷短視頻10分鐘耗電x毫安，可列方程：

1

C．刷短視頻10分鐘耗電量約為160毫安9?+3×70=9(1?3)?+3×3×70

D．相同時(shí)間內(nèi)刷短視頻的耗電量是微信聊天的2倍

3．關(guān)于x的代數(shù)式ax+b，當(dāng)x分別取值﹣1，0，1，2時(shí)，對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的值如下表：

x﹣1012

ax+b31﹣1﹣3

若ax+b＝5，則x的值是（）

A．﹣2B．3C．﹣4D．5

4．定義a?b＝2a+b，則方程3?x＝4?2的解為（）

A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝2D．x＝﹣2

5．《九章算術(shù)》中記載，浮箭漏出現(xiàn)于漢武帝時(shí)期．如圖，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內(nèi)裝有箭尺，水

勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過(guò)讀取箭尺刻度計(jì)算時(shí)間．已

知在箭尺有一定讀數(shù)的情況下，供水2小時(shí)，箭尺讀數(shù)為18cm；供水6小時(shí)，箭尺讀數(shù)為42cm．若設(shè)

箭尺每小時(shí)上升xcm，則可列方程（）

A．18﹣2x＝42﹣6xB．2x+6x＝42+18

C．D．2x+18＝6x+42

26

6．若方1程8?3x?+=1＝424?和?方程2x+a＝0的解相同，則a＝（）

A．1B．2C．﹣1D．﹣2

7．如圖，量得一個(gè)紙杯的高為11cm，6個(gè)疊放在一起的紙杯高度為13.5cm，則10個(gè)紙杯疊放在一起的高

度是（）

A．15cmB．15.5cmC．16cmD．16.5cm

8．能運(yùn)用等式的性質(zhì)說(shuō)明如圖事實(shí)的是（）

A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不為0）

B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不為0）

C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不為0）

D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不為0）

9．設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且ac＝b，則下列結(jié)論正確的是（）

21

+

A．a(chǎn)＞b＞c33B．c＞b＞a

C．a(chǎn)﹣b＝2（b﹣c）D．a(chǎn)﹣c＝3（a﹣b）

10．《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡．問(wèn)：

城中家?guī)缀危看笠鉃椋航裼?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好

取完．問(wèn)：城中有多少戶(hù)人家？（）

A．55B．65C．75D．85

二．填空題（共5小題）

11．用“△”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a△b＝a2b+a﹣b，如：1△3＝12×3+1﹣3＝1，

若2△x＝x+6（其中x為有理數(shù)），則x的值為．

12．《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，“今有人共買(mǎi)羊，人出五，不足四十五；人出七，缺3錢(qián)．問(wèn)有

幾人．”其譯文為：有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，還缺45錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺3錢(qián)．則合伙人數(shù)

是．

13．在數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，“智取九宮格”活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格的每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)，使每

一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都相等．小明抽取到的題目如圖所示，則a＝.

14．運(yùn)動(dòng)心率（次/分）是指人體在運(yùn)動(dòng)時(shí)保持的心率狀態(tài)，保持最佳運(yùn)動(dòng)心率對(duì)于運(yùn)動(dòng)效果和運(yùn)動(dòng)安全都

很重要，對(duì)于一般人來(lái)說(shuō)，最佳運(yùn)動(dòng)心率控制區(qū)域計(jì)算法如下：（220﹣年齡）×0.8＝最大運(yùn)動(dòng)心率，（220

﹣年齡）×0.6＝最小運(yùn)動(dòng)心率．健身教練給一位正常成年男性制定的運(yùn)動(dòng)方案中，最大運(yùn)動(dòng)心率與最

小運(yùn)動(dòng)心率之差為33次/分，則這位男性的年齡是歲．

15．小亮在實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，沒(méi)有找到天平稱(chēng)取實(shí)驗(yàn)所需藥品的質(zhì)量，于是利用杠桿原理制作天平稱(chēng)取藥

品的質(zhì)量（杠桿原理：動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂）．如圖1，當(dāng)天平左盤(pán)放置質(zhì)量為60克的物品時(shí)，

右盤(pán)中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱(chēng)的藥品放在右盤(pán)后，左盤(pán)放置15克砝碼，才可使天平

再次平衡，則該藥品的質(zhì)量是克．

三．解答題（共5小題）

16．已知關(guān)于x的方程4x+2m＝3x+1的解比方程3x+2m＝6x+1的解大5，求這兩個(gè)方程的解．

17．如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開(kāi)水兩個(gè)按鈕，溫水和開(kāi)水共用一個(gè)出水口．利用圖中信息解決下列問(wèn)

題：

物理常識(shí)

開(kāi)水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開(kāi)水放出的熱量等于

溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為“開(kāi)水的體積×開(kāi)水降低

的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度“．

（1）王老師拿空水杯先接了14s的溫水，又接了8s的開(kāi)水，剛好接滿(mǎn)，且水杯中的水溫為t℃．

①王老師的水杯容量為ml；

②用含t的代數(shù)式表示接入水杯的溫水吸收的熱量，并用列方程的方法求t的值（不計(jì)熱損失）；

（2）嘉琪同學(xué)拿空水杯先接了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開(kāi)水，得到一杯210ml，溫度為40°℃的水

（不計(jì)熱損失），求嘉琪同學(xué)的接水時(shí)間．

18．隨著科技的發(fā)展，人工智能已經(jīng)席卷多個(gè)行業(yè)．某商場(chǎng)銷(xiāo)售甲、乙兩種不同型號(hào)的智能掃地機(jī)器人，

甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比進(jìn)價(jià)高20%，乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比進(jìn)價(jià)高

30%，甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)比乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)高100元，甲型號(hào)智能掃

地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)高70元．分別求甲型號(hào)智能掃地機(jī)

器人和乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)．

19．我國(guó)古代名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有一題：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹．每人六竿多十四，

每人八竿恰齊足．其大意是：“牧童們?cè)跇?shù)下拿著竹竿高興的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，

多14竿；每人8竿，恰好用完．”請(qǐng)用列方程的方法求出這個(gè)問(wèn)題中的牧童人數(shù)．

20．某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價(jià)400元，領(lǐng)帶每條定價(jià)80元．廠方在開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)期

間，向客戶(hù)提供兩種優(yōu)惠方案：①買(mǎi)一套西裝送一條領(lǐng)帶；②西裝和領(lǐng)帶都按定價(jià)的90%付款．現(xiàn)某

客戶(hù)要到該服裝廠購(gòu)買(mǎi)西裝20套，領(lǐng)帶x條（x＞20）．

（1）若該客戶(hù)按方案①購(gòu)買(mǎi)，需付款元（用含x的代數(shù)式表示）；若該客戶(hù)按方案

②購(gòu)買(mǎi)，需付款元（用含x的代數(shù)式表示）．

（2）若x＝30，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買(mǎi)較為合算？

（3）x為何值時(shí)，兩種優(yōu)惠方案所需付款相同？

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元一次方程

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步．問(wèn)人與車(chē)各幾何？（選自《孫子算經(jīng)》）現(xiàn)假設(shè)有x輛車(chē)，

則有方程（）

A．3（x﹣2）＝2x+9B．3x﹣2＝2x+9

C．3x﹣2＝2（x+9）D．3（x﹣2）＝2（x+9）

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】A

【分析】設(shè)有x輛車(chē)，根據(jù)每三人共乘一輛車(chē)，則剩余兩輛車(chē)是空的，可知共有3（x﹣2）人，根據(jù)每

兩人共乘一輛車(chē)，則剩余九個(gè)人無(wú)車(chē)可乘，可知共有（2x+9）人，據(jù)此列出方程即可．

【解答】解：由題意得，

3（x﹣2）＝2x+9，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，

2．智能手機(jī)是現(xiàn)代人必備的通信工具，手機(jī)軟件種類(lèi)繁多，實(shí)驗(yàn)課上為了測(cè)試手機(jī)應(yīng)用不同軟件的耗電

量，進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)，當(dāng)用一款智能手機(jī)刷短視頻90分鐘和微信聊天30分鐘消耗了電量的30%，經(jīng)試

驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，將刷短視頻時(shí)間縮短，微信聊天時(shí)間變成3倍后消耗電量和之前一樣，已知微信聊天10分鐘

1

耗電量約70毫安，則下列說(shuō)法3不正確的是（）

A．該手機(jī)電池容量4900毫安

B．設(shè)刷短視頻10分鐘耗電x毫安，可列方程：

1

C．刷短視頻10分鐘耗電量約為160毫安9?+3×70=9(1?3)?+3×3×70

D．相同時(shí)間內(nèi)刷短視頻的耗電量是微信聊天的2倍

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】C

【分析】D．由“刷短視頻90分鐘和微信聊天30分鐘消耗了電量的30%，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，將刷短視頻時(shí)

間縮短，微信聊天時(shí)間變成3倍后消耗電量和之前一樣”，可得出刷短視頻30分鐘消耗的電量＝微信

1

聊天603分鐘消耗的電量，進(jìn)而可得出相同時(shí)間內(nèi)刷短視頻的耗電量是微信聊天的2倍；

C．由微信聊天10分鐘耗電量約70毫安，可得出刷短視頻10分鐘耗電量約為140毫安；

B．設(shè)刷短視頻10分鐘耗電x毫安，根據(jù)“刷短視頻90分鐘和微信聊天30分鐘消耗了電量的30%，

經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，將刷短視頻時(shí)間縮短，微信聊天時(shí)間變成3倍后消耗電量和之前一樣”，可列出關(guān)于x

1

的一元一次方程；3

A．利用該手機(jī)電池容量＝刷短視頻90分鐘和微信聊天30分鐘消耗了電量÷30%，即可求出該手機(jī)電

池容量為4900毫安．

【解答】解：D．∵刷短視頻90分鐘和微信聊天30分鐘消耗了電量的30%，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，將刷短視頻

時(shí)間縮短，微信聊天時(shí)間變成3倍后消耗電量和之前一樣，

1

∴刷短視頻39030（分鐘）消耗的電量＝微信聊天30×（3﹣1）＝60（分鐘）消耗的電量，

1

∴相同時(shí)間內(nèi)刷×短3=視頻的耗電量是微信聊天的2倍，選項(xiàng)D不符合題意；

C．∵微信聊天10分鐘耗電量約70毫安，

∴刷短視頻10分鐘耗電量約為70×2＝140（毫安），選項(xiàng)C符合題意；

B．設(shè)刷短視頻10分鐘耗電x毫安，

根據(jù)題意得：9x+3×70＝9（1）x+3×3×70，選項(xiàng)B不符合題意；

1

A．∵刷短視頻90分鐘和微信?聊3天30分鐘消耗了電量的30%，

∴該手機(jī)電池容量為（140×9+70×3）÷30%＝4900（毫安），選項(xiàng)A不符合題意．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．

3．關(guān)于x的代數(shù)式ax+b，當(dāng)x分別取值﹣1，0，1，2時(shí)，對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的值如下表：

x﹣1012

ax+b31﹣1﹣3

若ax+b＝5，則x的值是（）

A．﹣2B．3C．﹣4D．5

【考點(diǎn)】解一元一次方程；代數(shù)式求值．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】A

【分析】在表格任意選取兩組數(shù)據(jù)代入ax+b中，即可確定a、b的值，進(jìn)而求解．

【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，ax+b＝1，

∴b＝1，

當(dāng)x＝1時(shí)，ax+b＝﹣1，

∴a+1＝﹣1，

∴a＝﹣2，

∴﹣2x+1＝5，

﹣2x＝4，

x＝﹣2．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求值以及解一元一次方程，掌握代數(shù)式求值的方法是解題的關(guān)鍵．

4．定義a?b＝2a+b，則方程3?x＝4?2的解為（）

A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝2D．x＝﹣2

【考點(diǎn)】解一元一次方程；有理數(shù)的混合運(yùn)算．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】A

【分析】利用題中的新定義化簡(jiǎn)已知等式，求出解即可得到x的值．

【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：

∵3?x＝2×3+x，

4?2＝2×4+2，

∵3?x＝4?2，

∴2×3+x＝2×4+2，

解得：x＝4．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，弄清題中的新定義是解題的關(guān)鍵．

5．《九章算術(shù)》中記載，浮箭漏出現(xiàn)于漢武帝時(shí)期．如圖，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內(nèi)裝有箭尺，水

勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過(guò)讀取箭尺刻度計(jì)算時(shí)間．已

知在箭尺有一定讀數(shù)的情況下，供水2小時(shí)，箭尺讀數(shù)為18cm；供水6小時(shí)，箭尺讀數(shù)為42cm．若設(shè)

箭尺每小時(shí)上升xcm，則可列方程（）

A．18﹣2x＝42﹣6xB．2x+6x＝42+18

C．D．2x+18＝6x+42

26

【考1點(diǎn)8?】?由=實(shí)4際2問(wèn)?題?抽象出一元一次方程；數(shù)學(xué)常識(shí)．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】A

【分析】根據(jù)供水2小時(shí)，箭尺讀數(shù)為18cm；供水6小時(shí)，箭尺讀數(shù)為42cm．箭尺每小時(shí)上升xcm，

即可列出方程．

【解答】解：根據(jù)題意得18﹣2x＝42﹣6x．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，正確找出等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

6．若方程3x+1＝4和方程2x+a＝0的解相同，則a＝（）

A．1B．2C．﹣1D．﹣2

【考點(diǎn)】同解方程．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】D

【分析】先求出3x+1＝4的解，再代入到2x+a＝0得到關(guān)于a的一元一次方程，即可求解．

【解答】解：解3x+1＝4得x＝1，

將x＝1代入2x+a＝0，

得2+a＝0，

解得a＝﹣2．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程與一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．

7．如圖，量得一個(gè)紙杯的高為11cm，6個(gè)疊放在一起的紙杯高度為13.5cm，則10個(gè)紙杯疊放在一起的高

度是（）

A．15cmB．15.5cmC．16cmD．16.5cm

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】B

【分析】設(shè)每增加一個(gè)紙杯，高度增加xcm，根據(jù)6個(gè)疊放在一起的紙杯高度為13.5cm，列一元一次

方程，求出x的值，進(jìn)一步可得10個(gè)紙杯疊放在一起的高度．

【解答】解：設(shè)每增加一個(gè)紙杯，高度增加xcm，

根據(jù)題意，得11+5x＝13.5，

解得x＝0.5，

∴10個(gè)紙杯疊放在一起的高度為11+9×0.5＝15.5（cm），

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

8．能運(yùn)用等式的性質(zhì)說(shuō)明如圖事實(shí)的是（）

A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不為0）

B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不為0）

C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不為0）

D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不為0）

【考點(diǎn)】等式的性質(zhì)．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】A

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．

【解答】解：觀察圖形，是等式a+c＝b+c的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），利用等式性質(zhì)1，得到

a＝b，

即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不為0）．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式兩邊加或減去同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊

乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．

9．設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且ac＝b，則下列結(jié)論正確的是（）

21

+

A．a(chǎn)＞b＞c33B．c＞b＞a

C．a(chǎn)﹣b＝2（b﹣c）D．a(chǎn)﹣c＝3（a﹣b）

【考點(diǎn)】等式的性質(zhì)．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】D

【分析】利用等式的性質(zhì)，把已知的等式進(jìn)行變形，即可解答．

【解答】解：∵ac＝b，

21

+

∴2a+c＝3b，33

在等式兩邊同時(shí)減去3a，可得：

2a+c﹣3a＝3b﹣3a，

∴c﹣a＝3（b﹣a），

在等式兩邊同時(shí)乘﹣1，可得：

a﹣c＝3（a﹣b），

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10．《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡．問(wèn)：

城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好

取完．問(wèn)：城中有多少戶(hù)人家？（）

A．55B．65C．75D．85

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】C

【分析】設(shè)城中有x戶(hù)人家，根據(jù)“今有100頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒(méi)有取完，剩下的鹿每3家共

取一頭，恰好取完”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)城中有x戶(hù)人家，

依題意，得：xx＝100，

1

解得：x＝75．+3

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

二．填空題（共5小題）

11．用“△”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a△b＝a2b+a﹣b，如：1△3＝12×3+1﹣3＝1，

若2△x＝x+6（其中x為有理數(shù)），則x的值為2．

【考點(diǎn)】解一元一次方程；有理數(shù)的混合運(yùn)算．

【專(zhuān)題】新定義；一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】2．

【分析】先根據(jù)已知條件中的新定義，列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x即可．

【解答】解：∵a△b＝a2b+a﹣b，

∴2△x＝x+6，

22x+2﹣x＝x+6，

4x﹣x﹣x＝6﹣2，

2x＝4，

x＝2，

故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元一次方程和新定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般步驟．

12．《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，“今有人共買(mǎi)羊，人出五，不足四十五；人出七，缺3錢(qián)．問(wèn)有

幾人．”其譯文為：有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，還缺45錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺3錢(qián)．則合伙人數(shù)是21．

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】21．

【分析】先設(shè)合伙的有x人，然后根據(jù)有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，還缺45錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺3

錢(qián)，可以列出方程5x+45＝7x+3，再求解即可．

【解答】解：設(shè)合伙的有x人，

由題意可得：5x+45＝7x+3，

解得x＝21，

故答案為：21．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．

13．在數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，“智取九宮格”活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格的每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)，使每

一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都相等．小明抽取到的題目如圖所示，則a＝6.

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】6．

【分析】設(shè)第二行第一個(gè)數(shù)為x，根據(jù)每一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都相等，可

列出關(guān)于a的一元一次方程（x可以消去），解之即可得出a的值．

【解答】解：設(shè)第二行第一個(gè)數(shù)為x，

根據(jù)題意得：5+x+4＝x+a+3，

即5+4＝a+3，

解得：a＝6．

故答案為：6．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

14．運(yùn)動(dòng)心率（次/分）是指人體在運(yùn)動(dòng)時(shí)保持的心率狀態(tài)，保持最佳運(yùn)動(dòng)心率對(duì)于運(yùn)動(dòng)效果和運(yùn)動(dòng)安全都

很重要，對(duì)于一般人來(lái)說(shuō)，最佳運(yùn)動(dòng)心率控制區(qū)域計(jì)算法如下：（220﹣年齡）×0.8＝最大運(yùn)動(dòng)心率，（220

﹣年齡）×0.6＝最小運(yùn)動(dòng)心率．健身教練給一位正常成年男性制定的運(yùn)動(dòng)方案中，最大運(yùn)動(dòng)心率與最

小運(yùn)動(dòng)心率之差為33次/分，則這位男性的年齡是55歲．

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】55．

【分析】先設(shè)這位男性的年齡是x歲，然后根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出方程（220﹣x）×0.8

﹣（220﹣x）×0.6＝33，再求解即可．

【解答】解：設(shè)這位男性的年齡是x歲，

由題意可得：（220﹣x）×0.8﹣（220﹣x）×0.6＝33，

解得x＝55，

答：這位男性的年齡是55歲，

故答案為：55．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．

15．小亮在實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，沒(méi)有找到天平稱(chēng)取實(shí)驗(yàn)所需藥品的質(zhì)量，于是利用杠桿原理制作天平稱(chēng)取藥

品的質(zhì)量（杠桿原理：動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂）．如圖1，當(dāng)天平左盤(pán)放置質(zhì)量為60克的物品時(shí)，

右盤(pán)中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱(chēng)的藥品放在右盤(pán)后，左盤(pán)放置15克砝碼，才可使天平

再次平衡，則該藥品的質(zhì)量是5克．

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】5．

動(dòng)力阻力臂

【分析】設(shè)該藥品質(zhì)量為x克，根據(jù)“動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂”得“”，根據(jù)題意

阻力動(dòng)力臂

=

列出方程，即可求解．

20?

=

【解答】6解0：設(shè)1該5藥品質(zhì)量為x克，

由題意可得：，

20?

=

解得x＝5．6015

故答案為：5．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．

三．解答題（共5小題）

16．已知關(guān)于x的方程4x+2m＝3x+1的解比方程3x+2m＝6x+1的解大5，求這兩個(gè)方程的解．

【考點(diǎn)】一元一次方程的解．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】首先由方程4x+2m＝3x+1，用m表示x，然后由第二個(gè)方程，再用m表示x，此時(shí)兩個(gè)x的值

相差5，可得方程求出m的值，進(jìn)而即可求得方程的解．

【解答】解：由題意得：4x+2m＝3x+1，

解得：x＝﹣2m+1．

由3x+2m＝6x+1，

解得：x（2m﹣1），

1

∵關(guān)于x=的3方程4x+2m＝3x+1的解比方程3x+2m＝6x+1的解大5，

∴（﹣2m+1）（2m﹣1）＝5，

1

?

解得m，3

11

=?

∴﹣2m+18，

15

=

（2m﹣1）4，

15

=?

∴3這兩個(gè)方程的4解為和．

155

?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一4元一次4方程的解的定義．理解方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的

未知數(shù)的值．

17．如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開(kāi)水兩個(gè)按鈕，溫水和開(kāi)水共用一個(gè)出水口．利用圖中信息解決下列問(wèn)

題：

物理常識(shí)

開(kāi)水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開(kāi)水放出的熱量等于

溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為“開(kāi)水的體積×開(kāi)水降低

的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度“．

（1）王老師拿空水杯先接了14s的溫水，又接了8s的開(kāi)水，剛好接滿(mǎn)，且水杯中的水溫為t℃．

①王老師的水杯容量為400ml；

②用含t的代數(shù)式表示接入水杯的溫水吸收的熱量，并用列方程的方法求t的值（不計(jì)熱損失）；

（2）嘉琪同學(xué)拿空水杯先接了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開(kāi)水，得到一杯210ml，溫度為40°℃的水

（不計(jì)熱損失），求嘉琪同學(xué)的接水時(shí)間．

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】（1）①400；②溫水吸收的熱量為280t﹣8400，t的值為51°C；

（2）嘉琪同學(xué)的接水時(shí)間為11s．

【分析】（1）①由14×20+8×15＝280+120＝400（ml），知王老師的水杯容量為400ml；

②接入水杯的溫水吸收的熱量為：14×20×（t﹣30）＝280t﹣8400；由題意：280t﹣8400＝8×15×（100

﹣t），可解得t的值為51°C；

（2）設(shè)嘉琪接溫水的時(shí)間為xs，接開(kāi)水的時(shí)間為ys，根據(jù)題意得：，

20?+15?=210

解出x，y的值，即可得到嘉琪同學(xué)的接水時(shí)間為11s．20?×(40?30)=15?×(100?40)

【解答】解：（1）①∵14×20+8×15＝280+120＝400（ml），

∴王老師的水杯容量為400ml；

故答案為：400；

②接入水杯的溫水吸收的熱量為：14×20×（t﹣30）＝280t﹣8400；

由題意：280t﹣8400＝8×15×（100﹣t），

解得：t＝51°，

∴溫水吸收的熱量為280t﹣8400，t的值為51°C；

（2）設(shè)嘉琪接溫水的時(shí)間為xs，接開(kāi)水的時(shí)間為ys，

根據(jù)題意得：，

20?+15?=210

解得，20?×(40?30)=15?×(100?40)

?=9

∴x+y＝?11=，2

∴嘉琪同學(xué)的接水時(shí)間為11s．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程，二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和方程組．

18．隨著科技的發(fā)展，人工智能已經(jīng)席卷多個(gè)行業(yè)．某商場(chǎng)銷(xiāo)售甲、乙兩種不同型號(hào)的智能掃地機(jī)器人，

甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比進(jìn)價(jià)高20%，乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比進(jìn)價(jià)高

30%，甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)比乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)高100元，甲型號(hào)智能掃

地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)高70元．分別求甲型號(hào)智能掃地機(jī)

器人和乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)．

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為600元，乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為500元．

【分析】設(shè)乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為x元，則甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為（x+100）

元，根據(jù)甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)比乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)高70元，可

列出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)），再將其代入

（x+100）中，即可求出甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)．

【解答】解：設(shè)乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為x元，則甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為（x+100）

元，

根據(jù)題意可得：（1+20%）（x+100）﹣（1+30%）x＝70，

解得：x＝500，

∴x+100＝500+100＝600．

答：甲型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為600元，乙型號(hào)智能掃地機(jī)器人每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為500元．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

19．我國(guó)古代名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有一題：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹．每人六竿多十四，

每人八竿恰齊足．其大意是：“牧童們?cè)跇?shù)下拿著竹竿高興的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，

多14竿；每人8竿，恰好用完．”請(qǐng)用列方程的方法求出這個(gè)問(wèn)題中的牧童人數(shù)．

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】7人．

【分析】設(shè)這個(gè)問(wèn)題中的牧童人數(shù)為x，根據(jù)“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，結(jié)合竹竿

的數(shù)量不變，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)這個(gè)問(wèn)題中的牧童人數(shù)為x，

根據(jù)題意得：6x+14＝8x，

解得：x＝7．

答：這個(gè)問(wèn)題中的牧童人數(shù)為7．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

20．某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價(jià)400元，領(lǐng)帶每條定價(jià)80元．廠方在開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)期

間，向客戶(hù)提供兩種優(yōu)惠方案：①買(mǎi)一套西裝送一條領(lǐng)帶；②西裝和領(lǐng)帶都按定價(jià)的90%付款．現(xiàn)某

客戶(hù)要到該服裝廠購(gòu)買(mǎi)西裝20套，領(lǐng)帶x條（x＞20）．

（1）若該客戶(hù)按方案①購(gòu)買(mǎi)，需付款（80x+6400）元（用含x的代數(shù)式表示）；若該客戶(hù)按方案

②購(gòu)買(mǎi)，需付款（72x+7200）元（用含x的代數(shù)式表示）．

（2）若x＝30，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買(mǎi)較為合算？

（3）x為何值時(shí)，兩種優(yōu)惠方案所需付款相同？

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；列代數(shù)式；代數(shù)式求值．

【專(zhuān)題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．

【答案】（1）（80x+6400），（72x+7200）；

（2）選方案①；

（3）x＝100．

【分析】（1）設(shè)按方案①付款用y1表示，按方案②付款用y2表示，利用西裝和領(lǐng)帶的總付款數(shù)可用x

表示出y1和y2，

（2）把x＝30代入（1）中的代數(shù)式中計(jì)算對(duì)應(yīng)的y1和y2的值，然后比較它們的大小可判斷按哪種方

案購(gòu)買(mǎi)較為合算．

（3）由兩種優(yōu)惠方案所需付款相同，列出方程可求解．

【解答】解：（1）設(shè)按方案①付款用y1表示，按方案②付款用y2表示，

y1＝400×20+（x﹣20）×80＝80x+6400，

y2＝400×0.9×20+80×0.9×x＝72x+7200；

故答案為：（80x+6400），（72x+7200）；

（2）當(dāng)x＝30時(shí)，

因?yàn)閥1＝80×30+6400＝8800（元），

y2＝72×30+7200＝9360（元），

所以按方案①購(gòu)買(mǎi)較為合算．

（3）由題意可得：80x+6400＝72x+7200，

解得：x＝100，

答：當(dāng)x＝100時(shí)，兩種優(yōu)惠方案所需付款相同．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，找出等量關(guān)系是本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片

1．有理數(shù)的混合運(yùn)算

（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)

算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．

（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化．

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧

1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化

為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．

2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積

為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．

3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．

4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡(jiǎn)便．

2．?dāng)?shù)學(xué)常識(shí)

數(shù)學(xué)常識(shí)

此類(lèi)問(wèn)題要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題來(lái)解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識(shí)要了解．比如給出一個(gè)物體的高度要會(huì)選擇它合

適的單位長(zhǎng)度等等．

平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識(shí)．

3．列代數(shù)式

（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．

（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如

“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列

代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，

先讀的先寫(xiě)，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起

來(lái)．④規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書(shū)寫(xiě)．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫(xiě)，

數(shù)與數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào)；除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書(shū)寫(xiě)單位名稱(chēng)

什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問(wèn)題

1．在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．

2．要注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以