2025年中考數學一輪復習

第9講二元一次方程組

一．選擇題（共10小題）

1．若是方程3x+ay＝5的解，則a的值是（）

?=1

A．?1=?2B．﹣1C．4D．﹣4

2．由方程組可得出x與y之間的關系是（）

?+?=?4

A．x+y＝1??3=?B．x+y＝﹣1C．x+y＝7D．x+y＝﹣7

3．二元一次方程組的解是（）

3?+4?=19

A．??2B?．=3C．D．

?=3?=1?=7?=5

①

4．已?知=關0于x，y的方程組?=4，將此?方=程2組的兩個方程左?右=兩1邊分別對應相加，得到一

?+??=7

個新的方程，當每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為（）

m????=2+?②

A．B．C．D．

?=4?=1?=5?=?5

5．我?國=古?代1算題：“馬四匹，?牛=六?頭4，共價四十八兩?（=我?國4古代貨幣單位）?；=馬4三匹，牛五頭，共價三十

八兩．問馬、牛各價幾何？”設馬價x兩，牛價y兩，可列方程組為（）

A．B．

4?+6?=484?+3?=48

C．3?+5?=38D．6?+5?=38

6?+4?=484?+6?=48

6．在5“?+雙3減?”=政38策下，王老師把班級里43名學生分成5?若+干3?小=組3，8每組只能是4人或5人，則分組方案有

（）

A．4種B．3種C．2種D．1種

7．我國古代數學名著《孫子算經》中有一問題：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各

幾何？”其大意為：現有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人

步行．問人與車各多少？設有x人，y輛車，則所列方程組正確的是（）

A．B．

??

=?+2

3=??23

???9

?9=?

22=?

C．D．

??

=??2

3=?+23

???9

+9=?

22=?

8．我國古典數學文獻《增刪算法統宗?六均輸》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗

里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙說得甲九只，兩家之數相當，二人閑坐惱心腸，畫地算了半

響”其大意為：甲，乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數為乙的2倍；

如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數相同．請問甲，乙各有多少只羊？設甲有羊x只，則下列說法正確的

是（）

A．列方程：x+9＝2（x﹣18+9）

B．列方程組為：

?+9=??18

C．設乙有羊y只，?列+方9=程組2(為??：18+9)

?+9=2(??9)

D．甲有羊27只，乙有羊18只??9=?+9

9．如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“U型”、“十字型”兩個陰影圖形分別覆蓋其中五個數字（“U

型”、“十字型”兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設“U型”覆蓋的五個數字之和為

S1，“十字型”覆蓋的五個數字之和為S2．若S1+S2＝176，則S2﹣S1的最大值為（）

日一二三四五六

123

45678910

11121314151617

18192021222324

2526272829

A．39B．44C．65D．71

10．如下是明代數學家程大位所著的《算法統宗》中的一個問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人

分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩．設共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯

誤的是（）

隔壁聽得客分銀，

不知人數不知銀，

七兩分之多四兩，

九兩分之少半斤．

《算法統宗》注：明代時I斤＝16兩，故有“半

斤八兩”這個成語

A．7y+4＝9y﹣8B．

??4?+8

=

C．D．79

7?=??47?=?+4

二．填9?空=題?（+共85小題）9??8=?

11．若x，y滿足方程組，則x+y＝．

2?+3?=2

12．已知是二元一3次?方+程2?組=3的解，則的立方根為．

?=2??+??=81

3???

13．一千官?兵=一1千布，一官四尺無零??數?，?四?=兵1才得布一尺，請問2官兵多少數？這首詩的意思是：一千名官

兵分一千尺布，一名軍官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，則軍官有名，士兵有名．

14．已知關于x，y的方程組．以下結論：①當k＝0時，方程組的解也是方程x﹣2y＝

?+2?=?

﹣4的解；②存在實數k，使得2?x++y3＝?0=；3③??不1論k取什么實數，x+3y的值始終不變；④若3x+2y＝6，則

k＝1．其中正確的序號是．

15．為了方便大家采購水果，各大超市開通了送貨到家的便民服務．新世紀百貨超市推出了適宜大多數家

庭需求的甲、乙兩種水果禮盒供市民直接選購（兩種禮盒均由A、B、C三種水果混合搭配）．其中，甲種

水果禮盒每盒裝有1千克A，3千克B，1千克C；乙種水果禮盒每盒裝有2千克A，1千克B，2千克C．甲、

乙兩種水果禮盒每盒成本價分別為盒中A，B，C三種水果的成本之和．已知B種水果每千克成本價為4.5

元，甲種水果禮盒每盒售價為39元，利潤率為30%；乙種水果禮盒的利潤率為20%．若這兩種水果禮盒

的總銷售利潤率達到24%，則該超市銷售的甲、乙兩種水果禮盒的數量之比是．

三．解答題（共5小題）

16．解方程組：．

2???=5

17．近年來教育部3?要+求4學?校=積2極開展素質教育，落實“雙減”政策，深圳市某中學把足球和籃球列為該校

的特色項目．學校準備從體育用品商店一次性購買若干個籃球和足球，若購買3個籃球和2個足球共490

元，購買2個籃球和3個足球共460元．

（1）籃球、足球的單價各是多少元？

（2）根據學校實際需要，需一次性購買籃球和足球共100個．購買籃球的數量不少于足球數量的一半，

為使購買的總費用最小，那么應購買籃球、足球各多少個？

18．如圖，某校的飲水機有溫水、開水兩個按鈕，溫水和開水共用一個出水口．溫水的溫度為30℃，流速

為20mL/s；開水的溫度為100℃，流速為15mL/s．整個接水的過程不計熱量損失．

物理常識：

開水和溫水混合時會發生熱傳遞，開水放出的熱量等于

溫水吸收的熱量，可以轉化為：開水的體積×開水降低

的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度．

（1）甲同學用空杯先接了6s溫水，再接4s開水，接完后杯中共有水mL；

（2）乙同學先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯280mL溫度為40℃的水（不計熱損失），

求乙同學分別接溫水和開水的時間．

19．習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣”．某校為提

高學生的閱讀品味，現決定購買獲得第十屆茅盾文學獎的A、B兩種書籍．若購買2本A種書籍和3本B

種書籍需用160元；若購買6本A種書籍與購買7本B種書籍的費用相同．求每本A種書籍和每本B種

書籍的價格各為多少元．

20．王阿姨去買水果，3千克芒果和2千克香蕉應付40元，可她把兩種水果的單價弄反了，以為要付35

元．那么在單價沒有弄反的情況下，購買6千克芒果和5千克香蕉應付多少元？

2025年中考數學一輪復習之二元一次方程組

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．若是方程3x+ay＝5的解，則a的值是（）

?=1

A．1?=?2B．﹣1C．4D．﹣4

【考點】二元一次方程的解．

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力．

【答案】B

【分析】把x與y的值代入方程計算即可求出a的值．

【解答】解：把代入方程得：3﹣2a＝5，

?=1

解得：a＝﹣1，?=?2

故選：B．

【點評】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．

2．由方程組可得出x與y之間的關系是（）

?+?=?4

A．x+y＝1??3=?B．x+y＝﹣1C．x+y＝7D．x+y＝﹣7

【考點】解二元一次方程組．

【專題】計算題；一次方程（組）及應用．

【答案】B

【分析】方程組消去m即可得到y與x的關系式．

①

【解答】解：，

?+?=?4

把代入得：﹣＝﹣，

②①??x+3y=?3②4

則x+y＝﹣1，

故選：B．

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

3．二元一次方程組的解是（）

3?+4?=19

A．??2B?．=3C．D．

?=3?=1?=7?=5

【考點?=】0解二元一次方程組．?=4?=2?=1

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力．

【答案】D

【分析】應用加減消元法，求出方程組的解即可．

①

【解答】解：，

3?+4?=19

×，可得＝，

①+②2??52x?=253②

解得x＝5，

把x＝5代入②，可得：5﹣2y＝3，解得y＝1，

∴原方程組的解是．

?=5

故選：D．?=1

【點評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應用是關鍵．

①

4．已知關于x，y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應相加，得到一

?+??=7

個新的方程，當每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為（）

m????=2+?②

A．B．C．D．

?=4?=1?=5?=?5

【考點?=】?二1元一次方程組的解；?=解?二4元一次方程組．?=?4?=4

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力．

【答案】C

【分析】根據題意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根據題意列出方程組即可求得公共解．

【解答】解：①+②得，

x+my+mx﹣y＝9+m

x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0

x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0

根據題意，這些方程有一個公共解，與m的取值無關，

，

????9=0

解?得+??1=．0

?=5

故選：?C=．?4

【點評】本題考查了二元一次方程組的解法，二元一次方程組的基本解法有代入消元法和加減消元法．

5．我國古代算題：“馬四匹，牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹，牛五頭，共價三十

八兩．問馬、牛各價幾何？”設馬價x兩，牛價y兩，可列方程組為（）

A．B．

4?+6?=484?+3?=48

C．3?+5?=38D．6?+5?=38

6?+4?=484?+6?=48

【考點5?】+由3?實=際3問8題抽象出二元一次方程組．5?+3?=38

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】A

【分析】直接利用“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十

八兩”列出方程組即可．

【解答】解：設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據題意可列方程組為：．

4?+6?=48

故選：A．3?+5?=38

【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，正確得出等式是解題關鍵．

6．在“雙減”政策下，王老師把班級里43名學生分成若干小組，每組只能是4人或5人，則分組方案有

（）

A．4種B．3種C．2種D．1種

【考點】二元一次方程的應用．

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】C

【分析】設可以分成x組4人組，y組5人組，根據各組的人數之和為43人，即可得出關于x，y的二元

一次方程，結合x，y均為自然數，即可得出共有2種分組方案．

【解答】解：設可以分成x組4人組，y組5人組，

依題意得：4x+5y＝43，

∴y．

43?4?

又∵=x，y5均為自然數，

∴或，

?=2?=7

∴共?有=72種分?組=方3案．

故選：C．

【點評】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．

7．我國古代數學名著《孫子算經》中有一問題：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各

幾何？”其大意為：現有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人

步行．問人與車各多少？設有x人，y輛車，則所列方程組正確的是（）

A．B．

??

=?+2

3=??23

???9

?9=?

22=?

C．D．

??

=??2

3=?+23

???9

+9=?

【考點2】由實際問題抽象出二元一次方程組；數學常識2．=?

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】D

【分析】根據“若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行”，即可得出關于x，

y的二元一次方程組，此題得解．

【解答】解：依題意得．

?

3=??2

??9

故選：D．2=?

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次

方程組是解題的關鍵．

8．我國古典數學文獻《增刪算法統宗?六均輸》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗

里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙說得甲九只，兩家之數相當，二人閑坐惱心腸，畫地算了半

響”其大意為：甲，乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數為乙的2倍；

如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數相同．請問甲，乙各有多少只羊？設甲有羊x只，則下列說法正確的

是（）

A．列方程：x+9＝2（x﹣18+9）

B．列方程組為：

?+9=??18

C．設乙有羊y只，?列+方9=程組2(為??：18+9)

?+9=2(??9)

D．甲有羊27只，乙有羊18只??9=?+9

【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組．

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】C

【分析】根據“如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數相同”，

即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．

【解答】解：∵如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數為乙的2倍，

∴x+9＝2（y﹣9）；

∵如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數相同，

∴x﹣9＝y+9．

∴根據題意可列方程組．

?+9=2(??9)

故選：C．??9=?+9

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題

的關鍵．

9．如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“U型”、“十字型”兩個陰影圖形分別覆蓋其中五個數字（“U

型”、“十字型”兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設“U型”覆蓋的五個數字之和為

S1，“十字型”覆蓋的五個數字之和為S2．若S1+S2＝176，則S2﹣S1的最大值為（）

日一二三四五六

123

45678910

11121314151617

18192021222324

2526272829

A．39B．44C．65D．71

【考點】二元一次方程的應用．

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】B

【分析】設“U型”覆蓋的五個數字中最小的數字為a，“十字型”覆蓋的五個數字中最小的數字為b，則

S1＝5a+26，S2＝5b+35，由S1+S2＝176，可列出關于a，b的二元一次方程，化簡后可得出a+b＝23，結合

b的最大值為15，即可得出此時a的值，進而可求出S2﹣S1的最大值．

【解答】解：設“U型”覆蓋的五個數字中最小的數字為a，“十字型”覆蓋的五個數字中最小的數字為b，

則S1＝a+a+7+a+8+a+9+a+2＝5a+26，S2＝b+b+6+b+7+b+8+b+14＝5b+35，

∵S1+S2＝176，

∴5a+26+5b+35＝176，

∴a+b＝23．

∵b的最大值為15，

∴此時a的值為8，

∴S2﹣S1＝5b+35﹣（5a+26）＝5（b﹣a）+9＝5×（15﹣8）+9＝44，

∴S2﹣S1的最大值為44．

故選：B．

【點評】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．

10．如下是明代數學家程大位所著的《算法統宗》中的一個問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人

分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩．設共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯

誤的是（）

隔壁聽得客分銀，

不知人數不知銀，

七兩分之多四兩，

九兩分之少半斤．

《算法統宗》注：明代時I斤＝16兩，故有“半

斤八兩”這個成語

A．7y+4＝9y﹣8B．

??4?+8

=

C．D．79

7?=??47?=?+4

【考點9?】=由?實+際8問題抽象出二元一次方程組；數學常識9?．?8=?

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】D

【分析】根據“如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩”，即可列出關于x（或y）

的一元一次方程，此題得解．

【解答】解：∵如果每人分七兩，則剩余四兩，如果每人分九兩，則還差八兩，

∴7y+4＝9y﹣8或或．

??4?+87?=??4

=

故選：D．799?=?+8

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程以及數學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方

程是解題的關鍵．

二．填空題（共5小題）

11．若x，y滿足方程組，則x+y＝1．

2?+3?=2

【考點】二元一次方程組3的?解+；2?解=二3元一次方程組．

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力．

【答案】見試題解答內容

【分析】將方程組中的兩個方程相加得到5x+5y＝5，進而得到x+y＝1即可．

①

【解答】解：，

2?+3?=2

得，＝，

①+②5x+35?y+52?=3②

即x+y＝1，

故答案為：1．

【點評】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解二元一次方程組解的定義，掌握二元一

次方程組的解法是正確解答的關鍵．

12．已知是二元一次方程組的解，則的立方根為2．

?=2??+??=81

3???

【考點】二?元=一1次方程組的解；立方??根?．??=12

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力．

【答案】見試題解答內容

【分析】把代入二元一次方程組得關于a，b的方程組，解方程組求出a，b，從而求出

?=2??+??=8

所求代數式的?立=方1根即可．?????=1

①

【解答】解：把代入二元一次方程組得：，

?=2??+??=82?+?=8

由得：＝﹣，

②a2b?1=1?????=12???=1②

把a＝2b﹣1代入①得：b＝2，

把b＝2代入a＝2b﹣1得：a＝3，

∴

1

3??2?

1

＝=39﹣×13?2×2

＝8，

∴的立方根為：2，

1

3??2?

故答案為：2．

【點評】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題關鍵是熟練掌握二元一次方程組的解是使方程左右兩

邊相等的未知數的值．

13．一千官兵一千布，一官四尺無零數，四兵才得布一尺，請問官兵多少數？這首詩的意思是：一千名官

兵分一千尺布，一名軍官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，則軍官有200名，士兵有800名．

【考點】二元一次方程組的應用；一元一次方程的應用．

【專題】應用題；一次方程（組）及應用；運算能力；應用意識．

【答案】200，800．

【分析】設軍官有x名，士兵有y名．由題意列出二元一次方程組，解方程組可得出答案．

【解答】解：設軍官有x名，士兵有y名．根據題意得：

，

?+?=1000

1

4?+?=1000

解得4．

?=200

故答案?為=：802000，800．

【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．

14．已知關于x，y的方程組．以下結論：①當k＝0時，方程組的解也是方程x﹣2y＝

?+2?=?

﹣4的解；②存在實數k，使得2?x++y3＝?0=；3③??不1論k取什么實數，x+3y的值始終不變；④若3x+2y＝6，則

k＝1．其中正確的序號是①②③．

【考點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組；二元一次方程的解．

【專題】計算題；運算能力．

【答案】見試題解答內容

【分析】直接利用二元一次方程組的解法表示出方程組的解進而分別分析得出答案．

【解答】解：①當k＝0時，原方程組可整理得：，

?+2?=0

解得：，2?+3?=?1

?=?2

把?=代1入x﹣2y＝﹣4得：x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4．

?=?2

即①?=正1確；

①

②，

?+2?=?

由﹣得：＝﹣，

②2?+①3?=3x?+y?12②k1

若x+y＝0，則2k﹣1＝0，

解得：k，

1

即存在實=數2k，使得x+y＝0，

即②正確；

③解方程組，

?+2?=?

得2，?+3?=3??1

?=3??2

∴x?+3=y＝13?k﹣?2+3（1﹣k）＝1，

∴不論k取什么實數，x+3y的值始終不變，

故③正確；

④解方程組，

?+2?=?

得2，?+3?=3??1

?=3??2

若3?x+=21y＝?6?，

則3（3k﹣2）+2（1﹣k）＝6，

∴k，

10

故④=錯7誤．

所以正確的序號是①②③．

故答案為①②③．

【點評】本題主要考查解二元一次方程組的能力，熟練掌握解二元一次方程組的技能和二元一次方程的解

的定義．

15．為了方便大家采購水果，各大超市開通了送貨到家的便民服務．新世紀百貨超市推出了適宜大多數家

庭需求的甲、乙兩種水果禮盒供市民直接選購（兩種禮盒均由A、B、C三種水果混合搭配）．其中，甲種

水果禮盒每盒裝有1千克A，3千克B，1千克C；乙種水果禮盒每盒裝有2千克A，1千克B，2千克C．甲、

乙兩種水果禮盒每盒成本價分別為盒中A，B，C三種水果的成本之和．已知B種水果每千克成本價為4.5

元，甲種水果禮盒每盒售價為39元，利潤率為30%；乙種水果禮盒的利潤率為20%．若這兩種水果禮盒

的總銷售利潤率達到24%，則該超市銷售的甲、乙兩種水果禮盒的數量之比是5：6．

【考點】二元一次方程的應用．

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】見試題解答內容

【分析】設A種水果每千克成本價為x元，C種水果每千克成本價為y元，根據甲種水果禮盒的售價及利

潤率，可列出關于x，y的二元一次方程，解之可得出x+y的值，將其代入2（x+y）+4.5中，可求出乙種

水果禮盒每盒成本價，設該超市銷售m盒甲種水果禮盒，n盒乙種水果禮盒，根據這兩種水果禮盒的總銷

售利潤率達到24%，可列出關于m，n的二元一次方程，解之即可得出結論．

【解答】解：設A種水果每千克成本價為x元，C種水果每千克成本價為y元，

根據題意得：（1+30%）（x+4.5×3+y）＝39，

解得：x+y＝16.5，

∴乙種水果禮盒每盒成本價是2（x+y）+4.5＝2×16.5+4.5＝37.5．

設該超市銷售m盒甲種水果禮盒，n盒乙種水果禮盒，

根據題意得：（16.5+4.5×3）×30%m+37.5×20%n＝[（16.5+4.5×3）m+37.5n]×24%，

整理得：1.8m＝1.5n，

解得：m：n＝5：6．

故答案為：5：6．

【點評】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．

三．解答題（共5小題）

16．解方程組：．

2???=5

【考點】解二元一3?次+方4程?組=．2

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力．

【答案】見試題解答內容

【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．

①

【解答】解：，

2???=5

×得：＝，

①4+②31?1x+42?2=2②

解得：x＝2，

把x＝2代入①得：4﹣y＝5，

解得：y＝﹣1，

則方程組的解為．

?=2

【點評】此題考查?了=?解1二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

17．近年來教育部要求學校積極開展素質教育，落實“雙減”政策，深圳市某中學把足球和籃球列為該校

的特色項目．學校準備從體育用品商店一次性購買若干個籃球和足球，若購買3個籃球和2個足球共490

元，購買2個籃球和3個足球共460元．

（1）籃球、足球的單價各是多少元？

（2）根據學校實際需要，需一次性購買籃球和足球共100個．購買籃球的數量不少于足球數量的一半，

為使購買的總費用最小，那么應購買籃球、足球各多少個？

【考點】二元一次方程組的應用；一元一次不等式的應用；一次函數的應用．

【專題】一次方程（組）及應用；一元一次不等式（組）及應用；一次函數及其應用；應用意識．

【答案】（1）籃球的單價是110元，足球的單價是80元；

（2）為使購買的總費用最小，那么應購買34個籃球、66個足球．

【分析】（1）設籃球的單價是x元，足球的單價是y元，根據“購買3個籃球和2個足球共490元，購買

2個籃球和3個足球共460元”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設購買m個籃球，則購買（100﹣m）個足球，根據購買籃球的數量不少于足球數量的一半，可列出

關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設購買籃球和足球的總費用為w元，利用總價＝

單價×數量，可找出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．

【解答】解：（1）設籃球的單價是x元，足球的單價是y元，

根據題意得：，

3?+2?=490

解得：2．?+3?=460

?=110

答：籃球?的=單80價是110元，足球的單價是80元；

（2）設購買m個籃球，則購買（100﹣m）個足球，

根據題意得：m（100﹣m），

1

≥

解得：m．2

100

設購買籃≥球和3足球的總費用為w元，則w＝110m+80（100﹣m），

即w＝30m+8000，

∵30＞0，

∴w隨m的增大而增大，

又∵m，且m為正整數，

100

∴當m≥＝334時，w取得最小值，此時100﹣m＝100﹣34＝66．

答：為使購買的總費用最小，那么應購買34個籃球、66個足球．

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：

（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系

式．

18．如圖，某校的飲水機有溫水、開水兩個按鈕，溫水和開水共用一個出水口．溫水的溫度為30℃，流速

為20mL/s；開水的溫度為100℃，流速為15mL/s．整個接水的過程不計熱量損失．

物理常識：

開水和溫水混合時會發生熱傳遞，開水放出的熱量等于

溫水吸收的熱量，可以轉化為：開水的體積×開水降低

的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度．

（1）甲同學用空杯先接了6s溫水，再接4s開水，接完后杯中共有水180mL；

（2）乙同學先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯280mL溫度為40℃的水（不計熱損失），

求乙同學分別接溫水和開水的時間．

【考點】二元一次方程組的應用．

【專題】一次方程（組）及應用；運算能力．

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）杯子中水的體積＝溫水的體積+開水的體積，把相關數值代入整理即可；

（2）設該學生接溫水的時間為xs，接開水的時間為ys，由物理常識的公式列出方程組即可．

【解答】（1）甲同學用空杯先接了6s溫水，再接4s開水，接完后杯中共有水：20mL/s×6s+4s×15mL/s＝

180mL；

（2）解：設該學生接溫水的時間為xs，接開水的時間為ys．

根據題意可得方程組：，

20?+15?=280

解得：，15?×60=20?×10

?=12

8

答：學生?接=溫3水的時間為12s，接開水的時間為s．

8

【點評】本題主要考查了二元一次方程組的應用，3熟練列出方程組是解答本題的關鍵．

19．習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣”．某校為提

高學生的閱讀品味，現決定購買獲得第十屆茅盾文學獎的A、B兩種書籍．若購買2本A種書籍和3本B

種書籍需用160元；若購買6本A種書籍與購買7本B種書籍的費用相同．求每本A種書籍和每本B種

書籍的價格各為多少元．

【考點】二元一次方程組的應用．

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】每本A種書籍的價格為35元，每本B種書籍的價格為30元．

【分析】設每本A種書籍的價格為x元，每本B種書籍的價格為y元，根據“購買2本A種書籍和3本B

種書籍需用160元；購買6本A種書籍與購買7本B種書籍的費用相同”，可列出關于x，y的二元一次方

程組，解之即可得出結論．

【解答】解：設每本A種書籍的價格為x元，每本B種書籍的價格為y元，

根據題意得：，

2?+3?=160

解得：．6?=7?

?=35

答：每本?=A種30書籍的價格為35元，每本B種書籍的價格為30元．

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．

20．王阿姨去買水果，3千克芒果和2千克香蕉應付40元，可她把兩種水果的單價弄反了，以為要付35

元．那么在單價沒有弄反的情況下，購買6千克芒果和5千克香蕉應付多少元？

【考點】二元一次方程組的應用．

【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．

【答案】購買6千克芒果和5千克香蕉應付85元．

【分析】設蘋果單價為x元/千克，香蕉單價為y元/千克，根據3千克芒果和2千克香蕉應付40元和把兩

種水果的單價弄反了，以為要付35元列出方程，求出方程的解即可．

【解答】解：設蘋果單價為x元/千克，香蕉單價為y元/千克．

根據題意，得，

3?+2?=40

解得，2?+3?=35

?=10

則6x?+5=y＝585（元）．

答：購買6千克芒果和5千克香蕉應付85元．

【點評】此題考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出

合適的等量關系，列出方程組，再求解．本題的等量關系是：蘋果的單價×克數+香蕉的單價×克數＝總

錢數．

考點卡片

1．數學常識

數學常識

此類問題要結合實際問題來解決，生活中的一些數學常識要了解．比如給出一個物體的高度要會選擇它合

適的單位長度等等．

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識．

2．立方根

（1）定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，

那么x叫做a的立方根．記作：．

3

（2）正數的立方根是正數，0的立?方根是0，負數的立方根是負數．即任意數都有立方根．

（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數．

注意：符號中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有唯一一

3

個立方根．?

【規律方法】平方根和立方根的性質

1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．

2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是

0．

3．一元一次方程的應用

（一）一元一次方程解應用題的類型有：

（1）探索規律型問題；

（2）數字問題；

利潤

（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤