第十八章平行四邊形作業

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.在回2BCD中，若NB=140。，則乙4+NC的度數為（）

A.40°B.80°C.140°D.280°

2.［2024.武漢黃陂區期中］如圖，在［aZBCD中，AC=8,BD=12,則BC邊的

長不可能是（）

3.［2024.江門期末］如圖為汽車常備的一種千斤頂的原理圖，其基本形狀是一

個菱形，中間通過螺桿連接，轉動手柄可改變ZBCD的大小（菱形的邊長不

變）.當乙BCD=52°時，NBZC的度數為（）

（第3題）

A.26°B.27°C.28°D.29°

4.如圖，在矩形4BCD中，對角線4C與BD相交于點。，E,F分別是2B,4。的

中點，且2C=8,貝UEF的長度為（）

A.2B.4C.6D.8

5.如圖，一根竹竿ZB斜靠在豎直的墻上，P是的中點，4B'表示竹竿沿

墻上下移動過程中的某個位置，在竹竿移動過程中（）

A

B'BO

（第5題）

A.下移時，點。，P之間的距離增大

B.上移時，點。，P之間的距離減小

C.只要移動，點。，P之間的距離就變化

D.無論怎樣移動，點。，P之間的距離不變

6.如圖，四邊形2BCD為平行四邊形，延長2。到點E,使=連接EB,

EC,DB.下列條件中，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）

（第6題）

A.AB=BEB.BE1DC

C.乙ADB=90°D.CE1DE

7.[2024.石家莊新華區一模]小明用四根長度相等的木條制作了能夠活動的菱

形學具，他先活動學具成為圖①所示的菱形，并測得乙4BC=60。，接著活動學

具成為圖②所示的正方形，并測得對角線2C=20魚，則圖①中菱形的對角線

BD的長為（）

（第7題）

A.20B.30C.20V3D.20V2

8.如圖①，將兩張寬度相同的矩形紙條交叉疊放.小明發現重疊部分（四邊形

ABCD）是菱形，并進行了如圖②推理：

小芳認為小明的推理不嚴謹，她認為應在“；4￡=2/，”和“；.四邊形48。。是菱

形.”之間作補充.下列說法正確的是（）

如圖①，過點A分別作BC,CD的垂線,

垂足分別為E,F,^\AE=AF.

-.AB//CD,AD//BC,

四邊形A8C￡）是平行四邊形.

?.?AE=AF,.?.四邊形A8CO是菱形.

（第8題）

A.應補充：S四邊形ABCD=BC,AE=CD?AF,；.BC=CD

B.小明的推理嚴謹，不必補充

C.應補充：連接BD,AC,則BD14C

D.應補充：連接BD,AC,則BD=2C

9.[2024?浙江]如圖，在團ABCD中，AC,BD相交于點。，AC=2,BD=2A/3.

過點2作ZE1BC交BC于點E,記BE長為％,BC長為y.當％,y的值發生變化時,

下列代數式的值不變的是（）

10.如圖，正方形2BCD的對角線AC,BD相交于點。，M是邊2。上一點，連接

OM,過點。作。N1OM,交CD于點N,連接MN.若正方形的邊長為1,下列結

論：

①S：ND=%則ABCD；@MD+ND^1;③AM2+CN2=MN2；?A

MON始終是等腰直角三角形.其中正確的為（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、填空題（每題4分，共24分）

11.[2024-上海]在菱形ABC。中，乙4BC=66。，則ZB2C=.

12.已知菱形ABC。的對角線AC,BD相交于點0,添加條件

____________________________可使菱形2BCQ成為正方形.

13.一個平行四邊形的一條邊長是3,兩條對角線的長分別是4和2迷，則此平

行四邊形的面積為.

14.如圖，矩形的頂點2在久軸上，點B的坐標為（1,2）.固定邊04,向左“推”矩形

0ABC,使點B落在y軸的點B'的位置，則點C的對應點C'的坐標為.

15.如圖，在正方形ZBCQ中，對角線4C與BD相交于點。石為BC上一點，CE=

5,F為DE的中點，若ACEF的周長為18,則。F的長為.

16.如圖，在矩形2BCD中，E,F分別是邊2B,4。上的動點，P是線段EF的中

點，PG1BC,PH1CD,垂足分別為G,H,連接GH.若=8,AD=6,

EF=4,貝UGH的最小值是.

（第16題）

三、解答題（17,18題每題8分，19,20,21題每題12

分，22題14分，共66分）

17.[2024.瀘州]如圖，在EL4BC。中，E,F是對角線BD上的點，且。E=BF.

求證：Z1=Z2.

18.[2024.江西]如圖，2C為菱形2BCD的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求

完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

（1）如圖①，過點B作2C的垂線；

（2）如圖②，點E為線段的中點，過點B作2C的平行線.

19.如圖，已知團/lBC。，ZABC,NBCD的平分線BE,CF分別交于點E,

F,BE,CF交于點G,點月為BC的中點，GH的延長線交GB的平行線CM于點M.

AFE

/~JKG

（1）求證：乙BGC=90°；

（2）連接BM,判斷四邊形GBMC的形狀，并說明理由.

20.榮榮從一副七巧板（如圖①）中取出了其中的六塊，拼成了一個回4BCD

（如圖②），已知原來七巧板拼成正方形的邊長為4.

①

（1）圖②中小正方形②的邊長=

(2)求囿4BCD的對角線2C的長.

21.在矩形2BCD中，AB=4cm,BC=8cm,2C的垂直平分線EF分別交ZD,

BC于點E,F,垂足為。.

(1)如圖①，連接4F,CE,試證明四邊形2FCE為菱形，并求2F的長；

(2)如圖②，動點P,Q分別從4C兩點同時出發，沿△ZFB和ACDE的各邊

勻速運動一周后停止，點P的運動路線為aTF-*BT4點Q的運動路線為

CTDTETC.在運動過程中，已知點P的速度為5cm/s,點Q的速度為

4cm/s,設運動時間為ts,當以4C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形

時，求t的值.

22.如圖①，把一個含45。角的直角三角板ECF和一個正方形4BCD擺放在一

起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E,F分別在正方形的邊

CB,CD上，連接4F,取2F的中點M和EF的中點N,連接MD,MN.

①②

(1)連接ZE,求證：AE=AF；

(2)在(1)的條件下，請判斷線段MD與MN之間的數量關系，并證明；

(3)如圖②，將這個含45°角的直角三角板ECF的直角頂點和正方形的頂點C

重合，點E,F分別在正方形的邊BC,DC的延長線上，其他條件不變，當AB=

4,S“CE=機寸，求MN的長.

【參考答案】

一、選擇題(每題3分，共30分)

1.B

2.D

3.A

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.C

［解析］點撥：過點D作。FIBC,交BC的延長線于點尸，則NF=90。.

???AE1BC,^AEB=90°=ZF.

v四邊形ABC。是平行四邊形，AB=DC,ABHCD,

???Z-ABE=Z-DCF,??.△ABE=ADCF,

???AE=DF,BE=CF=x,

由勾股定理得2/2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE}2=4-(y-x)2,

DF2=BD2-BF2=BD2-(BC+CF)2=BD2一(BC+BE)2=12-

(y+x)2,

4—(y—x)2—12—(y+%)2,

(y+%)2—(y—x)2-8,

?-,x2+2xy+y2—y2+2xy—x2—8,即孫=2,

.??當》,y的值發生變化時，代數式的值不變的是盯.

10.D

［解析］點撥：???四邊形4BCD是正方形，且正方形的邊長為1,

"DC=90°,AD=CD=1,AMDO=乙NCO=45°,乙COD=90°,OC=

1

°D,S&COD=%S四邊形ABCD-

???ON1OM,乙MOD+乙DON=90°.

???乙COD=乙CON+乙DON=90°,

乙MOD=乙NOC,MOD=△NOC,

S^MOO=SANOLMD=NC,MO=NO9

i

I,$四邊形MOND=S^MOD+S^DON=S^NOC+^^DON=LCOD=四邊形ABCD，A

MON是等腰直角三角形，MD+ND=CN+DN=CD=1,故①②④正確；

vMD=NC,AD=CD,/.AM=DN,

22222

???/.ADC=90°,?,?AM+CN=DN+MD=MN9故③正確.

二、填空題（每題4分，共24分）

11.57°

12.AC=BD（答案不唯一）

13.4V5

14.（-1,73）

15.-

2

［解析］點撥：：四邊形2BCD是正方形，BC=CD,乙DCE=90。QD=0B.

???F為DE的中點,CF=FE=FD.

???△CEF的周長為18,.-.EC+EF+CF=18.

又???EC=5,AEF+FC=13,

EF+DF=13,即DE=13.

DC=y/DE2-EC2=12,.-.BC=CD=12,

BE=BC-EC=7.

17

,:OD=OB,DF=FE,：.OF=：BE=

16.8

［解析］點撥：如圖，連接ac,CP,AP,

???四邊形ABC。是矩形,

BC=AD=6,Z-BAD=NB=乙BCD=90°,

AC=y/AB2+BC2=V82+62=10.

???P是EF的中點，.?.”=*=2.

???PG1BC,PH1CD,乙PGC=乙PHC=90°,

四邊形PGC”是矩形，GH=CP,

當4P,C三點共線時，CP的長最小，為ZC—ZP=10—2=8,G”的最小

值是8.

三、解答題(17,18題每題8分，19,20,21題每題12

分，22題14分，共66分)

17.證明：???四邊形2BCD是平行四邊形，

AD=CB,AD//CB,:.^ADE=乙CBF,

又?:DE=BF,ADE=△CBF(SAS),

Z1=Z2.

18.(1)解：如圖①，BD即為所求.

①

(2)如圖②，BM即為所求.(畫法不唯一)

19.(1)證明：???四邊形ZBCD是平行四邊形，

^ABC+乙BCD=180°.

BE,CF分別平分乙4BC,乙BCD,

???2ABE=乙CBE=上乙ABC,乙BCF=乙DCF=上乙DCB,

22

1

乙GBC+乙GCB=久ZABC+乙DCB)=90°,

Z.BGC=90°.

(2)解：四邊形GBMC是矩形，理由如下：

???點”為BC的中點，ABGC=90。，

BH=CH=GH,乙HBG=乙HGB.

???GB//CM,乙BGH=乙CMH,乙HBG=乙HCM,

Z.HCM=乙HMC,：.MH=BH=CH=GH,

四邊形GBMC為矩形.

20.(1)V2；3V2

(2)解：延長CB,過點Z作ZEJ.CB于點E,如圖,

根據七巧板的特點可知ZB=為等腰直角三角形，

Z.ABF=45°ZABE=90°-45°=45°.

???"EB=90°,ABE為等腰直角三角形，

由勾股定理可得ZE=BE=2V2,

CE=BE+BC=2V2+3V2=5V2,

AC=7AE2+*=V58.

21.(1)解：???四邊形ABC。是矩形，

AD//BC,^B=90°.

Z.OAE=乙OCF,^AEO=乙CFO.

???EF垂直平分AC,垂足為。，即EF1=OC,

AOE=△COF(AAS)..'.OE=OF.

四邊形2FCE為平行四邊形.

又?:EF1AC,：.四邊形2FCE為菱形AF=CF.

設4F—CF—%cm,則BF=(8—x)cm.

在Rt2\4BF中，AB-4cm,由勾股定理得42+(8—%)?=/,解得％=5.

AF=5cm.

(2)顯然當點P在2F上，點Q在CD上時，以2,C,P,Q四點為頂點不可能構成平

行四邊形；同理，當點P在ZB上，點Q在。E或CE上時，也不可能構成平行四邊