高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊課時過程性評價專題突破練四含答案專題突破練四(時間:45分鐘分值:50分)1.(5分)下列命題正確的是()A.如果一條直線不在平面內,則這條直線就與這個平面平行B.過直線外一點,可以作無數個平面與這條直線平行C.如果一條直線與平面平行,則它與平面內的任何直線平行D.如果一條直線平行于平面內的無數條直線,則該直線與平面平行【解析】選B.不在平面內的直線還可以與平面相交,故A錯誤;一條直線與平面平行,那么這條直線與平面內的直線平行或異面,故C錯誤;直線也可能在平面內,故D錯誤.2.(5分)在三棱錐A-BCD中,點E,F分別在AB,CB上.若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,則直線AC與平面DEF的位置關系為()A.平行 B.相交C.AC?平面DEF D.不能確定【解析】選A.因為AE∶EB=CF∶FB=2∶5,所以EF∥AC.又因為AC?平面DEF,EF?平面DEF,所以AC∥平面DEF.3.(5分)已知正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G,H分別是棱AD,BB',B'C',DD'的中點,從E,F,G,H中任取兩點確定的直線中,與平面AB'D'平行的有()A.0條 B.2條 C.4條 D.6條【解析】選D.連接EG,EH,FG,EF,GH(圖略),因為EH∥FG,且EH=FG,所以E,F,G,H四點共面.由EG∥AB',EH∥AD',EG∩EH=E,AB'∩AD'=A,可得平面EFGH與平面AB'D'平行,所以平面EFGH內的每條直線都符合條件.4.(5分)如圖所示,向透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內灌進一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面四個命題:①沒有水的部分始終呈棱柱形;②水面EFGH所在四邊形的面積為定值;③棱A1D1始終與水面所在平面平行;④當容器傾斜如圖所示時,BE·BF是定值.其中正確命題的個數是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.由題圖知,顯然①是正確的,②是錯誤的;對于③,因為A1D1∥BC,BC∥FG,所以A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH,FG?平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH(水面).所以③是正確的;對于④,因為水是定量的(定體積V),所以S△BEF·BC=V,即12BE·BF·BC=所以BE·BF=2VBC(定值),即④5.(5分)(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列四組平面中彼此平行的有()A.平面A1BC1與平面AD1CB.平面BDC1與平面B1D1AC.平面BDA1與平面B1D1CD.平面ACD1與平面A1C1D【解析】選ABC.對于A選項,A1B∥D1C,A1B?平面AD1C,D1C?平面AD1C,則A1B∥平面AD1C,同理可證,A1C1∥平面AD1C,因為A1B∩A1C1=A1,A1B?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,所以平面A1BC1∥平面AD1C,故A正確;對于B選項,AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,則AD1∥平面BDC1,同理可證,AB1∥平面BDC1,因為AD1∩AB1=A,AD1?平面B1D1A,AB1?平面B1D1A,所以平面BDC1∥平面B1D1A,故B正確;對于C選項,BD∥B1D1,BD?平面B1D1C,B1D1?平面B1D1C,則BD∥平面B1D1C,同理可證,A1B∥平面B1D1C,因為A1B∩BD=B,A1B?平面BDA1,BD?平面BDA1,所以平面BDA1∥平面B1D1C,故C正確;對于D選項,設A1D∩AD1=E,則E∈平面ACD1且E∈平面A1C1D,設D1C∩C1D=F,則F∈平面ACD1且F∈平面A1C1D,所以平面ACD1∩平面A1C1D=EF,所以兩個平面相交,故D錯誤.6.(5分)如圖所示,點S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分別是SC和AB的中點,則EF=__________.

【解析】取BC的中點D,連接ED與FD(圖略),因為E,F分別是SC和AB的中點,D點為BC的中點,所以ED∥SB,FD∥AC,而SB⊥AC,SB=AC=2,則△EDF為等腰直角三角形,則ED=FD=1,即EF=2.答案:27.(5分)如圖,平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點A,B,C和點D,E,F.已知AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,則AC的長為________cm.

【解析】因為平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點A,B,C和點D,E,F,過D作直線平行于a交β于M,交γ于N.連接AD,BM,CN,ME,NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以ABBC=DMMN=因為AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,所以2BC=43,解得BC=所以AC=AB+BC=2+32=72答案:78.(5分)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,E是SA上一點,當點E滿足條件:________時,SC∥平面EBD.

【解析】連接AC交BD于點O,連接OE,因為SC∥平面EBD,SC?平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE,所以SC∥OE.又因為底面ABCD為平行四邊形,點O為對角線AC與BD的交點,故點O為AC的中點,所以E為SA的中點,故當E滿足條件:SE=AE時,SC∥平面EBD.答案:SE=AE(答案表述不唯一)9.(10分)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點M是線段B1D1上的一個動點,E,F分別是BC,CM的中點.(1)求證:EF∥平面BDD1B1;(2)設G為棱CD上的中點,求證:平面GEF∥平面BDD1B1.【證明】(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,連接BM,如圖,因為E,F分別是BC,CM的中點,則有EF∥BM,又因為EF?平面BDD1B1,BM?平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.(2)取CD的中點G,連接EG,FG,如圖,由E是BC的中點,于是得EG∥BD,而EG?平面BDD1B1,BD?平面BDD1B1,從而得EG∥平面BDD1B1,由(1)知EF∥平面BDD1B1,EF∩EG=E,且EF,EG?平面GEF,所以平面GEF∥平面BDD1B1.。專題突破練三(時間:45分鐘分值:55分)1.(5分)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球,則該球的體積為()A.4π3 B.2π3 C.3π【解析】選A.由題意知,此球是正方體的內切球,根據其幾何特征知,此球的直徑與正方體的棱長是相等的,故可得球的直徑為2,故半徑為1,其體積是43×π×13=4π2.(5分)長方體的長、寬、高分別為2a,a,2a,它的頂點都在球面上,則這個球的體積是()A.27πa38 C.9πa32 【解析】選C.設這個球的半徑為R,根據條件可知,外接球直徑2R=a2+(2a)2+(2a)2=3a3.(5分)若圓錐的內切球與外接球的球心重合,且內切球的半徑為1,則圓錐的體積為()A.π B.2π C.3π D.4π【解析】選C.過圓錐的旋轉軸作軸截面,得△ABC及其內切圓☉O1和外接圓☉O2,且兩圓同圓心,即△ABC的內心與外心重合,易得△ABC為正三角形,由題意得☉O1的半徑為r=1,所以△ABC的邊長為23,所以圓錐的底面半徑為3,高為3,所以V=13×π×(3)2×3=3π4.(5分)在Rt△ABC中,CA=CB=2,以AB所在直線為旋轉軸旋轉一周得到一個幾何體,則該幾何體的內切球的體積為()A.2π3 BC.2π D.2π【解析】選A.如圖所示,旋轉體的軸截面為邊長為2的正方形,設O為內切球的球心.內切球半徑r=12AC=22,所以該幾何體的內切球的體積為43×π×(22)5.(5分)(多選)已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點M,N,若線段MN的最小值為3-1,則下列說法中正確的是()A.正方體的外接球的表面積為12πB.正方體的內切球的體積為4πC.正方體的棱長為2D.線段MN的最大值為23【解析】選ABC.設正方體的棱長為a,則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半,即32a;內切球的半徑為棱長的一半,即a因為M,N分別為外接球和內切球上的動點,所以MNmin=32a-a2=3-1解得a=2,即正方體的棱長為2,所以正方體外接球的表面積為4π×(3)2=12π,內切球的體積為4π3線段MN的最大值為3+1,則D錯誤.6.(5分)在三棱錐A-BCD中,若AD⊥平面BCD,AB⊥BC,AD=BD=2,CD=4,點A,B,C,D在同一個球面上,則該球的表面積為__________.

【解析】根據題意得,BC⊥平面ABD,則BC⊥BD,即AD,BC,BD三條線兩兩垂直,所以可將三棱錐A-BCD放置于長方體內,如圖所示,該三棱錐的外接球即為長方體的外接球,球心為長方體體對角線的中點,即外接球的半徑為長方體體對角線長的一半,此時AC為長方體的體對角線,即為外接球的直徑,所以該球的表面積S=4πR2=π·AC2=π·(22+42)=20π.答案:20π7.(5分)如圖,在圓柱O1O2內有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,表面積為S1,球O的體積為V2,表面積為S2,則V1V2=__________,S【解析】設圓柱內切球的半徑為R,則由題設可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,所以V1V2=πR2·2R4答案:328.(10分)半球內放三個半徑為3的小球,三小球兩兩相切,并且與球面及半球底面的大圓面也相切,求該半球的半徑.【解析】三個小球的球心O1,O2,O3構成邊長為23的正三角形,則其外接圓半徑為2.設半球的球心為O,小球O1與半球底面切于點A.如圖,經過點O,O1,A作半球的截面,則半圓☉O的半徑為OC,OC⊥OA,作O1B⊥OC于點B.則OA=O1B=2.設該半球的半徑是R,在Rt△OAO1中,由(R-3)2=22+(3)2可得R=3+7.9.(10分)四面體的四個頂點都在半徑為R1的球O1上,該四面體各棱長都相等,如圖①.正方體的八個頂點都在半徑為R2的球O2上,如圖②.八面體的六個頂點都在半徑為R3的球O3上,該八面體各棱長都相等,四邊形ABCD是正方形,如圖③.設四面體、正方體、八面體的表面積分別為S4,S6,S8.若