《棱柱和圓柱》作業設計方案一、教材分析1、教材版本：北師大版（2019）高中數學必修第二冊。2、章節內容：第六章立體幾何初步，§6簡單幾何體的再認識，6.2柱、錐、臺的體積，一、棱柱和圓柱。3、知識要點棱柱和圓柱的體積公式：V_{柱體}=Sh（其中S為柱體的底面積，h為柱體的高）。特別地，對于圓柱V_{圓柱}=\pir^{2}h（r是圓柱的底面半徑，h是圓柱的高）。理解柱體體積公式的推導過程，能運用公式計算棱柱和圓柱的體積。在計算體積的過程中，培養數學運算和直觀想象的核心素養。二、學情分析1、學生已經學習了立體幾何的一些基礎知識，如空間幾何體的結構特征等，對棱柱和圓柱有了一定的認識。2、在數學運算方面，學生已經具備了一定的代數運算能力，但在將幾何圖形與代數計算相結合時可能會遇到困難，例如在準確求出柱體的底面積和高時可能會出錯。3、從直觀想象能力來看，部分學生可能難以將立體圖形在腦海中進行切割、拼接等操作，從而影響對柱體體積公式的理解和運用。三、作業目標1、知識與技能目標學生能夠熟練掌握棱柱和圓柱的體積公式，并能準確計算不同棱柱和圓柱的體積。學生能根據已知條件，靈活運用公式解決與棱柱和圓柱體積相關的實際問題，如在組合體中求出棱柱或圓柱部分的體積等。2、過程與方法目標通過對棱柱和圓柱體積公式的推導過程的回顧與練習，提高學生的邏輯推理能力。在解決實際問題的過程中，培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力，提高學生的數學建模能力。3、情感態度與價值觀目標讓學生體驗到數學在解決實際問題中的廣泛應用，提高學生學習數學的興趣。通過小組合作完成部分作業任務，培養學生的團隊合作精神。四、作業內容與要求（一）基礎鞏固型作業1、作業內容已知一個棱柱的底面是邊長為5厘米的正六邊形，高為10厘米，求該棱柱的體積。一個圓柱的底面半徑為3厘米，高為8厘米，求圓柱的體積。（要求：在計算過程中，詳細寫出底面積的計算過程以及體積公式的應用過程）有一個長方體，它的長、寬、高分別為4厘米、3厘米、5厘米，從這個長方體中截取一個底面是邊長為3厘米的正方形，高為5厘米的棱柱，求剩余部分的體積。2、要求學生獨立完成，書寫工整，解題步驟完整。對于棱柱體積的計算，要先求出底面正六邊形的面積（可利用正六邊形面積公式S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}，其中a為正六邊形的邊長）。圓柱體積的計算要準確應用公式V=\pir^{2}h。在計算剩余部分體積時，先求出長方體體積和截取的棱柱體積，再用長方體體積減去棱柱體積。（二）能力提升型作業1、作業內容一個底面為菱形的直棱柱，菱形的對角線長分別為6厘米和8厘米，棱柱的高為12厘米，求該直棱柱的體積。把一個底面半徑為2厘米，高為10厘米的圓柱，沿著底面直徑縱向切開，求其中一半的體積。（提示：先求出圓柱的體積，再求出一半的體積）有一個組合體，它是由一個底面半徑為3厘米，高為5厘米的圓柱和一個底面是邊長為4厘米的正方形，高為3厘米的棱柱組合而成（圓柱在棱柱的上面），求這個組合體的體積。2、要求學生可以獨立思考完成，如果遇到困難可以查閱教材或筆記。在計算底面為菱形的直棱柱體積時，要先根據菱形對角線求出底面積（菱形面積等于對角線乘積的一半）。對于圓柱沿底面直徑切開求一半體積的問題，要理解切開后形狀的變化對體積的影響。計算組合體體積時，要分別求出圓柱和棱柱的體積，然后相加。（三）拓展探究型作業1、作業內容一個圓柱形容器的底面半徑為10厘米，里面盛有一定高度的水?，F在將一個底面半徑為5厘米，高為15厘米的圓柱形鐵棒垂直插入水中，水面上升了多少厘米？（假設容器足夠高，水不會溢出，可通過設未知數，根據水的體積不變來列方程求解）有一個正三棱柱，它的底面邊長為6厘米，高為8厘米?，F在要把這個正三棱柱削成一個最大的圓柱，求這個圓柱的體積。（提示：要考慮圓柱底面圓在正三棱柱底面三角形中的最大內切圓情況，以及圓柱的高與正三棱柱高的關系）設計一個由棱柱和圓柱組成的簡單組合體，自己設定尺寸，然后計算這個組合體的體積，并畫出這個組合體的草圖（草圖不要求非常精確，但要能表示出組合體的大致形狀和各部分的關系）。2、要求學生可以分組討論完成，每組3~5人。在解決圓柱插入水中水面上升問題時，要建立正確的等量關系，通過設未知數列出方程求解。對于正三棱柱削成最大圓柱的問題，要深入理解幾何圖形之間的關系，準確求出圓柱的底面半徑和高。在設計組合體時，要合理設定尺寸，計算體積時要準確運用公式，草圖要清晰表示出組合體的結構。（四）思維創新型作業1、作業內容已知一個棱柱的體積為120立方厘米，它的底面是一個不規則四邊形，通過測量得到四條邊的長度分別為3厘米、4厘米、5厘米、6厘米，并且兩條對角線互相垂直。假設一條對角線長為x厘米，試用含x的表達式表示出棱柱的高，并求出x的取值范圍。（提示：先根據四邊形對角線垂直求出四邊形面積，再結合棱柱體積公式求解）有一個圓柱，它的側面展開圖是一個邊長為10厘米的正方形，現在要在這個圓柱內挖去一個最大的直棱柱（棱柱的底面形狀可以自己設定），求挖去后的剩余體積。（要求：對設定的棱柱底面形狀進行合理的解釋，并準確計算剩余體積）假設你是一名設計師，要設計一個能容納1000升液體的棱柱或圓柱形容器，你會如何設計？（從容器的形狀、尺寸等方面進行考慮，要求給出詳細的設計方案和計算過程，同時要考慮實際制作中的可行性，如材料的節省、工藝的難易等）2、要求學生獨立思考，充分發揮自己的想象力和創造力。在解決棱柱體積與不規則四邊形底面積關系問題時，要正確運用對角線垂直的四邊形面積公式。對于在圓柱內挖去最大直棱柱的問題，要詳細說明棱柱底面形狀設定的依據和計算過程。在設計容器時，要將體積單位進行換算（1升=1立方分米=1000立方厘米），并且從多個方面考慮設計的合理性。五、作業時間安排1、基礎鞏固型作業：預計30分鐘。這部分作業主要是對棱柱和圓柱體積公式的基本應用，學生經過課堂學習后應該能夠較快地完成。2、能力提升型作業：預計40分鐘。這些題目需要學生對公式有更深入的理解，并且在計算過程中可能會涉及到一些圖形的分析和轉化，需要花費一定的時間。3、拓展探究型作業：預計60分鐘。由于這部分作業有一定的難度，需要學生進行探究、討論，如在圓柱插入水中問題中建立方程以及在正三棱柱中確定最大圓柱的情況等，所以需要較長的時間。4、思維創新型作業：預計80分鐘。這類作業對學生的思維能力要求較高，需要學生獨立思考、創新，如設計容器時要考慮多方面因素，所以需要較多的時間。六、作業答案（一）基礎鞏固型作業答案1、正六邊形面積S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times5^{2}=\frac{75\sqrt{3}}{2}平方厘米，棱柱體積V=Sh=\frac{75\sqrt{3}}{2}\times10=375\sqrt{3}立方厘米。2、圓柱底面積S=\pi\times3^{2}=9\pi平方厘米，體積V=Sh=9\pi\times8=72\pi立方厘米。3、長方體體積V_1=4\times3\times5=60立方厘米，截取的棱柱體積V_2=3\times3\times5=45立方厘米，剩余部分體積V=V_1V_2=6045=15立方厘米。（二）能力提升型作業答案1、菱形面積S=\frac{1}{2}\times6\times8=24平方厘米，直棱柱體積V=Sh=24\times12=288立方厘米。2、圓柱體積V=\pi\times2^{2}\times10=40\pi立方厘米，一半的體積為20\pi立方厘米。3、圓柱體積V_1=\pi\times3^{2}\times5=45\pi立方厘米，棱柱體積V_2=4\times4\times3=48立方厘米，組合體體積V=V_1+V_2=45\pi+48立方厘米。（三）拓展探究型作業答案1、設水面上升了h厘米。根據水的體積不變，\pi\times10^{2}\timesh=\pi\times5^{2}\times15，解得h=\frac{15}{4}厘米。2、正三棱柱底面三角形內切圓半徑r=\frac{\sqrt{3}}{6}\times6=\sqrt{3}厘米，圓柱體積V=\pi\times(\sqrt{3})^{2}\times8=24\pi立方厘米。3、例如設計一個底面半徑為5厘米，高為10厘米的圓柱和一個底面是邊長為4厘米，高為6厘米的棱柱組合而成的組合體。圓柱體積V_1=\pi\times5^{2}\times10=250\pi立方厘米，棱柱體積V_2=4\times4\times6=96立方厘米，組合體體積V=V_1+V_2=250\pi+96立方厘米。草圖（略）。（四）思維創新型作業答案1、設四邊形對角線互相垂直，根據對角線垂直的四邊形面積公式S=\frac{1}{2}x\sqrt{(3^{2}+4^{2})(5^{2}+6^{2})x^{2}}（根據四邊形的四條邊長度和對角線垂直關系得出），由棱柱體積公式120=S\timesh，可得h=\frac{240}{x\sqrt{(3^{2}+4^{2})(5^{2}+6^{2})x^{2}}}。對于x的取值范圍，根據四邊形的存在性，x要滿足三角形三邊關系等條件，可通過分析四邊形的四條邊組成的三角形來確定（具體分析過程略）。2、因為圓柱側面展開圖是正方形，所以圓柱底面周長和高都為10厘米，底面半徑r=\frac{5}{\pi}厘米，圓柱體積V=\pi\times(\frac{5}{\pi})^{2}\times10=\frac{250}{\pi}立方厘米。若設定直棱柱為底面是正方形的直棱柱，要使其最大，則底面正方形的對角線長等于圓柱底面直徑，即2r=\frac{10}{\pi}厘米，設正方形邊長為a，則a=\frac{5\sqrt{2}}{\pi}厘米，棱柱體積V_1=a^{2}\times10=\frac{500}{\pi^{2}}立方厘米，剩余體積VV_1=\frac{250}{\pi}\frac{500}{\pi^{2}}立方厘米。3、方案一：設計為圓柱形容器。因為1000升=1000000立方厘米，設圓柱底面半徑為r厘米，高為h厘米，根據圓柱體積公式V=\pir^{2}h=1000000。為了節省材料，可以使底面半徑r=100厘米，h=\frac{1000000}{\pi\times100^{2}}=\frac{1000}{\pi}\approx318.31厘米。這樣圓柱的表面積S=2\pir^{2}+2\pirh=2\pi\times100^{2}+2\pi\times100\times\frac{1000}{\pi}=20000\pi+200000\approx62831.85+20000