小升初經典奧數——質數與合數問題9種類型講練測本章講義在立足課本的基礎上，對重難點進行引申和拓展，有機滲透各種數學思想和創新思維方法，通過剖析競賽真題，將課本知識內聯和外延、遷移和重組，使課本與競賽一體化，使奧數不再遙不可及！三大板塊：經典范例——通過解題思路及技巧的點撥，領會解題原理，建立思維模型。鞏固提升——在“經典范例”的基礎上強化解題能力，鞏固知識點。綜合測試——提升綜合能力，累積考試經驗。朱熹曰：有疑者，須教有疑；有疑者，卻要無疑，到這里方是長進。我期盼，通過本章講義，讓更多的孩子思維得到發展，素養得到提升！??質數：一個數除了1和它本身之外，沒有其他因數，這個數叫做質數，也稱為素數。合數：一個數除了1和它本身之外，還有其他因數，這個數叫做合數。質因數：如果某個質數是某個數的因數，那么這個質數叫做這個數的質因數。分解質因數：將一個合數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法進行分解。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。分解質因數的標準表示形式：N=a?×a?×a?×…×a?，其中a?、a?、a?、…a?都是合數N的質因數，且a?＜a?＜a?＜…＜a?。特殊的質數：2是質數中唯一的偶質數，其余質數為奇質數。【質數、合數的判定】判斷數103和437是質數還是合數？【思路點撥】判斷一個不大的數是質數還是合數,可用以下方法:找到一個k(k為整數),使得:被判斷的數a＜k2(k盡可能小)。然后用以內的質數去除a,有能整除的,是合數,反之,a是質數。【詳解】（1）103＜112,用2,3,5,7去除103,都不能整除,所以,103是質數；（2）437＜212,用2,3,5,7,11,13,17,19分別去除437,發現437÷19=23,所以437是合數。1.判斷數4444445111111是質數還是合數？2.判定250+1和2501是質數還是合數。【奇偶性應用】兩個質數的和是39,求這兩個質數的積。【思路點撥】根據它們的和是39為奇數，則兩個質數中一定有一個是偶數，質數中偶數只有2，另一個質數為39－2=37；2×37=74；故這兩個質數的積是74．故答案為：74【點睛】在自然數中，除了1和它本身外，沒有別的因數的數為質數；根據它們的和是39為奇數，則兩個質數中一定有一個是偶數，質數中偶數只有2，然后確定另一個質數，進行求積即可。1.有兩個質數，它們的和與差也都是質數，求這兩個質數。2.兩個質數的和是1979,這兩個質數的積是。【和的最值問題】將1～9九個自然數分成三組,每組三個數。第一組三個數之積是48,第二組三個數之積是45,第三組三個數之和最大是多少?【思路點撥】先把48分成三個因數相乘的形式，再根據剩余數字寫出第三組即可解答。【詳解】48=6×2×4=8×2×345=1×9×5所以另外一組數是3、7、8或4、6、7，所以第三組三個數之和最大是3+7+8=18；故答案為：18。【點睛】各種求最大值或最小值的問題，解題時宜首先考慮起主要作用的量，如較高數位上的數值，有時局部調整和枚舉各種可能情形也是必要的，解決最值問題還要用到均值不等式，即(1)如果兩個整數的和一定時，那么這兩個整數的差越小，他們的乘積越大(2)兩個自然數的乘積一定時，兩個自然數的差越小，這兩個自然數的和也越小。(3)把一個數拆分成若干個自然數之和，如果要使這若干個自然數的乘積最大，那么這些自然數應全是2或3，且2最多不超過兩個。1.將四個不同的合數分成兩組，要求每組的兩個合數之和都相等，而且每組的兩個合數互質。這四個合數之和最小可以是多少?2.兩個自然數的積是48，這兩個自然數是什么值時，它們的和最小?【積的最值問題】三個質數之和為32,求這三個質數積的最大值【思路點撥】（和定差小積大原理）因為32是偶數，所以這三個質數中必有一個是2，30分成兩個質數的和可以是：7和23，11和19，13和17；接下來分別計算2×7×23、2×11×19、2×13×17的積，再判斷即可。【詳解】因為32是偶數，所以這三個質數中必有一個是2，30分成兩個質數的和可以是：7和23，11和19，13和17。（其中13和17的差最小，所13×17的積最大）2×7×23=3222×11×19=4182×13×17=442所以積最大值是442。【點睛】各種求最大值或最小值的問題，解題時宜首先考慮起主要作用的量，如較高數位上的數值，有時局部調整和枚舉各種可能情形也是必要的，解決最值問題還要用到均值不等式，即(1)如果兩個整數的和一定時，那么這兩個整數的差越小，他們的乘積越大(2)兩個自然數的乘積一定時，兩個自然數的差越小，這兩個自然數的和也越小。(3)把一個數拆分成若干個自然數之和，如果要使這若干個自然數的乘積最大，那么這些自然數應全是2或3，且2最多不超過兩個。1.把33拆成若干個不同質數之和,如果要使這些質數的積最大,這幾個質數分別是多少?2.把17分成幾個自然數的和，“怎樣分才能使它們的乘積最大?【列舉法求質數】A、B、C為三個小于20的質數,A+B+C=30,且A＜B＜C,求這三個質數。【思路點撥】根據質數的意義，一個自然數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數。小于20的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19，據此即可找出符合條件的三個質數．【詳解】解：列舉出小于20的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19，其中2+11+17=30，2＜11＜17，所以這三個質數是2、11、和17．答：這三個質數是2、11、17。1.A，B，C為三個質數，A+B=16，B+C=24,且A＜B＜C,求這三個質數。2.一個兩位質數，交換個位和十位上的數字后所得的兩位數是另一個質數，寫出所有這樣的兩位數。【邏輯推理法】有7張卡片,上面分別寫著1～7七個數字。明明、芳芳和亮亮每人拿了2張。明明說:“我的兩張數字之和是7。芳芳說:“我的兩張數字之差是1。3亮亮說:“我的兩張數字之積是12。那么,剩下的一張上面寫的數字是幾?【思路點撥】邏輯推理：明明說：“我的兩張數字之和是7．”芳芳說：“我的兩張數字之差是1．”亮亮說：“我的兩張數字之積是12．”因為1到7的7個數字中兩個數字之和是7的有1+6=7，2+5=7，3+4=7；而相差是1的有21=1，32=1，43=1，54=1，65=1，76=1；乘積是12的有2×6=12，3×4=12上述條件都滿足時只能選：3×4=12，2+5=7，76=1據此解答即可．【詳解】解：根據明明說：“我的兩張數字之和是7．”芳芳說：“我的兩張數字之差是1．”亮亮說：“我的兩張數字之積是12．”可知：明明2+5=7，芳芳76=1，亮亮3×4=12，剩下就是1．故答案為：1．【點睛】此題考查了邏輯推理，此題應結合題意進行分析，并進行驗證，從而得出答案。有九張卡片，上面分別寫著1～9九個數字。甲、乙丙、丁四人每人拿了兩張。甲說:“我的兩張數字之和是9。乙說:“我的兩張數字之差是6。”丙說:“我的兩張數字之積是12。”工說:“我的兩張數字之商是3。”那么,剩下的一張上面寫的數字是幾?【數列分組法】把40，44，45，63，65，78,99，105這八個數平分成兩組,使每組四個數的乘積相等。【思路點撥】分解公因式，把大數字化成質因數，問題就容易看出了【詳解】40可以拆分為2×2×2×5，44可拆分為2×2×11，45可拆分為3×3×5，63可拆分為3×3×7，65可拆分為5×13，78可拆分為2×3×13，99可拆分為3×3×11，105可拆分為3×5×7，這樣就明確了，把兩個7兩個11兩個13分開，6個2一邊三個、4個5分開第一組：2×2×2×5、3×3×11、5×13、3×3×7；第二組：2×2×11、2×3×13、3×3×5、3×5×7；即第一組為40、99、65、63；第二組為44、78、45、105．1.把39,45,49,56,60,70,78,84,91九個數分成三組，使每組中三個數的乘積都相等。2.有12、18、33、36、56、77六個數,把它們平均分成兩組,如果要使每組三個數的乘積相等,這兩組數分別是和。【分解質因數法】三個自然數的乘積為84,其中兩個數的和等于另一個數。求這三個數。【思路點撥】84=2×2×3×7=4×3×7因為4+3=7，所以這三個數是4，3，7答:這三個數是4，3，71.兩個連續奇數的乘積是111555,這兩個奇數之和是多少?2.46305乘以一個自然數a,乘積是一個整數的平方。求最小的a和這個整數。3.甲數比乙數大5,乙數比丙數也大5,三個數的乘積是6384,求這三個數。【積尾數0的個數】在1×2×3×4×…×199×200這個乘積中尾部共有個連續的“0”。【思路點撥】因為2和5相乘，就會在積的末尾得到一個0。要看這個算式的末尾有多少個連續的0,只要看一下各因數中含有的質因數2和5分別有多少個。在1～200的連續自然數中，質因數2的個數比5的個數多,積的末尾0的個數取決于質因數5的個數。【詳解】在1～200中,5的倍數中共有200÷5=40(個)。但值得注意的是25、50、75、100、150、175、200中含有2個5,125中含有3個5,這些都必須加以考慮。而在1～200中,25的倍數共有200÷52=8(個),125的倍數共有200÷53≈1(個)。在1～200的連續自然數中,質因數5的個數共有:200÷5+200÷52+200÷53≈4+8+1=49(個)所以1×2×3×…×199×200這個乘積中尾部共有49個連續的“0”【特別提醒】一個算式中質因數2的個數與5的個數相比,其中個數較少的質因數的個數就等于這個算式末尾連續0的個數。1.1×2×3×…×25所得積的末尾有個連續的數字“0”。A.6B.8個C10個D.12個2.在1×2×3×…×1999×2000的乘積中尾部有多少個連續的“0”?滿分：100分時間：60分鐘1.兩個大于10的合數的和是31,求這兩個數。2.已知a,b,c都是質數,若a×b+b×c=119,則a+b+c=。3.下圖所示，有一個長方體，正面和上面的兩個面的面積和為209平方厘米，且長、寬、高都是質數，求它的體積。4.寫出10個連續的自然數,它們個個都是合數。5.可以分解為三個質數之積的最小的三位數是幾?6.用2,3,5,7四個數進行四則運算,每個數只能用一次,能夠得到的最大質數是幾?7.“任何不小于4的偶數都可以表示為兩個質數之和”,這就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5,但是8只有這一種表示形式,而22卻有3+19和5+17兩種表示成兩個不同質數之和的形式。那么，能有兩種表示成不同質數之和形式的最小自然數是幾?8.除以9余2,并且與4和6的差都是質數的兩位自然數有哪幾個?9.將八個不同的合數填入下式的口中，如果要求相加的兩個合數互質,那么A最小是幾?A=□+□=□+□=□+□=囗+囗。10.求不能用三個不相等的合數之和來表示的最大奇數。11.有一類多位數，各個數位上的數字都不相同，且相鄰兩個數位上的數字之和都是質數。這類多位數中最大的是幾?12.有1,2,3,4,5,6,7,8,9九張牌,甲、乙、丙各拿了三張。甲說:“我的三張牌的積是48。”乙說:“我的三張牌的和是15。”丙說:“我的三張牌的積是63。問:他們各拿了哪三張牌?13.甲、乙、丙三人打靶，每人打三槍,三人各自中靶的環數之積都是60，按個人中靶的總環數由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4環的那一槍是誰打的?(環數是不超過10的自然數)14.1×2×3×…×10=6n×M,其中n，M都是自然數，求n的最大值。15.有兩個整數，它們的和恰好是兩個數字相同的兩位數,它們的乘積恰好是三個數字相同的三位數。求這兩個整數。16.李老師帶領同學們去種樹，學生們按人數恰好等分成三組。已知他們共種了312棵樹，老師與學生每人種的樹一樣多，并且不超過10棵。問:一共有多少個學生?每人種了幾棵樹?【鞏固提升】參考答案1.判斷數4444445111111是質數還是合數？【思路點撥】如果能找到除了1和本身外，還有其它的因數，就證明這個數是合數，反之就是質數。【詳解】4444445111111=4444444000000+1111111=4×+111111=1111111×（4000000+1)=1111111×4000001所以4444445111111是合數。2.判定250+1和2501是質數還是合數。【詳解】(1)先觀察規律:2n212223242526272829…個位數字248624862…2n的個位數字是不斷重復出現的,每乘4個2重復一次。50÷4=12……2,所以250的個位數字為4,250+1的個位數字為5,可得5(250+1)是5的倍數,所以250+1是合數。(2)觀察:2n212223242526…2n÷3的余數212121…250÷3的余數是1,(2501)就能被3整除,所以2501也是合數。1.有兩個質數，它們的和與差也都是質數，求這兩個質數。【思路點撥】兩個質數，首先考慮他們的奇偶性不同，一奇一偶，它們的和與它們的差也都是質數，這兩個數分別是2和5，2+5=7，52=3，7和3也都是質數，得到兩個數分別是：2和5【詳解】小于100的質數列舉：2，3，5，7，11，13，……，97。兩個奇質數相減為偶數，不是質數，所以兩質數中必有偶質數2。驗證2與其他質數：2+5=7（質數）,52=3（質數）答：這兩個質數是2和5。2.兩個質數的和是1979,這兩個質數的積是。【思路點撥】因為兩個質數的和是奇數，其中必有一個是偶數，而偶數中只有2是質數，這兩個質數是2和1977；由此解答．【詳解】解：這兩個質數是2和1977；

2×1977=3954；

故答案為：3954．【點睛】此題主要考查質數的意義，根據偶數+奇數=奇數，明確在質數中只有2是偶數。1.將四個不同的合數分成兩組，要求每組的兩個合數之和都相等，而且每組的兩個合數互質。這四個合數之和最小可以是多少?【思路點撥】每組的兩個合數互質，所以兩個合數一個為偶數一個為奇數；又要求四個合數之和最小，所以數盡量小；每組的兩個合數之和都相等，所以這四個合數為4、15和9、10，再求和即可。【詳解】解：要求四個合數之和最小，所以數盡量小；每組的兩個合數互質，所以兩個合數一個為偶數一個為奇數；再根據每組的兩個合數之和都相等，可得這四個合數為4、15和9、10，4+15+9+10=38，故答案為：38．【點睛】本題主要考查了最大與最小問題，還用到合數與互質的知識。2.兩個自然數的積是48，這兩個自然數是什么值時，它們的和最小?【思路點撥】兩個自然數的乘積一定時，兩個自然數的差越小，這兩個自然數的和也越小。【詳解】解:448的因數從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。所以，兩個自然數的乘積是48，共有以下5種情況:48=1×48，1+48=49，48=2×24，2+24=2648=3×16，3+16=19;48=4×12，4+12=16;48=6×8，6+8=14。兩個因數之和最小的是6+8=14。1.把33拆成若干個不同質數之和,如果要使這些質數的積最大,這幾個質數分別是多少?【思路點撥】我們首先將小于33的質數，由小到大排列出來，然后確定能拆成不同質數個數的范圍，再依照被拆出的質數從小到大依次調整得出盡量多的個數，即可得出答案。【詳解】小于33的質數由小到大排列：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31（共11個）。由于2+3+5+7+11＜33，而2+3+5+7+11+13＞37，因此最多拆成5個不同質數之和。但由于33是奇數，拆除的5個不同質數中不能有偶質數2，否則其余4個奇質數之和為偶數，這5個質數和為偶數，不可能等于奇數33，而3+5+7+11+13=39＞33．因此最多拆成4個不同質數之和，為此，要使這些質數的積最大，必須拆出的質數盡量大。因為，2+3+5+7+11=28，比33差：3328=5；又因為在2+3+5+7+11中3+5=8，正好與相差的5組成8+5=13，所以33分解為：2，7，11，13時所得質數乘積最大．答：這幾個質數分別是2、7、11、13。2.把17分成幾個自然數的和，“怎樣分才能使它們的乘積最大?【思路點撥】假設分成的自然數中有1，a是分成的另一個自然數，因為1×a＜1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個自然數要比分成1和a兩個自然數好，所以分成的自然數中不應該有1。如果分成的自然數中有大于4的數，那么將這個數分成兩個最接近的整數，這兩個數的乘積大于原來的自然數。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是說，只要有大于4的數，這個數就可以再分，所以分成的自然數中不應該有大于4的數。如果分成的自然數中有4，因為4=2+2=2X2，所以可以將4分成兩個2。由上面的分析得到，分成的自然數中只有2和3兩種因為2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數中最多有兩個2，其余都是3。【詳解】將17分為五個3與一個2時乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。【點睛】把一個數拆分成若干個自然數之和如果要使這若干個自然數的乘積最大，那么這些自然數應全是2或3，且2最多不超過兩個。1.A，B，C為三個質數，A+B=16，B+C=24,且A＜B＜C,求這三個質數。【思路點撥】3+13=16，或5+11=16，A=3，B=13，C=2413=11，不合題意；A=5，B=11，C=2411=13，符合題意；所以，A=5、B=11、C=13．2.一個兩位質數，交換個位和十位上的數字后所得的兩位數是另一個質數，寫出所有這樣的兩位數。【思路點撥】自然數中，除了1和它本身外，沒有別的因數的數為質數．由此可知，兩位數中符合條件的數除了11外，還有很多，然后列舉出即可．【詳解】這樣的數有11、13、31、17、71、37、73、79、97．【點睛】根據質數的意義進行分析解答是完成本題的關鍵，完成本題要注意將這個兩個數的數字倒換之后，分解下質因數看是否是質數．有九張卡片，上面分別寫著1～9九個數字。甲、乙丙、丁四人每人拿了兩張。甲說:“我的兩張數字之和是9。乙說:“我的兩張數字之差是6。”丙說:“我的兩張數字之積是12。”工說:“我的兩張數字之商是3。”那么,剩下的一張上面寫的數字是幾?【思路點撥】9張數字按題所說組合有：甲：1+8、2+7，3+6，4+5；乙：7﹣1、8﹣2、9﹣3、；丙：2×6，3×4；丁：3÷1、6÷2、9÷3；我們從最少數字的丙看起假設用當丙為2、6時，那么把其他里數字能用2和6的去除，甲剩下1+8、4+5；乙剩下7﹣1、9﹣3；丁剩下3÷1、9÷3；再假設丁為3、1，則乙就沒有符合的兩個數了，所以丁只能是9、3，那么乙就是7、1，甲就是4和5了，即可得出剩下的一張上面寫的數字是8。【解答】9張數字按題所說組合有：甲：1+8、2+7，3+6，4+5；乙：7﹣1、8﹣2、9﹣3、；丙：2×6，3×4；丁：3÷1、6÷2、9÷3；我們從最少數字的丙看起假設用當丙為2、6時，那么把其他里數字能用2和6的去除，甲剩下1+8、4+5；乙剩下7﹣1、9﹣3；丁剩下3÷1、9÷3；再假設丁為3、1，則乙就沒有符合的兩個數了，所以丁只能是9、3，那么乙就是7、1，甲就是4和5了，即可得出剩下的一張上面寫的數字是8．故答案為：8。1.把39,45,49,56,60,70,78,84,91九個數分成三組，使每組中三個數的乘積都相等。【思路點撥】首先把每個數分解394549566070788491(3×13)、(3×3×5)、(7×7)、(2×2×2×7)、(2×2×3×5)、(2×5×7)、(2×3×13)、(2×2×3×7)、(7×13)。可以看到一共有9個2、6個3、3個5、6個7、3個13,接下來好辦了,剛好能均分成三組,使得每組都有3個2、2個3、1個5、2個7、1個13就可以了.如下：第一組：(2×2×2×7)、(7×13)、(3×3×5)第二組：(2×2×3×5)、(2×3×13)、(7×7)第三組：(2×2×3×7)、(2×5×7)、(3×13)以上每組的所有因子都完全相同,所以乘積也相同,也就是：第一組：569145第二組：607849第三組：8470392.有12、18、33、36、56、77六個數,把它們平均分成兩組,如果要使每組三個數的乘積相等,這兩組數分別是和。【思路點撥】要使這兩組數的乘積相等這兩組數必須含有完全相同的質因數，而且質因數的個數也必須對應相等。因此,我們先把這六個數分解質因數:A組：12=2×2×3，18=2×3×3，33=3×11；B組：36=2×2×3×3，56=2×2×2×7，77=7×11可以看出這六個數的因數中共含有8個2,6個3,2個7,2個11,平均分成兩組,每組中含有4個2,3個3,1個7,1個11,在分組時可按如下步驟進行思考:①把77(77里含有1個7和1個11)放在A組;②B組里放入33和56(33里含有1個11,56里含有1個7);③B組里放入18(這時B組含有4個2,3個3,1個7,1個11);④把剩下的12和36放入A組【詳解】這兩組數分別是:(12,36,77)和(18,33,56)【特別提醒】要先將所有的數分解質因數，再統計出各質因數的個數，若分成兩組，則每組中各質因數的個數各占一半。1.兩個連續奇數的乘積是111555,這兩個奇數之和是多少?【思路點撥】設最小的奇數是n，另一個奇數是n+2n(n+2)=111555n2+2n=111555(n+1)2=111556(n+1)2=3342所以，n=333333+2+333=668答:這兩個奇數之和是6682.46305乘以一個自然數a,乘積是一個整數的平方。求最小的a和這個整數。【思路點撥】46305=33×5×73，根據已知“46305乘以一個自然數a，乘積是一個整數的平方”。先把46305分解質因數，平方數的每個質因數都是偶數個，那么a必須包含質因數3、5、7，所以a最小為3×5×7，求出a后再乘46305就得到了所求這個整數的平方。【詳解】因為46305=33×5×73的質因數分解中各質因數的指數都是奇數,所以a必含質因數3、5、7，因此，a最小為3×5×7=105.46305×a=33×5×73×3×5×7=(9×5×49)2=(2205)答:最小的a是105，這個整數是2205.【點評】一個平方數有奇數個因數，它的每個質因數都是偶數個。反之，如果把一個自然數分解質因數后，各個質因數的指數都是偶數，那么這個自然數一定是完全平方數。將16分解成若干個質數(可以相同)相加的形式，如果這些質數的乘積正好是平方數,那么這個平方數可能是幾?3.甲數比乙數大5,乙數比丙數也大5,三個數的乘積是6384,求這三個數。【思路點撥】對6384分解質因數，6384=2×2×2×2×3×7×19。因為甲數比乙數大5，乙數比丙數大5，所以嘗試對質因數進行組合，使其得到三個相差5的數。2×2×2×2=16，3×7=21，這里16、19、21不滿足條件；而2×7=14，14+5=19，2×2×2×3=24，此時14、19、24滿足乙數19比丙數14大5，甲數24比乙數19大5。【詳解】6384=2×2×2×2×3×7×192×7=1414+5=192×2×2×3=24答：這三個數分別是14、19、24。1.1×2×3×…×25所得積的末尾有個連續的數字“0”。A.6B.8個C10個D.12個【思路點撥】只有10的倍數相乘末尾才會產生0，10=2×5。【詳解】1到25中，5的倍數有：5、10、15、20、25，共5個，25=5×5，所以25提供了兩個5，因此因數5的個數為：5+1=6（個）所以，1×2×3×……×25所得積的末尾有6個0。答：選A。2.在1×2×3×…×1999×2000的乘積中尾部有多少個連續的“0”?【思路點撥】這個問題全看質因數5的個數．25是5的平方，含有兩個質因數5，這里多出1個5來．125是5的立方，又多出一個5，625是5的四次方，又多出一個5，據此找出所有這些數的倍數的個數，再相加即可解答。【解答】解：是5的倍數的有2000÷5=400個是25的倍數的有2000÷25=80個

是125的倍數的有2000÷125=16個．

是625的倍數的有2000÷625=3個

一共有：400+80+16+3=499個．

答：乘積中尾部有499個連續的零。【經典測試】參考答案1.兩個大于10的合數的和是31,求這兩個數。【思路點撥】大于10且小于31的合數：12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,兩數和為31的組合嘗試：12+19=31，但19不是合數，14+17=31，但17不是合數，15+16=31，且15和16都是合數，答：這兩個大于10的合數是15和16。2.已知a,b,c都是質數,若a×b+b×c=119,則a+b+c=。【解析】提取公因數b（a+c）=119，119=17×7=1×119，因為a，b，c都是質數，當b=7時，a+c=17不滿足條件，當b=17時，a和c分別是2和5即可滿足條件，a+b+c=17+7=24．故答案為：243.下圖所示，有一個長方體，正面和上面的兩個面的面積和為209平方厘米，且長、寬、高都是質數，求它的體積。【思路點撥】本題主要考查正方體表面積和質數的相關知識點。【詳解】長方體正面面積為ah，上面面積為bh，ah+bh=(a+b)h=209;209=11×19，所以分兩類情況討論：情況一：當a+b=11,h=19,因為a、b、h都為質數，根據和的奇偶性，可以得出a、b一定有一個2和9，而9不是質數，此情況不符合題意；情況二：當a+b=19,h=11,同理可得a、b中的數有2和17，符合題意。得出長方體體積為2×17×11=374（立方厘米）4.寫出10個連續的自然數,它們個個都是合數。【思路點撥】根據合數的意義，一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數．以此解答。【詳解】10個連續自然數，個個都是合數．如：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123；（答案不唯一）．5.可以分解為三個質數之積的最小的三位數是幾?【解析】102=2×3×17首先最小的三位數是100，但是100=2×2×5×5，不符合要求。接著看101，101是質數，不符合要求。再看102，102=2×3×17，符合要求。所以可以分解為三個質數之積的最小三位數是102。故答案為：可以分解為三個質數之積的最小的三位數是102。6.用2,3,5,7四個數進行四則運算,每個數只能用一次,能夠得到的最大質數是幾?【思路點撥】要能夠得到的最大質數，那么就盡量用乘法，但不能全用乘法，否則積就是合數，所以把2這個偶質數作為加數，其它3、5、7看作因數，即3×5×7+2=107，107是質數符合要求．【詳解】根據分析可得，3×5×7+2=107，107是質數符合要求．答：能夠得到的最大質數是107．7.“任何不小于4的偶數都可以表示為兩個質數之和”,這就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5,但是8只有這一種表示形式,而22卻有3+19和5+17兩種表示成兩個不同質數之和的形式。那么，能有兩種表示成不同質數之和形式的最小自然數是幾?【思路點撥】根據題意可得16=3+13=5+11答:能有兩種表示成不同質數之和形式的最小自然數是168.除以9余2,并且與4和6的差都是質數的兩位自然數有哪幾個?【解析】4和6的差都是質數的兩位自然數，即兩個相差2的質數。這樣的質數有11,1317,1941,4371,73其中11+6=17不合要求17+6=23，23除以9余5,不符合要求41+6=4745除以9余2符合要求71+6=7775除以9余5不符合要求所以這個數是479.將八個不同的合數填入下式的口中，如果要求相加的兩個合數互質,那么A最小是幾?A=□+□=□+□=□+□=囗+囗。【思路點撥】此題主要考查合數的意義，一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。【詳解】A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，所以A最小是29故答案為：29；4，25；8，21；9，20；14，15。10.求不能用三個不相等的合數之和來表示的最大奇數。【思路點撥】在正整數中，三個最小的合數是4，6，8，它們的和是4+6+8=18，于是17是不能用三個不同的合數的和表示的奇數。在正整數中，三個最小的合數是4，6，8，先計算它們的和，然后將其與最接近的奇數比較，最后再來證明此結論的正確性。【詳解】下面證明大于等于19的奇數n都能用三個不同的合數的和來表示。由于當k≥3時，4，9，2k是三個不同的合數，并且4+9+2k≥19，所以只要適當選擇k，就可以使大于等于19的奇數n都能用4，9，2k的和來表示。綜上所述，不能表示為3個不相等的合數的和的最大奇數是17。故答案為：17【點睛】本題主要考查了質數與合數的概念，在解答此題時，用到了反證法．11.有一類多位數，各個數位上的數字都不相同，且相鄰兩個數位上的數字之和都是質數。這類多位數中最大的是幾?【思路點撥】想得到最大的數,首先最高位上必須確