8．3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積學案學習目標1．了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的計算公式．2.理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積．情境導入前面我們從直觀的角度初步認識了幾種簡單幾何體，并且研究了構成這些幾何體的基本元素之間的位置關系．下面我們將從度量的角度來學習如何計算這幾種簡單幾何體的表面積和體積，同時進一步加深對這幾種簡單幾何體的認識．

新知探究知識點一棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積問題引導1.我們知道，空間幾何體的表面積是圍成多面體的各個面的面積之和，長方體、四棱錐、四棱臺的側面展開圖各是什么樣子的？提示：長方體、四棱錐、四棱臺的側面展開圖如圖所示．知識點總結棱柱、棱錐、棱臺的表面積(1)多面體的表面積就是圍成多面各個面的面積的和．(2)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和．

典例探究例1(1)已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則該三棱錐的表面積是()A．4eq\r(3) B．6eq\r(3)C．8eq\r(3) D．12eq\r(3)(2)一個正四棱臺，其上、下底面均為正方形，邊長分別為8cm和18cm，側棱長為13cm，則這個正四棱臺的側面積為________cm2，表面積為________cm2.變式訓練1．(1)已知正四棱柱的底面積為4，高為3，則它的側面積為________．(2)已知正三棱臺(由正三棱錐截得的三棱臺)的上、下底面邊長分別為3cm和6cm，高為eq\f(3,2)cm，求此正三棱臺的表面積．

知識點二棱柱、棱錐、棱臺的體積問題引導2.一個長方體底面矩形的邊長分別為a，b，側棱長為c，則底面矩形的面積為S＝ab，它的體積為V＝abc＝Sc，由此猜想底面積為S，高為h的棱柱的體積是多少？知識點總結幾何體體積說明棱柱V棱柱＝ShS為棱柱的底面積，h為棱柱的高棱錐V棱錐＝eq\f(1,3)ShS為棱錐的底面積，h為棱錐的高棱臺V棱臺＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高(1)棱錐的高是頂點到底面的距離，棱臺的高是上、下底面的距離，要注意區分側面的高．(2)在求三棱錐的體積時，每一個頂點都可以作為三棱錐的頂點，要注意轉換頂點．(3)棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關系．典例探究例2(鏈接教材P119習題T2)(1)棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則該棱臺的體積是()A．18＋6eq\r(2) B．6＋2eq\r(2)C．24 D．18

(2)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐，求剩余部分的體積．[延伸探究]1．(變條件)本例(1)條件變為“正三棱臺的上、下底面邊長分別為20cm，30cm.且側面積等于上、下底面積之和”，問題不變．2．(變條件)若本例(2)中的正方體改為長方體，則對應截面將該幾何體分成兩部分的體積之比是否會發生變化？試證明你的結論．

變式訓練2．如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F為CC1上一點，則三棱錐A1-D1EF的體積為________．思維提升與多面體有關的組合體的表面積與體積例3(1)為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環境，某學校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與正六棱柱的高的比值為1∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側面積之比為()A．eq\f(\r(7),8) B.eq\f(\r(43),24)C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,27)(2)(鏈接教材P115例2)司馬遷在《史記·高祖本紀》中借劉邦之口贊美張良：“夫運籌策帷帳之中，決勝于千里之外．”帷帳又名帷幄，是古代行軍打仗必備的帳篷．如圖是一種帷帳的簡易直觀圖，帳頂采用“五脊四坡式”，正脊平行于底面，四條斜脊長度均相等，帷帳主體部分可以看作一個長方體．若該帷帳主體部分長10，寬6，高4，帳頂部分正脊長4，斜脊長eq\r(34)，則它的體積為________．變式訓練3．一個造橋用的鋼筋混凝土預制件的尺寸(單位：m)如圖所示，澆制一個這樣的預制件需要多少混凝土？(鋼筋體積略去不計，精確到0.01m3)

課堂小結1．知識網絡2．方法歸納(1)求臺體的體積轉化為求錐體的體積，根據臺體的定義進行“補形”，還原為錐體，采用“大錐體”減去“小錐體”的方法求臺體的體積．(2)求三棱錐的體積可以通過轉換底面的方法求解，即“等積法”．3．易錯提醒求解空間幾何體的表面積時，有時將空間問題平面化，導致平面圖形與立體圖形的切換不清楚．

課堂練習1．已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長是2，體積是eq\f(4\r(3),3)，那么這個四棱錐的側棱長為()A．eq\r(3) B．2C.eq\r(5) D．2eq\r(2)2．已知一直棱柱底面為正方形，它的底面邊長為2，體對角線長為4，則這個棱柱的表面積是()A．8 B．16eq\r(2)C．8＋12eq\r(2) D．8＋16eq\r(2)3．作為我國古代稱量糧食的量器，米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化韻味．如圖是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱臺，測量得其內高為12cm，兩個底面內棱長分別為18cm和9cm，則估計該米斗的容積為____