房山區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（二）高三數(shù)學(xué)本試卷共6頁，滿分150分，考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)補集定義計算即可.【詳解】因為，集合，則.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i【答案】D【解析】【分析】兩邊同乘-i，化簡即可得出答案．【詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i，選D.【點睛】的共軛復(fù)數(shù)為3.已知，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過舉反例即可判斷ABD，對于C根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A：令，，所以，故A錯誤；對于B：令，故B錯誤；對于C：因為，所以，所以，故C正確；對于D：當(dāng)時，顯然不成立，令，故D錯誤故選：C.4.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出二項展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，由可得，故展開式中的系數(shù)為.故選：B5.下列函數(shù)的圖象中，不是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的圖像求解，選項A：利用的對稱性和函數(shù)的圖像變換得到，選項B：利用對號函數(shù)的對稱性求解即可，選項C：利用絕對值函數(shù)的圖像求解即可，選項D：利用三次函數(shù)的對稱性求解即可.【詳解】選項A：是由函數(shù)向左平移個單位得到，因為是中心對稱圖形，所以也是中心對稱圖形，選項B：故對號函數(shù)關(guān)于原點中心對稱，選項C：易知是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不是中心對稱圖形，選項D：三次函數(shù)關(guān)于中心對稱，因為.故選：C.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，則到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，點在圓上，求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可得出到直線的距離的最大值.【詳解】設(shè)點Px,y，則，所以，點在圓上，該圓的圓心為原點，半徑為，原點到直線的距離為，因此，到直線的距離的最大值為.故選：D.7.已知非零平面向量，則“”是“存在非零實數(shù)，使”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】“”說明共線同向，能推得“存在非零實數(shù)，使”的，所以充分性具備，但反過來，“存在非零實數(shù)，使”可能共線同向，也可能共線反向，所以必要性不具備.故選A8.已知正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面與底面所成角是，則三棱錐的體積等于（）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正三棱錐定義和側(cè)面與底面所成二面角的定義求出三棱錐的高，代入體積公式即可.【詳解】如下圖所示：由正三棱錐的定義，底面為正三角形，且邊長為，作正三棱錐的高，垂足為的中心，連接并延長，交于點；由正三棱錐的幾何的性質(zhì)可知：，，就是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，，可得是等腰直角三角形，.根據(jù)正三角形的性質(zhì)，，即正三棱錐的高為.三棱錐的體積為：.故選：B9.已知實數(shù)，滿足，，給出下列三個結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.① B.② C.①③ D.②③【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及反函數(shù)的概念確定的關(guān)系，即可得到；結(jié)合函數(shù)圖象分析的范圍即可得到；利用把不等式等價轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可證明不等式成立.【詳解】如圖，設(shè)函數(shù)與的圖象交于點，函數(shù)與的圖象交于點，則點的橫坐標(biāo)為，即，點的橫坐標(biāo)為，即.∵函數(shù)與互為反函數(shù)，與互為反函數(shù)，∴點與點關(guān)于直線對稱，∴，②正確.∵，，∴，∴，①錯誤.由得，∴等價于，令，則，不等式等價于，設(shè)，則，∴在上為增函數(shù)，∴，即，∴，③正確.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，利用反函數(shù)的概念得到的等量關(guān)系，逐個判斷即可確定選項.10.已知由正整數(shù)組成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶數(shù)的個數(shù).若.則的最小值為（）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】先排除有5個偶數(shù)不可能，再找一個有7個偶數(shù)的實例后可得正確的選項.【詳解】45個正奇數(shù)的和不小于，因為中有50個不同的正整數(shù)，故中不可能有不超過5個不同的偶數(shù).取，則中共有元素個數(shù)為，這個數(shù)的和為，故的最小值為7.故選：B.【點睛】思路點睛：對于組合最值問題，我們一般先找到一個范圍，再驗證臨界值存在即可.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零、分母不為零可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，解得且，因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.12.在中，，，，則_____；若為邊上一點，且，則_____.【答案】①.②.【解析】【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可.【詳解】在中，由余弦定理得又B∈0,π則在中，由正弦定理得：所以故答案為：，.13.已知雙曲線（）的漸近線方程為，則，的一組值依次為_____.【答案】1；（答案不唯一，滿足即可）【解析】【分析】根據(jù)漸近線可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線（）的漸近線方程為，則，即，例如.故答案為：1；（答案不唯一，滿足即可）.14.《九章算術(shù)》是我國古代的優(yōu)秀數(shù)學(xué)著作，內(nèi)容涉及方程、幾何、數(shù)列、面積、體積的計算等多方面.《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”由以上條件，該女子第5天織布_____尺；若要織布50尺，該女子所需的天數(shù)至少為_____.【答案】①.##②.【解析】【分析】由題意可得該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列，且數(shù)列的公比為2，由題意求出數(shù)列的首項后可得第5天織布的尺數(shù)；再令，求出，即可得出答案.【詳解】由題意可得該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列，且數(shù)列的公比為2，前5項的和為5，設(shè)首項為，前項和為，則由題意得，∴，∴，即該女子第5天所織布的尺數(shù)為．令，解得：，所以.所以若要織布50尺，該女子所需的天數(shù)至少為.故答案為：；．15.已知函數(shù)，，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，方程有且只有一個實數(shù)根；②當(dāng)時，對任意，或；③當(dāng)時，對任意，；④存在，對任意，.其中正確結(jié)論的序號是_____.【答案】①②③【解析】【分析】畫出二次函數(shù)圖象和指數(shù)函數(shù)圖象，根據(jù)的不同取值范圍，分析二次函數(shù)圖象的分布，即可求解.【詳解】對于①，當(dāng)時，，由與圖象可知，方程有且只有一個實數(shù)根，①正確；對于②，當(dāng)時，gx<0，當(dāng)x∈0,+∞時，gx>0.當(dāng)時函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，令函數(shù)的兩個零點分別為，，所以當(dāng)x∈0,+∞時，對于③，當(dāng)時，為開口向上的二次函數(shù)，，，所以對任意，，gx<0，所以，③正確.對于④，當(dāng)時，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，所以不存在，對任意x∈R，，④錯誤.故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)，，且的最小值為.（1）求的值；（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及相應(yīng)自變量的值.【答案】（1）（2）當(dāng)時，函數(shù)取最大值【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出函數(shù)的最小正周期，即可求得的值；（2）由可求出的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值及其對應(yīng)的值.【小問1詳解】因為函數(shù)，，且的最小值為.所以，函數(shù)的最小正周期為，則.【小問2詳解】由（1）知，，則，當(dāng)時，，故當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)取最大值，即.17.近年中國新能源汽車進入高速發(fā)展時期，2024年中國新能源汽車銷售量已超過1100萬輛，繼續(xù)領(lǐng)跑全球.某市場部為了解廣大消費者購買新能源汽車和燃油汽車的情況，從某市眾多4S店中任意抽取8個作為樣本，對其在12月份的新能源汽車、燃油汽車銷售量（單位：輛）進行調(diào)查.統(tǒng)計結(jié)果如下：1店2店3店4店5店6店7店8店新能源汽車銷售量108162320182211燃油汽車銷售量1411131921252326（1）若從該市眾多門店中隨機抽取1個，估計該門店12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率；（2）若從樣本門店中隨機抽取3個，其中12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）新能源汽車銷售量和燃油汽車銷售量的樣本方差分別記為和.試比較和的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即可.（2）的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出隨機變量對應(yīng)的概率即可得到分布列，然后利用數(shù)學(xué)期望公式求解即可；（3）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差公式求出樣本方差，然后直接判斷即可.【小問1詳解】由題可知：8家門店中新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的有2家，分別是：門店3，門店4，所以若從該市眾多門店中隨機抽取1個，估計該門店12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率【小問2詳解】12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數(shù)為3，分別是：門店4，門店5，門店7，從樣本門店中隨機抽取3個，12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個數(shù)記為，的所有可能取值為：0，1，2，3所以，，所以的分布列為0123P求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【小問3詳解】新能源汽車銷售量的樣本平均數(shù)新能源汽車銷售量樣本方差燃油汽車銷售量的樣本平均數(shù)燃油汽車銷售量的樣本方差所以18.已知三棱柱中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為正方形，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.（ⅰ）求證：平面；（ⅱ）求與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）證明見解析（2）條件選擇見解析；（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，利用中位線的性質(zhì)推導(dǎo)出，結(jié)合線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）選條件①：（i）推導(dǎo)出，可得出，可得，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（ii）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值；選條件②：（i）由菱形的幾何性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件以及線面垂直的判定定理可證得平面，進而可得出，再由正方形的幾何性質(zhì)得出，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（ii）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】連接交于點，連接，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，因為，則為的中點，又因為為的中點，則，因為平面，平面，故平面.【小問2詳解】若選①：.（i）因為四邊形為正方形，則，在和中，，所以，，所以，，所以，，，因為，、平面，因此，平面；（ii）因為四邊形為菱形，則，且平面，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，因為，所以，，因此，與平面所成角的正弦值為；若選②：.（i）因為四邊形為菱形，則，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為四邊形為正方形，則，因為，、平面，所以，平面；（ii）因為四邊形為菱形，則，且平面，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，因為，所以，，因此，與平面所成角的正弦值為.19.已知橢圓過點，離心率為，一條直線與橢圓交于、兩點，線段的垂直平分線為，為直線與直線的交點.（1）求橢圓的方程；（2）若，直線是否過定點？如果是，求出該定點的坐標(biāo)；如果不是，說明理由.【答案】（1）（2）是，定點坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的等式組，求出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）對直線的位置進行分類討論，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)線段的中點橫坐標(biāo)為可得出參數(shù)的關(guān)系，化簡直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標(biāo).【小問1詳解】因為橢圓E:x2a2+則，解得，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)點Ax1,y1當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，可得，當(dāng)時，由韋達定理可得，整理可得，可得，此時，，則，所以，直線的方程為，即，此時，直線恒過定點12,0當(dāng)直線軸時，則線段的方程為，此時點、關(guān)于軸對稱，則直線為軸，此時，直線過點12,0；當(dāng)直線軸時，此時點、關(guān)于軸對稱，則，不合乎題意.綜上所述，直線恒過定點12,0【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.20已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：存在實數(shù)，使方程有正實根.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）證明恒成立，再按分類，結(jié)合不等式的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性得解.（3）由方程有正實根分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)能取到正數(shù)即可推理得證.【小問1詳解】當(dāng)時，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】對任意，不等式，當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，，因此，當(dāng)時，，，即恒成立，則；當(dāng)時，，由，得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意，所以實數(shù)的取值范圍是.【小問3詳解】由，，得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則存在，使得，當(dāng)時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，取正數(shù)，則直線與函數(shù)在上的圖象有交點，此交點橫坐標(biāo)在區(qū)間，所以存在實數(shù)，使方程有正實根.【點睛】關(guān)鍵點點睛：借助恒成立的不等式，再借助不等式的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)分類求解是關(guān)鍵.21.已知和都是無窮數(shù)列.若存在正數(shù)，對任意的，均有，則稱數(shù)列與具有關(guān)系.（1）分別判斷下列題目中的兩個數(shù)列是否具有關(guān)系，直接寫出結(jié)論；①，，；②，，.（2）設(shè)，，，試判斷數(shù)列與是否具有關(guān)系.如果是，求出的最小值，如果不是，說明理由