舉幾個熟悉的例子。如果一點的應力是靜水壓力狀態，則有。在塑性力學中需要偏應力表達，可把球量部分從一點應力中分解出來得到，即。在特征值問題中，我們可得到：，這里利用了克氏符號的指標置換功能。各向同性線彈性體的本構方程的一種形式為：。笛卡爾坐標系中單位基矢量的叉積滿足：（1.1.8）把以上9個等式統一寫成：（按1,2,3循環取值）（1.1.9）式中為引進的置換符號（或稱Ricci符號），其定義為：（1.1.10）置換符號有3個自由指標，所以共有27個分量。置換符號的指標不取相同值且按順序排列，取值為１，即。如果指標不取相同值且按逆序排列，取值為。順序排列每置換一次，置換符號變號，對應著逆序排列，逆序排列的指標再置換一次，置換符號再次變號，又成為順序排列。如果指標中有兩個以上指標取相同值則為非序排列，置換符號取值為零。利用克氏符號定義（1.1.4）和置換符號定義（1.1.9），作混合積：（1.1.11）所以，置換符號的值是三個任意基矢量、和的混合積。置換符號的最重要性質在于任意兩個指標調換都使置換符號變號，即置換符號有關于任意兩個指標的反對稱性質。利用置換符號的反對稱性質，可以改寫矩陣的行列式和矢量的叉積展開式為代數形式。表示行列式的展開式。令為矩陣[]的行列式，則：（1.1.12）利用行列式兩行互換變號的性質，例如相當于把1、2行換行，再把2、3行換行得到，推廣行列式換行變號以及兩行相等行列式為零的性質，得：（1.1.13）利用行列式兩列互換變號以及兩列相等行列式為零的性質，有：（1.1.14）利用愛因斯坦求和約定直接展開，容易證明，并利用（1.1.13）得：（1.1.15）可以把行列式換行、換列以及任意兩行或兩列相等時的性質，均利用置換符號來表達。將（1.1.13）展開成行列式的形式，即有：（1.1.16）在（1.1.14）中令為矩陣[]的行列式，其行列式的值為1，也展開成行列式的形式：（1.1.17）把（1.1.16）和（1.1.17）兩式相乘得：（1.1.18）上式表示有個等式。在張量表達和運算中，引進了兩個重要符號，即克氏符號和置換符號，它們之間具有一些非常有用的關系，由（1.1.18）式，如果為矩陣[]的行列式則有：（1.1.19）置換符號的第三個指標為啞標時，容易得到：（1.1.20）上式的左端有4個自由指標，則右端是取四個指標的排列順序按照“前前后后-內內外外”的規則可得。由上式推論：（1.1.21）（1.1.22）置換符號可用于表示矢量叉積的展開式。令三個矢量的關系為，其中每個矢量可有基矢量表為、、，根據矢量的叉積公式，其行列式表示為：（1.1.23）利用置換符號，容易推得叉積的解析形式為：（1.1.24）第二節坐標變換當討論笛卡爾張量時，所謂坐標變換，是指由一個直角坐標系變為另一個直角坐標系。這種變換，可藉由對舊坐標系的平移、旋轉、反射來達到。對平移這類變換將不去研究，而反射變換的結果，是把一個右手系變為左手系。下面僅研究坐標系繞原點的旋轉變換。取空間一點O為坐標原點，過O點取三個互相垂直的單位矢量、、為坐標系的基矢量，建立笛卡爾坐標系。將該坐標系繞原點O旋轉，得到一個新坐標系，新坐標系的基矢量為、、。由于空間中每一個矢量都可表示成坐標系基矢量的線性組合，因此新坐標系的基矢量可寫成：（1.2.1）上式可以寫成：（1.2.2）是新坐標系基矢量的分量，也決定了新坐標系對舊坐標系的旋轉變換程度，稱為變換系數。為了確定變換系數，用同時點乘上式，有：（1.2.3）由于基矢量都是單位矢量，所以變換系數的每個元素是相應的新、舊坐標系基矢量夾角的方向余弦。可以把舊坐標系向新坐標系的變換寫成矩陣形式：（1.2.4）考察新坐標系兩個基矢量的點積：（1.2.5）所以，變換系數矩陣的9個元素并不完全獨立，為了清楚起見，將（1.2.5）的最后一個等式展開為矩陣形式：（1.2.6）由此可知，變換系數矩陣為正交矩陣，正交矩陣的每行元素的平方和等于1，兩行對應元素的乘積之和等于0。由正交矩陣有：（1.2.7）所以變換系數的逆陣為其轉置矩陣，則有舊坐標系的基矢量在新坐標系的分解式：（1.2.8）展開其對應的矩陣形式為：（1.2.9）則新坐標系向舊坐標系的變換系數矩陣是舊坐標系向新坐標系變換系數矩陣的轉置。同理，利用基矢量的關系式容易得到：（1.2.10）上式的最后一個等式相當于把（1.2.6）式左端兩個矩陣交換位置。旋轉變換情況的新坐標系保持右手系，把基矢量代入后簡單運算，可有：（1.2.11）因此變換系數矩陣的行列式等于1。在反射變換情況時，新坐標系為左手系，此時變換系數矩陣的行列式為－1。現在考慮當坐標系進行旋轉變換時，任意矢量的分量所服從的變換規律，對于矢量，它在原、新坐標系中分別表為：，（1.2.12）對以上兩式的兩邊都點乘有：（1.2.13）（1.2.14）比較這兩個等式，有：（1.2.15）若用點乘矢量在新舊坐標系的兩個形式，則有：（1.2.16）（1.2.17）所以有：（1.2.18）觀察可以發現，新舊坐標系之間矢量分量的變換關系與基矢量的變換關系是相同的，這意味著新舊坐標系的相對位置一旦確定，容易得到矢量分量的變換規則。第三節笛卡爾張量我們已經知道，矢量在物理意義上與坐標系的選擇無關，但在具體處理矢量時，矢量的分量與坐標系的選擇有關。當坐標系發生旋轉變換時，矢量的分量服從固定的變換規律，由此給出矢量的新定義。在三維空間中，當笛卡爾坐標系發生旋轉變換，基矢量按（1.2.2）式進行變換，任意三個數的集合在新舊坐標系服從（1.2.15）建立對應關系，則這樣所確定的三個數的集合為矢量。在數學意義上，這個定義關注一組三個數的坐標變換關系，而不是這組數的集合的物理意義。考察下式：（1.3.1）該式表明三個分量、、和分量、、所確定的是完全相同的一個矢量，每組分量都唯一決定了該矢量的大小和方向，這個解析定義與原來矢量的概念是等價的。這樣定義的矢量也稱為一階張量。二階張量是矢量的推廣，在三維空間中，當坐標系發生變換時，一組9個有序數的集合遵照以下轉換關系進行變換：（1.3.2）則這九個有序數的集合稱為二階張量，其中的每個元素稱為二階張量的分量。二階張量是常用的一個張量，例如彈性力學中的應力張量、應變張量，剛體力學中的慣性矩張量，這些張量在概念上突出了它們的力學意義，而這里張量的數學概念是定義了一組有序數在坐標變換時滿足一定的轉換關系，因此強調了張量的普遍性。我們注意到，二階張量有兩個自由指標，需要進行兩次坐標變換。考察任意兩個矢量和的一種乘積，它們在原、新坐標系中的分量分別為和以及和，這種新的乘積為：，（1.3.3）兩個矢量的乘法運算原來有點積和叉積，分別得到一個標量和一個矢量（3個分量），而上式又引進一種新的矢量乘法運算，稱為并矢，由于矢量并矢含有兩個自由指標，應該有9個分量，所以并矢既不是標量也不是矢量，事實上，它是一個二階張量，利用矢量的變換規則，有：（1.3.4）上式表明并矢是二階張量，類似地，也可求得：（1.3.5）仿照二階張量的定義，可以推廣定義二階以上的高階張量。例如，在三維空間中，當坐標系發生變換時，三階張量的分量變換規則是：（1.3.6）或存在反變換：（1.3.7）則滿足這種關系的有序數的集合為三階張量。顯然，三個矢量的并矢是三階張量，共有27個分量。一般地，在三維空間中，階張量有個自由指標，共有個分量。確定一組數的集合是否為張量可以根據張量的定義，還有確定張量的另一種方法，稱為商法則，以二階張量為例說明商法則。若9個分量與任何一個矢量按一對指標求和后能構成另一個矢量，即：（1.3.8）則9個分量的集合必為一個二階張量。證明如下，根據假設，在新坐標系中，上式依然成立：（1.3.9）已知和均為矢量，滿足坐標變換關系，所以，（1.3.10）將兩式相減得：（1.3.11）上式中有一個自由指標，代表三個等式，由于的任意性，得到：（1.3.12）這證明是一個二階張量。類似的證明可以推廣商法則到高階張量，例如，若為二階張量，為一階張量，當式：（1.3.13）成立，則是一個三階張量。由于上面定義張量的前提是在笛卡爾直角坐標系之間變換，這種張量稱為笛卡爾張量。更普遍的張量將在第二章中討論。我們看到，張量的階數就是指標的個數，矢量稱為一階張量，標量沒有自由指標，稱為零階張量。張量的表示，除了上面已經采用的分量記法外，還采用張量的實體記法。與矢量類似，可以把張量表示成各個分量與基矢量的組合，例如二階張量可以表示為：（1.3.14）那么，前面提到的矢量并矢可表為：（1.3.15）當坐標變換時，張量實體不因坐標變換而變化，即張量實體是坐標變換的不變式，從而構成一個與坐標系無關的張量實體，這是物理規律在不同坐標系成立的形式要求。如對二階張量，（1.3.16）聯系基矢量的坐標變換關系，上式與二階張量分量的坐標變換關系完全等價。現在觀察一下前面引進的兩個重要符號－克氏符號和置換符號。根據定義有：（1.3.17）克氏符號服從坐標轉換關系，所以克氏符號是一個二階張量。因為只有時的元素為１，其余均為零，稱為單位張量。由于它的各個分量在坐標變換時不變，所以是二階不變張量。置換符號也是一個三階張量。利用變換系數矩陣的行列式展開形式及行列式變行時的性質，有：（1.3.18）置換符號滿足坐標轉換關系，為三階張量，同時在坐標旋轉變換時，的各個分量保持不變，為三階不變張量。如果考察矢量和的叉積的分量形式，則有，聯系商法則，也可證置換符號是三階張量。對于反射變換的情況，置換符號的分量要變號，但張量實體保持不變，讀者可以嘗試證明。第四節張量代數張量代數指張量的加、減、乘、除遠算，張量減法就是其加法，前面提到的商法則可視為張量的除法運算，因此只討論加法和乘法運算。張量加法必須在同階張量之間進行，兩個張量相加就是各個分量相加，其和是同階張量，例如，兩個二階張量和之和：（1.4.1）同時，可以證明仍是二階張量。張量的乘法略為復雜，包括并乘、縮并、點乘三種運算。前面介紹過兩個矢量的并矢是二階張量，其實就是矢量并乘，張量的并乘是矢量并矢的自然推廣，以兩個張量和的外積為例說明張量的并乘，定義為：（1.4.2）并乘的結果得到一個5階張量，即并乘張量的階數為因子張量階數之和，并乘的實體形式可表為。張量的另一種運算稱縮并，縮并和并乘不同在于它不是在張量之間，而是在一個張量本身中進行的。對二階以上的張量的縮并，就是對張量的某兩個指定的指標求和，設有三階張量，在新坐標系中有：（1.4.3）對后兩個指標縮并，即使，縮并后得。如果進行坐標變換并令，利用變換系數的正交性質，則上式成為：（1.4.4）這說明縮并后的為一階張量。因此，張量縮并后仍為張量，其階數比原張量階數減2。二階張量縮并后為標量，是不依賴于坐標系的不變量，例如，應力張量縮并得到是應力張量的第一不變量。張量的第三種乘法運算是點乘，點乘是兩個張量先并乘再縮并的運算。從概念上，張量點乘是矢量點積的推廣。張量的點乘運算也須指明對哪對指標進行縮并，兩個張量點乘后會得到一個新的張量，以二階張量和三階張量的點乘為例，并乘后得，對第二和第三個指標縮并，得三階張量：（1.4.5）如果在兩個張量并乘后再進行兩次縮并，則稱為雙點積。張量有兩種雙點積，采用實體記法更方便一些，其并聯式為：（1.4.6）其串聯式為：（1.4.7）上例中的雙點積結果和并不是相同的一階張量。對二階及以上的高階張量，如果保持基矢量的排列順序不變，而對調張量分量兩個指標的順序，則所得同階張量稱為原張量的轉置張量。例如，對四階張量（1.4.8）對調第1、3個指標的轉置張量為：（1.4.9）式中上標表示轉置。考慮一個二階張量，存在唯一的二階轉置張量，對于任意矢量和均滿足：（1.4.10）上式左邊的分量表示為，而右邊為：（1.4.11）第五節對稱張量與反對稱張量如果對調張量分量指標的順序而張量保持不變，則稱該張量關于這兩個指標具有對稱性。如果對調張量指標的順序而得到新張量的分量與原張量的對應分量差一個正負號，譬如對常用的二階張量，其二階對稱張量和二階反對稱張量分別滿足：（1.5.1）（1.5.2）由于對稱性和反對稱性，二階對稱張量只有6個獨立分量，二階反對稱張量只有3個獨立分量。可以證明，坐標變換不改變張量的對稱或反對稱性質。對于高階張量的對稱和反對稱性質，需指明是對哪些指標對稱和反對稱。例如，一個三階張量，若是對前兩個指標對稱，則是指，若是對前兩個指標反對稱，則是指。對于任意兩個指標均反對稱的高于三階的張量，由于張量有4個或更多個指標，而每個指標只能取1、2、3，則每個分量總有兩個或兩個以上指標的數字相同，考慮到反對稱性，這些分量必然為零，因此，高于三階的反對稱張量全部分量均為零。現在考察對任意兩個指標均反對稱的三階張量，三階張量有27個分量，指標數字相同的分量為：因對任意兩個指標反對稱，上面第一行表示有9個分量均為零，在第二和第三行中去掉與第一行相同的3個分量，剩下的各有6個分量均為零，則零分量共有21個。剩下6個不為零的分量是指標取不同數字的6個，對應指標的三種順序排列和三種逆序排列，它們是：而由于反對稱，這6個分量還不全是獨立的，相鄰指標置換一次，其值只差一個正負號，即：（1.5.3）因此，對三階反對稱張量，若所有指標均兩兩反對稱，獨立分量就只有一個。這樣的例子就只有置換符號。下面分析常用的二階反對稱張量，根據定義，對于二階反對稱張量，有：（1.5.4）寫成矩陣形式為：（1.5.5）因此，二階反對稱張量有三個獨立分量，應等價于一個矢量。反之，可以推論，任意一個矢量都存在一個與之等價的二階反對稱張量。為了建立矢量與反對稱二階張量的關系，考慮繞定點轉動的剛體，剛體上任一點的線速度與繞定軸轉動的角速度的關系為：（1.5.6）其分量表示為，和均為矢量且為剛體上任意點，所以刻畫了剛體轉動特征，根據商法則，必為一個二階張量，記：，（1.5.7）注意置換符號對前兩個指標的反對稱性，二階張量是反對稱張量，稱為反對稱二階張量的反偶矢量或軸矢量。二階反對稱張量用軸矢量表達的矩陣形式為：（1.5.8）因此，給定一個矢量，就能確定與它對應的二階反對稱張量。反之，給定二階反對稱張量，不難找出與其對應的軸矢量，只要把兩邊同乘以，則有：（1.5.9）改寫成：（1.5.9）其實體形式為：（1.5.10）顯然，二階反對稱張量的行列式為零。二階反對稱張量點乘任意矢量的結果是一個矢量，使其與該矢量點積，得：（1.5.11）所以，意謂著與正交。或者直接寫：（1.5.12）上式相應的實體形式為：（1.5.13）上式表示與和均正交。在力學應用中較為常見的是二階張量，任意一個二階張量可按加法分解為對稱張量和反對稱張量，根據張量加法，有：（1.5.14）令：（1.5.15）（1.5.16）則有，并且有，所以是對稱張量，由知是反對稱張量。例如彈性體變形時位移矢量為，則是位移空間梯度，因為，（1.5.17）根據微分鏈式求導規則有：（1.5.18）滿足二階張量坐標變換關系，所以是一個二階張量。它可以加法分解為：（1.5.19）其中對稱部分：（1.5.20）為應變張量，反對稱部分為：（1.5.21）可以寫為：，（1.5.22）為轉動分量。由此可見，位移梯度對稱化所定義的應變張量自然消除了變形中剛體轉動的影響。在實際應用中，二階張量也可分解為球張量和偏張量，設有二階張量，令：（1.5.23）則稱為的球張量，而差：（1.5.24）為的偏張量。在彈性力學中，應力張量的球張量與體積變形有關，偏張量與偏斜變形有關。第六節二階張量的主軸、特征值和不變量在彈性力學中有所謂的主應力狀態和應力主軸，作用在與主軸垂直面元上的應力分量只有沿主軸的分量，切向分量為零。考慮過該點任意方向面元上的應力矢量和法向矢量與應力張量存在關系式，若正好與應力張量的主軸重合，則就與平行，就有，就可確定主應力狀態。把這個概念推廣到任意二階張量，不難找到二階張量的主軸。或者這樣表達，對于作為對象的任意二階張量，找到一個矢量，使之經過該二階張量點乘后所得矢量與原來矢量平行，這里可把看作一個變換，它把一個矢量變換成另外一個矢量，這時，的方向代表主軸方向或特征矢量，是標量稱為特征值，因此，寫成：（1.6.1）令，則有：（1.6.2）改寫為：（1.6.3）（1.6.4）該式表示關于特征矢量方向的三個奇次線性方程，有非零解的條件是系數行列式為零，零解沒有方向意義，則得到：（1.6.5）展開后得關于的三次方程式：（1.6.6）求解方程分別得到三個根。如對應的二階張量矩陣是實對稱的，則有三個實根，設為，稱為特征值，相應的關于特征值的三次方程叫做張量的特征方程。由三個實根可以確定表示三個主軸方向的特征矢量。取一組笛卡爾坐標系的單位基矢量，二階張量可化為對角標準形式。可以證明，對實對稱二階張量，三個特征值是實數，且三個特征矢量互相正交。令和是兩個不同的根，又令和是與這兩個根對應的特征矢量，則有：，（1.6.7）對上式兩邊分別點乘和，得：，（1.6.8）考慮到的對稱性并對調指標和后，上述兩式左邊相等，因此有：（1.6.9）特征值不等時，只有，表明與兩個不同特征值對應的特征矢量是正交的。因此，如果所有的特征值是不同的實數，則對稱張量的主軸正交。要證明是實數，只要證明與它的共軛數相同，因為：（1.6.10）兩邊乘以的共軛，則有：（1.6.11）對上式兩邊取共軛得：（1.6.12）注意的實對稱性并對調指標和后，以上兩式的左邊相等，所以有：（1.6.13）由于特征矢量一定是實矢量，即有，因此得到。根據方程式的根與系數的關系有：（1.6.14）（1.6.15）（1.6.16）由于張量的特征值與坐標系無關，因此特征方程的系數也必然與坐標系無關，當發生坐標變換時、、保持不變，稱為張量的第一、第二、第三不變量，分別是張量分量的線性函數、二次函數和三次函數。對于二階對稱張量，只有三個獨立的不變量，這三個不變量的任何組合當然也是不變量。由線性代數可知，實對稱二階張量的矩陣對應著一個實二次型，與坐標雙點乘后得到一標量，寫為：（1.6.17）令則得到二次曲面方程：（1.6.18）因此一個實對稱二階張量也與一個二次曲面相對應。如果取主應力狀態，應力張量的矩陣成對角形：（1.6.19）主應力就是張量的特征值。這時，與應力張量的二次曲面稱為應力二次曲面，其標準形式為：（1.6.20）其中正負號視的正負而定。參照上面的思路，現在討論二階反對稱張量的情況。張量的三個不變量是：，，（1.6.21）由于恒為正，令，則張量的特征方程蛻化為：（1.6.22）特征方程的根為：，，（1.6.23）這里為虛數單位。令與對應的特征矢量為單位矢量，稱為反對稱張量的軸，則有：（1.6.24）與和對應的特征矢量應為復矢量，分別表為和，在基矢量、和下，反對稱張量的矩陣形式為：（1.6.25）由于張量分量為兩個共軛虛數，失去了表達物理量的直接功能，應該用實數表示它的分量，為此不再追求反對稱張量的主軸表達形式。考慮張量的不變性，選取笛卡爾坐標系并使和為垂直于平面內的任意一組正交單位矢量，在該坐標系的分量為0、0、1并代入式中，得，表明矩陣的第三列分量均為零，由于張量保持反對稱性則主對角和第三行的分量也為零，再考慮該張量的第二不變量，則必有：（1.6.26）張量的實體形式為：（1.6.27）如果在垂直于的平面內將基矢量和繞旋轉角，基矢量和變換為和，并聯系坐標變換系數公式后有：，（1.6.28）則在新坐標系中張量的形式為：（1.6.29）所以，二階反對稱張量的形式對于垂直于平面內的任意一組正交單位矢量都是不變的。根據軸矢量與反對稱張量的關系式，此時張量的軸矢量為：（1.6.30）可見，張量的軸矢量沿著張量軸的方向，軸矢量的大小為。第七節張量的導數和積分一般而言，在固體力學和流體力學問題中，許多狀態量，如應力張量，既是空間位置的函數，也是時間的函數。因此，研究動態問題和場的問題時，就涉及到張量求導運算。如果張量是某個標量參數（通常就是時間）的確定函數，則每個分量都是參數的函數，那么，導數表示每一個分量對求導，其結果是同階張量，求導法則與普通導數相同。現在重點討論張量是空間位置函數的情況，張量求導應是每個分量對坐標求導。我們首先從標量入手，從張量的角度看，標量只有一個分量，例如密度或溫度的空間分布，令表示某個區域的標量函數，坐標變換時保持不變（注意，通過二階張量縮并運算形成的標量可證），所以有。記它對坐標的偏導數為，按普通的鏈式求導規則有：注意到是空間位置矢量的分量，滿足坐標變換關系，故有，，改寫式得到：滿足坐標轉換關系，是一個矢量，它的三個分量為、、，這個矢量稱為標量場的梯度，它表示在域內一點標量函數的最大變化率（或者梯度在過該點任意方向的投影等于標量場的方向導數），用表示，即，引入哈密爾頓（Hamilton）算子：則有：哈密爾頓算子是一個矢量微分算子，形式上是一個矢量，它與任一矢量的點積應是一個標量：稱為矢量的散度，它從概念上是矢量場中任意封閉曲面的通量對體積變化率，用表示。散度也可看成由二階張量進行縮并運算得到的結果。若將哈密爾頓算子與任一矢量叉乘，得一個新矢量，并記為：它表示矢量的旋度，旋度從概念上是矢量場中沿任一封閉有向曲線的環量對面積的最大變化率。例如，剛體繞定軸轉動時的線速度為，則線速度場的旋度為：即速度場的旋度是角速度的2倍。標量的梯度是矢量，即零階張量的梯度是一階張量，那么，一階張量對坐標求導是否得到一個二階張量呢？答案是肯定的。以矢量對坐標求導為例，如果是矢量，則坐標變換時有：其中，，，表示矢量場，上式代表三個標量方程，利用普通的鏈式求導規則，即得到：上式滿足坐標變換關系，是一個二階張量。依次類推，可以證明，在笛卡爾坐標系中，張量的導數仍然是張量，其階數比原張量高一階。梯度、散度和旋度的概念也可以推廣到任意階張量場中去，只要把看作是一個矢量，把寫作指標符號。譬如，一個二階張量場的梯度為三階張量：一個二階張量場的散度為一階張量：一個二階張量場的旋度為二階張量：在僅僅是矢量場的情況下，存在高斯(Gauss)定理和斯托克斯(Stokes)定理，高斯定理的形式為：斯托克斯定理的形式為：以上兩式中為任一矢量，高斯定理把一個面積分和體積分聯系起來，斯托克斯定理則把一個線積分和面積分聯系起來。這兩個定理可推廣到任意階張量的情況，對張量場相應地有：，這里可以是任意階張量。材料力學中截面慣性矩四階各向同性張量波的傳播第二章一般張量笛卡爾張量是笛卡爾坐標系變換下的不變量，要建立在任意坐標系變換下的不變量，就必須引進一般張量。第一節斜角直線坐標系和曲線坐標系在笛卡爾直角坐標系中，有力矢量和位移矢量，則力在產生位移時所做的功為。在二維的情況下，在笛卡爾直角坐標系中，有：現在討論這種情況在斜角直線坐標系的表達形式。采用平面斜角直線坐標系，取，為單位矢量，坐標線和的夾角為，有力和位移的矢量形式：，故有：比較這個式子與直角坐標系中點積的式子，形式上多了一項，失去了矢量點積是矢量分量兩兩點積之和的簡潔形式。為了建立矢量點積的簡潔表達形式，引入一組對偶基矢量，用帶上標的矢量，，表示，稱為逆變基矢量。相對地，原來帶下標的基矢量，，稱為協變基矢量，逆變基矢量可由協變基矢量按下面的對偶關系確定：，式中，為克氏符號，有九個分量，指標相同的分量為1，指標相異的取值為零。在二維情況下，，而，所以，并且的方向正交于。同理可得，并且正交于。圖這時用逆變基矢量的線性組合來表示為：式中稱帶下標的符號、為矢量的協變分量，用協變基矢量表示時，則有：式中稱帶上標的符號，為矢量的逆變分量。由于不依賴與坐標系，的逆變分量和協變分量應滿足一定的關系。對二維情況，寫：對上式兩邊分別點乘，，可得協變分量和逆變分量的關系：，現在把二維的概念推廣到三維的情況，計算功或矢量的點積，令：，則有：上式表明，只要在斜角直線坐標系中引進協變和逆變基矢量，就能夠像在直角坐標系下那樣，對一個矢量采用協變分量的分解，對另一個矢量采用逆變分量的分解，就得到矢量點積的簡潔形式。顯然，矢量的協變和逆變分量分別為：，在斜角直線坐標中，矢量的協變分量和逆變分量分別是矢量在協變和逆變基矢量的投影。從以上討論可以看出，采用對偶基矢量后，矢量有兩種分量，分別是矢量的協變分量和逆變分量，相應地有逆變基矢量和協變基矢量。今后把具有上標的量稱為逆變量，具有下標的量稱為協變量。同時應注意：自由指標在表達式中只能出現一次，啞標出現兩次表示愛因斯坦求和約定，但必須一個指標在上而一個指標在下。在斜角直線坐標系中，把單位矢量用作定義逆變分量的協變基矢量，同時必須選擇一組大小不為1的矢量作為對偶的逆變基矢量。為了擴充視野，下面考慮極坐標系中的矢量。選擇線元作為待研究的矢量，把單位矢量和定義為沿坐標增加的方向，就能寫出：這里實際上是把，看作是矢量的逆變分量了，但有類似于這樣非線性項的出現，將給運算帶來不便。我們對上式作一調整，便得坐標的微分成為線元矢量的逆變矢量：，這樣，就需要這兩個微分的系數：，作為新的基矢量，而不是用單位矢量作為基矢量。由此可見，在極坐標系中，基矢量和隨點而變，相當于一個活動標架。現在把極坐標的概念推廣到三維曲線坐標系，。在任意一點A，選擇三個矢量的大小和方向，使得線元矢量滿足：對于任意曲線坐標系，一般不是單位矢量，都是坐標的函數并且一般都具有量綱。然后，考慮從定點O（也許是坐標原點）到點A引一個位置矢量，矢量是坐標的函數，相鄰點B的位置矢量為，則，是從A點到B點的的增量，可以把這一增量形式寫為：比較以上兩式得：由此看出，協變基矢量是位置矢量對相應曲線坐標的偏導數，其方向與坐標曲線相切。所以，曲線坐標系下的協變基矢量，其大小和方向都與坐標有關。由協變基矢量可通過對偶關系定義逆變基矢量：用這兩組基矢量，可以確定任一矢量的兩組分量：也可以把這兩組基矢量用于任何兩個矢量和的點積，由于，和的點積寫為：或者當協變基矢量，，構成右手系時，其混合積為正值，記：式中為正實數，混合積的幾何意義是三個矢量依次構成右手系時，以這三個矢量為棱邊的平行六面體的體積。根據對偶關系可由協變基矢量確定逆變基矢量。因為，，即有平行于，可令，因為：可求得：故有：同理可得：，每個矢量都可以分解成協變分量或逆變分量。如果把每個基矢量都用同名的基矢量表示，即把協變基矢量用逆變分量表示以及把逆變基矢量用協變分量表示時，便有：，譬如，所以，協變基矢量的逆變分量和逆變基矢量的協變分量都能構成單位張量，后面將會看到，這種分解實際上就是二階度量張量的混變分量。把一個協變基矢量分解成協變分量時，便導出一組新的重要的量：這樣定義的九個量的總體，叫做度量張量，而每個量是度量張量的協變分量。同理，可以把分解成逆變分量：這樣我們就定義了度量張量的逆變分量。現在考察同一組基矢量的點積：或者并且，，所以度量張量是二階對稱張量。現在考慮：協變基矢量、、的混合積為，則的行列式為：這里利用了三個矢量兩兩點積構成矩陣的矢量公式，后面將對此給予證明。而的行列式為：所以，混合積是以這三個逆變基矢量為棱邊的平行六面體的體積。則類似的有：，，利用和，可以把一個矢量的逆變分量用協變分量表示，也可以把它的協變分量用逆變分量表示出來。取任一矢量，且有：以上稱為矢量分量的指標升降關系。還可以得到兩個矢量和的點積另外兩種形式：矢量模的平方則表示成：第二節坐標變換考慮一個舊坐標系和一個新坐標系，新舊坐標系各有一對對偶的基矢量。設已知一個矢量在舊坐標系中的各分量，要求計算出它在新坐標系中各分量。首先將新坐標系的基矢量對老坐標系基矢量分解，有：，上式中稱為協變轉換系數，稱為逆變轉換系數，各有九個量，但實際上協變轉換系數和逆變轉換系數互不獨立，為此，作：上式表示協、逆變轉換系數組成的矩陣互逆，即舊坐標系的協變基矢量對新坐標系的協變基矢量分解，也應有9個轉換系數，將上式左右點積，并利用對偶關系：又將上式左端的轉換關系代入后得：所以以及同理可證：且有：上式表示協變和逆變轉換系數的另一種互逆關系：因此，新舊坐標系的協變基和逆變基之間共有18個轉換系數，它們之間滿足矩陣互逆關系，獨立的只有九個。把矢徑看作復合函數，利用鏈式求導規則，有：與基矢量的坐標轉換關系比較，得：同理可得：可以利用坐標變換得到曲線坐標系的基矢量。譬如確定球坐標和笛卡爾直角坐標間的坐標轉換系數以及球坐標的基矢量，令直角坐標為，，，球坐標為，，，球坐標和直角坐標的關系為：，，及，，協變轉換系數為：，，，，，，及逆變轉換系數為：，，，，憶及，，并且直角坐標有互相正交的單位基矢量，則有球坐標的協變基矢量為：以及球坐標的逆變基矢量：現在可以確定矢量在兩個不同坐標系中的分量：首先考慮：用點乘上式兩邊得同理可得：，，可以把以上各式概括成以下形式：由老坐標系變換到新坐標系時，矢量的協變分量與協變基矢量以同一組協變轉換系數進行坐標變換，以這種方式變換的量叫做協變量，按相反方式變換的量叫做逆變量。第三節一般張量的概念現在考慮以一種新的方式定義矢量。三維曲線坐標系進行坐標變換時，如果由3個量構成的集合或以下式進行變換：，則這些量的集合就叫做矢量的協變分量，集合就叫做矢量的逆變分量。把矢量的解析定義推廣，若三維曲線坐標系進行坐標變換時，一個由9個有序量組成的集合按下式：進行變換，則這9個量的集合定義一個二階逆變張量，需要協變轉換系數兩次轉換。如果按下式：進行變換，則這9個量的集合構成一個二階協變張量，即用逆變轉換系數的兩次逆變轉換。對于具有兩個指標的二階張量，如果由舊坐標系到新坐標系的轉換出現一次協變轉換和一次逆變轉換，即在老坐標系中的9個量及按下式：變換到新坐標系，則這9個量和的集合定義兩個二階混變張量。這也是一階張量推廣到二階張量的必然結果。現在我們可以定義三維空間中的任意高階張量，如果三維空間中有個有序數的集合（共有個指標），這組數按下式進行坐標變換：則這組有序數的集合就是三維空間中的階張量，每一個數就是張量的分量，張量的指標代表坐標變換時張量分量的協、逆變性質，如果指標全為上標，稱為階張量的逆變分量，如果指標全為下標，則稱為階張量的協變分量，同時具有上標和下標的張量分量，稱為階張量的混變張量。要判別一組有序數的集合是否構成一個張量，使用商法則是比直接采用定義更為方便的方法，下面以三階張量為例說明商法則。若已知是一階張量的逆變分量，是二階張量的協變分量，能對下式成立：則必為一個三階張量的逆變分量。現在給予證明，根據已知條件：，代入后得：兩邊同乘，得：同時在新坐標系中，有下式成立：把上兩式相減得由于的任意性，就有：這說明必是一個三階張量。張量是矢量的推廣，矢量可用分量表示，也有實體表示，矢量的實體表示是其分量與相應基矢量的線性組合，張量也有同樣形式的實體表達。為此，構造任意兩個矢量和的并矢，寫作，把這兩個矢量的分量逐個相乘，基矢量并寫到一起，分量相乘后可得到四種9個數的集合，譬如其中一種是，考察并矢的坐標轉換關系，并利用協變和逆變轉換系數的互逆性質，有：因此是一個二階張量，而只是它的逆變分量，這里基矢量的并矢可稱為二階基張量，它們是線性無關的。由于在坐標系轉換時保持不變，所以是一個張量實體。在一個坐標系中，對于二階張量可以實體表示為：當坐標轉換時，張量實體不因坐標轉換而變化。對于上面的二階張量，有：容易證明，上式與張量的分量形式是完全等價的。高階張量的實體表示完全可以依次類推，其中基張量的個數就是張量的階數，矢量可看作一階張量，而標量可看作零階張量，它們都具有對坐標的不變性，或者說張量不依賴于坐標系。在曲線坐標系的每個點都需要引進對偶的協變基矢量和逆變基矢量，張量就可分解為協變、逆變和混變分量，譬如二階張量有四種分量。現以彈性平面應力狀態為例考察這四種分量，在直角坐標系中某點的應力分量為：MPa，MPa，MPa，討論中的逆變、協變和混變應力分量。插圖建立兩個坐標系，斜角直線坐標系的坐標參數為和，引用記號，，，。由圖有：，并由此求得：，令直角坐標系的兩個基矢量為和，則斜角直線坐標系中矢徑為：則協變基矢量分別為：，其模均為1。則兩坐標系的變換系數為：，，，，根據，得逆變基矢量：把笛卡爾坐標系作為舊坐標系，斜角直線坐標系作為新坐標系，由張量分量的坐標變換關系有：使，，，，代入上式中得：類似地推導可以得到：以及和若代入和應力值，可以得到四種應力分量的具體數值（略）。上述各應力分量的四種表示如圖所示，注意第一個指標表示應力的作用面，第二個指標表示應力方向。第四節度量張量前面提到，在把協變基矢量分解為協變分量以及逆變基矢量分解為逆變分量時，分別定義了度量張量的協變分量和逆變分量，并且協變分量是協變基矢量的點積，逆變分量是逆變基矢量的點積。現在考察這些分量的坐標變換關系，根據定義：所以和是二階協變張量和二階逆變張量，根據一般張量的概念，度量張量還存在兩種混變分量，它們是：，顯然，度量張量的兩種混變分量都是單位張量，可以推論它們在任何坐標系均為單位張量。這樣，度量張量的實體形式可完整地寫成：度量張量協變分量的行列式記為，利用式：把上式展開成矩陣形式，并對兩邊取行列式，由于矩陣之積的行列式等于因子矩陣行列式之積，所以有：因此有：是一個標量函數，考察它的坐標轉換關系，利用度量張量協變分量的坐標變換關系并同時取其行列式，有：如令協變轉換系數的行列式，上式成為：因此，盡管是標量函數，但是在新舊兩個坐標系的值是不同的，這樣的標量稱為偽標量。注意到協變基矢量構成右手系時，混合積是以三個基矢量為棱邊的平行六面體的體積，而等于混合積的平方，因此有：有了度量張量后，現在簡單介紹一下空間的概念。數學上的空間是指具有一定性質的點的集合，測量空間距離的規則就叫度量，這里關心的是三維空間情況下這些點的集合，那么空間中任意一點對應著獨立的三個數即坐標。空間中兩點的距離也就是矢量的長度，而矢量的長度可用矢量點積來表達，因此規定了矢量的點積也就規定了兩點的距離。如果兩點很近，則其間的距離是線元矢量的長度，由于線元是個微分量，可用相應的線元弦長來代替：上式表明坐標的微分導致線元長度的變化完全取決于，從而建立起微分距離的空間度量，鑒于線元的平方是二次型，所以稱為空間的度量，稱為度量張量，它也是確定空間幾何性質的一個最基本的度量尺度。用度量張量決定性質的空間稱為度量空間。一般是坐標的函數，如果，這樣的空間稱為黎曼空間。如果，則稱這個空間為歐氏空間，反之，若，則稱這個空間為閔可夫斯基空間。線元長度的平方也是一個微分二次型，是其系數，由式可知，這個二次型是正定二次型，如果把看作矩陣，這個矩陣也是正定的。現以球坐標系為例，確定度量張量的協變分量和逆變分量。注意到笛卡爾坐標系中的度量張量有：，，式中在兩個相同指標下面加一橫，表示不對指標求和。觀察式，容易得到：所以球坐標系中的協變和逆變基矢量互相垂直，為正交曲線坐標系，同時考慮到的展開式，因此，有：，考慮變換關系，則有：且，而逆變分量為：，，度量張量協變分量的行列式為：第五節置換張量前面已經看到，在一個坐標系中基矢量的點積構成度量張量，并且度量張量的混變分量就是克氏符號。現在考察基矢量的混合積形式。在最簡單的笛卡爾坐標系中，三個互相正交的單位基矢量的混合積為。當這三個基矢量任意排列時，其全部排列構成27個值，利用置換符號的性質，寫其混合積為。現在推廣到任意曲線坐標系中，曲線坐標系中基矢量的混合積有：，取上面兩組各三個基矢量任意排列，則每一組共有27中可能的排列，因為混合積中若有兩個矢量相同，混合積為零，所以只有6種排列不為零，其中三種順序排列的值為正值，三種逆序排列為負值，為此擴展具有3個指標的置換符號為：則基矢量混合積的全部排列可統一寫為：，對基矢量的混合積進行坐標變換，得：混合積滿足坐標轉換關系，根據張量定義應為三階張量，并且是三階張量的協變分量，稱這個張量為置換張量，其協變分量與逆變分量記為：協變分量和逆變分量的關系可通過置換張量定義和指標升降關系得到：所以，協變分量可通過逆變分量指標三次下降而得到，反之亦然。根據指標升降關系還可得到置換張量的六種混變分量，但沒有實際使用價值。置換張量是關于任意一對指標的反對稱張量，其分量一般是坐標的函數。置換張量實體形式記為：利用置換張量，考察基矢量的叉積，因為：比較上式兩邊，得：同理可得：用置換張量表示基矢量的叉積與式（由逆變基求協變基）的形式是完全等價的。置換符號關于任意兩個指標均反對稱，它不是三階張量的分量，利用置換符號，可以改寫行列式的展開式：這里令為行號，為列號。根據行列式的性質，如果在中對下標作任意的位置置換，譬如就相當于把行列式的兩列互換，行列式的值為，在置換一次又改變了符號，其結果又回到了，這個規律可以寫成：因為交換行列式的兩行時行列式的值也變號，因此類似地有：這樣相當于把行列式的唯一一種展開式表達為27種展開式，把行列式換行、換列以及兩行兩列相等時的性質都包括進來，拓展了行列式的表達形式。如果同時變換行列式的行和列，則得到一組共有6個自由指標的行列式，即其中，這個式子也可以這樣證明，首先可直接寫出：把以上兩式相乘，得：式得證。如果考慮克氏符號構成的行列式，由于是一個單位矩陣，所以，則有：稱為廣義的克氏符號，當和都是順序排列或都是逆序排列時，=1；當和中一為順序排列，一為逆序排列時，=－1；其余情況，=0。它的主要性質在于：把上式啞標改寫成：上式兩邊同乘并利用式，得到：根據指標升降關系，有：上式即為置換張量的逆變分量的定義。對于兩個任意給定的矢量和，在任意曲線坐標系中，，令這兩個矢量的叉積為，則有：得矢量的協變分量：同理得到矢量的逆變分量：三個矢量的二重叉積，表示連續兩次叉積運算，其結果仍是一個矢量，但必須注意叉積的順序，即有：一組三個矢量的混合積用矢量的逆變分量表示為：另外