河北省秦皇島市青龍縣2024?2025學年八年級上學期期末考試數學試卷本試卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ兩部分；卷Ⅰ為選擇題，卷Ⅱ為非選擇題本試卷總分120分，考試時間120分鐘．本試卷答案一律寫在答卷紙上，考試結束后，只收答卷紙．卷Ⅰ一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上正確填涂）1.下列命題是真命題的是（）A.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等B.正數與負數的和為0C.相等的角是對頂角D.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【解析】【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．根據對頂角的概念、平行線的性質、垂直的定義判斷．【詳解】解：解：A、兩條直線被第三條直線所截，同位角不一定相等，為假命題，不符合題意；B、正數與負數的和不一定為0，為假命題，不符合題意；C、相等的角不一定是對頂角，為假命題，不符合題意；D、在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，為真命題，符合題意．故選：D．2.根據分式的基本性質，分式可變形為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了分式的基本性質，根據分式的基本性質解答即可．【詳解】解：．故選：B．3.下列各組圖形中是全等圖形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據全等圖形的定義進行判斷即可．【詳解】解：A.是全等圖形，符合題意；B.，形狀不同，不是全等圖形，不符合題意；C.大小不同，不是全等圖形，不符合題意；D.大小不同，不是全等圖形，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查全等圖形，熟記全等圖形的定義：大小和形狀完全相同的兩個圖形是全等圖形是解題的關鍵．4.若表示的是一個最簡分式，則☆可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了最簡分式，根據最簡分式的定義，即可求解．最簡分式定義，分子與分母沒有公因式的分式，叫最簡分式．【詳解】解：A、當☆為時，，不是最簡分式，故該選項不符合題意；B、當☆為x時，，最簡分式，故該選項符合題意；C、當☆為時，，不是最簡分式，故該選項不符合題意；D、當☆為時，，不是最簡分式，故該選項不符合題意；故選：B．5.若是最簡二次根式，則a的值可能是（）A. B. C.2 D.0.1【答案】C【解析】【分析】本題考查了最簡二次根式，二次根式有意義的條件，根據最簡二次根式、二次根式有意義的條件解答即可．【詳解】解：A、不存在，不是最簡二次根式，不符合題意；B、，不是最簡二次根式，不符合題意；C、，最簡二次根式，符合題意；D、，不是最簡二次根式，不符合題意．故選：C．6.以下是嘉淇的答卷，嘉淇的得分為（）填空題（每小題2分）姓名：嘉淇1．的相反數為．2．的絕對值為．3．．4．將0.03047精確到0.001的結果是0.03．5．若一個數的平方根與立方根相等，則這個數是0．A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】本題考查了相反數，絕對值，平方根，立方根，近似數與精確度，解題的關鍵是掌握這幾個定義．1、根據只有符號不同的兩個數叫做互為相反數判斷即可；2、根據負數的絕對值等于它的相反數判斷即可；3、根據立方根的定義判斷即可；4、根據精確度判斷即可；5、根據平方根、立方根的定義判斷即可．【詳解】解：1、的相反數為，正確；2、的絕對值為，正確；3、，正確；4、將0.03047精確到0.001結果是0.030，錯誤；5、若一個數的平方根與立方根相等，則這個數是0，正確；所以正確的有4個，因為每小題2分，所以嘉淇的得分為8分，故選：D．7.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，理解并掌握軸對稱圖形的定義，找出對稱軸是解題的關鍵．軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，直線兩邊的圖形能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，由此即可求解．【詳解】解：A、沒有對稱軸，不是軸對稱圖形，不符合題意；B、有對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意；C、沒有對稱軸，不是軸對稱圖形，不符合題意；D、沒有對稱軸，不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B

．8.如圖，已知，，如果添加一個條件使，則添加的條件不可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．根據全等三角形的判定定理，進行判斷作答即可．【詳解】解：∵，∴，即，當時，由可證，故A不符合要求；當時，由可證，故B不符合要求；當時，由可證，故C不符合要求；當，無法使，故D符合要求．故選：D．9.最簡二次根式與是同類二次根式，則（）A.2 B.3 C.0 D.4【答案】A【解析】【分析】根據同類二次根式的根指數、被開方數相同可得出方程，解出即可得出答案．此題考查了同類二次根式的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握同類二次根式的根指數、被開方數相同．【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴解得：，故選：A．10.若關于x的方程產生增根，則m的值是（）A. B. C.2 D.0【答案】B【解析】【分析】本題考查分式方程的增根，分式方程的增根是使分母為0的未知數的值，根據方程有增根得到，將代入化簡后的整式方程中即可求出答案．【詳解】解：將方程去分母得,∵方程產生增根，∴，將代入，得，故選：B．11.如圖，在中，和的平分線相交于點F，過F作，交于點D，交于點E．若，，則線段的長為（）A.3 B.4 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據角平分線的性質，可得，，根據平行線的性質，等腰三角形的判定，可得解答即可；本題是三角形的綜合題，考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】解：和的平分線相交于點F，∴，，∵，∴，，∴，，∴∴，∵，，∴，故選A．12.小強在證明“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”給出如下過程：已知：如圖，點P在上，于點D，于點E，且．求證：是的平分線．證明：通過測量可得，．∴．∴是的平分線．關于這個證明，下面說法正確的是（）A.小強用到了從特殊到一般的方法證明該定理B.只要測量一百個到角的兩邊的距離相等的點都在角的平分線上，就能證明該定理C.不能只用這個角，還需要用其它角度進行測量驗證，該定理的證明才完整D.小強的方法可以用作猜想，但不屬于嚴謹的推理證明【答案】D【解析】【分析】根據“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”的推理過程即可求解【詳解】小強通過測量得，，得出，這種測量的方法證明結論，具有偶然性，缺少推理的依據，不嚴謹，所以小強的方法可以用作猜想，但不屬于嚴謹的推理證明．故選：D【點睛】本題考查角平分線的判定，解題的關鍵是能夠嚴謹的證明結論．卷Ⅱ（非選擇題，共84分）二、填空題（本大題共4個小題，每題3分，共12分）13.當______時，代數式的值為0．【答案】2【解析】【分析】根據且，計算即可．本題考查了分式的值為零的條件，熟練掌握分子為零，且分母不為零是解題的關鍵．【詳解】解：分式的值為0，故且，解得，故答案為：2．14.分式的最簡公分母為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了最簡公分母：如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數的最小公倍數，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．據最簡公分母的定義求解．【詳解】解：分式，的最簡公分母為．故：．15.如圖，這是用面積為6的四個全等的直角三角形，，和拼成的“趙爽弦圖”，如果，那么正方形的邊長為_____．【答案】1【解析】【分析】本題考查了算術平方根的應用；根據正方形的面積正方形的面積，求的算術平方根即可得到結論．【詳解】解：∵正方形的面積正方形的面積，∴正方形的邊長，故答案為：．16.如圖，，則______度．【答案】15【解析】【分析】本題考查了等邊對等角，三角形外角的性質．明確角度之間的數量關系是解題的關鍵．由，可得，由三角形外角的性質可得，，，，即，計算求解即可．詳解】解：∵，∴，∴，，，，∴，解得，故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題；共72分．解答應寫出演算步驟，證明過程或文字說明）17.計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）原式先計算二次根式的乘法和化簡二次根式，然后再合并即可；（2）原式先計算乘方再計算乘法即可．【小問1詳解】解：．【小問2詳解】解：．18.解方程：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗根．（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【小問1詳解】解：，方程兩邊同乘以，得，解這個整式方程，得，經檢驗，是原分式方程的解；【小問2詳解】解：方程兩邊同乘以，得，解這個整式方程，得，經檢驗，是原分式方程的解19.已知，求的值．【答案】；【解析】【分析】本題主要考查分式的化簡求值，原式的括號內先通分，把除法轉換為乘法，再約分化為最簡結果，再把代入計算即可．【詳解】解：；當時，原式．20.嘉淇在計算時，給出如下計算過程：解：原式第一步第二步第三步第四步第五步已知嘉淇的解法是錯誤的．（1）她開始出現錯誤的步驟是第______步．（2）請給出正確的解答過程．【答案】（1）四（2）見解析【解析】【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．（1）根據分式混合運算的法則找出錯誤的步驟即可；

（2）根據分式的運算法則，寫出正確的解法即可．【小問1詳解】解：從解答中可以看出，她開始出現錯誤的步驟是第四步，應當是，故答案為：四；【小問2詳解】解：21.如圖，是的中線，E，F分別是和延長線上的點，且．與全等嗎？請說明你的理由；【答案】與全等，理由見解析【解析】【分析】本題考查了三角形全等的判定、平行線的性質、三角形的中線，熟練掌握三角形全等的判定是解題關鍵．先根據三角形的中線可得，再根據平行線的性質可得，，然后根據定理即可得證．【詳解】解：與全等，理由如下：∵是中線，∴，∵，∴，，在和中，，∴．22.綜合與實踐如圖1，矩形的邊，，將矩形繞點A逆時針旋轉角得到矩形，與交于點H．數學思考：（1）填空：圖1中__________．（用含的代數式表示）深入探究：（2）如圖2，當時，求的長．（3）如圖3，當點H在對角線的垂直平分線上時，連接，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用等角的余角相等得到，再利用鄰補角的性質即可求解；（2）證明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得，據此求解即可；（3）根據線段垂直平分線的性質求得，利用證明即可證明結論成立．【詳解】解：（1）∵四邊形和是矩形，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵將矩形繞點A逆時針旋轉角得到矩形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（3）∵點H在對角線的垂直平分線上，∴，由旋轉的性質知，，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．23.學校在某商場購買甲、乙兩種不同類型的足球，相關信息如下表：（1）在上表中用含x的代數式分別表示購買甲、乙兩種足球的數量；（2）若本次購買甲種足球的數量是購買乙種足球數量的2倍，求甲、乙兩種足球在此商場的銷售單價；（3）為滿足學生需求，這所學校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個．恰逢該商場對兩種足球的銷售單價進行調整，甲種足球的銷售單價比上次購買時提高了，乙種足球的銷售單價比上次購買時降低了．如果此次購買甲、乙兩種足球的總費用不超過2950元，求這所學校最多可以購買乙種足球的數量．【答案】（1）；（2）甲種足球在此商場的銷售單價為50元，乙種足球在此商場的銷售單價為70元（3）這所學校最多可購買25個乙種足球【解析】【分析】本題考查了列分式方程解應用題，列不等式解應用題．解決問題的關鍵是理解題意，熟練運用單價、數量、總價之間的關系列方程或不等式，并解答．（1）根據題干信息列出代數式即可；（2）根據購買甲種足球的數量是購買乙種足球數量的2倍，列出分式方程，解分式方程并檢驗，求出乙種足球的單價即可；（3）設購買乙種足球m個，由題意列出不等式，解不等式，根據解集，回答學校最多可購買20個乙種足球．【小問1詳解】解：購買甲種足球的數量為個，購買甲種足球的數量為個；故答案為：；．【小問2詳解】解：∵購買甲種足球的數量是購買乙種足球數量的2倍，∴，解得：，經檢驗是原方程的解，（個），答：甲種足球在此商場的銷售單價為50元，乙種足球在此商場的銷售單價為70元；【小問3詳解】解：設購買乙種足球m個，則購買甲種足球個，（元），（元），由題意得：，．答：這所學校最多可購買25個乙種足球．24.如圖，等邊的邊長為，現有兩動點M、N分別從點A、B同時出發，沿三角形的邊運動，運動方向如圖，已知點M的速度為，點N的速度為，當點N第一次到達點B時，點M、N同時停止運動，設運動時間為秒．（1）點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？（2）點M、N運動幾秒后，以點A、