第五章數學概念、命題與問題解決教學

§5.1數學概念及其教學

一、數學概念(MathematicalConcept)的意義和結構

概念是最基本的思維形式的一種，它與其他形式一判斷、推理一是有密切聯

系的。人們必須先具有關于某事物的概念。然后才能作出關于某事物的判斷、推

理。概念是判斷推理的基礎。另一方面，人們通過判斷、推理所獲得的新認識，

又要形成新的較深刻的概念，所以概念又是判斷、推理的結晶。科學史表明：“科

學是與概念并肩成長起來的”。

概念具有如此重要的作用，我們在學習和數學過程中必須十分重視對概念的

理解和掌握。

1、數學概念的意義

［引題］

師問：“等式(x+l)2=/+2x+l是不是方程？”

生答：“不是。”“為什么？”“因為這個等式是個恒等式，不論x取什么數，

等式都成立，可以這個等式不是方程。”

師問：“什么叫方程？”

生答：“含有未知數的等式叫做方程。”

師問：“等式(x+l)2=/+2x+l含有未知數嗎？”

生答：”含有未知數x,這是方程。原來我認為含有未知數的恒等式不是方

程，這是不對的」

師問：“既然這個等式是方程，那么，這個方程有多少根?”

生答：“有無窮多解。”

師問：“對。有的方程有有限個解，例如：X+1=0只有一個解；有的方程無

解，例如I:F+i=o在實數范圍內無解；有的方程有無窮多解，方程

(X+1)2=%2+2X+1就是一例。”

一以上對話是教師在引導學生明確“方程”這個概念的內涵與外延。

什么是概念的內涵和外延？先從“概念”談起。

（1）屬性：

在客觀世界中，存在著許許多多的事物，每一事物都有本身的性質和其他事

物之間存在一定的關系。事物的性質和事物之間的關系統稱為事物的屬性。

（2）特征：

事物和屬性是不可分的，具有相同屬性的事物構成一類。屬性不同的事物就

形成不同的類。事物由于屬性相同或不同，形成各種不同的類，就是事物的特征。

（3）本質屬性：

在一類事物的許多屬性中，對該事物具有決定意義的，即決該事物之所以成

為該事物并區別于其它事物的屬性，統稱為事物的本質屬性。

例如：能思維、能制造并使產用生產工具的動物是人的本質屬性。平面內到

定點的距離等于定長的點的集合，是圓的本質屬性，有長度是圓的非本質屬性。

（4）概念：

概念是反映事物的本質屬性和特征的思維形式。

掌握概念，實質上就是要理解一類事物的共同的本質屬性。即使符號代表一類事物而不是特殊事物。

為了達到掌握概念，可以利用學習者認知結構中原有的概念，以定義的方式直接向學習者揭示概念的

本質屬性，這種使學習者獲得概念的方式叫概念同化。

但是，在數學教學中，由于學生年齡因素，他們已有的認知結構簡單，知識經驗具體而貧乏，有時概

念同化的方式對他們學習概念是不合適的。只能從大量的具體例子出發，從他們實際經驗或數學現實中，

以歸納的方式抽取一類事物的共同的本質的屬性，從而獲得某些概念。（概念的形成一曹本P.279）

所以掌握概念的典型方式是概念的形成。概念是如何形成的呢？

人們又對客觀事物的認識，一般是通過感覺、知覺形成印象（建立觀念），

在此基礎上，運用比較、分析、綜合、抽象、概括等方法，逐漸認識抽象出事物

的本質屬性和特征，并借助詞語形成反映該事物的概念。

如：自然數產生于計數。

“數”與某具體的事物聯系在一起，“5——五頭羊，五個手指頭”抽象出數

量的共同特征。

（5）數學概念：數學的研究對象是現實世界的空間形式和數量關系，數學

是關于模式與秩序的科學。數學概念就是反映這些數學對象的本質屬性和特征的

思維形式，在數學中，每一數學概念通常用一個特有的名稱或符號來表示。

例如：“圓的概念”，反映了“平面內到定點的距離等于定長的點集”這一圓

的本質屬性；

?O表示以0為圓心的圓；

sinx表示正弦函數；

“方程”的概念，反映了“含有未知數的等式”這一方程的本質屬性。

數學概念的產生與發展有各種不同的途徑：

①從現實模型中直接反映得來：幾何中的點、線、面、體一一從物體的形狀、

位置、大小關系等概括出來；自然數一一從手指數和其他單個事物排列次序抽象

出來。

②在一些相對具體的概念上，經過多級抽象概括的過程才產生和發展而成

的：復數十實數一實數一有理數一自然數概念。

③人們的思維加工，把客觀事物理想化、純粹化得來：直線的“直”和“可

以無限延伸二

④數學內部需要產生一一諸多“規定”：任何數乘以0的積為0;又例：為

把正整幕的運算法則擴充到有理數毒、無理數幕，以至實數指數毒，在數學中，

產生了零指數，負整數指數，分數指數、無理數指數等概念。

⑤根據理論上有存在的可能提出來的：自然數集，無窮遠點，

⑥在一定的數學對象的結構中產生出來，數學中許多概念，隨著數學的發展

而發展成為新的概念。例如：

多邊形的頂點、邊、對角線、內角、外角等概念，具有公共端點的兩條射線

所成的角的概念（靜態）。發展成為射線繞它的端點旋轉所成的角（動態）。

關于幾何量角的三角函數f實數的三角函數。

總之，數學概念的產生和發展的途徑是多方面的，有的數學概念的產生發展

甚至是非常復雜的（如圖論中“樹”、“枝”，同倫，范疇，鏈，鞅論，測度，流

形等等）。但，無論如何復雜，如何抽象，它們總是在一定的感性認識基礎上（直

接從客觀事物的空間形式或數量關系、模式或秩序反映出來），或者在一定的理

性認識基礎上產生出來并逐步發展的。

2、概念的內涵和外延一一這是概念的邏輯特征

概念的內涵和外延（ConnotationandExtentionofConcept）,是從質和量兩個方

面構成概念的。

（1）內涵：是指概念所反映對象的本質屬性的總和。又稱內包即性質。

例如：“人”的內涵是能思維、能制造工具，并使用工具進行勞動的動物。

（2）外延：是指概念所反映對象的總和，或概念所指對象的范圍。又稱外

包，表達數量，可看作一個集合。

例如：“人”的外延是古今中外一切的人。

二者異同點：都是主觀對客觀的一種認識，它們分別與客觀對象本身和客觀

對象的特有屬性、本質屬性是有區別的。

例如:aABC的“頂點”概念

其外延：A、B、C三點的集合，其內涵：包括點的性質和其中任一點同在

這個三角形兩邊上這個性質。

再例：自然數系中“偶數”概念。

其外延:2、4、6、8、……2n、……等數組成的集合；

其內涵：”能被2整除”這個性質。

（3）數學概念的外延和內涵是在一定的數學科學體系中來認識的。

例如：“角”的概念。

在平面幾何中，其內涵是指具有公共端點的兩條射線所組成的圖形。

在平面三角中，其內涵是指一射線繞它的端點旋轉而成的圖形。

其外延：任意大小的正角、負角、0"角。

顯見，二者的外延和內涵都是不同的。

再如：方程的“解”與不等式的“解”的概念。

“矩形與長方形”：同一概念可用不同詞語表達，同一詞語也可表達不同概

念。

用數學方法揭示邏輯中的概念問題，通常用集合的觀點和符號來說明內涵、

外延及概念間的關系。

例：自然數中偶數的外延表示為=2〃,〃是自然數｝。

正方形的內涵：鄰邊相等，內角是直角的/一/（平行四邊形）；

其外延：所有鄰邊相等，內角是直角的平行四邊形構成的集合。

一般地，集合｛乂。（%）｝表示一個概念的外延時，其中，0（X）就是這個概念的

內涵。

內涵嚴格限定了外延，外延完全確定了內涵。

（4）概念內涵與外延之間的關系一一互相嚴格地限定/確定，一脈相承，又

相依而變。

“反變關系”：概念的內涵和外延是密切聯系，相互制約的。如果概念A的

內涵比概念B的內涵多，那么A的外延就比B的外延小，這就是概念的內涵與

外延的反變關系。

例如：“等腰△”其內涵比“三角形”概念內涵多。而“等腰△”的外延比

“三角形”的外延小，少了那些沒有兩邊相等的三角形。

再如：“方程”比“整式方程”的內涵少（少了“兩邊都是關于未知數的整

式”）；而前者比后者的外延大（多了那些兩邊不都是整式的方程）。

“概念的限制”：據此，把一個概念的內涵增加（擴大），得到另一個外延較

小（縮小）的概念，叫做概念的限制；

“概念的概括”：把一個概念的內涵減少（縮小），得到另一個外延較大（擴

大）的概念，叫做概念的概括。

例如：在“四邊形”的內涵中增加“兩組對邊平行”得到“平行四邊形”；

在“平行四邊形”的內涵中增加“有一個角是直角"，得到“矩形這是概念限

制。

又如：在“一元二次方程”中去掉“只含有一個未知數，且未知數的最高次

數是2”，便得到“整式方程”；在“整式方程”的內涵中去掉“兩邊都是關于未

知數的整式”，便得到“方程”。這就是概念的概括。

概念的限制與概念的概括的過程正相反。利用它可使我們準確地選擇概念，

恰如其分地表示我們所要反映的事物。概念的內涵要用定義來揭示，外延常用分

類加以明確。借助定義和分類，可以把單個的概念組成相互關聯的概念體系。

二、概念間的關系（RelationbetweenConcepts）

邏輯上所說的概念間的關系，通常是指概念外延間的同異關系。在形式邏輯

中，兩個概念的外延之間。主要有以下幾種關系：

1、相容關系。

如果兩個概念的外延至少有一部分是重合的，則稱二者具有相容關系。兩外

延交集是非空集合。

相容關系分為以下三種：/一'、

（1）全同關系一一同一關系或者重合關系（A?B）

全同關系是指兩個概念的外延完全重合。V一J

具有全同關系的概念，其外延雖然完全重合，但它們的內涵可以不同。

例如：①數0是自然數集中最小數；又是正與負數的分界數；又是運算中兩

個相等數的差；等等。

②在等腰△中：底邊上的高線、中線及頂角的平分線的外延相同，但其內涵

（性質）不同。

③1"=2"=sina2+cosa2=A/5+V24-A/5-V24=0!=---

④“同一關系”的例：

北京；中華人民共和國首都。

非零自然數；正整數。

等邊△；正△?

等邊矩形；等角菱形。

同一概念是從不同的方面反映同一事物的本質屬性，因而同一概念的外延相

同，但內涵不完全相同。研究全同關系，可以對概念所反映的對象得到較深刻、

較全面的認識。

此外，在推理證明中，具有全同關系的概念（即同一概念）可以互相代換，

使得論證簡明。（―\

表示Az>B：A較大----屬（上位）概念（）

B較小一一種（下位）概念

（2）從屬關系（屬種關系）

設不是同一關系的兩個概念甲、乙，其外延分別用A、B表示。如果甲概念

的外延A完全包含乙概念的外延B,或者說。如果B概念是A概念外延的一部

分而不是全部，種概念B的外延是屬概念A的外延的真子集。

例如：有理數的外延（屬概念）o整數的外延（種概念）。

有屬種關系的兩個概念的關系，在外延、內涵數量上，互相制約。

一個概念的內涵多一外延一小［

>■反比關系（反變關系）

反之內涵少f外延一大

Note：這里借用“反比”的意思只是表示概念的內涵與外延在數量方面相應

的變化方向相反，并不意味其間數量成反比例關系。

例如：四邊形外延外延口外延=）口外延

多出：兩組對邊平行；兩組對邊相等；對角線互相平分。

多出：四個角是直角；對角線相等。

多出：鄰邊相等；對角線相等且相互垂直平分。

□內涵O內涵n二7內涵o四邊形內涵

屬概念和種概念是相對的。同一個概念，相對于某一概念是屬概念，相對于

另一概念可以是種概念。

例如：“有理數”是“整數”的屬概念，也是“實數”的種概念；

“等腰△”是“△”的種概念，也是“等邊△”的屬概念。

“種差”的概念：種概念包含于屬概念，種概念除具有屬概念的內涵外，還

具有本身特有的內涵，這特有的內涵被稱為種概念的種差（“種差”概念在概念

的定義中有重要作用）。

屬種關系又稱從屬關系。在數學中，屬種關系是概念間比較重要的一種關系。

這種關系，在研究概念的性質以及推理，證明中常用到。/7VA

（3）交叉關系（A（）B）

如果兩概念外延，有且只有部分重合，那么兩個概念具有交叉關系。

例：方程組的解集；不等式組的解集；幾何中軌跡交截法。

交叉概念A和B外延的交集既是A外延的真子集，也是B的真子集，這個

交集往往是另一個概念的外延。以交叉概念A和B外延的交集為外延的概念，

既具有A的內涵，又具有B的內涵。

ABAnB

例：中學生；女學生=>女中學生；

正數；整數n正整數；

矩形；菱形=>正方形。

遞增數列；有界數列=>遞增有界數列

正方形既是一組鄰邊相等的矩形，又是一個角是直角的菱形。

2、不相容關系

如果兩概念的外延沒有重合部分，則稱為不相容關系或全異關系或排斥關

系。它分為：

（1）矛盾關系

在同一屬概念下的兩個種概念，如果它們的外延的和等于屬概念的外延，而

且這兩個種概念具有全異關系，那么，這兩個種概念的關系為矛盾關系。

用集合符號表示之，設屬概念的外延為集合C,它的兩個種概念的外延分別

為集合A和B。

若AcB=6且AUB=C:）C

則A與B具有矛盾關系。vjiy

例：男青年；女青年一｛青年｝

有理數；無理數一｛實數｝

直角△；斜a-｛△｝

空集；非空集一｛集合｝.

（2）反對關系（又稱對立關系）

在同一屬概念下的兩個種概念，如果它們的外延之和小于屬概念的外延，而

且這兩個種概念具有全異關系，那么，這兩個種概念的關系為反對關系或者對立

關系。

若ACB=6且AuBuC,

則A與B具有反對關系。

例：牛；馬u動物，

質數；合數u自然數,

正弦函數；余切函數u三角函數

平行四邊形；梯形U四邊形

概念的全異關系（矛盾/反對）是數學中反證法、窮舉法的依據（邏輯基礎）

之一，用處很多。

兩個概念間的矛盾關系和反對關系與它們的屬概念有關。對于不同的屬概

念，兩個種概念的關系可能不一樣，對兩個種概念的矛盾關系或反對關系，必要

時應指出是對于那個屬概念而言的。

除以上各種關系外，概念之間還有一種并列關系。

3、并列關系

同一屬概念的幾個種概念之間的關系叫做并列關系。

概念的并列關系，可以是相容的，也可以不相容的。

概念A、B、C之間的相容并列關系可用圖表示：

例：小說家；詩人；劇作家；

無窮數列；有界數列；遞增數列；

2的倍數；3的倍數；5的倍數；7的倍數。

概念A、B、C之間的不相容并列關系，可用下圖表示:

例：紅色；藍色；藍色；

力口；減；乘；除；

正弦；余弦；正切；余切；正割；余割。

并列關系多指三個或三個以上種概念之間的關系。

［小結］數學中的概念很多，概念之間的關系也比較復雜。教學中我們可以利用

歐拉圖把這些關系直觀地表示出來，便于學生掌握和理解。例如：四邊形及其一

系列種概念關系可如圖所示:

四邊形

平行四邊形梯形

直角

等

正

腰

菱

矩

梯形

方

梯

形

形

形

形

概念之間的關系可概括為:

‘同一關系

相容關系從屬關系

概念間的關系交叉關系

矛盾關系

不相容關

反對關系

相容關系

(并列關系

不相容關系

三、概念的定義和原始概念

［問題的提出］:“2后是不是二次根式？”

答曰：“不是。教材中把式子八320)叫做二次根式，2月不具有八的形

式，所以2g不是二次根式。”

又答曰：“是。把二次根式化為最簡二次根式結果就是2石。26是最

簡二次根式，還能不是二次根式嗎？”

兩種回答觀點相反，如何解釋？

這是一個與“二次根式”的定義有關的問題。

1什么是定義(Definition)

定義是揭示概念內涵的邏輯方法。也即，通過指出概念所反映的事物的本質

來明確概念的邏輯方法。

例如：“方程”是“含有未知數的等式叫做方程”。

“三角形”是“由三條線段首尾順次連結所組成圖形”。

定義是由被定義項、定義項和定義聯項三部分組成。

Ds-被定義項：就是其內涵被揭示的概念。

Dp-定義項：就是用以揭示被定義概念內涵的概念。

常用的定義聯項:“是"、“叫做”、“稱為"etco

例"Ds就是Dp”或“Dp叫做Ds

平行四邊形就是兩組對邊分別平行的四邊形。

Ds聯項Dp

含有未知數的等式，叫做方程。

Dp聯項Ds

在科學系統中，對于每一個數學概念都要給予確定的內容和含義，給概念下

定義就是準確地揭示它的內涵。

通常，當一個概念的內涵被揭示之后，就有了標準來確定哪些對象是屬于或

不屬于這個概念的外延。即只要揭示了概念的內涵，也就確定（嚴格地限定）了

它的外延。

因此，概念的定義可以作為判別概念外延的標準。

2、數學概念的定義方式

數學概念繁多，其定義方式各不相同，中學數學教材根據學生年齡特點和知

識水平，針對不同類型概念采用不同的定義方式。

數學中常用的幾種定義方式：

（1）屬概念加種差的定義方式

中學數學中，有一系列概念屬于同一類，這些概念之間的外延存在屬種（從

屬）關系。在這一體系中，對某一概念有若干屬概念，從最鄰近的屬概念出發來

定義，即把被定義的概念歸入另一個較為普遍的概念（屬概念）是最常用的定義

方式。

所謂種差，是在同一個屬概念里，一個種概念與其他種概念之間本質屬性的

差別，叫做這個種概念的種差（此有彼無的屬性）。

其公式為“被定義概念”=“屬概念”+“種差”。

定義1°：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平等四邊形。

定義2。：只含有一個未知數而且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元

二次方程。

這種定義方式的優點在于能用已經定義的概念來定義它的種概念。用種差來

揭示被定義的概念的特有性質。定義既準確，又明瞭，還有助于揭示概念間的各

種關系，把概念系統化。

例如

“四邊形”+“兩組對邊分別平行”="平行四邊形”；

“平行四邊形”+“有一個角是直角”=“矩形”；

“矩形”+“鄰邊相等”=“正方形”。

四邊形、平行四邊形、矩形、正方形之間的從屬關系，以及平行四邊形與非

平行四邊形的四邊形，矩形與非矩形的平行四邊形，正方形與非正方形的矩形等

之間的矛盾關系，以及其內涵的差異都能夠從它們的定義看得很清楚。

在同一個屬概念里，一種概念與其他種概念的本質屬性相差可能不只是一

個。只要能把這個種概念和其他種概念區別開來，定義時，可選用其中一個或幾

個本質屬性作為“種差”。

例如用“四邊形”作屬概念，選擇不同的種差，可給出平行四邊形下面幾

組定義：

1。、兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；

2。、一組對邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形；

3。、兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形；

4。、對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形；

還有其他“種差”：

對角相等

5°、鄰角互補+四邊形!一7（平行四邊形）等等。

對角線分得四個小三角形等積

在同一教材體系中，一個概念只能采用一個定義。也許是為了和“平行四邊

形”這個名稱協調一致，一般選用第1°定義。其他定義都被表述為一個性質定

理或判定定理。

例如定義4。被“分解”為：

平行四邊形性質定理：平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形判定定理：對角線互相平行的四邊形是平行四邊形。

在教學中，為培養學生抽象能力，把某些教材適當改變是有好處的。比如，

可以改變逐個講解平行四邊形的定義，判定和性質定理的辦法。而是讓這生觀察

圖形或模型，從而得出平行四邊形的全部本質屬性（種差）。然后，讓學生自行

分析應當以哪一組本質屬性作定義，又以哪一組屬性作為基礎的性質定理，最后，

完成定義和定理的準確敘述，并用出相應的證明。

——上例是所謂用發現法進行教學（或數學化教學）的典型例子。

在平面幾何中，多邊形、四邊形、平行四邊形、矩形、正方形；

在立體幾何中，幾何體、棱柱、直棱柱、正棱柱、正四棱柱；

在代數中，代數式，有理代數式、整式、單項式；還有映射，函數，初等函

數，有理函數，有理整函數，一次函數都屬于這一類。教學中，根據這類概念的

特性，除了講清概念本身外，還要把該概念放置在這一體系中從發展的觀點出發

闡明概念之間的關系。

（2）發生定義方式

發生式定義其實是“種差加屬”定義方式的特殊形式。其基礎不是事物的存

在，而是它的產生和形成過程。它即是把只屬于被定義概念，而不屬于其他任何

事物的發生或形成的特有屬性作為種差的定義。

例如

1。、在平面上射線繞它的端點旋轉所成的圖形叫做角。

2。、把數和表示數的字母用代數運算符號聯結起來的式子叫做代數式。

3。、平面內一個點繞著一個定點做等距離運動所成的封閉曲線叫做圖。

4。、一個圓沿著一定直線滾動時，圓周上的一定點的軌跡叫做擺線。

立體幾何中有關旋轉體的概念（如圖柱、圓錐、圓臺等）；解析幾何中，橢

圓、雙曲線、拋物線、漸近線，擺線等都是采用發生定義的。

這些定義方式的共同特點：把被定義概念的屬概念（不一定是最鄰近的）加

上被定義的概念的發生過程，即把概念的發生過程作為種差。

有的概念雖然是發生式定義，但未必能明顯地寫成“屬十種差”的形式。如：

排列、組合、某事件的概率。

例如“排列”定義為：“從n個不同元素中，任取皿加＜〃）個，按照一定

的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

采用發生式定義的概念，在教學中必須緊緊抓住概念形成的過程和條件，并

認真研究這些條件，才能切實掌握這類概念。即現時強調知識的發生過程。

（3）揭示外延的定義方式

用直接指明外延的方法定義概念，稱為外延定義。

?普通概念的外延定義

普通概念是指反映某一類對象的概念，它們所映的每一個對象都具有共同屬

性。如一次函數、數列、復數、三角形等。

中學數學中，實數、有理數概念都是用外延定義。如:

整數和分數統稱有理數；

有理數和無理數統稱實數；

整式和分式統稱有理式；

銳角△和鈍角△合稱為斜△;

三角函數是正弦函數、余弦函數…的總稱。

?單獨概念的外延定義（或稱約定式定義）

單獨概念是反映某一個特定對象的概念，它的外延只含有一個對象。如自然

對數底e和圓周率”就是單獨概念。

數學中根據內部發展規律的需要對單獨概念作特殊規定，如零指數概念定義

為使同底數基的除法法則，在被除式的指數與除式的指數相等時

也能適用；零階乘概念定義為0!=1。這時，他們的內涵與外延統一起來。

再如定義“負指數”規定：。一2=；“象右（aNO）的式子叫

a~

做二次根式"；Cn°=l；”表示空集，N（自然數集），Z（整數集），R（實數集）,

C（復數集）。

（4）其他定義方式

?關系定義：又稱相關概念的定義方式，它是以事物間的關系作為“種差”

的定義，它指出這種關系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬

性。

例如“偶數”的定義是：“能被2整除的整數叫偶數”，這是一個關于偶數

的關系定義；

在幾何中，研究幾何元素間的位置關系，如平行、垂直、相交等；

大于直角而小于平面的角叫鈍角；

b（bWO）整除a,就是me,使2=8,（a、b、c、eZ）。

在代數中，數與數，數與式，式與式等關系，如：

運算關系，即對加、減、乘、除等運算概念的定義；

函數關系，即對各種函數關系的定義；

其他關系，如最大公約數，互度數，同類項等。

?公理化定義方式

用若干條公理給概念下定義，稱為公理定義方式。

例如1891年意大利數學家皮亞諾(GPeano,1858-1932)提出了用公理來

定義自然數，成為數的概念的理論基礎。

(i)“1”是自然數；

(ii)“1”不是任何自然數的后繼數；

(iii)每個自然數a,都只有一個后繼數a，；

(iv)如果a=b,那么a'=b'；

(v)任意一個自然數的集合，如果含有1,并且假定：含有n,也一定含有

n的后繼數n，，那么這個集合含有所有的自然數(歸納公理)。

這些公理中用到不定義概念，，直接后繼”，簡稱“后繼"，用’表示；還有“1”,

“集合”，“自然數”，“含有”等概念為前提。

關于自然數集擴充：

從公理集合論觀點，用集合“無究公理”作為基礎，自然數可如下歸納定義:

(參見：張錦文《集合論淺說》，1984,科學出版社)

0=。(空集是0)

1=｛。｝(0的后繼)

2=｛。、｛0｝｝(1的后繼)

3=｛。、｛。｝、｛。、｛。｝｝｝(2的后繼)

一般地，若自然數n已經定義，則n的后繼n+1定義為：

〃+1=｛0,1,2,3,1,,,?｝=｛〃｝,

所有自然數的集合稱為自然數集，記為N=｛0,1,2,3,…｝。按此定義，自然數0,1,

2,n…都是集合，而且前面的集合總是后面集合的元素：

0ele2e3G---enen+lG---

因此，用屬于關系“e”來定義自然數的序“<”，是很方便的。這樣，自然

數的理論就完全建立在集合論基礎之上，能夠用集合論語言來統一表述。

值得指出的是：皮亞諾公理化定義的自然數與集合論定義的自然數是等價

的。建立如下----對序/：

{0,1,2,3,…,〃，…}

7

{1,2,3,4,…”+1,…},并且這兩集合是序同構的。

在歐氏幾何的構成過程中，由于希爾伯特的貢獻，建立了近代公理體系，使

歐氏幾何理論基礎完整而嚴格。在希氏的公理體系中，間接地定義了點、直線、

平面，同時定義了它們之間的若干關系。

公理化定義是一種嚴格的定義方式，有著重要的理論和應用價值，但考慮到

量力性原則，中學教材中沒有直接使用公理定義。

?遞歸定義方式(一般適用于與自然數的性質有直接關系的對象)

在算術理論中，“兩個自然數的和"定義為：

對于任意兩個自然數m,n,有且只有一個自然數m+n與之對應，且滿足下

列條件：

(i)對任意自然數m,有m+l=m"

(ii)對任意兩個自然數m,n有m+if=(m+n):

則稱m+n為m與n的和。

這種定義叫做遞歸定義。

例如正整數指數幕可以用遞歸定義：

(i)a'=a(a°=l(aW0))

(ii)ak+1=ak.a(k為正整數)

中學數學教材中幕的定義：

實數a(aWO)的n次幕：a"~aa---a(〃eN)

〃個

Ja"=0

^\ak+'=ak-a儀為非負整數)

恰當使用遞歸定義，可把,一類概念中省略號“的含義確切地表述

/=1

出來，從而顯得更加嚴謹。

例￡4的意義是ai+a2+…+an。但這里“…”意思不明確。

/=1

2

如1+4+9+…第四項可理解為16(an=n),也可理解為22(an+l=2an+an-i)o

但以遞歸定義就確定了：￡6=/(〃).fR滿足：

/=1

⑴/(l)=ai

(ii)./(n+l)書n)+an+i(neN)

(5)原始概念

在一門科學體系中，總要給概念下定義，既用已知的概念來定義新的概念，

這就構成一個概念序列。在這個序列中總有一些概念是不能引用其他概念來定義

的，這就是不定義的原始概念(或稱描述性定義概念)。如點、直線、平面、集

合、對應、長度、面積等概念。

因為沒有比它們更高的屬概念，所以不能用屬加種差的方法來下定義。在中

學數學中，常常用比較和描述的方法揭示這類原始概念的基本特征，以代替定義,

通常稱為描述性定義。在近代數學中，一般卻通過公理化方法，來闡明原始概念

的本質屬性，通常也稱為公理定義或隱定義。

由于原始概念一般是直觀描述，或具體說明(事例)。在教學中，應從具體,

形象入手，再概括成概念，從概括中闡明它的本質屬性。

3、定義的規劃：

(1)定義必須相稱

即由定義確定的處延與被定義概念的外延必須是相等的，不能擴大也不能縮

小。它們是同一關系。

例如無理數定義為：“帶根號的數是無理數”或“無限小數是無理數”是

不相稱的。

這里，“無理數”與“帶根號的數”是交叉關系。

再如梯形定義為：“有一組對邊平行的四邊形叫梯形”。

這也是不相稱的。有一組對邊平行的四邊形不但包含梯形，而且還包含平行

四邊形。這種定義概念的外延大于被定義概念外延的邏輯錯誤叫做“定義過寬”。

下面定義都犯了此錯誤：

“不相交的兩條直線叫做平行線”。

再如無理數的下述定義：“開不盡的方根叫做無理數”。

這種定義概念的外延小于被定義概念外延的邏輯錯誤叫做“定義過窄”，下

述定義犯此錯誤：

“正數的正的平方根叫做算術根”。

“大于180。且小于270。的角叫做第四象限角”。

討論開始提出的問題：“26是不是二次根式？”

教材中二次根式的定義是：

“式子&（a>0）叫做二次根式。”

2g不具有右的形式，根據上述定義，2后不是二次根式。但是，在研究

二次根式的化簡和運算時，習慣上都把象2方這樣的式子也稱為二次根式。這樣，

上述定義就有“定義過窄”之嫌。為解決這一問題，教材在引入“最簡二次根式”

之前，用“注”的形式做了如下補充規定：

“為了方便，我們把形如匕&（。20）的式子也叫做二次根式:有了這個補

充規定，我們可以說“26是二次根式了”。

（2）定義不能是循環的

即定義要用已知概念，不要出現循環定義或同語反復。

定義概念不能直接或間接地包括被定義概念。

例用兩直線垂直來定義直角，又用兩直線成直角來定義垂直。

例把累定義為：“乘方運算的結果叫做累”，又把乘方定義為：“求暴的運

算叫做乘方"。這是循環定義。定義概念“求累的運算”間接地包括了被定義概

念“乘方”。

（3）定義要簡明、確切

（即要求：不含糊，不比喻，不羅嗦，不含推出屬性）

例如說矩形象方凳子面那樣的圖形；象滿月一樣的圖形叫作圓。

在屬種定義中若不取最鄰近的屬，容易造成重疊羅嗦或遺漏。有時定義形式

似乎簡明，但在邏輯上也能是羅嗦，如：

“菱形是四邊相等的平行四邊形”。

其中，含有推出屬性，因只要一組鄰邊相等即可。

再如“有一角是直角，其他兩個角是銳角的三角形叫做直角三角形”。

其中，“其他兩個角是銳角”可由“有一個角是直角推出來”。

（4）定義一般不用否定形式

某些概念的特有屬性就是缺乏某個屬性例外。如平行線定義。

構造數學定義系統，還要遵循如下準則：

①定義要有序列性；

②定義要有穩定性和合理性；

③定義要具有存在性和唯一性；

④定義要具有前后一貫性。

四、概念的分類（源于拉丁語classis—一種類，facio一—劃分）。

1、何謂分類（partition）

把一個屬概念分為若干個全異種概念的邏輯方法來提示概念的外延以及概

念間的各種關系，這就是分類。

（有書上介紹又分為劃分和分類，認為分類是劃分的特殊形式，是根據概念

所反映對象的本質屬性所進行的劃分。在此，我們不加區分統稱分類。）

按照集合論的術語，即把事物集合劃分為不相交的子集。分類是系統化方法

之一。

按集合論的觀點來分析，概念劃分，實質上就是按照某種屬性S,把母項的

外延集合A,分成若干個滿足下列條件的非空子集Ai,A2,-An：

AuA,A?uA,…uA

<A]r>A2=（/）,nAs=。…,=°（A,.cA,="（ih/））

Au&u…u-A

概念的分類，要以概念所反映的事物的屬性或特征為標準。同一概念可以用

不同的標準進行不同的分類。一般按概念的自然特征來劃分。如：多邊形按邊數

分為三邊形、四邊形、五邊形……

例“三角形”的分類

'銳角△

以“角的大小”為標準，分類為：△=R/A

鈍角△

以“邊的大小”為標準，分類為：△=不人等1邊3△

［等腰△

任何分類都包含劃分的母項、子項和根據三要素。其中：母項一一被劃分的

概念；子項一一劃分所得各概念；根據一一劃分標準。

2.分類的基本方法

劃分有一次劃分和多次劃分之分。

?一次劃分是對被劃分概念只劃分一次。如：

三角形分為銳角△，Rt△，鈍角△三類。

?多次劃分是把劃分后所得的子項作為母項，再進行劃分，直到滿足需要為

止。

橢圓（包括圓）

有心圓錐由線

如:圓錐曲線雙曲線

無心圓錐由線一拋物線

（1）二分法：把一個概念分為兩個具有矛盾關系的種概念的分類方法。即

把一個概念的外延中具有某個屬性的對象作為一類，把恰好缺乏這個屬性的對象

作為另一類。這就是二分法。

/負數集7鷺”形］’等腰梯形

例：實數

非負實數’非等腰梯形

在科研中，為集中注意概念的某些屬性，采用二分法分類是有好處的。概念

一貫地分為兩個相矛盾的種概念，直到不必再分為止。優點是規則易守。

不等邊A

例：三角血必11ali（底邊與腰不等的等腰X,

等腰Af、工

等邊A

二分法劃分之實例：

'按等邊平行四邊敢菱形）

平行四邊形

邊不等邊平行四邊行

按直角等邊平行四邊服正方形）

等邊平行四邊自菱形卜

角非直角等邊平行四邊行

'按直角不等邊平行四邊形

不等邊平行四邊形

、角非直角不等邊平行四邊亍

平行四邊行!按直角平行四邊放矩形）

［角非直角平行四邊形

直角平行四邊購：等邊直角平行四邊形（正方形）

邊不等邊直角平行四邊形

非直角平行四邊嚙等邊直角平行四邊形

不等邊非直角平行四眺

'正整數

正有理數

.正分數

有理數1f零

實數＜非正有理數'負整數

負有理數＜

復數＜負分數

正無理數

無理數

負無理數

純虛數

虛數

非純虛數

（參見李永新本P.113）

（2）一般的劃分方法

把屬概念，根據本質屬性或特征的不同，分為幾個具有全異關系的種概念，

使得劃分的結果比較穩定。

?注意區別分類和分解：

分解是把一個事物由整體分成若干部分。分解后的每一部分一般不再具有原

來事物的本質屬性。因此，不能說某一部分是原事物。例如：樹可分解為樹根、

枝、干、葉等。其中任何一部分不再具有樹的本質屬性。說“樹葉是樹”是錯誤

的。

分類則是把一個屬概念分為n個全異（不相容）種概念，即把一類事物分為

n個小類。分類后的每一個小類仍具有原事物的本質屬性。

例如把對數分為首數和尾數，這是分解，而不是分類。

首數是對數的一部分，它不具有對數的本質屬性；由對數可唯一確定真數，

但只由首數卻不能確定真數，不能說“首數是對數”。同理，分數分為分子和分

母；把函數分為自變量，對應關系等，都不是分類，而是分解。

3、分類的規則（基本要求）

（1）分類應當是相稱的一一分類的主要標準。

即要求分類：不遺漏，不重復（包含二重含義：子項互不相容，子項窮盡母

項）。

分類所得的各個全異的種概念的外延的總和，應等于被分類概念的外延。這

樣，被分類概念的每一個對象都應落到一個且僅一個種概念內。即劃分后不能有

一些事物既屬于這個子項，又屬于另一個子項。

在對數學概念分類時“種概念外延總和小于被分類概念的外延”。（即分類不

全）的錯誤比較多。例如：

實數分為正實數、負實數（缺少｛0｝）

四邊形IE7（少“矩形”）

梯形

「合數

自然數（少T）

質數

產生錯誤的原因之一，就是只對一些比較主要的種概念重點進行了研究，其

余的沒有專門的名稱，更沒有對它進行專門的研究。因此，分類時容易把這部分

遺漏。

再如把平行四邊形和三角形分為：

［正方形［等邊△

乙7=＜菱形△=?等腰△

鄰邊不等的矩形［不等邊公

這種分類是不相稱的。因為正方形也是菱形，等邊三角形也是等腰三角形。同一

對象可能落到兩類內，而且漏掉了不等邊的平行四邊形。

（2）分類要用同一個確定的根據一一按同一標準進行

一個概念的一次分類應自始至終按同一標準進行。否則易引起混亂，導致分

類錯誤。不能達到準確揭示外延的目的。

（按角分）銳角A,R/△，鈍角4

例如“三角形”分成五類。

（按邊分）不等邊A,等邊A

其中不等邊△,等邊△與銳角△都有相容關系，違反（1）

Note：違反了（2）,就違反（1）。

如果想按兩個標準對一個概念進行分類，可先按一個標準對這個概念進行分

類，得到若干種概念。然后，再對每個種概念按另一個標準分類。

例如對“三角形”，先按角的大小分類，再繼續按邊的大小分類，則可化

劃分為七類:

銳角△直角△鈍角△

不等邊

△

底邊與腰不

等的等腰4

等邊

△

（3）分類一般不應當越級，即要求把屬概念分為最鄰近的種概念。（即以鄰

近的種概念作為子項）

例如實數分為有理數和無理數。

‘整數

但把實數分為：分數就越級了。

無理數

越級分類可把概念的系統搞亂。

4、分類在數學中的應用

在中學數學中，從定義概念、證明定理、解答問題到總結系統復習，各個環

節都用到分類這一邏輯方法，另外，分類思想也是中學數學教育中重要的思想方

法。

（1）定義概念中的分類

（2）證明定理、推導公式中的分類

（3）解答問題，討論問題中