PAGE1第06講解題技巧專題：構造等腰三角形目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一利用平行線+角平分線構造等腰三角形】 1【考點二利用“角平分線+垂線合一”構造等腰三角形】 5【考點三過腰或底作平行線構造等腰(邊)三角形】 11【考點四利用倍角關系構造新等腰三角形】 20【考點一利用平行線+角平分線構造等腰三角形】模型分析：由平行線得到內錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結）。平行四邊形中的翻折問題就常出現該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點P作PQ//ON.結論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點O作的平行線與，分別相交于點M，N．結論：△BOM、△CON都是等腰三角形。例題：（2024八年級上·全國·專題練習）已知如圖中，，平分，平分，過作直線平行于，交，于，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長．【答案】(1)見解析(2)【知識點】兩直線平行內錯角相等、根據等角對等邊證明邊相等【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，角平分線的定義等．（1）首先根據平行線的性質可得，再根據角平分線的定義可得，可得，據此即可證得；（2）同理（1）可得，根據的周長，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，平分，，，，∴是等腰三角形；（2）解：∵，，平分，，，，∵，，∴的周長為：．【變式訓練】1．（23-24八年級上·湖北襄陽·期中）如圖，在中，，平分交于點D．過點A作，交的延長線于點E．

(1)求的度數；(2)求證：是等腰三角形；(3)若，求的長（用含m，n的式子表示）．【答案】(1)(2)見解析(3)【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線的性質探究角的關系、三角形的外角的定義及性質、等腰三角形的性質和判定【分析】（1）根據和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解；（2）根據條件證明，再根據等角對等邊即可證明；（3）根據題意和（1）（2）問的結論證明，，是等腰三角形即可．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵平分，∴，∴；（2）證明：由（1）得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，由（2）得：，∴，∴，∴；【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和判定，平行線的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質和判定是解決問題的關鍵．2．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點，過O點作交，于點E，F．圖中有個等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關系，并說明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個等腰三角形；與，間的關系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點O，過點O作交于E，交于F．圖中有個等腰三角形．與，間的數量關系是．【答案】（1）2，，理由見解析．（2）5，（3）2，【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線的性質探究角的關系、等腰三角形的性質和判定【分析】（1）本題考查平行線性質、角平分線性質、等腰三角形的性質和判定，根據角平分線性質和平行線性質得到角相等，再進行等量代換得到，，再利用等角對等邊，得到，，即可解題．（2）本題考查平行線性質、角平分線性質、等腰三角形的性質和判定，根據角平分線性質和平行線性質，再進行等量代換得到、、、，再利用等角對等邊，得到對應線段相等，即可解題．（3）本題解法與（1）類似．【詳解】（1）解：，理由如下：，的平分線交于O點，，，

，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個等腰三角形．．故答案為：2．（2）解：，即為等腰三角形，，，的平分線交于O點，，，即為等腰三角形，，，，，，，，即為等腰三角形，，，和為等腰三角形，．綜上所述，共有5個等腰三角形，故答案為：5，．（3）解：的角平分線與外角的角平分線交于點O，，，，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個等腰三角形．．故答案為：2，．【考點二利用“角平分線+垂線合一”構造等腰三角形】模型分析：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，從而得AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對的角平分線重合，易得這個三角形是等腰三角形．例題：（23-24八年級上·湖北荊門·期末）如圖，在中，的平分線交于D，過C作交于II，交于N．(1)求證：為等腰三角形；(2)求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【知識點】三角形的外角的定義及性質、三角形內角和定理的應用、全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質和判定【分析】本題主要考查了三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握以上知識點．（1）由平分交于，可得；由交于可得；兩者結合由三角形內角和定理可得，即可得，從而得到是等腰三角形；（2）連接，先證，得到，，從而可得，由此即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵平分，∴，又∵在和中，，∴，∴，∴為等腰三角形；（2）證明：，理由如下：如圖：連接，∵和中：，∴，∴，又∵，∴，又∵中，，∴，∴，∴．【變式訓練】1．（23-24八年級上·湖南常德·期末）如圖1：在中，平分，且，(1)若，求的長；(2)如圖2，若交于，交于，且為等腰三角形，求的長．【答案】(1)10(2)【知識點】角平分線的有關計算、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定義【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質．（1）延長交于點．證明，由即可得出結論；（2）根據題意得到，由為等腰直角三角形，證明即可得出結論．【詳解】（1）解：如圖，延長交于點．平分，，，又，，，即，在中，，，；（2）解：如圖，（對頂角），，，又為等腰直角三角形，，，在與中，，，，即．2．（24-25八年級上·陜西西安·開學考試）利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖①平分．點A為上一點，過點A作,

垂足為C，延長交于點B，可證得，則，．【問題提出】（1）如圖②，在中，平分，于點E，若，，通過上述構造全等的辦法，求∠的度數；【問題探究】（2）如圖③，在中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數量關系；【問題解決】（3）如圖④是一塊肥沃的土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，他進行了如下操作：①作的平分線；②再過點A作交于點D．已知米，米，面積為平方米，求劃出的的面積．【答案】（）；（），理由見解析；（）【知識點】三角形的外角的定義及性質、角平分線的有關計算、等邊對等角、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】（）延長交于點，由已知可知，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性質即可得出結論；（）延長交于點，證，得，再由已知可知，即可得出結論；（）延長交于，由已知可知，，則再由三角形面積關系得，即可得出結論．【詳解】（）解：如圖，延長交于點，由已知可知，∴，∵，∴；（）解：，證明如下：如圖，延長交于點，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，由已知可知，，∴；（）解：如圖，延長交于，由已知可知，，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的外角性質、角平分線定義以及三角形面積等知識，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【考點三過腰或底作平行線構造等腰(邊)三角形】模型分析：在等腰三角形內部或外部作任意一邊的平行線均可構造出新的等腰三角形.條件：如圖1，若AC=BC,過點D作D作DE//BC.結論：△ADE是等腰三角形.條件：如圖2，若AC=BC,過點D作D作DE//AB.結論：△CDE是等腰三角形.例題：（24-25八年級上·湖南張家界·期中）如圖，是的角平分線，，交于點．(1)求證：是等腰三角形．(2)當時，請判斷與的大小關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，見解析【知識點】角平分線的有關計算、等腰三角形的性質和判定、兩直線平行內錯角相等【分析】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的判定及性質，角平分線定義，熟練掌握等腰三角形的判定及性質是解題的關鍵．（1）由角平分線得．再根據平行線的性質得，進而．即可證明結論成立；（2）由等邊對等角及平行線的性質得，，從而．由（）得，，從而．【詳解】（1）證明：證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴，∴．∴，∴是等腰三角形；（2）解：．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（）得，∴，∴．【變式訓練】1．（24-25八年級上·山西朔州·期中）綜合與探究如圖，在中，，為延長線上的一動點，且，交于點．(1)如圖1，求證：是等腰三角形．(2)如圖2，當為的中點時，與有怎樣的數量關系？請寫出結論，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析．【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質和判定【分析】本題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質以及垂線的定義．解題的關鍵是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性質．（1）通過已知條件證明和相等就能證明是等腰三角形；（2）由，F是AB的中點可得，再根據勾股定理求出，過A點作，再通過證明三角形全等得出．【詳解】（1）證明：，．，，，．又，，，是等腰三角形；（2）解：，理由如下：過點作于點，由（1）得，∵，．，，．又為的中點，．在和中，，，．2．（24-25八年級上·河南周口·期末）（1）如圖1，為等邊三角形，動點D在邊上，動點E在邊上．若這兩點分別從點B，A同時出發，以相同的速度分別由點B向點A和由點A向點C運動，連接交于點P，則在動點D，E的運動過程中，與之間的數量關系是______________________．（2）如圖2，若把（1）中的“動點D在邊上，動點E在邊上”改為“動點D在射線上運動，動點E在射線上運動”，其他條件不變，上述結論還成立嗎？請說明理由．（3）如圖3，若把（1）中的“動點D在邊上”改為“動點D在射線上運動”，連接，交于點M，其他條件不變，則在動點D，E的運動過程中，與之間存在怎樣的數量關系？請寫出簡要的證明過程．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3），證明見詳解【知識點】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質、根據平行線判定與性質證明【分析】本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．（1）根據題意得，和，即可證明，則有；（2）由題意得，，進一步得，結合等邊三角形的性質即可證明，有；（3）作交AB于H，則，，，有為等邊三角形，進一步得，即可證明，則．【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，∴，，由題意得，，在和中，，∴，∴；（2）成立，理由如下：由題意得，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，（3），理由如下：作交AB于H，如圖，∵為等邊三角形，，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．3．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·期末）【問題初探】（1）數學課上，李老師出示了這樣一個問題：如圖1，在中，，點F是上一點，點E是延長線上的一點，連接，交于點D，若，求證：．①如圖2，小樂同學從中點的角度，給出了如下解題思路：在線段上截取，使，連接，利用兩個三角形全等和已知條件，得出結論；②如圖3，小亮同學從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點E作交的延長線于點M，利用兩個三角形全等和已知條件，得出了結論；請你選擇一位同學的解題思路，寫出證明過程；【類比分析】（2）李老師發現兩位同學的做法非常巧妙，為了讓同學們更好的理解這種轉化的思想方法，李老師提出了新的問題，請你解答，如圖4，在中，點E在線段上，D是的中點，連接，，與相交于點N，若，求證：；【學以致用】（3）如圖5，在中，，，平分，點E在線段的延長線上運動，過點E作，交于點N，交于點D，且，請直接寫出線段，和之間的數量關系．【答案】（1）①選擇小樂同學的做法：證明見解析；②選擇小亮同學的做法：證明見解析；（2）證明見解析；（3）【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質和判定、根據平行線判定與性質證明、含30度角的直角三角形【分析】（1）①證明，得出，，證明，得出，證明，得出，即可證明結論；②證明，得出，根據等腰三角形的判定證明，即可證明結論；（2）延長，取，連接，證明，得出，，根據等腰三角形判定得出，即可證明結論；（3）延長，使，連接，證明，得出，，證明，得出，根據直角三角形性質得出，根據，即可證明結論．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）延長，取，連接，如圖所示：∵D是的中點，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）延長，使，連接，如圖所示：∵，，∴，∴，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了全等的三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，直角三角形的性質，平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．【考點四利用倍角關系構造新等腰三角形】模型分析：當一個三角形中出現一個角是另一個角的2倍時，一般通過轉化倍角尋找等腰三角形．條件：如圖1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.結論：△BDC是等腰三角形.條件：如圖2，若∠ABC=2∠C,延長CB到D,使BD=BA,連接AD.結論：△ADC是等腰三角形.條件：如圖3，若∠B=2∠ACB,以C為角的頂點，CA為角的一邊，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長線于點D.結論：△DBC是等腰三角形.例題：（23-24八年級上·山西晉中·期中）【問題提出】在中，，為的角平分線，探究線段，，的數量關系．【問題解決】如圖1，當，過點作，垂足為，易得；由此，如圖2，當時，猜想線段，，有怎樣的數量關系？給出證明．【方法遷移】如圖3，當，為的外角平分線時，探究線段，，又有怎樣的數量關系？直接寫出結論，并說明理由．【答案】【問題解決】，證明見解析；【方法遷移】，證明見解析【知識點】三角形的外角的定義及性質、等腰三角形的性質和判定、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】問題解決：在線段上截取，連接，由角平分線定義和全等三角形的判定證明，進而證得，結合三角形外角性質可證得，進而證得即可解答；方法遷移：在的延長線上截取，連接，證明，進而證得，結合等角的補角相等和三角形外角性質可證得，進而證得即可解答．【詳解】解：問題解決：，證明：如圖，在線段上截取，連接，∵為的角平分線，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴；方法遷移：．證明：如圖，在的延長線上截取，連接，∵為的外角平分線，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查角平分線定義、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、三角形的外角性質，熟練掌握相關知識的聯系與運用，會添加輔助線構造全等三角形是解答的關鍵．【變式訓練】1．（23-24八年級上·山東聊城·階段練習）問題背景：在中，，點為線段一動點，當滿足某種條件時，探討在線段、、、四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數量關系．(1)在圖1中，當時，則可得，請你給出證明過程．(2)當時，如圖2，求證：；(3)當是的角平分線時，判斷、、的數量關系，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【知識點】三角形的外角的定義及性質、等腰三角形的性質和判定、全等三角形綜合問題【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．（1）根據三角形的外角的性質，等腰三角形的性質得到，證明結論；（2）在上截取，連接，證明，根據全等三角形的性質得到，，根據三角形的外角的性質，等腰三角形的性質證明；（3）在上截取，連接，證明，仿照（2）的證明方法解答．【詳解】（1），，，，，，，；（2）在上截取，連接，在和中，，，，，，，，，，，；（3），理由如下：在上截取，連接，在和中，，