而考材料

專題13二次函數解答壓軸題(62題)

一、解答題

1.(2023?浙江紹興?統考中考真題)已知二次函數丁=-/+歷TC.

(1)當b=4,c=3時，

①求該函數圖象的頂點坐標.

②當-14x43時，求N的取值范圍.

(2)當x40時，少的最大值為2：當x>0時，N的最大值為3,求二次函數的表達式.

t答案】(1延(2,7)：②當-1WXW3時，-2WyW7；(2)^=-.r+2.V+2

【分析】(1)①將，)=4,c=3代入解析式，化為頂點式，即可求解：

②己知頂點(2,7),根據二次函數的增減性，得出當x=2時，N有最大值7,當x=-l時取得最小值，即可求

解：

(2)根據題意xVO時，y的最大值為2；x>0時，y的最大值為3,得出拋物線的對稱軸x=g在，軸的

右側，即b>0,由拋物線開口向下，x40時，y的最大值為2,可知c=2,根據頂點坐標的縱坐標為3,

求出b=2,即可得解.

【詳解】(1)解：①當b=4,c=3時，J=-X2+4X+3=-(X-2)2+7,

???頂點坐標為(2,7).

②???頂點坐標為(2,7).拋物線開口向下，

當一14x42時，y隨X增大而增大，

當2^x43時，V隨x增大而減小，

??.當x=2時，V有最大值7.

又2-(-1)>3-2

???當x=-l時取得最小值,最小值歹=-2；

???當UW3時，-2WyW7.

(2)???x)0時,歹的最大值為2：x>0時，一的最大值為3,

???拋物線的對稱軸x=g在V軸的右側，

：.h>0,

;拋物線開口向下，XWO時，y的最大值為2,

/.c=2,

4x（-l）xc-Z>:

XV-=3,

\4x；（-1n）

/）=±2?

?/A>0,

:.b=2,

???二次函數的表達式為y=-x2+2x+2.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，頂點式，二次函數的最值問題，熟練掌握二次函數的

性質是解題的關鍵.

2.（2023?浙江?統考中考真題）已知點（一孫。）和（3肛0）在二次函數y=,7r+加+35力是常數，。/0）的圖像

匕

⑴竺/“=-1時，求。和/）的值；

（2）若二次函數的圖像經過點血〃,3）且點力不在坐標軸上，當-2<加<-1時，求〃的取值范圍：

（3）求證：/+4a=0.

【答案】（1）。=-1,6=-2；（2）-4<〃<一2：（3）見解析

【分析】（1）由“=-1可得圖像過點（1,0）和（-3,0）,然后代入解析式解方程組即可解答：

（2）先確定函數圖像的對稱軸為直線x=〃L則拋物線過點（小3）,（0,3）,即〃=2加，然后再結合-2<加<-1

即可解答；

（3）根據圖像的對稱性得-5=用.即力=-2加，頂點坐標為（〃“加+加?+3）；將點（-〃八0）和（3/〃,0）分

別代入表達式并進行運算可得am2=-1;則am2+bm+3=am2-2am2+3=-am1+3=4,進而得到

二色=4,然后化簡變形即可證明結論.

4<?

【詳解】（1）解：當加=7時,圖像過點（1,0）和（-3,0）,

0=a+b+3fa=-1

'Q=9a-勸+3'解得b=-2'

而考材料

a=-\,b=-2.

(2)解：二?函數圖像過點(-皿。)和(3也0),

??.函數圖像的對稱軸為宜線x=".

???圖像過點(〃,3),(0,3),

???根據圖像的對稱性得〃=2〃?.

-2<〃】<—1,

：?一4<〃<一2.

(3)解：?.?圖像過點(-"0)和(3肛0),

???根據圖像的對稱性得

h=-2am,頂點坐標為^m,anr+bin+3).

將點(t〃⑼和(3肛0)分別代人表達式可得叫一3幺

0-9am2+3力〃+3②

①x3+②得12刖/+12=0，

,,ciiu~——1?

am2+bm+3=am2-2am2+3=-anf+3=4.

4a

\2a-h1=\6a-

/.b2+4a=0.

【點睛】本題主要考查了運用待定系數法求二次函數解析式、二次函數的對稱性、解不等式等知識點，掌

握二次函數的對稱性是解答本題的關鍵.

3.(2023?浙江嘉興?統考中考真題)在二次函數y=/-2/x+3"0)中，

(1)若它的圖象過點(2,1),貝h的值為多少？

(2)”04x43時，y的最小值為-2,求出/的值：

(3)如果4/〃-2,a)1((b),C(嘰a)都在這個二次函數的圖象上，且求〃j的取值范圍.

【答案】(l)f=5；(2)/=石；⑶3。?<4或〃>6

【分析】(1)將坐標代入解析式，求解待定參數值；

(2)確定拋物線的對稱軸，對待定參數分類討論，分0<，<3,當》=/時，函數值最小，以及,>3,當x=3

時，函數值最小，求得相應的,值即可得：

(3)由4卅-2,a),C(w,a)關于對稱軸對稱得〃?一1=，，且力在對稱軸左側，。在對稱軸右側：確定拋物線

與y軸交點(0.3),此交點關于對稱軸的對稱點為(2m-2,3),結合已知確定出機>3：再分類討論：45都

在對稱軸左邊時，A,8分別在對稱軸兩側時，分別列出不等式進行求解即可.

【詳解】⑴將(2,1)代入y=4-加入中,

得l=4-4f+3,

解得,/=|;

(2)拋物線對稱軸為x=/.

若0</K3,當》=/時，函數值最小，

.?.『-2/+3=-2，

解得七土石.

vt>0,

：.t=j5

若/>3,當x=3時，函數值最小，

/.-2=9—6/+3,

解得，=：7(不合題意，舍去)

綜上所述/=石.

(3)?.Y(〃L2,c/),C(,〃,a)關于對稱軸對稱

且/在對稱卻I左側，C在對稱軸右側

???拋物線與y軸交點為(0,3),拋物線對稱軸為直線x=t,

.??此交點關于對稱軸的對稱點為(24-2,3)

<a<3/<3且1>0

/.4<2w-2,解得m>3.

當4。都在對稱軸左邊時，

'：a<h

4<加一2,

解得用>6,

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/.in>6

當a8分別在對稱軸兩側時

?:a<b8到對稱軸的距離大于A到對稱軸的距離

.,.4-(m-1)>/??-1-(m-2),

解得〃i<4

3<w<4

綜上所述3v，”c4或用*6.

【點睛】本題考查二次函數圖象的性質、極值問題；存在待定參數的情況下，對可能情況作出分類討論是

解題的關鍵.

4.(2023?浙江杭州?統考中考真題)設二次函數)，=0^+瓜+1,(°/0,力是實數).已知函數值N和自變

量x的部分對應取值如下表所示：

X???-10123???

y???m1n1P???

(1)若機=4,求二次函數的表達式；

(2)寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得)，隨工的增大而減小.

(3)若在，八”、〃這三個實數中，只有一個是正數，求。的取值范圍.

【答案】(l)y=d-2x+l；(2)當。>0時，則X<1時，歹隨X的增大而減小；當4<0時，則X>1時，y隨X的

增大而減小；(3)a<-1

【分析】(1)用待定系數法求解即可.

(2)利用拋物線的對稱性質求得拋物線的對稱軸為直線x=l；再根據拋物線的增減性求解即可.

(3)先把(2,1)代入y=a/+/>x+1,b=-la,從而得y=ax?-2ax+1,再求出〃?=3a+l,n=-a+\,

-a+1>0

〃=3a+l,從而得m=P,然后加、小p這三個實數中，只有一個是正數，得，,求解即可.

3a+1W0

【詳解】C)解:把(T4),(2,1)代入j,=a/+A+l,得

a-b+\=4

，解得:

4a+28+1=1b=-2

**?片/一2￥+1.

（2）解：??,（0,1）,（2,1）在y=o?+&+l圖象上,

???拋物線的對稱軸為直線*=等=1，

.,.當”>0時，則x<l時，N隨x的增大而減小，

當〃<0時，則x>l時，夕隨x的增大而減小.

（3）解：把（2,1）代入^=〃/+瓜+1.得

1—4a+2^+1,

b=-2a

y=axz+bx+1=ax2-2ax+1

把（T,"，）代入y=ax2-2or+1得，m=a+2a+i=3a+\,

把（L〃）代入y=?-勿x+1得，n=a-2a+\=-a+\,

把（3,p）代入y=ax2-2ax+\,"=9。一6a+1=3。+1,

:.m=p,

???,〃、〃、p這三個實數中，只有一個是正數,

-67+l>01

%+1工0'解得：

【點睛】本題考查用待定系數法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質，解不等式組，熟練掌握用待定系數

法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質是解析的關鍵.

5.（2023?湖南常德?統考中考真題）如圖,二次函數的圖象與x軸交于力（T0）,以5,0）兩點，與y軸交于

點C,頂點為D。為坐標原點，tan/4CO=1.

備用圖

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(1)求二次函數的表達式；

(2)求四邊形力CQ8的面積：

(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內，若/ACO=NPBC,求P點的坐標.

【答案】⑴y=-(x+l)(x-5)；(2)30；⑶P(d)

【分析】(1)用兩點式設出二次函數的解析式，然后求得。點的坐標，并將其代入二次函數的解析式，求

得a的值，再將a代入解析式中即可.

(2)先將二次函數變形為頂點式，求得頂點坐標，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案.

(3)根據各點的坐標的關系及同角三角函數相等的結論可以求得相關聯的函數解析式，最后聯立?次函數

與二次函數的解析式，求得點尸的坐標.

【詳解】(1)???二次函數的圖象與x軸交于8(5,0)兩點.

.??設二次函數的表達式為y="x+iKv-5)

AO=l,tanZ.ACO-g,

AOC=5,即C的坐標為(0,5)

則5=〃(0+1)(0-5),得a=-l

???二次函數的表達式為y=-(x+l)(x-5)；

(2)^=-(X+1)(X-5)=-(^-2)2+9

???頂點的坐標為(2,9)

過。作。N_L/4于N,作DM_LOC于

四邊形ACDBll'J面積=Saoc+S矩形。，”“丫一^ACD.W+

=1xlx5+2x9--x2x(9-5>U^-2>9=30；

(3)如圖，尸是拋物線上的?點，且在第一象限，當N/C0=NP8C時,

連接尸8,過C作CEJ.8C交8P于￡.過￡作防1。。于產，

VOC=OB=5,貝卜。。8為等腰直角三角形，NOC8=45。.

由勾股定理得：C8=5上,

N.4C0=ZPBC，

tanZ.ACO=tanZ.PBC，

CECE

即9而二邁,

C￡=V2

由CH_LBC,得NBCE=90°,

...ZECF=180°-4BCE-NOCB=180°-90°-45°=45\

...AEEC是等腰直角三角形

...FC=FE=\

E的坐標為0,6)

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所以過8、￡的直線的解析式為_)，=-3y+，15

315

y=—x+一

令＜*22

j=-(x+l)(.r-5)

1

x=—

"I或2

解得

y=027

所以族直線與拋物線的兩個交點為3(5,0),叫吊

27

即所求P的坐標為p;

2U

【點睛】本題考查了一次函數、二次函數的性質以及與坐標系幾何圖形的綜合證明計算問題，解題的美鍵

是將所學的知識靈活運用.

6.(2023?山東煙臺?統考中考真題)如圖，拋物線)，=，標+以+5與x軸交于48兩點，與J軸交于點

C,4B=4.拋物線的對稱軸x=3與經過點A的直線P=H-1交于點。，與X軸交于點E.

備用圖

(1)求直線AD及拋物線的表達式；

(2)在拋物線上是否存在點M,使得是以力。為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點〃的坐標:

若不存在，請說明理由:

(3)以點8為圓心，畫半徑為2的圓，點尸為08上一個動點，請求出尸。+；產力的最小值.

【答案】(1)直線力。的解析式為P=x-1；拋物線解析式為曠=/-6.丫+5：(2)存在，點必的坐標為(4,-3)或

(0,5)或(5,0)：(3)741

【分析】(1)根據對稱軸x=3,48=4,得到點4及8的坐標，再利用待定系數法求解析式即可;

(2)先求出點。的坐標，再分兩種情況：①當ND4M=90。時，求出直線的解析式為y=r+1,解方

y=-.r+1

程組y7Y+5,即可得到點M的坐標：②當4加=9。。時，求出直線的解析式為'…+5,

y=-x+5

解方程組|二2_6x+5'即可得到點“的坐標；

RFPR

（3）在上取點尸，使3尸=1,連接CE,證得一=——，又ZPBF=/ABP,得至尸/△力〃/>,推

PBAB

出爐=；以，進而得到當點C、P、F:?點共線時，尸C+；E4的值最小，即為線段CF的長，利用勾股定理

求出CF即可.

【詳解】（I）解：???拋物線的對稱軸工=3,/8=4,

??.M：l,0）,8（5,0）,

將力Q,0）代入直線y=履-1,得"1=0,

解得k=l,

???直線/。的解析式為"x-l；

將彳0,0）,8（5,0）代入丁="2+歷.+5,得

a+b+5=0八\a=\

CU-uCA,解不N

25。+58+5=0b=-6

???拋物線的解析式為y=/—6%+5：

（2）存在點“，

???直線AD的解析式為y=x-1,拋物線對稱軸x=3與x軸交于點E.

.,.當x=3時，y=x-\=2,

。(3,2),

①當/Q4W=90。時,

設直線4W的解析式為y=r+c,將點/坐標代入,

得-1+c=0,

解得c=l,

，直線4W的解析式為y=-x+i,

y=-x+l

解方程組

y=/-6x+5'

>=1或,x=4

得

L=0]y=—3'

而考材料

，點M的坐標為(4,-3)：

②當N/DW=90。時，

設宜線DW的解析式為P=f+4,蔡0(3,2)代入,

得-3+d=2,

解得d=5,

??.直線DM的解析式為y=r+5,

y=-x+5

解方程組2,「

y=x-6A+5

八,x=0fx=5

解得〈或八，

y=5[y=0

...點M的坐標為(0,5)或(5,0)

綜上，點M的坐標為(4,-3)或(0,5)或(5,0)：

(3)如圖，在44上取點尸，使B尸=1,連接Cr,

,:P3=2,

.BF_\

**7?-2*

..竺二,

?————，、

彳842

.BFPB

??---=---，

PBAB

又：NPBF=NABP,

&PBFs“BP,

ppBF1即叫I軸，

PAPB22

PC+-PA=PC^PF>CF,

2

???當點C、P、尸三點共線時，PC+:"的值最小，即為線段6的長,

2

,:OC=S,OF=OB-\=5-\=A,

:,CF=xl0C、0產=府+42=歷.

.?.PC+；4的最小值為國.

【點睛】此題是一次函數，二次函數及圓的綜合題，掌握待定系數法求函數解析式，直角三角形的性質，

勾股定理，相似三角形的判定和性質，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關鍵.

7.（2023江蘇蘇州?統考中考真題）如圖，二次函數y=/—6x+8的圖像與x軸分別交于點48（點/在點

8的左側），直線，是對稱軸.點尸在函數圖像上，其橫坐標大于4,連接P4P8,過點尸作PM_L/,垂足

為以點〃為圓心，作半徑為「的圓，P7與。M相切，切點為T.

⑴求點48的坐標；

（2）若以OM的切線長尸丁為邊長的正方形的面積與△PR?的面積相等，且OM不經過點（3,2）,求長的

取值范圍.

【答案】⑴彳（2,0）,8（4,0）：⑵1＜尸“＜血或及＜p,w＜2或PM＞2

【分析】（1）令＞，=。求得點4〃的橫坐標即可解答：

⑵由題意可得拋物線的對稱軸為x=3,設P（刑，■-6加+8）,則M（3,〃/—6〃?+8）：如圖連接MT,則

MTLPT,進而可得切線長P7為邊長的正方形的面積為（〃一3『--；過點尸作尸”lx軸，垂足為"可

得?尸，=〃/-66+8；由題意可得（初一3）2-r=/-6〃?+8,解得/＞=1；然后再分當點M在點

N的上方和卜方兩種情況解答即可.

而考材料

【詳解】(1)解:令)，=0,則有:-_6X+8=0,解得:x=2或x=4,

J(2,0),5(4.0).

(2)解：?.,拋物線過>(2,0),5(4,0)

???拋物線的對稱軸為x=3,

設P'tn,m2-6m+8),

VW17,

I.-6，〃+8),

如圖:連接A/T,則MT_L尸T,

??.PT2=PM2-MT-=(〃-3)2—產，

?,.切線PT為邊長的正方形的面積為(加-3『-r2,

過點尸作軸，垂足為〃，則：S.PAB=；ABPH="J-6/?+8,

假設。M過點N(3,2),則有以卜兩種情況：

①如圖1：當點M在點N的上方，即M(3,3)

mz-6/w+8=3?解得：川=5或/〃=1,

Vm>4

w=5：

②如圖2：當點M在點N的上方，即M(3,l)

?'?nr-6/n+8=1>解得:m=3±^2?

9：m>4

川=3±上；

綜上，PM=m-3=2或收.

??.當。M不經過點(3,2)時，i<PM或正<PM<2或尸M>2.

【點睛】本題主要考查了二次函數的性質、切線的性質、勾股定理等知識點，掌握分類討論思想是解答本

題的關鍵.

8.(2023?山東東營?統考中考真題)如圖，拋物線過點。(0,0),￡(10,0),矩形力以笫的邊力8在線段OC上

而考材料

(點4在點力的左側)，點C,。在拋物線上，設8(八0),當/=2時，8c=4.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)當/為何值時，矩形/6CO的周長有最大值？最大值是多少？

(3)保持』=2時的矩形/8CQ不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且

直線GH平分矩形力8co的面積時，求拋物線平移的距離.

1s41

【答案】(1)1y=,--不口(2)當1=1付，矩形/18CQ的周長有最大值，最大值為5：(3)4

【分析】(1)設拋物線的函數表達式為^=G('-10)(。工0),求出點。的坐標，將點。的坐標代入即可求

出該拋物線的函數表達式；

(2)由拋物線的對稱性得/E=08=f,則48=10-%，再得出8。=-!嚴+：,根據矩形的周長公式，

42

列出矩形周長的表達式，并將其化為頂點式，即可求解：

(3)連接4C，8D相交于點P,連接OC,取OC的中點Q,連接20,根據矩形的性質和平移的性質推

出四邊形OCIIG是平行四邊形，則/?=C",尸0=.求出/=2時，點力的坐標為(8,0),則CH=；OA=4,

即可得出結論.

【詳解】(1)解：設拋物線的函數表達式為卜二6(、-10)(。=0).

?當1=2時，BC=4,

???點。的坐標為(2,-4).

將點。坐標代入表達式，得2〃(2-10)=-4,

解得a=g.

4

???拋物線的函數表達式為y=-.

42

(2)解：由拋物線的對稱性得：AE=OB=t,

：.AB=10-2t.

當尤=，時，BC=--t2+-t.

42

???矩形48CQ的周長為

2(A3+BC)=2(10-21)+02+方

=--z2+r+20

2

=-j(/-l)2+y.

41

???當，=1時，矩形/8CQ的周長有最大值，最大值為了.

(3)解：連接/C,8。相交于點P,連接OC,取OC的中點Q,連接PQ.

???直線GH平分矩形ABCD的面積，

直線G〃過點R.

由平移的性質可知，四邊形OC〃G是平行四邊形,

APO=CH.

?.?四邊形/13C。是矩形，

.,.P是/C的中點.

PO=^OA.

當/=2時，點力的坐標為(8,0),

:.CH=-OA=4.

2

???拋物線平移的距離是4.

【點睛】本題主要考查了求二次函數的解析式，二次函數的圖象和性質，矩形的性質，平移的性質，解題

的關鍵是掌握用待定系數法求解二次函數表達式的方法和步驟，二次函數圖象上點的坐標特征，矩形的性

而考材料

質，以及平移的性質.

Q

9.（2023?內蒙古通遼?統考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物淺j，=ad+§x+c（aw0）與x軸交于

點力Q,。）和點8,與），軸交于點。（0,-4）.

（1）求這條拋物線的函數解析式:

（2*是拋物線上一動點（小與點兒B,C重合），作POlx軸，垂足為。，連接PC.

①如圖，若點。在第三象限，且〔an/CPQ=2,求點。的坐標:

②直線產。交直線3c于點區當點E關于直線尸。的對稱點￡落在y軸上時，請直接寫出四邊形尸ECE'的

周長.

…i、48,1377）^35385

【C英】（l）y=彳.廠2+彳.丫-4；（2）0>^2J丁或

33\o10744

【分析】（1）將兒。兩點坐標代入拋物線的解析式，從而求得a,c,進而求得結果;

⑵①設小,#+24；

,過點。作點1尸。于點￡,求出尸瓦以，根據tan/C'PD===2列出方程

求出x的值即可：②可推出四邊形PEC?是菱形，從而得出PE=CE,分別表示出PE和CE,從而列出方

程，進一步求得結果.

【詳解】（I）???拋物線y="x2+gx+c（〃+0）與x軸交于點力。,0）,與）?軸交于點。（0,-4）,

把彳（1,0）,C（0,-4）代入y=a/+gx+c（a工0）得，

c=-4

4

解得，”3，

42

??.拋物線的函數解析式為歹=§/+］工一4；

(2)①設,過點C作CE，/5。于點￡,如圖,

???C(O,-4),

??.OC=4,

,.,PD_Lx軸，

:."00=90。、

又NDOC=90°,

二四邊形。OCE是矩形，

:.DE=0C=4,D0=CE=-x,

??.PE^PD-DE=-\-X2+-X-4|-4=-%2_0

U3J33

CE

'：tanZCTO=—=2,

PE

$=-：,電=0(不合題意，舍去)

o

.4,8/77

..—x~+-x-4=-----,

3316

.P|_2_21L

一I-16〉

②設+g機—4),

4242

對于y=：/+2x-4,當)，=0時，-X2+-X-4=0,

3333

而考材料

解得，玉=1，七=一3,

???5(-3,0),

?：OC=4,

由勾股定理得，BC=y]OB2+OC2=5;

當點P在第三象限時，如圖，過點E作￡尸，），軸于點尸，

/.EF=DO=-m,

???點E與點￡關于尸。對稱，

:.NECP=ZE'CP,CE=CE；

???PE〃y軸，

/.乙EPC=4CE;

...ZEPC=ZECP,

:,PE=CE,

：,PE=CE\

??.四邊形PECE'是平行四邊形,

??.四邊形尸EC￡是菱形，

'：EF//OA,

:.&CEF

.CEEF

..—=----,

BCBO

.CE-m

??----=-----,

53

.八r*5

..Ct=--7W,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

-3"6=0

把風-3,0）,C（0,-4）代入得,-

b=-4

解得，卜T,

b=-4

4

???直線BC的解析式為y=~x-4,

/4八

..Em,——nt—4

.DC（4284J4212

..PL=-1+-m-41+1--m-4|=--—

乂CE=-汕且PE=CE,

.4125

??—nr2---?w=—m.

333

解得，町=一］,九=0（舍去）

4

四邊形PECE'的周長C=4CE=4x子=芋:

164

當點，在第二象限時，如圖,

417S

同埋口J得：=

解得，叫=一：,〃?2=0（舍去）

而考材料

二?四邊形PECE'的周長。=4C￡=4x—=—；

.64

ISRS

綜上，四邊形PECE的周長為f或

44

【點睛】本題考查了求一次函數和二次函數的解析式，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性

質，菱形的判定和性質，軸對稱性質等知識，解決問題的關鍵是正確分類，作輔助線，表示出線段的數盤.

4

10.(2023?四川自貢?統考中考真題)如圖，拋物線_＞，=-：/+尿+4與X軸交于/(-3,0),3兩點,與V軸

交于點C.

(1)求拋物線解析式及8,C兩點坐標；

(2)以A,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點。坐標：

(3)該拋物線對稱軸上是否存在點E,使得N4CE=45。，若存在，求出點"的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴拋物線解析式為尸+4(1,0),C(0,4)；⑵0(-2,-4)或。(-4,4)或。(4,4)：

k田

【分析】(1)將點4-3,0)代入拋物線解析式，待定系數法求解析式，進而分別令x/=0,即可求得反C兩

點的坐標；

(2)分三種情況討論，當AB,4cBe為對角線時，根據中點坐標即可求解；

(3)根據題意，作出圖形，作4G_LCE交于點G,廠為/C的中點，連接GO,GF,則4O，CG在O"上,

根據等弧所對的圓周角相等，得出G在y=-x上，進而勾股定理，根據八7=g建立方程，求得點G的坐標,

進而得出CG的解析式，即可求解.

4

【詳解】(1)解：???拋物線)，=-：/+岳'+4與x軸交于力(-3,0),

??.3X(-3『-36+4=0

Q

解得：6=4，

4?

.??拋物線解析式為二丁2_24,

當x=0時，y=4,

??.C(0,4),

4ft

當y=o時，0=--X2--X+4

解得：玉=-3,毛=1,

8：1,0)

(2);/(TO),8(1,0),C(O,4),

設Dim.n),

,以A,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形

m+0_一3+14十〃_0+0

當4B為對角線時,2=2'~2~=~2~

解得：m--2.??=-4.

:.。(一2,-4)；

..._1-3+01+m4+00+?z

當力C為對角z線時，)一=F一，=一=工一

2222

解得：w?=-4,??=4

.??以-4,4)

-3+〃？_0+10+4_0+〃

當為對角線時,

8c~2~~~2~f2~2

解得：w=4./?=4

???仇4,4)

綜上所述，以A,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，。(-2,-4)或。(-4,4)或。(4,4)

(3)解：如圖所示，作4G_LCE交于點G,產為/C的中點，連接GO,G/\

而考材料

,/Z.1C￡-45°

...“GC是等腰直角三角形,

??.40,C,G在。尸上，

??,H-3,0),C(O,4),

?**F[-P2yAC=>JAO2+CO2=5?==|

V/.4OG=//CG=45。，

??.6在)'=一工上，

設G(E,T),貝I]GF2=,+|J+

7

解得：=二1二。（舍去）

設直線CG的解析式為），=kx+4

-=—4+4

22

解得：

???直線CG的解析式y=；x+4

???彳（-3,0）,8（1,0）,

???拋物線對稱軸為直線x=萼=-1.

127

當產一1時，yX（-l）+4=—,

【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用，待定系數法求解析式，平行四邊形的性質，圓周角角定理，勾

股定理，求一次函數解析式，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

11.（2023?四川達州?統考中考真題）如圖,拋物線y=o?+加+c過點4（-L0）,5（3,0）,C（0,3）.

⑴求拋物線的解析式；

（2）設點P是直線8c上方拋物線上一點，求出APBC的最大面積及此時點P的坐標；

（3）若點M是拋物線對稱軸上一動點，點N為坐標平面內一點，是否存在以8C為邊，點8、C、M、N為頂

點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1方—一一十2—3；（2）d，C的最大面積為充，PR：｝（3）存在，［，河）或［，而）或

（-2,714+3）,（-2-^+3）,見解析

【分析】（1）利用待定系數法代入求解即可：

（2）利用待定系數法先確定直線8c的解析式為y=-x+3,設點尸（工-/+2*+3,0＜、＜3）,過點尸作

產。Lx軸于點。，交BC于點、E,得已尸/?=-』+3》，然后得出三角形面積的函數即可得出結果；

（3）分兩種情況進行分析：若8C為菱形的邊長，利用菱形的性質求解即可.

【詳解】（1）解：將點/（T0），8（3,Q）,C（0,3）代入解析式得：

a-b+c=0

9。+36+c=0,

。=3

a=-\

解得：?b=2,

c=3

???拋物線的解析式為y=-F+2*+3；

（2）設直線8c的解析式為卜=去+3將點8、。代入得:

而考材料

3k+b=0

t=3

k=-\

解得：

6=3

?,?直線BC的解析式為y=-x+3,

V5(3,0),

：?OB=3,

設點。卜,一/+2工+3)(0＜》＜3),過點。作尸O_Lx軸于點。，交3C于點E,如圖所示:

PE=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,

SQPBC=5xPExOB=—x(-+3x)x3=-5工~+］刀=一5(丫-5)+?

327

???當x=彳時，APBC的最大面積為---?

2o

44

“2國

(3)存在，義(2,2)或(4,歷)或卜,一后)或42,至+3),(-2,-714+3),證明如下:

813,0),C(0,3),

V拋物線的解析式為y=-/+2x+3,

，對稱軸為：x=\,

設點N(x,y),

若8c為菱形的邊長，菱形BCMN,

則BC2=CM2,即18=『+（”3）2,

解得：6=如+3,/,=-717+3,

??3+1=0+.v

?[0+/=3+y，

/.,v=4,y=/-3,

A/V（4,Vi7）,A<2（4,-717）；

若8c為菱形的邊長，菱形BCNM,

則8c2=8歷2,即|8=（3-1）2+/，

解得：/|=V14,t2=-V14,

??3+x=0+1

*[o+y=3+1'

x=-2,y=3+t,

??.乂（-2,舊+3）,7V4（-2-V14+3）；

綜上可得：

卜，屈）或（4,一折）或卜2,而+3）,卜2,-指+3）.

【點睛】題目主要考查二次函數的綜合應用，包括待定系數法確定函數解析式，三角形面積問題及特殊四

邊形問題，全等三角形的判定和性質等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

12.（2023,四川瀘州?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xO_F中，已知拋物線y=ar2+2x+c與坐標軸

分別相交于點兒B,C（O.6）三點，其對稱軸為x=2.

⑴求該拋物線的解析式:

而考材料

(2)點尸是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線/尸分別與歹軸，直線8c交于點。，E.

①當CO=CE時，求CQ的長：

②若A。。，ACDF,△C。'的面積分別為S-S3,且滿足S1+5=2S2,求點尸的坐標.

【答案】⑴歹=一3犬+2》+6；(2)①8-2也：②尸(4,6)

71

【分析】(1)根據拋物線對稱軸為x=2,可得-彳=2,求得。二-十，再將C(0,6)代入拋物線，根據待定系

數法求得。，即可解答：

(2)①求出點〃，點A的坐標，即可得到直線8c的解析式為y=-x+6,設CQ=。，則。(0,6-°),求得

力。的解析式，列方程求出點E的坐標，最后根據CO=C￡列方程，即可求出C0的長：

②過及尸分別作力4的垂線段，交AB于點GJ/,過點。作EG的垂線段，交EG于點/,根據B+S3=2S?,

可得力D+EF=2DE,即空=5，證明△OE/sZX/q,設人,一)尸+2%+6],得到直線/尸的解析式，

AF3k2)

求出點。的坐標，即可得到點E的坐標，將點￡的坐標代入P=T+6解方程，即可解答.

【詳解】(1)解：根據拋物線的對稱軸為1=2,

得；=2,

2a

解得°=-；，

將C(O,6)代入拋物線可得6=c,

拋物線的解析式為歹=一Jx?+2x+6；

(2)解：當y=o時，得0=-；/+2K+6,

解得演=6,々=一2,

.?.4(一2,0),5(6,0),

設C8的解析式為y=h+3將。(0,6),/6,0)代入〉，=6+力，

?』6=6

'“0=6攵+力’

??.C6的解析式為y=-x+6,

設CD=a,則。（0,6-。）,

設4D的解析式為3=小+”,將。(0,6—〃)，4―2,0)代入)，=不+4.

6-a=l\

得

0=-2k}+b、

.6-o

k.=------

解得2

b]=6-a

/.力8的解析式為y=^y^x+6-a,

y=-x+6

聯立方程6-a,

y=-----x+6-。

2

2a

x=-----

解得《8-。

48-8a

y=--------

8-a

48—8。/

根據。。=。￡,得“=-----------O

8-a

解得q=8-2四，生=8+2后,

經檢驗，q=8-2拒，/=8+2&是方程的解,

???點F是該拋物線上位于第一象限的一個動點,

在y軸正半軸,

二a<6,

即CD的長為8-2人；

②解：如圖，過￡尸分別作48的垂線段，交AB于點G,H,過點。作EG的垂線段，交EG于點/,

而考材料

,/S1+S3=2S2,

AD+EF=2DE,

DE1

/.——=-,

AF3

設上,(人,一］，廠+2〃+6),則/1，=力+2,

EG1AB、FH上AB,

/.EG//FH,

：.Z.DEI=Z.AFB,

???DllEG,

/DIE=90°,

:.△DEIs^AFB，

AO/=；/?+：,即點D的橫坐標為:〃+：,

EI=-FH=--h2+-h+2,

363

設”的解析式為y=?2X+&，將彳(-2,0),rK-^h2+2h+(A,

0=-2k1+b2

代入得

2

~h+2h+6=k^+b2'

1,c

:,=—力+3

解得2,

b、=一力+6

AF的解析式為y=卜/+3卜i+6,

D\O,—h+6),U|JDO=—//+6,

/DOG=90°,

.??四邊形。OG/是矩形，

IG—DO=—力+6,

EG=EI+IG=--h2-i//+8,dpE\-h+-,--h2--h+S

63(3363

<1711\

將E—h+―,—h~—//+8代入y=~x+6,

(3363J

得」好，?+8=_。一％,

6333

解得％=4,A2=-4<0(舍去),

???尸(4,6).

【點睛】本題為二次函數綜合題，考查了待定系數法求二次函數和?次函數，二次函數與一元二次方程，

兩點之間的距離，相似三角形的判定與性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

13.(2023?全國?統考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線j=-f+2x+C經過點力(01).點尸,

。在此拋物線上，其橫坐標分別為肛2Mm>0),連接4。，AQ.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)”點。與此拋物線的頂點重合時，求〃I的值.

(3)出N/MQ的功與x軸平行時,求點P與點。的縱坐標的差.

(4)設此拋物線在點A與點P之間部分(包括點A和點尸)的最高點與最低點的縱坐標的差為九,在點A與

點。之間部分(包括點A和點。)的最高點與最低點的縱坐標的差為生.當力2-九=加時，直接寫出加的值.

【答案】⑴尸-x2+2x+l；(2)〃?=g；(3)點尸與點。的縱坐標的差為1或8：(4)〃?=；或〃?=：

【分析】(1)待定系數法求解析式即可求解：

(2)化為頂點式，求得頂點坐標，進而根據點。的橫坐標為2加，即可求解；

(3)分力O〃x軸時，力，〃工軸時分別根據拋物線的對稱性求得。的橫坐標與尸的橫坐標，進而代入拋物

線解析式，求得縱坐標，即可求解；

(4)分四種情況討論，①如圖所示，當P,。都在對稱軸x=l的左側時，當尸,。在對稱軸兩側時，當點P在

x=l的右側時，當。的縱坐標小于1時，分別求得",生，根據灰-4=〃?建立方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：???拋物線y=-f+2x+。經過點40J).

...拋物線解析式為y=+2x+l：

2：

⑵解：?.?y=-.r+2x+l=-(x-l)+2,

頂點坐標為(1,2),

而考材料

???點。與此拋物線的頂點重合，點。的橫坐標為2,”

2?=1?

解得：w:=—；

(3)①40〃x軸時，點4。關于對稱軸x=l對稱，

xQ=2m=2,

??.次=1，則-V+2xl+l=2，-22+2x2+1=1，

??.尸(1,2),0(2,1)

/.點。與點。的縱坐標的差為2-1=1：

②當4P