習題七

1.在空間直角坐標系中，定出下列各點的位置：

A(l,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);

D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).

解：點A在第I卦限：點B在第II卦限；點C在第VIII卦限：

點D在xOy面上；點E在yOz面上；點F在x軸上.

2.xOy坐標面上的點的坐標有什么特點？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答：在xOy面上的點，z-0;

在yOz面上的點，x=0;

在zOx面上的點,y=0.

3.x軸上的點的坐標有什么特點？y軸上的點呢？z軸上的點呢？

答：x軸上的點,y=z=O;

y軸上的點,x=z=0;

z軸上的點,x=y=0.

4.求下列各對點之間的距離：

(1)(0,0,0；,(2,3,4)；(2)(0,0,0),

(2,-3,-4)；

(3)(-2,3,-4),(1,0,3)；(4)(4,-2,3),

(-2,1,3).

解：⑴

(2)

(3)

(4)

s=7(-2-4)2*(l+2)2*(3-3f=3\[5

5.求點(4,-3,5)到坐標原點和各坐標軸間的距離.

解：點(4,-3,5)到x軸，y軸，z軸的垂足分別為(4,0,0),(0,-3,

0),(0,0,5).

故

4=^4-+(-3)*+5*=5-^2

外.^(4-4r*(-3-O)：f(5-Of.V?4

$、?西.(-3.3)、5,■向

-V4：H-3r*(5-5)2.5

6.在z軸上，求與兩點A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距高的點.

解：設此點為M(0,0,z),則

(-4r*r4(7--3:?5'4(-2-

解得

14

/=—

9

即所求點為M(0,0,

14

9

).

7.試證：以三點A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點的

三角形是等腰直角三角形.

證明：因為|AB|=|AC|=7.且有

|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.

故4ABC為等腰直角三角形.

8.驗證：

證明：利用三角形法則得證.見圖7T

圖7-1

9.設

-b+2c、

試用a,b,c表示

2u3v.

解：

2tr-3F-2(1-ft*2c)-3(-J*3d-c)

=2月-2力+4c+3,-9b+3c

■SA-Ilb+7c

10.把AABC的BC邊分成五等份，設分點依次為DI,D2,D3,D4,再把各分

點與A連接，試以_

AB■c

BC-a

表示向量

4i

取

D^A

和_

小?BA-麗

11.設向量_

OM

的模是4,它與投影軸的夾角是60°,求這向量在該軸上的投影.

解：設M的投影為

A/r

,則

Prj,而■]而cos60??4x^-2.

12.一向量的終點為點B(2,-1,7),它在三坐標軸上的投影依次是4,-4

和7,求這向量的起點A的坐標.

解：設此向量的起點A的坐標A(x,y,z),則

而=[4「4.7)=[2-凡

解得x=-2,y=3,z=0

故A的坐標為A(-2,3,0).

13.一向量的起點是Pl(4,0,5),終點是P2(7,1,3),試求：

(1)

pp：

在各坐標軸上的投影；(2)'"

而

的模；

(3)

的方向余弦;(4)

方向的單位向量.

(4)

3.1.2

品向，市市而’市'+而廣而

14.三個力Fl=(l,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同時作用于一點.求

合力R的大小和方向余弦.

解：R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

/7i=VFTf+T=而

2I4

coscr—cos/f■—cosy■—

V21V2IV2I

15.求出向量a=I+j+k,b=2i求j+5k和c=-2i-j+2k的模,并分別用單位

向量

%、3c

來表達向量a,b,c.

解:

昨F?(-3)，?亨■而

16.設m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3rrp在x軸上的

投影及在y軸上的分向量.

解：a-4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k

在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向量為7j.

17.向量r與三坐標軸交成相等的銳角，求這向量的單位向量er.

解：因

，故

Jcos*a-I

COSa■------.COSa■---------

33

(舍去)

則

C,■|cosa9cos/J.cosr)■

18.已知兩點Ml[2,5,-3),M2(3,-2,5),點M在線段M1M2上，且

,求向徑

0M

的坐標.

解：設向徑

OM

={x,y,z}

MM=ft-2.尸5.z+3]

(3-x.-2-yJ必力

因為，

=3MM：

所以，

II

x—一

4

x-2?3(3-x)

1

<5■3(-2-y)n-7

/+3=3(5-z)

z=3

故

OM

二｛

11.1，

?一?s

44

}.

19.己知點P到點A(0,0,12)的距離是7,

OP

的方向余弦是

236

7*7*7

,求點P的坐標.

解：設P的坐標為z),

，?八("12)'=49

得

/?八??-95.24z

故點P的坐標為P(2,3,6)或P(

190285570

49,49,49

).

20.已知a,b的夾角

,且

閆?3樹?4

，計算:

(1)a?b;(2)(3a-2b)?(a+2b).

解：(1)a-b二

2xj

cos<?'?網?cos—x3?4■—M3x4■-6

32

(2)

.3|&:.4AA4|川

?3x3?4M(-6)-4x16

=-61.

21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),計算：

(1)a?b;(2)(2a3b)?(a?

b)；(3)

II叫‘

解：⑴

jfr?4x64(-2)x(-3)44x2?38

(2)

(2a-3b)?(14b)?2a-a^2ab-3ab-3bb

-2|":T?6?3|“

-2X[4t(-2f?41-38-3[6'?4?3/t2?]

-2x36-38-3x49--113

(3)

a-b=(a.-b)=aa-2db.bb=a

=36-2x38+49=9

22.已知四點A(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,

6),求向量

AB

在向量

CD

上的投影.

解：

AH

-{3,-2,-6},

CD

={6,2,3}

AHCD

3x6*(-2)x2*(-6)x34

23.設重量為100kg的物體從點Ml(3,1,8)沿直線移動到點M2(1,4,

2),計算重力所作的功(長度單位為m).

解：取.重力方向為z軸負方向，

依題意有

f={0,0,-100X9.8)

s=

M■M“

={-2,3,-6)

故W=f*s={0,0,-980}?{-2,3,-6}=5880(J)

24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a~2b,求a和b的

夾角.

解：(a+3b)?(7a-5b)=

①

(a-4b)?(7a-2b)=

7|小30』?八8向?0

②

由①及②可得：

a-ba?bI(一0：1

i7F"iV-2s*MW4

又

,所以

故

IX

0■arccos—?—

25.一動點與M0(l,1,1)連成的向量與向量n=(2,3「4)垂直,求動點的軌跡

方程.

解：設動點為M(x,y,z)

.WfAf-(x-L^-Lz-1}

因

MQM1n

,故

.W11.Wn-0

HP2(x-l)+3(y-l)-4(z-l)=0

整理得：2x+3y-4z-l=0即為動點M的軌跡方程.

26.設a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),證明:以a與b為鄰邊的平行四邊形的

兩條對角線互相垂直.

證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線分別為a+b,a-b,且

a+b={2,4,-2}

a-b={-6,10,14}

又(a+b)?(a-b)=2X(-6)+4X10+(-2)X14=0

故(a+b)

1

(a-b).

27.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：

(1)aXb;(2)2aX7b;

(3)7bX2a;(4)aXa.

解：(1)

2-I-I3b2

jx/>?/?/?「i?37-7J-5k

-i22r|l-I

⑵

2ax7/>=I4(AX6)=42/-9Ky-70A

(3)

7bx2#>5).?14(axb)>72"9R/?70i

(4)

Jxa=0

28.己知向量a和b互相垂直，且

5l，3.b|?4

?計算：

(1)I(a+b)X(a—b)I；

(2)|(3a+b)X(a-2b)|.

(1)

■2JI■|b-sin一■24

■2

(2)

■7x3x4xsin—■84

5

29.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的單位向量，并求上述兩向量夾角的

正弦.

解:

33

a*b=k--5/-5y+5A

-I1

與

b

平行的單位向量

立AV：

sin8?--------==_■=?---

IA|x|6|V26?y626

30.一平行四邊形以向量a=(2,1,—1)和b=(l,—2,1)為鄰邊,求其對角線

夾角的正弦.

解：兩對角線向量為

a?3/-j

因為

所以

VMO

sin//■

即為所求對角線間夾角的正弦.

31.已知三點A(2,T,5),B(0,3,-2),C(-2,3,1),點M,N,P分別是AB,

BC,CA的中點，證明：

而yIK']

4

證明：中點M,N,P的坐標分別為

).N(-1.3.—)?P(0J.3)

22

1?22-21

而■11.00

4C-(-4.4,-4|

正=1-2.0.31

32.求同時垂直于向量a=(2,3,4)和橫軸的單位向量.

解：設橫軸向量為b=(x,0,0)

則同時垂直于a,b的向量為

。xA-八i?k

00Ox]x0

=4xj-3xk

故同時垂直于a,b的單位向量為

33.四面體的頂點在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,T,2)求四面體的表面積.

解：設四頂點依次取為A,B,C,D.

:0.1.21.而={2.?24

則由A,B,D三點所確定三角形的面積為

1■■—|3^5

5)■—|人"xAD\?一|5f*4y-2A|?-----

，，，

同理可求其他三個三角形的面積依次為

■2

故四面體的表面積

S」—?坐

22

34.已知三點A(2,4,1),B(3,7,5),C(4,10,9),證：此三點共線.

證明:

，加11341

AC^(2.6.8|

顯然

^XC^IAB

則

而x元;蘇2布?2(加麗=0

故A,B,C三點共線.

35.求過點(4,1,-2)且與平面3x-2y+6z=ll平行的平面方程.

解：所求平面與平面3x-2y+6z=ll平行

故產{3,-2,6},又過點(4,1,-2)

故所求平面方程為：3(x-4)-2(y-l)+6(z+2)=0

即3x-2y+6z+2=0.

36.求過點MO(1,7,-3),且與連接坐標原點到點M0的線段0V0垂直的平面

方程.

解：所求平面的法向量可取為

n??{1?7,-3}

故平面方程為：x-1+7(y-7)-3(z+3)=0

即x+7y-3z-59=0

37.設平面過點（1,2,-1）,而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距

的兩倍，求此平面方程.

解：設平面在y軸上的截距為b

則平面方程可定為

xyx

—?—=

2bb2b

又（1,2,7）在平面上，則有

-I

2bb2b

得b=2.

故所求平面方程為

4?4

38.求過（1,1,T）,（-2,-2,2）和（1,-1,2）三點的平面方程.

解：由平面的三點式方程知

z-4

占.入力-力47

%-A4-4

代入三已知點，有

JC-1六I

-2-1■0

2*1

化簡得x-3y-2z=0即為所求平面方程.

39.指出下列各平面的特殊位設，并畫出其圖形：

(1)y=0;(2)3x7=0;

(3)2x-3y-6=0;(4)x-y=0;

(5)2x-3y+4z=0.

解：(1)y:0表示xOz坐標面(如圖7-2)

(2)3x-l=0表示垂直于x軸的平面.(如圖7-3)

圖7-2圖7-3

(3)2x-3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和y=-2

的平面.(如圖7-4)

(4)x-y=0表示過z軸的平面(如圖7-5)

(5)2x-3y+4z=0表示過原點的平面(如圖7-6).

O

>

圖7-4圖7-

5圖7-6

40.通過兩點（1,1,1,）和（2,2,2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.

解：設平面方程為Ax+By+Cz+D=0

則其法向量為n={A,B,C）

已知平面法向量為nl={l,1,-1}

過己知兩點的向量1={1,1,1）

由題知n?nl=0,n?1=0

即

4*8-C=O

nC=O.4=-A

A*8+C=U

所求平面方程變為Ax-Ay+D=O

又點（1,1,1）在平面上，所以有D=0

故平面方程為x-y=O.

41.決定參數k的值，使平面x+ky-2z=9適合下列條件：

（1）經過點（5,-4,6）；（2）與平面2x-3y+z=0成

n

4

的角.

解：（1）因平面過點（5,-4,6）

故有5-4k-2X6=9

得k=-4.

（2）兩平面的法向量分別為

nl={l,k,-2}n2={2,-3,1}

且

cos"=!!=?—=cos-=—?

,收42

解得

,V70

42.確定下列方程中的1和m:

(1)平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;

(2)平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5-0垂直.

解：(l)nl=⑵1,3},n2={m,-6,-1}

叫“=2=—=—=>/n=18

m-6-I3

(2)nl={3,-5,1},n2={l,3,2}

nI.1n4、n3x|-5x3*/x2?0n/?6.

43.通過點(1,-1,1)作垂直于兩平面x-y+zT=O和2x+y+z+l=0的平面.

解：設所求平面方程為Ax+By+Cz+D=O

其法向量n={A,B,C)

nl={l,-l,1),r.2={2,1,1}

4=

n上n、nA-C?03

n

n1n,n2/4*Z??C,?0

3

又（1,-1,1）在所求平面上，故A—B+C+DO,得DR

故所求平面方程為

2八C八c

--Ct+—，?Cz=0

33

即2x-y-3z=0

44.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的單位向量.

解：nl={3,-l,7},n2={l,-l,2}.

n1n,.n1n、

X%?

45.求通過下列兩己知點的直線方程：

(1)(1,-2,1),(3,1,-1)；(2)(3,-1,0),

（1,0,-3）.

解：（1）兩點所確立的一個向量為

s={3-1,1+2,-1_1}={2,3,~2}

故直線的標準方程為：

xI.12

x-3

...■....■,

（2）直線方向向量可取為

_

={13,0+1,一3-0}二{一2,1f-3}

故直線的標準方程為:

x-3Ix

-21-3

或

y/?3

?■......

I-3

46.求直線

2x+z-4■0

3x-5y+2z*I=0

的標準式方程和參數方程.

解：所給直線的方向向量為

33

233-5

另取xO=O代入直線一般方程可解得yO=7,zO=17

于是直線過點（0,7,17）,因此直線的標準方程為:

xy-7z-17

■—...■“

I-7-19

且直線的參數方程為：

,7-7/

|z=17-19/

47.求卜.列直線與平面的交點:

⑴

八1

6

2x+3y+z-l=0;

(2)

*?2y-lz-3

I'I?

232

x+2y-2z+6=0.

解：(1)直線參數方程為

;1■1?r

z?6/

代入平面方程得t=l

故交點為(2,-3,6).

(2)直線參數方程為

-2?2/

</■1?3/

|N=3.2,

代入平面方程解得t=0.

故交點為(-2,1,3).

48.求卜列直線的夾角：

(1)

5"3尸3/?9■0

3.”2y*z-1=0

和

2y-/?23■0

(2)

x-2y-3z-1

和

y-3z-8

解：（1）兩直線的方向向量分別為:

sl={5,-3,3}X{3,-2,1)=

iJi

5-33

3-2I

={3,4,-1}

s2={2,2,-1}X{3,8,1}=

iJk

22-1

38I

={io,-5,10}

由si?s2=3X10+4X(-5)+(-1)X10=0知sl±s2

從而兩直線垂直，夾角為

(2)直線

X-2六3z-I

~4~U^\2a~

的方向向量為sl-{4,T2,3},直線

y-3z-8

-I-2

JC=1

的方程可變為

ly-z+2=0

x-l=O

，可求得其方向向量s2={0,2,-1}X{1,0,0}={0,-1,-2},于是

皿八鼎二日M064

e*78。5'

49.求滿足下列各組條件的直線方程：

(1)經過點(2,-3,4),且與平面3x-y+2z-4=0垂直；

(2)過點(0,2,4),且與兩平面x+2z=l和y-3z=2平行；

(3)過點(-1,2,1),且與直線

xy-3z-1

2-13

平行.

解：(1)可取直線的方向向量為

s={3,-1,2}

故過點(2,-3,4)的直線方程為

x-23z-4

3-12

(2)所求直線平行兩已知平面，且兩平面的法向量nl與n2不平行，故所求

直線平行于兩平面的交線，于是直線方向向量

iJ4

$■/1])(出■102■{-2.3JI

0I-3

故過點（0,2,4）的直線方程為

y-2z-4

■=■'1

3I

（3）所求直線與已知直線平行，故其方向向量可取為

a={2,—1,3}

故過點（-1,2,1）的直線方程為

x*Iy-2

50.試定出下列各題中直線與平面間的位置關系:

(1)

月*34z

-2-73

和4x-2y-2z=3;

(2)

xyx

一■,1■—

3-27

和3x-2y+7z=8;

(3)

x-22z-3

3I-4

和x+y+z=3.

解；平行而不包含.因為直線的方向向量為$={-2,-7,3)

平面的法向量n=M,-2,-2),所以

S'n■(-2)M44(-7)X(-2)>3X(-2)■0

于是直線與平面平行.

又因為直線上的點M0(-3,-4,0)代入平面方程有

4M(-3)-2x(-4)-2x0=-4*3

.故直線不在平面上.

(2)因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面.

(3)直線在平面上，因為

3x|Ix|4(-4)xI■0

，而直線上的點(2,-2,3)在平面上.

51.求過點(1,-2,1),且垂直于直線

的平面方程.

解：直線的方向向量為

?J4

1-21■/+2*4

II-I

取平面法向量為｛1,2,3),

故所求平面方程為

lx(x-1)?2(/42)*3(z-l)■0

即x+2y+3z=0.

52.求過點(1,-2,3)和兩平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+l=0的交線的平面

方程.

解：設過兩平面的交線的平面束方程為

2x-3yn-3+a(*+3y2z+I)=0

其中X為待定常數，又因為所求平面過點(1,-2,3)

故

2xI-3M(-2)43-3+1(1?3M(-2)?2x3+1)■0

解得X=-4.

故所求平面方程為

2x+15y+7z+7=0

53.求點(-1,2,0)在平面x+2y-z+l=0上的投影.

解：過點(-1,2,0)作垂直于已知平面的直線，則該直線的方向向量即為

已知平面的法向量，即

s=n={l,2,-1}

所以垂線的參數方程為

"1-%，

產彳

將其代入平面方程可得(T+t)+2(2+2t)-(-t)H=0

得

于是所求點(-1,2,0)到平面的投影就是此平面與垂線的交點

54.求點（1,2,1）到平面x+2y+2z-10=0距離.

解：過點（1,2,1）作垂直于已知平面的直線，直線的方向向量為

s=n={l,2,2）

所以垂線的參數方程為

將其代入平面方程得

3

故垂足為

,且與點（1,2,1）的距離為

d

即為點到平面的距離.

55.求點（3,-1,2）到直線

I?0

<

|2月-八/-4=0

的距離.

解：過點（3,T,2）作垂直于已知直線的平面，平面的法向量可取為直線

的方向向量

即

--3J-3A

2

故過已知點的平面方程為y+z=l.

聯立方程組

月?y?I?0

2x-z-4=0

I

解得

.I3

x-I,y=--,z=一.

22

即

I3、

(L—?一)

22

為平面與直線的垂足,“

于是點到直線的距離?______________________

d.J(1_J>]),.

56.建立以點(1,3,-2)為中心，且通過坐標原點的球面方程.

解：球的半徑為___________

R?3??(-2)*■VH.

設(X,y,z)為球面上任一點，則(x-l)2+(y-3)2+(z+2)2-14

即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0為所求球面方程.

57.一動點離點（2,0,-3）的距離與離點（4,-6,6）的距離之比為3,

求此動點的軌跡方程.

解：設該動點為M（x,y,z）,由題意知________

J（x-2r,

,‘一’’='3.

化簡得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0

即為動點的軌跡方程.

58.指出下列方程所表示的是什么曲面，并畫出其圖形：

(1)

(X-一廠?(―)"

(2)

/V1

----.----■I

49

(3)

WZ

—?——I

94

(4)

/-z?0

(5)八。

(6)

/=0

解：（1）母線平行于z軸的拋物柱面，如圖7-7.

（2）母線平行于z軸的雙曲柱面，如圖7-8.

L7U

圖1一7圖7-8

（3）母線平行于y軸的橢圓柱面，如圖7-9.

（4）母線平行于x軸的拋物柱面，如圖7-10.

圖7-9圖7-10

(5)母線平行于z軸的兩平面，如圖7Tl.

(6)z軸,如圖7T2.

圖7-11圖7-12

59.指出下列方程表示怎樣的曲面，并作出圖形:

(1)

—

49

(2)

36x2?36

(3)

49

(4)

49

(5)

*2??o

(6)

9

解：(1)半軸分別為1,2,3的橢球面，如圖7-13.

(2)頂點在(0,0,-9)的橢圓拋物面,如圖7-14.

圖7-13圖7-14

(3)以x軸為中心軸的雙葉雙曲面，如圖7-15.

(4)單葉雙曲面，如圖7-16.

圖7-15圖7-16

(5)頂點在坐標原點的橢圓錐面，其中心軸是y軸，如圖7T7.

(6)頂點在坐標原點的圓錐面，其中心軸是z軸，如圖7-18.

圖7-17圖7-18

60.作出下列曲面所圍成的立體的圖形:

(1)x2+y2+z2=a2與z=0,z=

(a>0);(2)x+y+z=4,x=0,x=l,y=0,y=2及z=0;

(3)z=4-x2,x=0,y二0,z=0及2x+y=4;(4)z=6-(x2+y2),x=0,

y=0,z=0及x+y=l.

解：(1)(2)(3)(4)分別如圖7-19,7-20,7-21,7-22所示.

圖7-20

圖7-19

圖7-21圖7-22

61.求下列曲面和直線的交點:

⑴

與

x-3y-4z?2

3?6

⑵

與

xy2

—■--■一II

4-34

解：（1）直線的參數方程為

a=3+3，

/■4-6/

/=-2+4/

代入曲面方程解得t=0,t=l.

得交點坐標為（3,4,-2）,(6,-2,2).

（2）直線的參數方程為

<-3/

/=-2+4/

代入曲面方程可解得t=l,

得交點坐標為（4,-3,2）.

62.設有一圓，它的中心在z軸上，半徑為3,且位于距離xOy平面5個單

位的平面上，試建立這個圓的方程.

解：設（x,y,z）為圓上任一點，依題意有

產.八9

|±5

即為所求圓的方程.

63.建立曲線x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.

解：以曲線為準線，母線平行于z軸的柱面方程為

x2+y2=x+l即

（x—）?y■一

24

故曲線在xOy平面上的投影方程為

|/=0

64.求曲線x2+y2+z2=a2,x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線.

解：以曲線為準線，母線平行于z軸的柱面方程為

故曲線在xOy面上的投影曲線方程為

a

<?Z■—

z=0

65.試考察曲面

V岑4

在下列各平面上的截痕的形狀，并寫出其方程.

(1)平面x=2;(2)平面尸0;

⑶平面y=5;(4)平面z=2.

解：(1)截線方程為

其形狀為x=2平面上的雙曲線.

(2)截線方程為

？I

—?一?I

〈94

|y=0

為xOz面上的一個橢圓.

(3)截線方程為

卜揚后

Ii

為平面y=5上的一個橢圓.

(4)截線方程為

4上。

I925

1/=2

為平面z=2上的兩條直線.

66.求單葉雙曲面

小好J2.

；*1

與平面x-2z+3=0的交線在xOy