2024-2025學年福建省福州市閩侯縣高一上學期10月月考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．）1.若集合，則滿足的集合B的個數為（）A.2 B.4 C.8 D.162.已知命題，命題q：不等式的解集為，則p成立是q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.“”是“且”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.不等式的最小整數解為（）A. B. C. D.5.已知且，則的最小值為（）.A. B. C. D.6.已知命題：，，則為（）.A.， B.，C，或 D.，或7.若不等式的解集為，則函數的圖象可以為（）A. B.C. D.8.已知命題是真命題，則的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分．）9.若關于方程至多有一個實數根，則它成立的必要條件可以是（）A B. C. D.10.已知正數，滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為11.已知x，y，z為非零實數，代數式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分．）12.已知，且，則的最小值是__________.13.不等式：的解為______．14.某班有學生56人，同時參加了數學小組和英語小組的學生有32人，同時參加了英語小組和語文小組的學生有22人，同時參加了數學小組和語文小組的學生有25人．已知該班學生每人至少參加了1個小組，則該班學生中只參加了數學小組、英語小組和語文小組中的一個小組的人數最多________．四、解答題（本大題共6小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明或演算步驟．）15.已知集合，．若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．16.已知，，全集（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍.17已知，，．（1）當時，求的最小值；（2）當時，滿足恒成立，求m的取值范圍.18.根據要求完成下列問題：（1）要在墻上開一個上半部為半圓形，下部為矩形窗戶（如圖所示），在窗框為定長的條件下，要使窗戶能夠透過最多的光線，窗戶應設計成怎樣的尺寸？（2）如圖所示，鐵路線上段長千米，工廠到鐵路的距離為千米.現要在上某一點處向修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為.為了使原料從供應站運到工廠的運費最少，點應選在何處？19.已知實數集，定義．（1）若，求；（2）若，求集合A；（3）若A中的元素個數為9，求的元素個數的最小值．2024-2025學年福建省福州市閩侯縣高一上學期10月月考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．）1.若集合，則滿足的集合B的個數為（）A.2 B.4 C.8 D.16【正確答案】C【分析】解不等式求出集合，再由并集概念求解即可得出結果.【詳解】對于集合，由,解得，又∵，∴.又∵，∴滿足條件的集合可能為，，，，，，，，共8個．故選：C．2.已知命題，命題q：不等式的解集為，則p成立是q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】根據分式不等式以及一元二次解求解，為真命題時的范圍，即可結合邏輯關系求解.【詳解】由得，由不等式的解集為，所以或者，解得，綜上為真時，，故成立是既不充分也不必要條件，故選：D3.“”是“且”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】通過特例說明充分性不成立，根據不等式的性質說明必要性是成立的.【詳解】可令，，，則滿足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分條件；根據不等式的性質：由且，可得.所以“”是“且”的必要條件.故選：A4.不等式的最小整數解為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】分段去絕對值符號求出的取值范圍即可得解.【詳解】原不等式可化為或或，解得，所以所求最小整數解是.故選：C5.已知且，則最小值為（）.A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據題意，求得，且，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】由，可得，因為，可得，解得，則，設，由二次函數的性質，可得在上單調遞增，所以當時，函數取得最小值，最小值為，即的最小值為.故選：D.6.已知命題：，，則為（）.A.， B.，C.，或 D.，或【正確答案】D【分析】利用全稱命題的否定求解即可.【詳解】由全稱命題的否定是特稱命題知：原命題的否定為，或.故選：D7.若不等式的解集為，則函數的圖象可以為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由題可得和是方程的兩個根，求出，再根據二次函數的性質即可得出.【詳解】由題可得和是方程兩個根，且，，解得，則，則函數圖象開口向下，與軸交于.故選：C.8.已知命題是真命題，則的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】分離變量法求出為真命題時的取值范圍，再由充分必要條件的概念判斷．【詳解】因為，所以當時，，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以是充要條件，因為，但，所以是的一個必要不充分條件，故選：B二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分．）9.若關于的方程至多有一個實數根，則它成立的必要條件可以是（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】利用的判別式，求出的范圍，再利用必要條件的定義即可求得.【詳解】因為方程至多有一個實數根，所以方程的判別式，即：，解得，利用必要條件的定義，結合選項可知，成立的必要條件可以是選項B和選項C.故選：BC.10.已知正數，滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【正確答案】ABD【分析】利用已知條件、基本不等式逐項判斷可得答案.【詳解】對于A：∵，，.∴，當且僅當，即，，取“”，∴A正確；對于B：，由（1）知，∴.∴.∴B正確；對于C.∴，∴C錯誤；對于D：，當且僅當，即，取“”，∴D正確.故選：ABD.11.已知x，y，z為非零實數，代數式值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】CD【分析】討論的正負數分布情況判斷對應代數式的值，即可確定集合M，進而確定正確的選項.【詳解】當均為負數時，；當兩負一正時，；當兩正一負時，；當均為正數時，；∴，A、B錯誤，C、D正確.故選：CD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分．）12.已知，且，則的最小值是__________.【正確答案】9【分析】利用不等式乘“1”法即可求解.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故所求最小值為9，故913.不等式：的解為______．【正確答案】或【分析】根據題意結合有理數的除法法則可得或，再解不等式組即可．【詳解】由，得或，解得或，所以不等式的解為或.故或14.某班有學生56人，同時參加了數學小組和英語小組的學生有32人，同時參加了英語小組和語文小組的學生有22人，同時參加了數學小組和語文小組的學生有25人．已知該班學生每人至少參加了1個小組，則該班學生中只參加了數學小組、英語小組和語文小組中的一個小組的人數最多________．【正確答案】21【分析】設該班學生中同時參加了數學小組、英語小組和語文小組的人數為，只參加其中一個小組的人數為，根據題意列出方程，由的最大值求的最大值.【詳解】如圖，設該班學生中同時參加三個小組的人數為，只參加其中一個小組的人數為，則，即．因為，所以．所以只參加其中一個小組的人數最多為21.故21.四、解答題（本大題共6小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明或演算步驟．）15.已知集合，．若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．【正確答案】【分析】依題意，集合A是集合B的真子集，由集合的包含關系求實數的取值范圍．【詳解】因為“”是“”的充分不必要條件，所以集合A是集合B的真子集，即，解得，經檢驗滿足題意,所以實數a的取值范圍是.16.已知，，全集（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據交集與補集的運算求解即可；（2）分與由條件列不等式求范圍即可.【小問1詳解】當時，，所以或，又，所以.【小問2詳解】由題可得：當時，有，解得a的取值范圍為；當時有，解得a的取值范圍為，綜上所述a的取值范圍為.17.已知，，．（1）當時，求的最小值；（2）當時，滿足恒成立，求m的取值范圍.【正確答案】（1）36（2）【分析】（1）利用基本不等式得到，再利用換元法與二次不等式的解法即可得解；（2）利用代入法將不等式左式問題轉化為，從而利用基本不等式“1”的妙用求得不等式左式的最小值，進而得到關于m的不等式，由此得解．【小問1詳解】，，當時，，當且僅當時等號成立，令，得，解得：（舍去）或，，解得，當且僅當時等號成立，的最小值是36；【小問2詳解】當時，，可得．由得，又，，，當且僅當，即時等號成立．當時，求的最小值是10．則有，解得，即m的取值范圍為.18.根據要求完成下列問題：（1）要在墻上開一個上半部為半圓形，下部為矩形的窗戶（如圖所示），在窗框為定長的條件下，要使窗戶能夠透過最多的光線，窗戶應設計成怎樣的尺寸？（2）如圖所示，鐵路線上段長千米，工廠到鐵路的距離為千米.現要在上某一點處向修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為.為了使原料從供應站運到工廠的運費最少，點應選在何處？【正確答案】（1）答案見解析（2）距點千米處【分析】（1）依題意，結合圖形，求出窗框的寬關于長的關系式，繼而求得窗框的面積表達式，利用二次函數的圖象即可求得的最大值；（2）經分析，判斷點在線段上某一適當位置，設，鐵路噸千米運費，公路噸千米運費，將從到的總費用表示成的函數式，設，利用根的判別式非負求得的最小值，從而得到對應的的值，即可.【小問1詳解】設矩形窗框的長為，寬為，則窗框的定長為，∴，（），則窗框的面積為：，因，當時，窗框的面積取得最大值，此時，即當時，窗戶能夠透過最多的光線；【小問2詳解】由題意可知單位距離的公路運費大于鐵路運費，由圖知，，則只有點選在線段上某一適當位置，才能使總運費最省.設（千米），鐵路噸千米運費，公路噸千米運費，從到的總費用為，則依題意得，，即，令，則有，兩邊同時平方并整理得：(*)，∵關于的方程一定有解，∴，解得，∵，∴，當時，由（*），解得，，這時最小，也最小，即當點選在距點千米處時，總運費最省.19.已知實數集，定義．（1）若，求；（2）若，求集合A；（3）若A中的元素個數為9，求的元素個數的最小值．【正確答案】（1）（2）或者.（3）13【分析】（1）根據集合的新定義直接求解即可；（2）根據可得，然后分中4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負進行討論即可；（3）分中沒有負數和中至少有一個負數兩種情況進行討論即可求解.【小問1詳解】;【小問2詳解】首先，；其次中有4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負.記，不妨設或者--①當時，，相乘可知，從而，從而，所以；②當時，與上面類似的方法可