2024-2025學年北京市海淀區高一上學期9月月考數學階段檢測試卷一、選擇題（每小題5分，共50分.選出符合題目要求的一項）1.已知集合，則（）.A. B. C. D.2.命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.，或 D.，或3.若集合，下列關系式中成立的是（）A. B. C. D.4.設x，，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數，則當時，y的最大值和最小值分別是（）A5， B.5，1 C.5， D.1，6.對于實數，，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，，則，7.若集合，，且，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知方程的兩根都大于1，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9已知，且，則有（）A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值10.若關于的不等式的解集中恰有兩個整數，則實數的取值范圍是A. B.或C. D.或二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.）11.集合，，，則實數的取值范圍是___________12.不等式的解集是__________．13.已知，，，則的最大值是______．14.已知命題：，命題：，若是成立的充分不必要條件，則實數的取值范圍是______.15.當兩個集合中有一個集合為另一個集合子集時，稱兩個集合之間構成“全食”；當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱兩個集合之間構成“偏食”，對于集合，.若與構成“全食”，則的取值范圍是______；若與構成“偏食”，則的取值范圍是______.三、解答題（本大題共5小題，共50分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.已知集合，.（1）若，求集合，集合；（2）若，求實數取值范圍.17.解關于的不等式：．18.已知函數（1）若關于x的不等式的解集為全體實數，求實數的取值范圍（2）若關于x的方程的兩根為，，且，，求實數的取值范圍19.如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過C點已知米，米，設AN的長為米（1）要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應在什么范圍內？（2）求當AM，AN的長度分別是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出此最小值；20.對于集合，定義.對于兩個集合、，定義運算．（1）若，，寫出與的值，并求出；（2）證明：；2024-2025學年北京市海淀區高一上學期9月月考數學階段檢測試卷一、選擇題（每小題5分，共50分.選出符合題目要求的一項）1.已知集合，則（）.A. B. C. D.【正確答案】C【分析】直接根據交集的運算即可得出答案.【詳解】解：因為，所以.故選：C2.命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.，或 D.，或【正確答案】C【分析】直接根據特稱命題的否定為全稱命題，寫出答案.【詳解】由于特稱命題的否定是全稱命題，則命題“，”的否定是“，或”.故選：C3.若集合，下列關系式中成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據元素與集合，集合與集合之間關系即可判斷.【詳解】對A，元素與集合間不能使用“”，故A錯誤，對B，因為，所以，故B正確；對C,D，集合與集合之間不能使用“”符號，故CD錯誤；故選：B.4.設x，，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】依據“且”與“”之間的邏輯關系進行推導即可解決.【詳解】由且，可得當，時，滿足，但不滿足且則“且”是“”的充分不必要條件故選：A5.已知函數，則當時，y的最大值和最小值分別是（）A.5， B.5，1 C.5， D.1，【正確答案】A【分析】利用二次函數的性質，結合閉區間求最值即可.【詳解】由，開口向上且對稱軸為，又，故當有最大值為5，當有最小值為.故選：A6.對于實數，，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則，【正確答案】D【分析】通過不等式的性質一一驗證即可.【詳解】對于選項A：若，當時，，故選項A錯誤；對于選項B：若，可得，則，故選項B錯誤；對于選項C：若，則，則，故選項C錯誤，對于選項D：若，則，又，則，，故選項D正確；故選：D7.若集合，，且，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、、三種情況分別求出集合，根據得到不等式組，即可求出參數a的取值范圍.【詳解】解：由，即，解得，所以，又，因為，當時，顯然不滿足題意，當時，也不符合題意，當時，所以，解得；故選：B8.已知方程的兩根都大于1，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由已知可得判別式Δ≥0，再借助韋達定理及兩根都大于1的條件列出不等式，求解即得.【詳解】設方程兩根為，依題意有：，因都大于1，則，且，顯然成立，由得，則有，解得，由解得：，于是得，所以的取值范圍是.故選：A9.已知，且，則有（）A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值【正確答案】A【分析】根據題意可得到，從而利用基本不等式即可求出的最大值.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，當且僅當時等號成立.故選：A.10.若關于的不等式的解集中恰有兩個整數，則實數的取值范圍是A. B.或C. D.或【正確答案】D【分析】根據含參的一元二次不等式的解法，分類討論求出不等式的解集，然后分析該集合中能含有哪兩個整數，即可求出實數的取值范圍．【詳解】由題意得，原不等式可轉化為.當時，解得，此時解集中的整數為2，3，則；當時，解得，此時解集中的整數為0，-1，則.當時，不符合題意.故實數的取值范圍是或，故選D．本題主要考查含參的一元二次不等式的解法，意在考查學生的分類討論意識和邏輯推理能力．二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.）11.集合，，，則實數的取值范圍是___________【正確答案】【分析】由，易得。【詳解】由，可知。故此題考查通過集合的并集求參數，屬于簡單題目。12.不等式的解集是__________．【正確答案】【分析】根據分式不等式的解法求得正確答案.【詳解】，解得或，所以不等式的解集為.故13.已知，，，則的最大值是______．【正確答案】【分析】利用配湊法將化成，再利用基本不等式求最大值.【詳解】∵，等號成立當且僅當，∴的最大值是.故答案為.本題考查基本不等式的應用，考查運算求解能力，求解時注意配湊法的應用.14.已知命題：，命題：，若是成立的充分不必要條件，則實數的取值范圍是______.【正確答案】【分析】設，不等式的解集為集合，根據題意是的真子集，可得關于的不等式即可求解.【詳解】因為命題：，設集合，由可得，設集合，因為是成立的充分不必要條件，所以是的真子集，所以解得：，所以實數的取值范圍是，故答案為.15.當兩個集合中有一個集合為另一個集合的子集時，稱兩個集合之間構成“全食”；當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱兩個集合之間構成“偏食”，對于集合，.若與構成“全食”，則的取值范圍是______；若與構成“偏食”，則的取值范圍是______.【正確答案】①.或②.【分析】分情況解集合，再根據“全食”與“偏食”的概念分析集合中元素滿足的關系列式求解即可.【詳解】由可知，當時，，此時；當時，，此時，當時，；又，若與構成“全食”，則，當時，滿足題意；當時，不合題意；當時，要使，則，即，解得；綜上，與構成“全食”時，的取值范圍是或；若與構成“偏食”時，顯然時，不滿足題意，當時，由，所以，即，解得，此時的取值范圍是.故或；三、解答題（本大題共5小題，共50分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.已知集合，.（1）若，求集合，集合；（2）若，求實數的取值范圍.【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根據補集的定義求出、，最后根據并集的定義計算可得；（2）由，可得，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】解：（1）因為，所以，或.當時，所以或.所以或.（2）因為，所以.當時，，則；當時，由題意得，解得.綜上，實數的取值范圍是.求集合的基本運算時，要認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件．17.解關于的不等式：．【正確答案】答案見解析【分析】分，和三種情況，在時，再分三種情況，求出不等式解集.【詳解】①當時，原不等式化為，解得．②當時，原不等式化為，解得或．③當時，原不等式化為.當，即時，解得；當，即時，解得滿足題意；當，即時，解得．綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．18.已知函數（1）若關于x的不等式的解集為全體實數，求實數的取值范圍（2）若關于x的方程的兩根為，，且，，求實數的取值范圍【正確答案】（1）（2）或或【分析】（1）討論是否為零，從而分別求解不等式；從而得到實數的取值范圍；（2）由題意得，結合韋達定理，得，從而解得．【小問1詳解】解：①當時，不等式可化為，解得，故不成立；②當時，的解集為全體實數，，解得，綜上所述，實數的取值范圍為；【小問2詳解】解：關于x的方程的兩根為，，且，，，即，又，，，解得或；故實數的取值范圍為或或．19.如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個更大矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過C點已知米，米，設AN的長為米（1）要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應在什么范圍內？（2）求當AM，AN的長度分別是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出此最小值；【正確答案】（1）（2），最小面積為48平方米【分析】（1）先表達出AMPN的面積表達式，時解出不等式，即可知AN的取值范圍.（2）令，將式子化成對勾函數后求最值.【小問1詳解】解：設的長為米（）是矩形由，得，解得或即的取值范圍為【小問2詳解】令，（），