第二十四章相似三角形基本知識(shí)知識(shí)點(diǎn)一：放縮與相似形圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)。把形狀相同的兩個(gè)圖形說(shuō)成是相似的圖形，或者就說(shuō)是相似性。注意：⑴相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無(wú)關(guān)。⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。⑶我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的．⑷若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例——全等形．相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例。注意：當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，他們的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值是1.知識(shí)點(diǎn)二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:b＝b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。8.比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。（注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì):（兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）2.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）．注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：．3.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.）如果，那么．注意：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法”，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法．(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．知識(shí)點(diǎn)三：黃金分割定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其中≈0.618。（BC=AB）2）矩形中，如果寬與長(zhǎng)的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。頂角為36°的等腰三角形是黃金三角形。知識(shí)點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理★★★三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對(duì)應(yīng)成比例。★★★三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.★★★三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.★★★平行線分線段成比例定理1．平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.用符號(hào)語(yǔ)言表示：AD∥BE∥CF,.2．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號(hào)語(yǔ)言表示：.重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形相似三角形1）定義：如果兩個(gè)三角形中，三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似。補(bǔ)充：對(duì)于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。相似比：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。如△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF。相似比為k。4）判定：①定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。②三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。5）相似三角形的性質(zhì)①相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.②相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、周長(zhǎng)的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比).③相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方.【常考題】第一節(jié)：相似形知識(shí)點(diǎn)1、放縮與相似形例1.下列各組中的圖形一定相似的是兩個(gè)等腰三角形兩個(gè)直角三角形兩個(gè)平行四邊形兩個(gè)等邊三角形例2.如果兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為82°、53°，那么另一個(gè)三角形中最小內(nèi)角為（）A．82°；B．53°C．45°D．不能確定知識(shí)點(diǎn)2、比例尺例1、AB兩地的實(shí)際距離是24千米，那么在比例尺是1:800000的地圖上量出AB兩地的距離是厘米知識(shí)點(diǎn)3、比例線段例1、若x是3、4、9的第四比例項(xiàng)，則x＝，又x是6和y的比例中項(xiàng)，則y＝例2、已知線段、，那么線段、的比例中項(xiàng)．例3、實(shí)數(shù)2與0.5的比例中項(xiàng)是．知識(shí)點(diǎn)4、合比性質(zhì)常考題例1、已知，其中、、、都不為零且各不相等，則下列結(jié)論中不成立的是（）．；．；．；．．例2．對(duì)于線段、，如果，那么下列四個(gè)選項(xiàng)一定正確的是（）．；．；．；．．知識(shí)點(diǎn)5、等比性質(zhì)常考題例1、已知：，且2a-3b+c=28，求a、b、c的值.例2、如果中的滿足直線，則此直線一定經(jīng)（）．第一、二象限；．第二、三象限；．第三、四象限；．第一、四象限．知識(shí)點(diǎn)6、黃金分割例1、己知：線段的長(zhǎng)為20厘米，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)是_________米．例2、已知C是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，且，求的值．知識(shí)點(diǎn)7：三角形一邊的平行線的性質(zhì)例1、如果點(diǎn)G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)，交對(duì)邊BC于點(diǎn)D，那么AG︰AD是…（）（A）2︰3； （B）1︰2；（C）1︰3；（D）3︰4．例2、已知平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，交于點(diǎn)，則．例3、如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一點(diǎn)，AF=FD，連結(jié)EF交AC于點(diǎn)G，若AC=10，則AG的長(zhǎng)為.例5、如圖，已知點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)與交于點(diǎn)，求的值.例6、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,BE∥CD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:FC2=FA·FE.知識(shí)點(diǎn)7：三角形一邊平行線的判定例1．已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（）（A）BD︰AB＝CE︰AC；（B）DE︰BC＝AB︰AD；（C）AB︰AC＝AD︰AE；（D）AD︰DB＝AE︰EC．知識(shí)點(diǎn)8：平行線分線段成比例常考題：例1.如圖，l1∥l2∥l3，如果DE=6，EF=2，BC=1.5，那么AC=________知識(shí)點(diǎn)9：相似三角形的判定例1、下列四個(gè)命題中，假命題是（）．有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)等腰三角形相似；．有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似；．底邊和腰對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似；．斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似．例2、如圖，等邊三角形中，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的邊長(zhǎng)為_______________例3、如圖，已知，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，當(dāng)______________時(shí)，與相似；例4、如圖，在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么下列條件中，能夠推出△ABP與△ECP相似的是（）A.B.C.D.例5、如圖，△中，，，點(diǎn)在邊上，，且有，那么的長(zhǎng)是；知識(shí)點(diǎn)10：相似三角形的性質(zhì)：例1、如圖，等邊△中，是邊上的一點(diǎn)，且，把△折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，那么的值為；第四節(jié)：平面向量的線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1、實(shí)數(shù)與向量相乘常考題：例1.計(jì)算：例2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.若則C.已知一個(gè)單位向量，設(shè)是非零向量，則D.若與的方向相反，且，則例3.已知向量與方向相反，長(zhǎng)度為5，則用來(lái)表示為：_________.易錯(cuò)題：例1.已知一個(gè)單位向量，設(shè)向量、是非零向量，則下列等式中正確的是（）（A）（B）（C）（D）例2.已知平行四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，設(shè)則向量關(guān)于、b的分解式為．知識(shí)點(diǎn)2、向量的線性運(yùn)算常考題：例1.下列命題中國(guó)，正確的有（）個(gè)若，則④若，則A1B2C3D4例2.如圖3，在梯形ABCD中，，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，，那么（結(jié)果用表示）易錯(cuò)題:例1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）..若，則.若，則或.若，，是非零向量，則第二十五章銳角三角比知識(shí)復(fù)習(xí)直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、射影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系纳溆昂托边叺谋壤许?xiàng)6、常用關(guān)系式由三角形等面積公式可得：ABCD=ACBC二、直角三角形的判定1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。三、銳角三角函數(shù)的概念1、如圖，在△ABC中，∠C=90°①銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即③銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即④銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即2、銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)0°15°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在104、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí)，（1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（4）余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）5、同角三角函數(shù)間的關(guān)系．平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tanA·tanB=1余角和余函數(shù)的關(guān)系：如果＋=90°，那么sinA=cosB；tanA=cotB7、應(yīng)用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。知識(shí)點(diǎn)1：銳角三角比概念及其計(jì)算常考題：例1、計(jì)算例2、等腰三角形底邊長(zhǎng)為10㎝，周長(zhǎng)為36cm，那么底角的余弦等于（）A.B.C.D.例3、在△中，若，則∠=_________．例4、已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式正確的是（）B．C．D．例5、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，,則BC的長(zhǎng)為_________.易錯(cuò)題：例1、ACBD如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AB=，∠A=，則CDACBD（A）； （B）；（C）； （D）．例2、小杰學(xué)了《銳角的三角比》知識(shí)后回家整理筆記，寫下了下列四句活：（1）銳角的正弦的值的范圍是；（2）根據(jù)正切和余切的意義，可以得到；（3）在△中，如=90°，則；（4）在△中，如=90°，則．請(qǐng)你判斷上述語(yǔ)句正確的個(gè)數(shù)是………………()．．1個(gè)；．2個(gè)；．3個(gè)；．4個(gè)．例3、若a為銳角，tana＝3，求的值。例4、△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且，試確定△ABC的形狀。例5、如圖，兩條寬度都是1的紙條交叉疊在一起，且它們的夾角為，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（）A、B、C、D、1知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形常考題例1.在等腰△中，，，那么的值是（）．；．；．；．．例2、銳角△ABC中，sinB=,tanC=3且=20，則BC=________例3、.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanB=.（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求cosA的值.例4、如圖，在ABC中，C=90，點(diǎn)D在BC上，AD=BC,BC=4，cosADC=,求（1）CD的長(zhǎng)，（2）sinB的值.例5、如圖，為邊上一點(diǎn)，且，已知求例6.如圖，已知中，，是斜邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作，分別與相交于點(diǎn)求的值如果，求的值例7.一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=，試求CD的長(zhǎng)易錯(cuò)題例1.如圖，已知為內(nèi)一點(diǎn)，；求證：∽；（2）求例2.如圖8，在梯形中，，平分，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．圖8（1）求證：；圖8（2）若，，求邊的長(zhǎng)．例3.已知：如圖，在△中，∠，平分∠，，垂足為點(diǎn)，，．求：（1）的長(zhǎng)；（2）求∠的正切值例4.兩塊三角板按如圖放在一起，DACB=DD=90°，DA=DC，DBAC=30°，AC=，求兩三角形重合部分DEAC的面積.知識(shí)點(diǎn)3：解直角三角形應(yīng)用常考題坡度，坡角例1某小山坡的坡長(zhǎng)為200米，山坡的高度為100米，則該山坡的坡度i=．例2、當(dāng)小杰沿坡度的坡面由到行走了米時(shí)，小杰實(shí)際上升高度米．（可以用根號(hào)表示）例3、如圖所示，一皮帶輪的坡比是，如果將貨物從地面用皮帶輪送到離地10米高的平臺(tái)，那么該貨物經(jīng)過(guò)的路程是米；例4、坡比等于的斜坡的坡角等于()A.30°；B.45°；C.50°；D.60°；仰角俯角例5、如果在距離某大樓20米的地面上，測(cè)得這幢大樓頂端的仰角為60°，那么這幢大樓高為．例6、從觀測(cè)點(diǎn)觀察到樓頂?shù)难鼋菫椋敲磸臉琼斢^察觀測(cè)點(diǎn)的俯角為；例7、在高為h的樓頂A處測(cè)得另一建筑物底部D的俯角為，頂部B的俯角為，則另一建筑物的高BD是____例8、直升飛機(jī)在離地面2000米的上空測(cè)得上海東方明珠底部的俯角為，此時(shí)直升飛機(jī)與上海東方明珠底部之間的距離是（）．米；．米；．米；．米．方位角例9、如果從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東30°方向，那么從乙船看甲船，甲船在乙船的()A.南偏西30°方向；B.南偏西60°方向；C.南偏東30°方向；D.南偏東60°方向；易錯(cuò)題例1、如圖，在山坡上植樹，已知坡比，要使株距（相鄰兩樹的水平距離）為4米，則斜坡上相鄰兩顆樹之間的坡面距離是________m例2、直升飛機(jī)在離地面2000米的上空測(cè)得上海東方明珠底部的俯角為，此時(shí)直升飛機(jī)與上海東方明珠底部之間的水平距離是（）．米；．米；．米；．米．例3、如圖，已知小明外婆家在小明家的正東方，學(xué)校在外婆家的北偏西40°，外婆家到學(xué)校與小明家到學(xué)校的距離相等，則學(xué)校在小明家的（）A、南偏東50°B、南偏東40°C、北偏東50°D、北偏東40°例4、水壩的橫截面是梯形ABCD（如圖1），上底米，壩高米，斜坡的坡比，斜坡的坡比．（1）求壩底的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）為了增強(qiáng)水壩的防洪能力，在原來(lái)的水壩上增加高度（如圖2），使得水壩的上底米，求水壩增加的高度（精確到米，參考數(shù)據(jù)）．ABABCDMN（圖1）ABCDMNEF（圖2）例5、一艘補(bǔ)給船在點(diǎn)A處接到命令，要求它向正在航行的軍艦運(yùn)送物資，已知軍艦在補(bǔ)給船的西北方向40海里的點(diǎn)B處，正以每小時(shí)20海里的速度向南偏東15度的方向航行，如果補(bǔ)給船立即沿正西方向航行，恰好能在點(diǎn)C處與軍艦相遇，求補(bǔ)給船行駛的路程和時(shí)間（結(jié)果保留根號(hào)）例6、如圖，在夕陽(yáng)西下的傍晚，某人看見高壓電線的鐵塔在陽(yáng)光的照射下，鐵塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，為了測(cè)得鐵塔的高度，他測(cè)得鐵塔底部到小山坡腳的距離為2米，鐵塔在小山斜坡上的影長(zhǎng)為3.4米，斜坡的坡度1∶1.875，同時(shí)他測(cè)得自己的影長(zhǎng)，而他的身長(zhǎng)為，求鐵塔的高度．AABCDMNH例7、某大型購(gòu)物中心為方便顧客地鐵換乘，準(zhǔn)備在底層至層之間安裝電梯．截面圖如圖所示，底層與層平行，層高為9米，、間的距離為6米，∠＝20°．（1）請(qǐng)問(wèn)身高1.9米的人在豎直站立的情況下搭乘電梯，在處會(huì)不會(huì)碰到頭部？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若采取中段平臺(tái)設(shè)計(jì)（如圖虛線所示）．已知平臺(tái)∥，且段和段的坡度＝1∶2，求平臺(tái)的長(zhǎng)度．(參考數(shù)據(jù)：20°取0.34，20°取0.94，20°取0.36）第二十六章二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．4.的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中．五、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值．2.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，有最大值．七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）；3.交點(diǎn)式：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然．⑴當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在的前提下，當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)．⑵在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)．總結(jié)起來(lái)，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說(shuō)就是“左同右異”3.常數(shù)項(xiàng)⑴當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；2.關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是．5.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：①當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點(diǎn)間的距離.②當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有；當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有．2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，；3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：⑴求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用一．概念：常考題：例1、已知拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，求拋物線解析式。例2、如圖，有一座拋物線形拱形橋，其最大高度為，跨度為，現(xiàn)把它的示意圖放在平面直角坐標(biāo)系中，則拋物線的解析式為例3、下列四個(gè)函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（）．； ．； ．； ．．例4、已知點(diǎn)A（-1,3）、B（5，）在拋物線的圖像上，則例5、已知二次函數(shù)用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為；指出該二次函數(shù)的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。易錯(cuò)題：例1、已知函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為___________二．圖像和性質(zhì)：常考題：例1、若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______．例2、若拋物線的對(duì)稱軸是，則它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______．例3、如果拋物線與軸的交點(diǎn)為，那么的值是．例4、已知拋物線是常數(shù)且，下列選項(xiàng)中可能是它大致圖像的是（）例5、第6題如圖為二次函數(shù)的圖像，它與軸交于（-1，0），（3,0）第6題兩點(diǎn)，在下列說(shuō)法中：①②拋物線在直線的左側(cè)是下降的③，其中正確的有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)第6題第6題例6、OyOyx．二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線；．二次函數(shù)的圖象必在軸上方；．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸或與軸平行的直線；．二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)必在圖象的對(duì)稱軸上．例7、將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得到的拋物線的表達(dá)式（）（A）（B）（C）（D）例8、將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，拋物線的表達(dá)式為（）例9、若點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)，那么和的大小關(guān)系是（填>，=或<)例10、如果拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，那么的大小關(guān)系是_____（填寫“>”或“<”或“=”）易錯(cuò)題：例1、二次函數(shù)向_____平移_______個(gè)單位后得到的例2、已知拋物線解析式為，若點(diǎn)（，5）與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．例3、如果二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么=．例4、己知拋物線的頂點(diǎn)在軸上,則＝.例5、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．例6、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為常數(shù)）的最高點(diǎn)到坐標(biāo)軸的原點(diǎn)的距離為3，則的值為．例7、若拋物線與軸交于點(diǎn)、，則拋物線的對(duì)稱軸為直線．例8、若A（），B（），C（）為二次函數(shù)的圖像上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系是………（）．（A）；（B）；（C）；（D）．應(yīng)用及綜合常考題：例1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，-1），B（1，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸；（2）該拋物線對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積．例2、已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn).（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)（2）求的面積例3、如圖，梯形中，∥，⊥，⊥，且，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線－－以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，△的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（）例4、（二次函數(shù)背景下的相似）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)B，于y軸交于點(diǎn)C，且求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；過(guò)點(diǎn)A作,交拋物線于另一點(diǎn)E，若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形于相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。第二十七章圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)圓的周長(zhǎng)：C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr2圓環(huán)面積計(jì)算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）要點(diǎn)1：圓的概念圓是平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑注：圓的半徑確定圓的大小；圓心確定圓的位置。同心圓：圓心相等、半徑不同的兩個(gè)圓。等圓：半徑相同、圓心不同的兩個(gè)圓。圓既是軸對(duì)稱圖形（經(jīng)過(guò)圓心的任一條直線都是對(duì)稱軸），又是中心對(duì)稱圖形（圓心是對(duì)稱中心）。要點(diǎn)2：圓外、圓內(nèi)的概念在圓所在的平面上，以圓周為分界線，含圓心的部分叫做圓的內(nèi)部（簡(jiǎn)稱圓內(nèi)），不含圓心的部分叫做圓的外部要點(diǎn)3：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)一個(gè)圓的半徑為R，點(diǎn)P到圓心的距離為，則要點(diǎn)4：圓的確定不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓。三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心。三角形就這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。三角形的外心就是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)要點(diǎn)5：圓的確定方式確定圓的基本條件：（1）圓心——確定圓的位置（2）半徑——確定圓的大小確定圓的方式：（1）已知圓心的位置與半徑的長(zhǎng)度（2）已知直徑及其位置（3）不在同一直線上的三點(diǎn)要點(diǎn)6：三角形外心的位置三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心就是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。銳角三角形的外心在該三角形的內(nèi)部直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)鈍角三角形的外心在該三角形的外部要點(diǎn)7：多邊形的外接圓如果一個(gè)圓經(jīng)過(guò)多邊形的各頂點(diǎn)，那么這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓，這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形注意：多于三邊的多邊形不一定有外接圓要點(diǎn)8：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外；要點(diǎn)9：圓的有關(guān)概念（1）弧：圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧；（2）弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；（3）直徑：過(guò)圓心的弦是直徑；（4）圓心角：以圓心為頂點(diǎn)的角叫做圓心角；（5）半圓、優(yōu)弧、劣弧：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓小于半圓的弧叫劣弧，大于半圓的弧叫優(yōu)弧；（6）弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距；（7）等弧：能夠重合的兩條弧叫等弧；（8）等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫等圓，同圓或等圓的半徑相等（9）同心圓：圓心相同、半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓要點(diǎn)10：圓的對(duì)稱性圓是以圓心為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)角可為大于0°小于360°的任何一個(gè)角要點(diǎn)11：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條優(yōu)弧（或劣弧）、兩條弦、兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其他三組量也分別相等。要點(diǎn)11：垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：①是直徑②③④弧弧⑤弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧要點(diǎn)12：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無(wú)交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直