一、選擇題

1.如圖，是由兩個正方形組成的長方形花壇ABCD,小明從頂點A沿著花壇間小路直到走

到長邊中點0,再從中點0走到正方形0CDF的中心01,再從中心?走到正方形aGFH

的中點。2,又從中心。2走到正方形。2用的中心。3,再從中心O3走到正方形OsKJP的

中心Q，一共走了3N?m,則長方形花壇ABCD的周長是（）

C.96mD.60m

2.如圖，把正方形48co沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN,再過點8折

疊紙片，使點月格在MN上的點尸處，折痕為8瓦若A8長為2,則EN的長為（（）

A.26—3B.3-272c,受

2

3.如圖，點E在正方形A8CQ外，連接AE,BE,DE,過點4作4E的垂線交OE于

F,若AE=AF=&BF=M，則下列結論不正確的是（）

A.AAFD=AAEBB.點B到直線AE的距離為2

C.EB1ED

4.如圖，在ABCD中，AD=2AB.CE1AB,垂足E在線段A8上，尸、G分別是

AD.CE的中點，連接/G,EF、CO的延長線交于點”，則下列結論：

①NDCF=；/BCD；②EF=CF：③5'-r二25工所；④NOFE=3NAE產.其中，正

確結論的個數是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，長方形ABCD中，點E是邊CD的中點，將4ADE沿AE折疊得到aAFE,且點F

AD

在長方形ABCD內，將AF延長交邊BC于點G,若BG=3CG,則=()

嶼D.1

22

6.如圖，矩形ABCO中，A￡>=5,AB=7,點E為DC上一個動點,把后沿AE

折疊，點D的對應點為以，若以落在NA8C的平分線上時，QE的長為()

7.如圖，點0(0,0),A(0,1)是正方形。外8的兩個頂點，以OA對角線為邊作正

方形0AA24，再以正方形的對角線O&作正方形…，依此規律，則點A的坐

標是()

C.（0,872）D.（0,16）

8.如圖，在正方形A8CD中，E為8c上一點，過點E作￡F〃CD,交4。于F,交對角線

8D于G,取DG的中點H,連結4H,EH,F從下列結論：①NE田=45°；

BESRFH11

②△A〃Dg2\E”F：③N4EF+NHA。=45。；④若一=2,則彳出2二言.其中結論正確

ECS八延13

的是（）

A.①②@B.①②④C.②③④D.①②③④

9.如圖，正方形ABCD的邊長為2,Q為CD邊上（異于C,D）的一個動點，AQ交BD于

點M.過M作MN_LAQ交BC于點N,作NP_LBD于點P,連接NQ,下面結論：

①AM=MN；②MP=&；③aCNQ的周長為3：④BD+2BP=2BM,其內一定成立的是（）

A.①②?④B.①②③C.①②④D.①④

10.如圖，矩形A8CO中，。為AC的中點，過點0的直線分別與A3、CD交于點、

E、F,連接6F交AC于點M,連接。E、BO.若NCO8=60。，FO=FC=2,

則下列結論：①/B1OC；②AEOB必CMB；③四邊形E3/7）是菱形；

④MB=25其中正確結論的個數是（）

二、填空題

11.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點0,對角線長為1cm,過點。任作一條直線分

12.如圖，在正方形A8CO中，點E,尸將對角線AC三等分，且AC=6.點P在正方

形的邊上，則滿足尸E+PF=5的點尸的個數是個.

13.如圖，長方形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm點E是BC邊上一點，連接AE并將

△AEB沿AE折疊，得到△AEB1以C,E,B，為頂點的三角形是直角三角形時,BE的長為

14.如圖，在菱形A8C。中，AB的垂直平分線E/交對角線AC于點尸，垂足為點

E,若NC0尸=27。，則ND46的度數為.

D

B

15.如圖，四邊形紙片A8CD中，AB=BC,4ABC=NADC=90。.若該紙片的面積為

10cm2,則對角線30=cm.

16.如圖，在矩形ABCD中，/ACB=30。,BC=273?點E是功BC卜一劫點（點E不與B.

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點F,交AC于點G,連接DG,GE.設

AG=a,則點G到BC邊的距離為（用含a的代數式表示），ADG的面積的最小值為

17.如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E為BC上一點，AE交BD于F,若AB=AE,

1EAD=2/BAE,則下列結論：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正確的是（填

序號）.

18.如圖，矩形ABCO中，CE=CB=BE,延長8E交AO于點M,延長CE交AO

于點尸，過息E作EN上BE,交3A的延長線于點N,FE=2,AN=3,則

BC=

19.如圖，菱形0ABe的兩個頂點坐標為0(0,0),8(4,4),若將菱形繞點。以每秒

45。的速度逆時針旋轉，則第2019秒時，菱形兩對角線交點。的坐標為.

20.已知：如圖，在48c中，ADLBC.垂足為點O,BE1AC,垂足為點E,

M為AB邊的中點，連結ME、MD、ED,設A3=4,ND4C=30。則

EM=；EDM的面積為,

A

三、解答題

21.已知，四邊形48CD是正方形，點E是正方形A8C。所在平面內一動點(不與點。重

合)，AB=AE,過點8作?！甑拇咕€交DE所在直線于F,連接CF.

D

提出問題：當點￡運動時，線段CF與線段?！曛g的數量關系是否發生改變？

探究問題：

（1）首先考察點E的一個特殊位置：當點E與點8重合（如圖①）時，點F與點8也重

合.用等式表示線段CF與線段DE之間的數量關系：

（2）然后考察點E的一般位置，分兩種情況：

情況1：當點E是正方形A8c。內部一點（如圖②）時；

情況2：當點￡是正方形A8C。外部一點（如圖③）時.

在情況1或情況2下，線段CF與線段之間的數量關系與（1）中的結論是否相同？如

果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請

說明理由；

拓展問題：

（3）連接AF,用等式表示線段AF、CF、OF二者之間的數量關系：

22.在四邊形ABCD中,AD/7BC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,ZABC=90°.點P從點A

出發，以lcm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發，以3cm/s的速度向點B運動，

（2）當1=—時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊

形？

（3）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如

何改變Q點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度.

23.如圖，A43C是等腰直角三角形，AB=AC,O是斜邊3c的中點，耳尸分別是

A3,AC邊上的點，且DE上DF,若BE=12,CF=5,求線段E尸的長.

24.（1）如圖①，在正方形ABCD中，AAEF的頂點E,F分別在BC,CD邊上，高AG與

正方形的邊長相等，求NE4/的度數；

（2）如圖②，在放AABO中，N3AO=90：4O=43,點M,N是BD邊上的任意兩

點,且NM4N=45°，將繞點A逆時針旋轉90度至AAO”位置，連接NH,試判

斷MN,ND,DH之間的數量關系，并說明理由；

（3）在圖①中，連接BD分別交AE,AF于點M,N,若正方形ABCD的邊長為12,

（圖①）（圖②）

25.在正方形ABCO中，點E是。。邊上任意一點，連接4瓦過點8作3/_LAE于

F,交A力于H.

（1）如圖1,過點。作OGJ.AE于G.求證：3尸一OG=R7；

（2）如圖2,點E為CD的中點，連接。尸，試判斷?！晔?瓦'存在什么數量關系并說

明理由；

（3）如圖3,AB=\,連接點P為EH的中點，在點E從點Z）運動到點C的過程

中，點P隨之運動，請直接寫出點P運動的路徑長.

26.如圖1,在矩形紙片A8c。中，48=3cm,40=5cm,折疊紙片使8點落在邊AD上的

E處，折痕為PQ，過點E作EF〃八8交PQ于F,連接8F.

（1）求證：四邊形8FEP為菱形；

（2）當E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨著移動.

①當點Q與點C重合時，（如圖2）,求菱形8FEP的邊長；

②如果限定P、Q分別在線段84、8c上移動，直接寫出菱形8FEP面積的變化范圍.

27.如圖.正方形ABCD的邊長為4,點E從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿射

線AD運動，運動時間為t秒（t>0）,以AF為一條邊，在正方形ARCD左側作正方形

AEFG,連接BF.

（1）當t=l時，求BF的長度；

（2）在點E運動的過程中，求D、F兩點之間距離的最小值；

（3）連接AF、DF,當4ADF是等腰三角形時，求t的值.

28.閱讀下列材料，并解決問題：

如圖1,在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,3C=6,點。為4c邊上的動點（不與

AD

A、C重合），以AO,為邊構造ADBE,求對角線OE的最小值及此時的值

AC

是多少.

在解決這個問題時，小紅畫出了一個以AO，80為邊的ADBE（如圖2）,設平行四

邊形對角線的交點為。，則有4。=30.于是得出當OD_LAC時，。。最短，此時

OE取最小值，得出OE的最小值為6.

參考小紅的做法，解決以下問題：

（1）繼續完成閱讀材料中的問題：當。上的長度最小時，絲=_______：

AC

（2）如圖3,延長D4到點產，使=以。/，OB為邊作FDBE,求對角線

29.已知三角形紙片ABC的面積為48,BC的長為8.按下列步驟將三角形紙片ABC進行裁

剪和拼圖：

第一步：如圖1,沿三角形ABC的中位線DE將紙片剪成兩部分.在線段DE上住岸取一點

F,在線段BC上任菖取一點H,沿FH將四邊形紙片DBCE剪成兩部分；

第二步：如圖2,將FH左側紙片繞點D旋轉180。，使線段DB與DA重合；將FH右側紙片

繞點E旋轉180。，使線段EC與EA重合，再與三角形紙片ADE拼成一個與三角形紙片ABC

面積相等的四邊形紙片.

(1)當點F,H在如圖2所示的位置時，請按照第二步的要求，在圖2中補全拼接成的四

邊形；

(2)在按以上步驟拼成的所有四邊形紙片中，其周長的最小值為.

30.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AE<AD),連接DE、BF,P是

DE的中點，連接AP.將AAEF繞點A逆時針旋轉.

(1)如圖①，當AAEF的頂點E、F恰好分別落在邊AB、AD時，則線段AP與線段BF的位

置關系為，數量關系為一.

(2)當AAEF繞點A逆時針旋轉到如圖②所示位置時，證明：第(1)問中的結論仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1,則線段AP的取值范圍為.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.C

解析：c

【解析】

設正方形O3KJP的邊長為a,根據正方形的性質知：。3。4=也3,

2

正方形O2IHJ的邊長為2a,。2。3=近a,

正方形OiGFH的邊長為4a,0102=272a,

正方形OCDF的邊長為8a,00產4夜a,

AO=2OOi=8y/2am,

:.——a+yj2a+2V2a+40a+872a=31版,

2

解得：a=2m,

FD=8a=16m,

，長方形花壇ABCD的周長是2x(2FD+CD)=6FD=96m,

故選C.

【點睛】本題考查了正方形的性質，主要利用了正方形的對角線與邊長的關系，正方形的

中心到頂點的距離等于到邊的距離的0倍，熟記性質是解題的關鍵.

2.A

解析：A

【分析】

根據翻轉變換的性質求出BM、BF,根據勾股定理計算求出FM的值；再在RtZ\NEF中，運

用勾股定理列方程求解，即可得到EN的長.

【詳解】

???四邊形ABCD為正方形，AB=2,過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，

1

AFB=AB=2,BM=-BC=1,BF=BA=2,ZBMF=90°,

2

則在RtABMF中，

FMABFZ-BM?-供=5

:.FN=MN-FM=2-6,

設AE=FE=X,則EN=1-X,

222

???RtZXEFN中，NE+NF=EFf

.,.(1-X)2+(2-V3)2=X2,

解得：x=4—2^3?

???EN=1=2G-3.

故選：A.

【點睛】

本題考查了翻轉變換的性質、勾股定理的應用，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后

圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵.

3.B

解析：B

【分析】

A、首先利用已知條件根據邊角邊可以證明△APDg2\AEB；

B、利用全等三角形的性質和對頂角相等即可解答；

C、由(1)可得NBEF=90°,故BE不垂直于AE過點B作BP_LAE延長線于P,由①得

ZAEB=135°所以NPEB=45°,所以4EPB是等腰爪△,于是得到結論；

D、根據勾股定理和三角形的面積公式解答即可.

【詳解】

解：在正方形ABCD中，AB=AD,

VAF1AE,

，NBAE+NBAF=90°,

%VZDAF+ZBAF=ZBAD=90°,

AZBAE=ZDAF,

在AAFD和4AEB中，

AE=AF

,ZBAE=ZDAF

AB=AD

/.△AFD^AAEB(SAS),故AJE確；

VAE=AF,AF1AE,

???△AEF是等腰直角三角形，

.,.ZAEF=ZAFE=45°,

/.NAEB=NAFD=180°-450=135’,

/.ZBEF=135°-45°=90°,

AEBXED,故C正確；

■.?AE=AF=g,

?*-FE=V2AE=2,

在RtZXFBE中，BE=，FB?-FE：=，10-4=指，

.\SAAPD+SAAPB=SAAPE+SZ\BPE,

=—xV2xV2+—x2x>/6

22

=l+?，故D正確；

過點B作BP±AE交AE的延長線于P,

VZBEP=180°-135°=45°,

???△BEP是等腰直角三角形，

**?BP=x5/6=>/3>

2

即點B到直線AE的距離為G，故B錯誤，

故選：B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰宜角三角形的判定與性質，勾

股定理的應用，綜合性較強，難度較大，熟記性質并仔細分析圖形，理清圖中三角形與角

的關系是解題的關鍵.

4.C

解析：C

【分析】

由點F是AD的中點，結合ABCD的性質，得FD=CD,即可判斷①；先證

△AEF=ADHF,再證AECH是直角三角形，即可判斷②；由EF二HF,得S一

由CE_LAB,CE±CD,結合三角形的面積公式，即可判斷③；設NAEF=x,則NH二X,

根據直角三角形的性質，得NFCH=/H二x,由FD=CD,ZDFC=ZFCH=x,由

FG〃CD〃AB,得NAEF二NEFG二x,由EF=CF,ZEFG=ZCFG=x,進而得到

NDFE=3/AEF,即可判斷④.

【詳解】

???點F是AD的中點，

A2FD=AD,

;在ABCD中，AD=2AB,

.*.FD=AB=CD,

.\ZDFC=ZDCF,

VAD#BC,

AZDFC=ZBCF,

AZDCF=ZBCF,即：ZDCF=-ZBCD,

2

???①正確；

，NA=NFDH,ZAEF=ZH,

XVAF=DF,

.,.△AEF=ADHF(AAS),

AEF=HF,

???CE1AB,

ACE±CD,即:AECH是直角三角形,

:.EF=CF

2

???②正確;

VEF=HF,

CEF

VCE±AB,CE±CD,垂足E在線段A8上,

:.BE<CHt

<SHCE，

??2sCEF，

???③錯誤；

設NAEF=x,則NH=x,

V在RtAECH中,CF=FH=EF,

/.ZFCH=ZH=x,

VFD=CD,

/.ZDFC=ZFCH=x,

???點F,G分別是EH,EC的中點，

，FG〃CD〃AB,

AZAEF=ZEFG=x,

VEF=CF,

.\ZEFG=ZCFG=x,

:.ZDFE=ZDFC+ZEFG+ZCFG=3x,

???NDFE=3/AEF.

工④正確.

故選C.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半，是解題的關鍵.

5.B

解析：B

【解析】

【分析】

根據中點定義得出DE=CE,再根據折疊的性質得出DE=EF,AF=AD,ZAFE=ZD=90°,從而

得出CE=EF,連接EG,利用"HL"證明△ECGgZXEFG,根據全等三角形性質得出CG=FG,設

CG=af則BC=44,根據長方形性質得出AD=BC=4",再求出AF=4〃，最后求出

AG=AF+FG=5?,最后利用勾股定理求出AB,從而進一步得出答案即可.

【詳解】

如圖，連接EG,

???點E是CD中點,

ADE=EC,

根據折疊性質可得：AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

ACE=EF,

在RtAECG與RtAEFG中,

VEG=EG,EC=EF,

/.RtAECG^RtAEFG(HL),

/.CG=FG,

設CG=。，

ABG=3CG=3

ABC=4tZ,

，AF=AD=BC=4〃.

???AG=54.

在RtAABG中，

,AB=ylAG2-BG2=4a^

AB

故選B.

【點睛】

本題主要考查了長方形與勾股定理及全等三角形判定和性質的綜合運用，熟練掌握相關概

念是解題關鍵，

6.B

解析：B

【分析】

連接BD,過D彳乍MNJ_AB,交AB于點M,CD于點N,作D，P_LBC交BC于點P,先

利用勾股定理求出MD\再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【詳解】

如圖，連接8。，過。作交AB于點MCO于點N,作ZTP_LBC交5。于點P

V點D的對應點〃落在NABC的角平分線上,

；?MD=PD'

設則PD,=BM=x,

：,AM=AB-BM=l-x,

又折疊圖形可得4￡>=4。=5,

/.?+(7-X)2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RAEN。中，設ED=a,

①當M0=3時4M=7-3=4,DW=5-3=2,EN=4-af

?2=22+(4-?)2,

解得a=—，即DE=—,

22

②當MO=4時4知=7-4=3,加=5-4=1,EN=3-a,

/.a2=l2+(3-?)2,

解得”二77,即DE=:.

33

故選B.

【點睛】

本題考查翻折變換（折疊問題），矩形的性質，角平分線的性質，勾股定理與折疊問題.解

決本題的關鍵是依據題意分別表示Rt^AMD1和RSEND的三邊,利月勾股定理解直角三

角形.

7.D

解析：D

【分析】

根據題意和圖形可看出每經過一次變化，都順時針旋轉45。，邊長都賓以友,可求出從A

到A3變化后的坐標，再求出A1、.，、A3、A4、A5,繼而得出Ag坐標即可.

【詳解】

解：根據題意和圖形可看出每經過一次變化，都順時針旋轉45。，邊長都乘正,

???從A到％經過了3次變化，

V45°x3=135°,1x（應了=2萬

???點4所在的正方形的邊長為2夜，點A位置在第四象限，

工點4的坐標是（2，-2）,

可得出：A點坐標為（1，1），

4點坐標為（0，2）,4點坐標為（2,—2）,

4點坐標為（0，—4）,A點坐標為（-4,—4）,

A（-8,0）,Al（-8,8）,A（0,16）,

故選D.

【點睛】

本題考查了規律題，點的坐標，觀察出每一次的變化特征是解答本題的關鍵.

8.A

解析：A

【分析】

①根據正方形的性質證明/八。8=45。，進而得△DFG為等腰直角三角形，根據等腰三角形

的三線合一性質得/&。=45。，故①正確；

②根據矩形性質得AF=E8,NBEF=90°,再證明得進而證明

△EHF"AHD,故②正確；

③由0△4HD得NEHF=NAHD,懷AH=EH得NAEF+NHEF=45°,進而得

ZAEF+ZHAD=45°t故③正確：

④如圖，過點H作MN_LA。于點M,與8c交于點N,設EC=FD=FG=x,則8E=AF=EG

=2x,BC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=—xHN=-x由勾股定理得4H2,再由

22f2f

9：EF//CD,

：.ZEFD=90°,

???四邊形EFDC是矩形.

在RtZXFDG中，NFDG=45°,

：.FD=FG,

???〃是OG中點，

1

：?NEFH=—/EFD=45°

2

故①正確；

②;四邊形ABEF是矩形，

：.AF=EB,N8EF=90°,

■:BD平分/ABC,

：.ZEBG=ZEGB=45\

：.BE=GE,

：.AF=EG.

在RtZXFG。中，/■/是OG的中點，

:?FH=GH,FHA.BD,

,/NAFH=ZAFE+ZGFH=900+45°=135°,

NEG斤=180°-NEG8=180°-45°=135°,

:,NAFH=NEGH,

:.4AFHqAEGH(SAS),

：,EH=AH,

*：EF=AD,FH=DH,

:?AEHF@/\AHD(SSS),

故②正確；

:?NEHF=ZAHD,

：.NAHE=NDHF=90°,

*：AH=EH,

/.NAEH=45°,

即NAEF+NHEF=45°,

?:/HEF=NHAD,

：.ZAEF^ZHAD=450,

故③正確；

④如圖，過點H作MN_L4。于點M,與8c交于點N,

設EC=FD=FG=x,則BE=AF=EG=2x,

155

ABC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=-x,HN=-x,

222

c-BEHNin

...SBE”_2=12,

213

SAHELAH

2

故④錯誤；

故選：A.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質、矩形的性質、等腰三角形的性質及勾股定理,這是一道幾何

綜合型題，關鍵是根據正方形的性質得到線段的等量關系，然后利用矩形、等腰三角形的

性質進行求解即可.

9.C

解析：c

【分析】

連接AC交BD于。，作ME_LAB于E,MF_LBC于F,延長CB到H,使得BH=DQ.

①正確.只要證明△AMEgZ\NMF即可；

②正確.只要證明△AOM@Z\MPN即可；

③錯誤.只要證明NADQ名△ABH,由此推出△ANQ@Z\ANH即可；

④正確.只要證明△AME^^NMF,證得四邊形EMFB是正方形即可解決問題；

【詳解】

連接AC交BD于0,作MEJ_AB于E,MF_LBC于F,延長CB到H,使得BH=DQ.

He-

A

D

???四邊形ABCD是正方形，

AAC1BD,AC=&AD=2&,0A=0C=72>ZDBA=ZDBC=45%

AME=MF,

ZMEB=ZMFB=ZEBF=90°,

???四邊形EMFB是矩形，

VME=MF,

J四邊形EMFB是正方形，

/.ZEMF=ZAMN=90°,

AZAME=ZNMF,

VZAEM=ZMFN=90°,

/.△AME^ANMF(ASA),

AAM=MN,故①正確；

VZOAM+ZAMO=90°,ZAMO+ZNMP=90°,

/.ZAM0=ZMNP,

ZAOM=ZNPM=90°,

AAAOM^AMPN(AAS),

???PM=OA=&,故②正確；

VDQ=BH,AD=AB,ZADQ=ZABH=90°,

/.ZADQ^AABH(SAS),

AAQ=AH,ZQAD=ZBAH,

ZBAH+ZBAQ=ZDAQ+ZBAQ=90°,

VAM=MN,ZAMN=90°,

/.ZMAN=45°,

/.ZNAQ=ZNAH=45°,

/.△ANQ^AANH(SAS),

:.NQ=NH=BN+BH=BN+DQ,

.??△CNQ的周長=CN+CQ+BN+DQ=4,故③錯誤；

,.,BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP,

/.BD+2BP=2BM,故④正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰宜角三角形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.

10.B

解析：B

【分析】

連接BD,先證明△BOC是等邊二角形，得出BO=BC,又FO二FC,從而可得出FB_LOC,故

①正確；因為△EOBgz^FOBgZXFCB,故AEOB不會全等于△CBM,故②錯誤；再證明四

邊形EBFD是平行四邊形，由0B一EF推出四邊形EBFD是菱形，故③正確；先在Rt/XBCF

中，可求出BC的長，再在RtABCM中求出BM的長，從而可知④錯誤，最后可得到答

案.

【詳解】

解：連接BD,

???四邊形ABCD是矩形，

AAC=BD,AC、BD互相平分，

:。為AC中點，???BD也過。點，

AOB=OC,

VZCOB=60°,

.二△OBC是等邊三角形，AOB=BC,

又FO=FC,BF=BF,

AAOBF^ACBF(SSS),

/.△OBF與^CBF關于直線BF對稱，

AFB1OC,???①正確；

?.?NOBC=60°,AZABO=30°,

VAOBF^ACBF,/.ZOBM=ZCBM=30°,AZABO=ZOBF,

VAB/7CD,AZOCF=ZOAE,

VOA=OC,易證AAOE0△COF,AOE=OF,

VOB=OD,

???四邊形EBFD是平行四邊形.

又NEBO=NOBF,OE=OF,

，OB_LEF,??.四邊形EBFD是菱形，

，③正確；

:由①②知△EOB^AFOB^AFCB,

/.△EOB^ACMB錯誤，

???②錯誤；

VFC=2,ZOBC=60°,ZOBF=ZCBF,

/.ZCBF=30°,ABF=2CF=4,ABC=2y/j

ACM=yBC=73?ABM=3,故④錯誤.

綜上可知其中正確結論的個數是2個.

故選；B.

【點睛】

本題考查矩形的性質、菱形的判定、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性

質、含30°的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解

決問題，屬于中考?？碱}型.

二、填空題

11.-c/n2

8

【分析】

根據正方形的性質可以證明△AEO2CFO,就可以得出SsEo=Sg：。，就可以求出AAOD面積

等于正方形面積的;，根據正方形的面積就可以求出結論.

【詳解】

解：如圖：

E

???正方形ABCD的對角線相交于點0,

AAAE0與ACFO關于0點成中心對稱,

/.△AEO^CFO,

*,?SAAEO=SACFO?

：?SAAOD=SADEO+S△CFO，

;對角線長為1cm,

1-12

??S正方形ABCD=/XIXI=5cm'

?-12

??OAAOD——cm,

o

，陰影部分的面積為Jcm2,

o

故答案為：1cm2,

o

【點睛】

本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用正方形的面積及三角形

的面積公式的運用，在解答時證明△AEO9CFO是關鍵.

12.8個

【分析】

作點F關于BC的對稱點M,連接FM交BC于點N,連接EM,交BC于點H,可得點H到

點E和點F的距離之和最小，可求最小值，即可求解.

【詳解】

如圖，作點F關于BC的對稱點M,連接FM交BC于點N,連接EM,交BC于點H,

丁點E,F將對角線AC三等分，且AC=6,

AEC=4,FC=2=AE,

?.?點M與點F關于BC對稱，

/.CF=CM=2,ZACB=ZBCM=45°,

/.ZACM=90°,

???EM=yjEC2+CM2=742+22=2>/5，

則在線段BC存在點H到點E和點F的距離之和最小為2石<5,

在點H右側，當點P與點C重合時，則PE+P「=4+2=6,

???點P在CH上時，2j^VPE+PFW6,

在點H左側，當點P與點B重合時，

VFN±BC,ZABC=90°,

，FN〃AB,

/.△CFN^ACAB,

?FNCNCF1

**AB-CB-C\-3*

VAB=BC=—AC=^/7，

1f-

CN=-BC=V2?

???BN=BC-CN=2及，

BF=7FN2+BN2=V2+8=V10，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

/.△ABE^ACBF(SAS),

，BE=BF=M,

，PE+PF=2ji5，

，點P在BH上時，2gVPE+PFV2J15，

，在線段BC上點H的左右兩邊各有一個點P使PE+PF=5,

同理在線段AB,AD,CD上都存在兩個點使PE+PF=5.

即共有8個點P滿足PE+PF=5,

故答案為8.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，最短路徑問題，在BC上找到點H,使點H到點E和點F的距

離之和最小是本題的關鍵.

13.3或6

【詳解】

①NB，EC=90°時，如圖1,NBEB=90。，

由翻折的性質得ZAEB=ZAEBZ=；x90°=45°,

???△ABE是等腰直角三角形，

.*.BE=AB=6cm；

②NEBt=90°時，如圖2,

由翻折的性質ZABZE=ZB=90°,

:?A、B\C在同一直線上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC={AS+BC?=后+8?=10cm,

/.B'C=10-6=4cm,

設BE=BzE=x,則EC=8-x,

在RtABTC中，B'E^BX^EC2,

即X?+42=(8-X)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

綜上所述，BE的長為3或6cm.

故答案為3或6.

14.102°

【分析】

根據菱形的性質求出NDAB=2NDAC,AD=CD；再根據垂直平分線的性質得出AF=DF,利用

三角形內角和定理可以求得3NCAD+NCDF=180。，從而得到NDAB的度數.

【詳解】

連接BD,BF,

???四邊形ABCD是菱形，

.\AD=CD,

AZDAC=ZDCA.

〈EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,

AAF=BF,BF=DF,

AAF=DF,

/.ZFAD=ZFDA,

/.ZDAC+ZFDA+ZDCA+ZCDF=180°,即3ZDAC+ZCDF=180°,

VZCDF=27°,

.\3ZDAC+27°=180\貝!|NDAC=51°,

AZDAB=2ZDAC=102°.

故答案為：102°.

【點睛】

本題主要考查了線段的垂直平分線的性質，三角形內角和定理的應用以及菱形的性質，有

一定的難度，解答本題時注意先先連接BD,BF,這是解答本題的突破口.

15.2y[5

【分析】

作BE_LAD于E,BF_LCD于F,則四邊形BEDF是矩形，證明AABEg/XCBF(AAS),得出

BE=BF,Z\ABE的面積=Z\CBF的面積，則四邊形BEDF是正方形，四邊形ABCD的面積=正

方形BEDF的面積，求出BE=JI6，即可求得BD的長.

【詳解】

解：作BEJ_AD交DA延長線于E,BF_LCD于F,如圖所示：

則NBEA=/BFC=90°,

VZADC=90°,

，四邊形BEDF是矩形，

AZEBF=90°,

VZABC=90°,

/.ZEBF=ZABC=90°,

/.ZABE=ZCBF,

在4ABE和ACBF中，

'NBEA=NBFC

?NABE=ZCBF,

AB=CB

/.△ABE^ACBF(AAS),

/.BE=BF,Z\ABE的面積=Z\CBF的面積，

，四邊形BEDF是正方形，四邊形ABCD的面積=正方形BEDF的面積，

ABE=DE,BE2=10cm2,

/.BE=Vi0(cm),

???BD=^BE=2石(cm).

故答案為：2石.

【點睛】

本題考查了正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質等知識;

熟練掌握正方形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵.

4-a2G

【分析】

先根據直角三角形含30度角的性質和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長，作輔助

線，構建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過畫圖發現：當GE_LBC時，AG最小，即。

最小，可計算。的值，從而得結論.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形，

/.ZB=90°,

VZACB=30°,BC=273>

JAB二2,AC二4,

<AG=。，

：.CG=4-a,

如圖1,過G作MH_LBC于H,交AD于M,

圖1

RtZXCGH中，ZACB=30°,

14—〃

AGH=—CG=-------,

22

4-〃

則點G到BC邊的距離為

VHM±BC,AD/7BC,

AHM1AD,

JNAMG=90°,

VZB=ZBHM=90°,

，四邊形ARHM是矩形，

，HM=AB=2,

-4一〃a

AGM=2-GH=2-----------=-,

22

SA,ADG=—AD-MG=—x2\/3x—=>

2222

當。最小時，4ADG的面積最小，

如圖2,當GE_LBC時，AG最小，即a最小，

D

圖2

???FG是AE的垂直平分線，

，AG二EG,

4-a

/.-----=a,

2

4

：.a=-，

3

???△ADG的面積的最小值為正、9=逆，

233

故答案為：與￡,冬8.

23

【點睛】

本題主要考查了垂直平分線的性質、矩形的判定和性質、含30度角的直角三角形的性質以

及勾股定理，確定4ADG的面積最小時點G的位置是解答此題的關鍵.

17.(2X3)

【分析】

根據菱形的性質可知AC_LBD,所以在Rt^AFP中，AF一定大于AP,從而判斷①；設

ZBAE=x,然后根據等腰三角形兩底角相等表示出NABE,再根據菱形的鄰角互補求出

ZABE,根據三角形內角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度數，從而

判斷②@.

【詳解】

解：在菱形ABCD中，AC_LBD,

???在Rt^AFP中，AF一定大于AP,故①錯誤；

???四邊形ABCD是菱形，

???AD〃BC,

/.ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

設NBAE=x°,

貝l」NEAD=2x°,ZABE=180o-x°-2x°,

VAB=AE,ZBAE=x0,

ZABE=ZAEB=1800-xo-2x0,

由三角形內角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

即NBAE=36。,

ZBAE=180°-36°-2X36,>=70O,

???四邊形ABCD是菱形，

1

/.ZBAD=ZCBD=-ZABE=36°,

2

/.ZBFE=ZABD+ZBAE=360+36<,=72°,

/.ZBEF=180o-36<,-72°=72o,

ABE=BF=AF.故③正確

VZAFD=ZBFE=72°,ZEAD=2x0=72°

AZAFD=ZEAD

AAD=FD

又?.?AD=AB=AE

.\AE=FD,故②正確

???正確的有②③

故答案為：②③

【點睛】

本題考杳了菱形的性質，等腰三角形的性質，熟記各性質并列出關于NBAE的方程是解題

的關鍵，注意：菱形的對邊平行，菱形的對角線平分一組對角.

18.6+6&

【分析】

通過四邊形ABCD是矩形以及CE=CB=BE,得到AFEM是等邊三角形，根據含30。直

角三角形的性質以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，進而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性質及勾股定理得到BN,BE即可.

【詳解】

解：如圖，設NE交AD于點K,

丁四邊形ABCD是矩形，

，AD〃BC,ZABC=90°,

/.ZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,:CE=CB=BE,

/.△BCE為等邊三角形，

ZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

/.ZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

?二△FEM是等邊三角形，FM=FE=EM=2,

VENIBE,

/.ZNEM=ZNEB=90°,

.,.ZNKA=ZMKE=30°,

.\KM=2EM=4,NK=2AN=6,

：?在RSKME中，KE=^KM2-EM2=2G，

/.NE=NK+KE=6+273?

VZABC=90°,

/.ZABE=30°,

，BN=2NE=12+4x/i，

???BE=JBM-NE?=6+6>/3?

??.BC=BE=6+65

故答案為：6+65/3

【點睛】

本題考查了矩形，等邊三角形的性質，以及含30°直角三角形的性質與勾股定埋的應用，

解題的關鍵是靈活運用30。直角三角形的性質.

19.（-2近，0）

【分析】

先計算得到點D的坐標，根據旋轉的性質依次求出點D旋轉后的點坐標，得到變化的規律

即可得到答案.

【詳解】

???菱形048。的兩個頂點坐標為。（0,0）,8（4,4）,

，對角線的交點D的坐標是（2,2）,

工OD=d方+方=20，

將菱形繞點。以每秒45。的速度逆時針旋轉,

旋轉1次后坐標是(0,20)，

旋轉2次后坐標是(-2,2),

旋轉3次后坐標是(-2。0),

旋轉4次后坐標是(-2,-2),

旋轉5次后坐標是(0，?2夜)，

旋轉6次后坐標是(2,-2),

旋轉7次后坐標是(2夜，0)，

旋轉8次后坐標是(2,2)

旋轉9次后坐標是(0，2應,

由此得到點D旋轉后的坐標是8次一個循環,

V20194-8=2523,

???第2019秒時，菱形兩對角線交點。的坐