2024-2025學年廣東省廣州市高二上學期10月月考數學學情檢測試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁，滿分150分，時間120分鐘.注意事項：1、答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的班別、姓名、考號填寫在答題卡指定位置，并用鉛筆準確填涂考號.2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上.3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4、考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，答題卡由監考老師收回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線過點，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.直線的方向向量是（）A B. C. D.3.已知向量，若，則（）A. B.0 C.1 D.24.“”是“兩條直線，平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.在正四棱錐中，，用一個平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體，，，則幾何體的體積為（）A. B. C. D.6.若圓上存在唯一點，使得，其中，則正數的值為（）A. B. C. D.7.在三棱柱中，平面，，，，點為底面內動點，且，則點的軌跡長是（）A B. C. D.8.已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（）A6 B.7 C.8 D.9二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知角，，是三角形的三個內角，下列結論一定成立的有（）A. B.C.若，則 D.若，則是直角三角形10.已知，直線，則下列結論正確的有（）A.直線和可能相切B.直線過定點C.直線被截得的弦最長時，直線的方程為D.直線被截得的弦長最小值為11.已知圓：（），這些圓的全體構成集合，則（）A.x軸截圓所得的弦長為2B.對任意正整數k，圓內含于圓C.任意正實數m，存，使得圓與直線有交點D.存在正實數m，使得A中與直線相交的圓有且僅有2024個第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點作圓的切線l，求切線l的方程_______13.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為_____________.14.在邊長為4的正方形中，如圖甲所示，，，分別為，的中點，分別沿，及所在直線把，和折，使，，三點重合于點，得到三棱錐，則三棱錐外接球的表面積為_____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，內角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若點為的中點，且，求的面積.16.已知為坐標原點，點和直線，點是點關于直線的對稱點，且點滿足.（1）求點的坐標及點的軌跡方程；（2）若點的軌跡與直線有公共點，求的取值范圍.17.如圖，在四棱錐底面，．（1）證明：平面平面;（2）求與平面所成角的正弦值．18.已知圓過點，且與圓關于直線對稱．（1）判斷圓與圓的位置關系，并說明理由；（2）過點作兩條相異直線分別與相交于，．①若直線和直線互相垂直，求的最大值；②若直線和直線與軸分別交于點、，且，為坐標原點，試判斷直線和否平行？請說明理由．19.已知集合且中元素的個數為．若存在，得為2的正整數指數冪，則稱為的弱子集；若對任意的均為2的正整數指數冪，則稱為的強子集．（1）請判斷集合和是否為的弱子集，并說明理由；（2）是否存在的強子集？若存在，請寫出一個例子；若不存在，請說明理由；（3）若，且的任意一個元素個數為的子集都是的弱子集，求的最小值．2024-2025學年廣東省廣州市高二上學期10月月考數學學情檢測試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁，滿分150分，時間120分鐘.注意事項：1、答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的班別、姓名、考號填寫在答題卡指定位置，并用鉛筆準確填涂考號.2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上.3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4、考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，答題卡由監考老師收回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線過點，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出直線的斜率，由斜率與傾斜角關系即可求解.【詳解】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；故選：C2.直線的方向向量是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據直線的斜率及方向向量定義判斷即可.【詳解】直線的斜率為12，所以方向向量是.故選：A.3.已知向量，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】D【分析】先進行向量的線性坐標運算，再利用向量垂直的數量積坐標表示求解可得.【詳解】，.因為，所以，則，解得.故選：D.4.“”是“兩條直線，平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用直線平行的條件計算可得結論.【詳解】當時，兩條直線，，兩直線平行，所以“”是“兩條直線，平行”的充分條件；因為直線的斜率存在且為，由兩直線平行，所以的斜率存在且為，所以，解得或，當時，直線方程均為，此時直線重合，故不符合題意，舍去；所以“”是“兩條直線，平行”的充要條件.故選：C.5.在正四棱錐中，，用一個平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體，，，則幾何體的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題可得，幾何體為正四棱臺，求出高，利用臺體體積公式求解.【詳解】設正四棱錐的側棱長為，連接相交于點，連接，則平面，因為，所以，因為，所以，解得，所以，又因為用一個平行于底面的平面去截該正四棱錐，所以得到幾何體為正四棱臺，且，，連接相交于點，所以為的中點，所以，所以幾正四棱臺的體積為，故選：B.6.若圓上存在唯一點，使得，其中，則正數的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設，由因為，得到，根據題意，轉化為兩圓是外切或內切，結合圓與圓的位置關系，列出方程，即可求解.【詳解】由題得圓的圓心坐標為C0,1，半徑為，設，則，，因為，可得，化簡得，故點在以為圓心，半徑為的圓上，又因為存在唯一的點也在圓上，所以兩圓是外切或內切，所以圓心距等于兩圓半徑相加，或者圓心距等于兩圓半徑差的絕對值，即或，解得或，因為是正數，所以.故選：B.7.在三棱柱中，平面，，，，點為底面內動點，且，則點的軌跡長是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】連接，由勾股定理求出，即可得到點在以為圓心，為半徑的圓（圓?。┥?，且圓心角為，即可求出軌跡長.【詳解】又為底面內動點，且，連接，因為平面，平面，所以，所以，所以點在以為圓心，為半徑的圓（圓?。┥?，且圓心角為，所以點的軌跡長為.故選：B.8.已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】C【分析】作出關于直線的對稱圓，把轉化到與直線同側的，數形結合找到取最大值的位置，求出的最大值.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓關于直線的對稱圓為圓B，其中設圓心B坐標為，則，解得：，故圓B的圓心為，半徑為1，由于此時圓心A與圓心B的距離為4，等于兩圓的半徑之和，所以兩圓外切，此時點的對稱點為，且，所以，在P點運動過程中，當P，B，A，，F五點共線時，且在圓B左側，點F在圓A右側時，最大，最大值為故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知角，，是三角形的三個內角，下列結論一定成立的有（）A. B.C.若，則 D.若，則直角三角形【正確答案】AC【詳解】對A，因為，所以，A正確；對B，因為，所以，B錯誤；對C，設的外接圓半徑為，，可得，即，所以，C正確；對D，如在，，，但該三角形不是直角三角形，D錯誤；故選：AC.10.已知，直線，則下列結論正確的有（）A.直線和可能相切B.直線過定點C.直線被截得的弦最長時，直線的方程為D.直線被截得的弦長最小值為【正確答案】BCD【分析】將直線方程變形后得到，求出恒過的定點，即可判斷B，根據定點在圓內即可判斷A；當圓心在直線上，故直線被圓截得的弦長為直徑4，為最大弦長，即可判斷C,根據圓心與定點的連線與直線垂直，即可求解最短弦長判斷D．【詳解】變形為，圓心為半徑，對于B，變形為，故恒過定點，故B正確；對于A,由于直線經過的定點在圓內，所以直線和相交，A錯誤，對于D，當定點與圓心的連線垂直于時，此時圓心到直線的距離最大為，所以所截得的弦長最小為,D正確對于C，當在直線上時，，解得，直線方程為，故直線被圓截得的弦長為直徑4，為最大弦長，故C正確．故選：BCD．11.已知圓：（），這些圓的全體構成集合，則（）A.x軸截圓所得的弦長為2B.對任意正整數k，圓內含于圓C.任意正實數m，存在，使得圓與直線有交點D.存在正實數m，使得A中與直線相交的圓有且僅有2024個【正確答案】ACD【分析】用代入法可得選項A正確；對于選項B，得出圓和的圓心和半徑，判斷兩圓位置關系即可；對選項C，分析圓和圓與軸的兩個交點縱坐標的取值范圍即可；對選項D，研究圓與直線的位置關系即可.【詳解】對于選項A，將代入：，得，x軸截圓所得的弦長為2，故A正確；對于選項B，因為：和：，圓心距為：，兩圓的半徑差為：，且，顯然，故對任意正整數k，圓不可能內含于圓，故B錯誤；對于選項C，由于圓方程，將代入，得圓與軸的兩個交點為與，由于，，，圓與軸的兩個交點為與，其中，即集合中的所有圓在軸上的一系列截線段不間斷，故任意正實數m，存在，使得圓與直線有交點，故C正確；對于選項D，圓的圓心為，半徑，圓與直線有交點，只需，即，使得集合A中與直線相交的圓有且僅有2024個，只需要集合中滿足的個圓都滿足題意，即只需保證，顯然不等式有解，故D正確.故選：ACD方法點睛：萬變不離其宗，利用點到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關系和求弦長；利用圓心距與兩圓半徑的和差作比較，判斷圓與圓位置關系.第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點作圓的切線l，求切線l的方程_______【正確答案】【分析】當直線斜率不存在時，直線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當直線的斜率存在時：設直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】當直線斜率不存在時，直線方程為：，圓心到直線的距離為，不成立；當直線的斜率存在時：設直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，所以直線方程為：，即.故答案為.13.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為_____________.【正確答案】【分析】利用投影向量的定義求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案.14.在邊長為4的正方形中，如圖甲所示，，，分別為，的中點，分別沿，及所在直線把，和折，使，，三點重合于點，得到三棱錐，則三棱錐外接球的表面積為_____________.【正確答案】【分析】三棱錐外接球等同于補形為長方體的外接球，結合所給長度即可求解.【詳解】由題可得，,,所以,所以所以三棱錐外接球等同于以同頂點擴充為長方體的的外接球，如下圖，設外接球的直徑為，則有,所以，則外接球的半徑為,所以三棱錐外接球的表面積為,故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，內角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若點為的中點，且，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設，由余弦定理求出；（2）在中，，，由余弦定理列出方程，求出，得到，利用三角形面積公式求出答案.【小問1詳解】設，則由余弦定理得；【小問2詳解】在中，，，，由余弦定理得，即，解得，又，故，.16.已知為坐標原點，點和直線，點是點關于直線的對稱點，且點滿足.（1）求點的坐標及點的軌跡方程；（2）若點的軌跡與直線有公共點，求的取值范圍.【正確答案】（1），軌跡方程；（2）或【分析】（1）設，根據斜率之積和的中點坐標得到方程組，求出，設Px,y，直接法求出點的軌跡方程為；（2）圓心12,0到的距離小于等于半徑，列出不等式，求出答案【小問1詳解】設，則，解得，故，設Px,y，則，整理得，故點的軌跡方程為；【小問2詳解】與直線有公共點，則圓心12,0到的距離小于等于半徑，即，解得或，的取值范圍是或.17.如圖，在四棱錐底面，．（1）證明：平面平面;（2）求與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）計算，，根據勾股定理得到，再證明平面，得到答案.（2）作，垂直為，連接，確定為與平面所成的角，計算，得到答案.【小問1詳解】，，，則，．中，，故，故，又因為底面，底面，所以，又因為，平面，平面，底面，故平面平面，另解：平面，平面，故，過做的垂線，垂足為，連接，則，，，，在中，，，即，又，平面，故平面，平面，故平面平面，【小問2詳解】作，垂直為，連接，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，故為與平面所成的角，中，，，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.已知圓過點，且與圓關于直線對稱．（1）判斷圓與圓的位置關系，并說明理由；（2）過點作兩條相異直線分別與相交于，．①若直線和直線互相垂直，求的最大值；②若直線和直線與軸分別交于點、，且，為坐標原點，試判斷直線和是否平行？請說明理由．【正確答案】（1）圓與圓外切，理由見解析（2）①最大值為；②平行，理由見解析【分析】（1）根據對稱關系求出圓方程，從而求出圓心距，即可判斷兩圓的位置關系；（2）①方法一：令、即，為過點的兩條弦，設、被圓所截得弦的中點分別為、，弦長分別為，，由垂直關系可得四邊形是矩形，即，進而根據半弦長，弦心距，圓半徑構造直角三角形，滿足勾股定理，得到，進而由基本不等式，得到的最值，從而求得結果；方法二：分類討論直線與中有一條直線的斜率不存在和直線與斜率都存在，且互為倒數，兩種情況下的值，最后綜合討論結果得到答案.②由已知直線和直線與軸分別交于點、，且，可得直線與斜率都存在，且互為相反數，可設，，求出，坐標后，代入斜率公式，判斷直線和的斜率是否相等，即可得到答案.【小問1詳解】由題可得圓圓心為，設圓心，則，解得則圓的方程為，將點的坐標代入得，故圓的方程為，又兩半徑之和為，圓與圓外切．【小問2詳解】方法一：令、即，為過點的兩條弦，設、被圓所截得弦的中點分別為、，弦長分別為，，因為四邊形是矩形，所以，即，化簡得從而，時取等號，此時直線，必有一條斜率不存在）綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為方法二：若直線與中有一條直線的斜率不存在，則，此時若直線與斜率都存在，且互為負倒數，故可設，即，，點到的距離為，同理可得點到的距離為，，，綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為②直線和平行，理由如下：由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數，故可設，，由，得，因為的橫坐標一定是該方程的解，故可得，同理，所以，，所以，直線和一定