新課標人教版高中數學教內容

目錄

高中數學公式口訣

現行新課標高中數學課木（人教A版）

數學必修1

數學必修2

數學必修3

數學必修4

數學必修5

數學選修

高中數學公式口訣

現行新課標高中數學課本（人教A版）

數學必修1

數學必修2

數學必修3

數學必修4

數學必修5

數學選修

選修3—1數學史

選修3-2信息安全與密碼

選修3—3球面上的幾何

選修3—4對稱與群

選修3—5歐拉公式與閉曲面分類

選修3—5三等分角與數域擴充

選修4—1幾何證明選講

選修4一2矩陣與變換

選修4—3數列與差分

選修4-4坐標系與參數方程

選修4—5不等式選講

選修4一6初等數論初步

選修4—7優選法與試驗設計初步

選修4-8統籌法與圖論初步

選修4—9風險與決策

選修4-10開關電路與布爾代數

高中數學公式口訣

內容子交并補集，還有某指對函數。性質奇偶與增減，觀察圖象最明顯。

復合函數式出現，性質乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義抓。

指數與對數函數，兩者互為反函數。底數非1的正數，1兩邊增減變故。

函數定義域好求。分母不能等于0,偶次方根須非負，零和負數無對數；

正切函數角不直，余切函數角不平；其余函數實數集，多種情況求交集。

兩個互為反函數，單調性質都相同；圖象互為軸對稱，Y=X是對稱軸；

求解非常有規律，反解換元定義域；反函數的定義域，原來函數的值域。

累函數性質易記，指數化既約分數；函數性質看指數，奇母奇子奇函數，

奇母偶子偶函數，偶母非奇偶函數；圖象第一象限內，函數增減看正負。

二、《三角函數》

三角函數是函數，象限符號坐標注。函數圖象單位圓，周期奇偶增減現。

同角關系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；

中心記上數字1,連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數關系是對角，

頂點任意一函數，等于后面兩根除。誘導公式就是好，負化正后大化小，

變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化余偶不變，

將其后者視銳角，符號原來函數判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，

余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名,互余角度變名稱。

計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。

逆反原則作指導，升幕降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；

1加余弦想余弦，1減余弦想正弦，累升一次角減半,升暴降次它為范；

三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值范圍；

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集；

三、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實數性質威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式,以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖建模構造法。

四、《數列》

等差等比兩數列，通項公式N項和。兩個有限求極限，四則運算順序換。

數列問題多變幻，方程化歸整體算。數列求和比較難，錯位相消巧轉換，

取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思考：

一算二看三聯想，猜測證明不可少。還有數學歸納法，證明步驟程序化：

首先驗證再假定，從K向著K加1,推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。

五、《復數》

虛數單位i一出，數集擴大到復數。一個復數一對數，橫縱坐標實虛部。

對應復平面上點，原點與它連成箭。箭桿與X軸正向，所成便是輻角度。

箭桿的長即是模，常將數形來結合。代數幾何三角式，相互轉化試一試。

代數運算的實質，有i多項式運算。i的正整數次慕,四個數值周期現。

一些重要的結論,熟記巧用得結果。虛實互化本領大,復數相等來轉化。

利用方程思想解,注意整體代換術。幾何運算圖上看,加法平行四邊形,

減法三角法則判;乘法除法的運算,逆向順向做旋轉,伸縮全年模長短。

三角形式的運算,須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方開方極方便。

輻角運算很奇特,和差是由積商得。四條性質離不得，相等和模與共規

兩個不會為實數,比較大小要不得。復數實數很密切，須注意本質區別

六、《排列、組合、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。

兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合,應用問題須轉化

排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考慮

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式,定義證明建模試

關于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式,函數賦值變換式

七、《立體幾何》

點線面三位--體，柱錐舍球為代表。距離都從點出發，角度皆為線線成

垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環現

方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形

立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關鍵

異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質三垂線，解決問題??大片

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓,蜘坦雙曲拋物線，參數方程極電標,數形結合稱典范。

笛卡爾的觀點對,點和有序實數對，兩者一一來對應,開創幾何新途徑。

兩種思想相輝映,化歸思想打前陣;都說待定系數法,實為方程組思想。

三種類型集大成,畫出曲線求方程,給了方程作曲線，曲線位置關系判

四件工具是法寶,坐標思想參數好;平面幾何不能丟，旋轉變換復數求

解析幾何是幾何，得意忘形學不活。圖形直觀數入微，數學本是數形學

現行新課標高中數學課本（人教A版）

數學必修1

1.集合

（約4課時）

（1）集合的含義與表示

①通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系。

②能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問

題，感受集合語言的意義和作用。

（2）集合間的基本關系

①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。

②在具體情境中，了解全集與空集的含義。

（3）集合的基本運算

①理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。

②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集。

③能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

2.函數概念與基本初等函數I

（約32課時）

（1）函數

①進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習

用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成

函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念。

②在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析

法）表示函數。

③了解簡單的分段函數，并能簡單應用。

④通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（小）值及其幾

何意義；結合具體函數，了解奇偶性的含義。

⑤學會運用函數圖象理解和研究函數的性質（參見例1）。

（2）指數函數

①（細胞的分裂，考古中所用的C的衰減，藥物在人體內殘留量的變化等），了

解指數函數模型的實際背景。

②理解有理指數哥的含義，通過具體實例了解實數指數毒的意義，掌握幕的運算。

③理解指數函數的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖

象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點。

④在解決簡單實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型（參見例

2）。

（3）對數函數

①理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數

或常用對數；通過閱讀材料，了解對數的產生歷史以及對簡化運算的作用。

②通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數

的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數

函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點。

③知道指數函數與對數函數互為反函數（a>0,a#1）?

（4）基函數

通過實例，了解幕函數的概念；結合函數的圖象，了解它們的變化情況。

（5）函數與方程

①結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函

數的零點與方程根的聯系。

②根據具體函數的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這

種方法是求方程近似解的常用方法。

（6）函數模型及其應用

①利用計算工具，比較指數函數、對數函數以及塞函數增長差異；結合實例體會

直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。

②收集一些社會生活中普遍使用的函數模型（指數函數、對數函數、基函數、分

段函數等）的實例，了解函數模型的廣泛應用。

（7）實習作業

根據某個主題，收集17世紀前后發生的一些對數學發展起重大作用的歷史事件

和人物（開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、歐拉等）的有關資料或現實生

活中的函數實例，采取小組合作的方式寫一篇有關函數概念的形成、發展或應用的文

章，在班級中進行交流。具體要求參見數學文化的要求。

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數學必修2

1.立體幾何初步

（約18課時）

（1）空間幾何體

①利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單

組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構。

②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視

圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如紙板）制作模型，會用

斜二側法畫出它們的直觀圖。

③通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間

圖形的不同表示形式。

④完成實習作業，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，

尺寸、線條等不作嚴格要求）。

⑤了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。

（2）點、線、面之間的位置關系

①借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽

象出空間線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理。

?公理1：如果?條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。

?公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

?公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點

的公共直線。

?公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。

?定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

②以立體兒何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思

辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。

操作確認，歸納出以下判定定理。

?平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

?一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

?一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。

?一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直。

操作確認，歸納出以下性質定理，并加以證明。

?一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線

平行。

?兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

?垂直于同一個平面的兩條直線平行。

?兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

③能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。

2.平面解析幾何初步

（約18課時）

（1）直線與方程

①在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。

②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握

過兩點的直線斜率的計算公式。

③能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。

④根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩

點式及一般式），體會斜截式與一次函數的關系。

⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標。

⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的

距離.

（2）圓與方程

①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一

般方程。

②能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。

③能用直線和圓的方程解決些簡單的問題。

（3）在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想。

（4）空間直角坐標系

①通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會

用空間直角坐標系刻畫點的位置。

②通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標，探索并得出空

間兩點間的距離公式。

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數學必修3

1.算法初步

（約12課時）

（1）算法的含義、程序框圖

①通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如二元一次方程組求解等問題），體

會算法的思想，了解算法的含義。

②通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體

問題的解決過程中（如三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯

結構：順序、條件分支、循環。

（2）基本算法語句：經歷將具體問題的程序框圖轉化為程序語句的過程，理解

兒種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句，進一

步體會算法的基本思想。

（3）通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發展

的貢獻。

2.統計

（約16課時）

（1）隨機抽樣

①能從現實生活或其他學科中提出具有一定價值的統計問題。

②結合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性。

③在參與解決統計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；

通過對實例的分析，了解分層抽樣和系統抽樣方法。

④能通過試驗、查閱資料、設計調查問卷等方法收集數據。

（2）用樣本估計總體

①通過實例體會分布的意義和作用，在表示樣本數據的過程中，學會列頻率分布

表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖（參見例1）,體會它們各自的特點。

②通過實例理解樣本數據標準差的意義和作用，學會計算數據標準差。

③能根據實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征

（如平均數、標準差），并作出合理的解釋。

④在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻

率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征：初步體會

樣本頻率分布和數字特征的隨機性。

⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題；

能通過對數據的分析為合理的決策提供一些依據，認識統計的作用，體會統計思維與

確定性思維的差異。

⑥形成對數據處理過程進行初步評價的意識。

（3）變量的相關性

①通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀認

識變量間的相關關系。

②經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程。知道最小二乘法的思想，

能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程（參見例2）。

3.概率

（約8課時）

（1）在具體情境中，了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，進一步了

解概率的意義以及頻率與概率的區別。

（2）通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式。

（3）通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事

件所含的基本事件數及事件發生的概率。

（4）了解隨機數的意義，能運用模擬方法（包括計算器產生隨機數來進行模擬）

估計概率，初步體會幾何概型的意義（參見例3）。

（5）通過閱讀材料，了解人類認識隨機現象的過程。

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數學必修4

1.三角函數

（約16課時）

（1）任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化。

（2）三角函數

①借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。

②借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式（的正弦、余弦、正切），能畫

出的圖象，了解三角函數的周期性。

③借助圖象理解正弦函數、余弦函數在，正切函數在上的性質（如單調性、最

大和最小值、圖象與X軸交點等）。

④理解同角三角函數的基本關系式：

⑤結合具體實例，了解的實際意義：能借助計算器或計算機畫出的圖象，觀察

參數A,3,對函數圖象變化的影響。

⑥會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重

要函數模型。

2.平面向量

（約12課時）

（1）平面包遢的實際背景及基本概念

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量利向量相等的含

義，理解向量的幾何表示。

（2）向量的線性運算

①掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義。

②掌握向量數乘的運算，并理解其兒何意義，以及兩個向量共線的含義。

③了解向量的線性運算性質及其幾何意義。

（3）平面向量的基本定理及坐標表示

①了解平面向量的基本定理及其意義。

②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。

③會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算。

④理解用坐標表示的平面向量共線的條件。

（4）平面向量的數量積

①通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。

②體會平面向量的數量積與向量投影的關系。

③掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。

④能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關

系。

（5）向量的應用

經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的

過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際

問題的能力。

3.三角恒等變換

（約8課時）

（1）經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方

法的作用。

（2）能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角

的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。

（3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、

半角公式，但不要求記憶）。

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數學必修5

1.解三角形

（約8課時）

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并

能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有

關的實際問題。

2.數列

（約12課時）

（1）數列的概念和簡單表示法

了解數列的概念和兒種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是

一種特殊函數。

（2）等差數列、等比數列

①理解等差數列、等比數列的概念。

②探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和的公式。

③能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解

決相應的問題（參見例1）O

④體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系。

3.不等式

（約16課時）

（1）不等關系

感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際

背景。

（2）一元二次不等式

①經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。

②通過函數圖象了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系。

③會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖。

（3）二元一次不等式組與簡單線性規劃問題

①從實際情境中抽象出二元一次不等式組。

②了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組（參見

例2）o

③從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決（參見例3）。

（4）基本不等式：。

①探索并了解基本不等式的證明過程。

②會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題（參見例4）。

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數學選修

選修2—1

1.常用邏輯用語（約8課時）

（1）命題及其關系

①了解命題的逆命題、否命題與逆否命題。

②理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系。

（2）簡單的邏輯聯結詞

了解邏輯聯結詞“或”“且”"非”的含義。

（3）全稱量詞與存在量詞

①理解全稱量詞與存在量詞的意義。

②能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。

2.圓錐曲線與方程（約16課時）

（1）圓錐曲線

①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的

作用。

②經歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方

程、幾何圖形及簡單性質。

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關性質。

④能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置

關系）和實際問題。

⑤通過圓錐曲線的學習，進一步體會數形結合的思想。

（2）曲線與方程

了解曲線與方程的對應關系，進一步感受數形結合的基本思想。

3.空間向量與立體兒何（約12課時）

（1）空間向量及其運算

①經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。

②了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正

交分解及其坐標表示。

③掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。

④掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與

垂直。

（2）空間向量的應用

①理解直線的方向向量與平面的法向量。

②能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系。

③能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）（參見

例1、例2、例3）o

④能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究

幾何問題中的作用。

參考案例

例1.已知直三棱柱中，/ACB=90°,NBAC=30°,,M是棱的中點。證

明：。

例2.已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，以AD為公共邊，但它們不在同一平

面上。點M,N分別在對角線BD,AE上，且。

證明：MN〃平面CDE。

例3.已知單位正方體，E、F分別是棱和的中點。試求：

（1）與EF所成的角；（2）AF與平面所成的角；（3）二面角的大小。

選修2—2

1.導數及其應用（約24課時）

（1）導數概念及其幾何意義

①通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導

數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵（參見選修

1-1案例中的例2、例3）。

②通過函數圖象直觀地理解導數的幾何意義。

（2）導數的運算

①能根據導數定義求函數的導數。

②能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的

導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如）的導數。

③會使用導數公式表。

（3）導數在研究函數中的應用

①借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系（參見選修1-1案例中

的例4）；能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間。

②結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件：會用導數

求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值，以及閉區間上不超過三次的多項式函

數最大值、最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性。

（4）生活中的優化問題舉例。

例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際

問題中的作用（參見選修1-1案例中的例5）。

（5）定積分與微積分基本定理

①通過求曲邊梯形的面積、變力做功等，從問題情境中了解定積分的實際背景；

借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。

②通過變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關系，直觀了解微積分基本定

理的含義（參見例1）。

2.推理與證明（約8課時）

（1）合情推理與演繹推理

①了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情

推理在數學發現中的作用（參見選修1-2案例中的例2、例3）。

②體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡

單推理。

③通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異。

（2）直接證明與間接證明

①了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考

過程、特點。

②了解間接證明的??種基本方法一一反證法；了解反證法的思考過程、特點。

（3）數學歸納法

了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。

（4）數學文化

①通過對實例的介紹（如歐幾里得《幾何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨

立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想。

②介紹計算機在自動推理領域和數學證明中的作用。

3.數系的擴充與復數的引入（約4課時）

（1）在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數

的運算規則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數

與現實世界的聯系。

（2）理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件。

（3）了解復數的代數表示法及其兒何意義。

（4）能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加、減運算的幾何

意義。。

參考案例

例1.一個物體依照規律在直線上運動，我們已經知道，其在某--時刻的運動速

度（即瞬時速度或瞬時變化率）為在時刻的導數，即。今考慮在到之間位置的

總變化。我們把區間分割成n個小區間，不妨假設小區間的長度相等，其長度為。

對每一個小區間，我們假設的變化率近似為某一常量，于是我們可以說

的變化率X時間。

在第一個小區間內，即從到，假設的變化率近似地為，于是有

同樣，對第二個小區間，即從到，假設的變化率近似地為，因此有

等等。把在所有小區間上得到的位置變化近似值全部加在一起，得到

S的總變化

我們可以把在到之間位置的總變化寫成。另一方面，當分割無限加細、n趨

于無窮時，和式

的極限就是定積分或，也就是在到之間位置的總變化。于是，我們可得到

以下結論：

也就是說，變化率的定積分給出了總的變化。

特別地，當物體作勻速運動時，即時，

當物體作勻加速運動時，即（其中是常數）時，

一般地，如果是連續函數，并且，那么

這就是微積分基本定理。這里給出的并不是非常嚴格的證明，但是，它反映了微

積分基本定理的基本思想，反映了微分（導數）與積分的聯系。

選修2—3

1.計數原理（約14課時）

（1）分類加法計數原理、分步乘法計數原理

總結分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特征，選擇分類

加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題。

（2）排列與組合

理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，并能解

決簡單的實際問題。

（3）二項式定理

能用計數原理證明二項式定理（參見例1）；會用二項式定理解決與二項展開式

有關的簡單問題。

2.統計與概率（約22課時）

（1）概率

①在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，

認識分布列對于刻畫隨機現象的重要性。

②通過實例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應

用（參見例2）o

③在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復

試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題（參見例3）。

④理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變

量的均值、方差，并能解決一些實際問題（參見例4）。

⑤借助直觀（如實際問題的直方圖），認識正態分布曲線的特點及曲線所表示的

意義。

（2）統計案例

①通過對“肺癌與吸煙有關嗎”的探究，了解獨立性檢驗（只要求2x2列聯表）

的基本思想、方法及初步應用。

②通過對“質量控制”“新藥是否有效”的探究，了解實際推斷原理和假設檢驗的基

本思想、方法及初步應用（參見選修1-2案例中的例1）。

③通過對“昆蟲分類”的探究，了解聚類分析的基本思想、方法及其初步應用。

④通過對“人的體重與身高的關系”的探究，了解回歸的基本思想、方法及其初步

應用。

參考案例

例1.二項式定理的證明。

是n個相乘，每個在相乘時，有兩種選擇，選a或b,由分步計數原理可知展

開式共有項（包括同類項），其中每一項都是的形式，0,1............n；對于每一項

，它是由k個選了a,個選了b得到的，它出現的次數相當于從n個中取k個a

的組合數，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理。

例2.直三（1）班的聯歡會上設計了一項游戲。在一個口袋中裝有10個紅球，

20個白球，這些球除顏色外完全相同。游戲者一次從中摸出5個球，摸到4個紅球

的就中一等獎。求獲一等獎的概率.

從30個球中摸出5個球的組合數為：；那么，

如果令X表示摸出紅球的個數，則X服從N=30,M=5,n=10,m=4的超幾

何分布，那么

例3.將一枚均勻硬幣隨機擲100次，相當于重復做了100次試驗，每次有兩個

可能的結果（出現正面，不出現正面），出現正面的概率為。

如果令X為硬幣正面出現的次數，則X服從的二項分布，那么

由此可以得到：“隨機擲100次硬幣正好出現50次正面”的概率為

在學習概率時會有一?種誤解，認為既然出現正面的概率為，那么擲100次硬幣

出現50次正面是必然的，或者這個事件發生的概率應該很大。但計算表明這概率只

有8%左右。

例4.據氣象預報，某地區下個月有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.

01o設工地上有一臺大型設備，為保護設備有以下三種方案。

方案1：運走設備，此時需花費3800元。

方案2：建一保護圍墻，需花費2000元。但圍墻無法防止大洪水，當大洪水來

臨，設備受損，損失費為60000元。

方案3：不采取措施，希望不發生洪水。此時大洪水來臨損失60000元，小洪水

來臨損失10000元。試比較哪種方案好。

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選修3—1數學史

數學史選講

1.早期算術與幾何一一計數與測量

?紙草書中記錄的數學（古代埃及）。

?泥板書中記錄的數學（兩河流域）。