專題1將軍飲馬模型與最值問題

【模型導入】

什么是將軍飲馬？

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李顧《士從軍行》里的一句詩。而由此卻引申出一

系列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩。而由此卻引申出一系

列非常有趣的數學問題，通常稱為“招■軍飲馬

【模型描述】

如圖，將軍在圖中點A處，現在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短？

8軍營

■

將軍4

■

河

【模型抽象】

如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最小？

這個問題的難點在于PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結果，關于最小值，我們知道“兩點之間,

線段最短”、“點到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉化問題，將折線段變為直線段.

【模型解析】

作點A關于直線的對稱點A',連接PA',則PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB

當A'、P、B三點共線的時候,PA'+PB=A'B,此時為最小值（兩點之間線段最短）

B

A端點

【模型展示】

【模型】一、兩定一動之點點

在OA.OB上分別取點M、N,使得ZiPMN周長最小.

此處M、N均為折點，分別作點P關于0A（折點M所在直線）、0B（折點N所在直線）的對稱點，化折線

段PM+MN+NP為P'M+MN+NP'',當P'、M、N、P''共線時，ZXPMN周長最小.

【例題】如圖，點P是NAOB內任意一點，ZA0B=30°,0P=8,點M和點N分別是射線0A和射線OB上的

動點，則△PMN周長的最小值為.

【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點，分別作點P關于OB.OA對稱點P'、

P'',化PM+PN+MN為P'N+MN+P''M.

【解析】

當，、N、M、P'，共線時，得△PMN周長的最小值，即線段P'P”長，連接OP，、OP'，，可得△OP，P一

為等邊三角形,所以P'P''=0P'=OP=8.

【模型】二、兩定兩動之點點

在OA.OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小。

考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類以，分別作點P、Q關于OA.OB對稱，化折

線段PM+MN+NQ為P'M+MN+NQ',當P'、M、N、Q'共線時，四邊形PMNQ的周長最小。

【模型】三、一定兩動之點線

在OA.OB上分別取M、N使得PM+MN最小。

此處M點為折點，作點P關于OA對稱的點P',將折線段PM+MN轉化為P'M+MN,即過點P'作OB

垂線分別交OA.OB于點M、N,得PM+MN最小值（點到直線￡勺連線中，垂線段最短）

題型一將軍飲馬中兩定一動模型與最值問題

【專題說明】

這類問題的解法主要是通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩定點中的一個映射到直線的另一側，轉化為

兩點之間線段最短問題。

1.如圖，在川是/的兩條中線,/是/上一個動點，則下列線段的長度等于/最小值的是（）

A./A/C/D/

【解析】

在/中,/,AD是/的中線，可得點B司點D關于直線AD對稱，連結CE,交AD于點P,此時/最小、為EC的長,

故選B.

2.如圖.在iF方形ABCD中.E是AB卜一點,BE=2.AB=8.P是AC卜一動點.則PB+PE的最小值.

【解析】如圖:

連接DE交AC于點P.此時PD=PB.PB+PE=PD+PE=DE為其最小值,

丁四邊形ABCD為正方形，且BE=2,AB=8,

AZDAB=90°,AD=AB=8,AE=AB-BE=6,

在Rl^ADE中，根據勾股定理，得DE===10.

AFB+PE的最小值為10.

3.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊交軸于點，軸，反比例函數的圖象經過點，點的坐標為,.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）點為軸上一動點，當的值最小時，求出點的坐標.

【解析】

（1）???是矩形，.??,

????

?，??，??，

又*?軸，???，???，

??????，即

把點代入的得，???反比例函數的解析式為:.

（2）過點作垂足為，

則點關于軸的對?稱點，直線與軸的交點就是所求點，此時最小,

設直線AB1的關系式為，將，，代入得，

解得:，，

工直線的關系式為，當時，，，點

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線產ax2+2x+c與x軸交于A(-1,O)B(3,0)兩點，與y軸交于點C,點

D是該拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式和直線4c的解析式；

(2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小，求出點M的坐標；

(3)試探究：在拋物線上是否存在點P,使以點A.P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存

【解析】

(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2-2ax-3a,-2a=2,解得a=-1,

???拋物線解析式為廣-W+2什3；

當x=0時，y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),

設直線AC的解析式為y=px+q,

把A(-1,0),C(0,3)代入得,解得,

???直線AC的解析式為.y=3x+3；

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-I)2+4,J頂點D的坐標為(1,4),

作B點關于y軸的對稱點B，,連接DB'交y軸于M,如圖1,則B'(-3,0).

「MB二MB',，MB+MD=MB'+MD=DB',此時MB+MD的值最小,

而BD的值不變，，此時aBDlVI的周長最小，

易得直線DB，的解析式為y=x+3,

當x=0時,y=x+3=3,???點M的坐標為(0,3)；

(3)存在.

過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P,如圖2,

???直線AC的解析式為y=3x+3,

，直線PC的解析式可設為y=-x+b,

把C(0,3)代入得b=3,

???直線PC的解析式為y=-x+3,

解方程組，解得或，則此時P點坐標為(，)；

過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P,直線PC的解析式可設為y=-/x+b,

JCA(-1,0)代入得+b=0,解得b=-,

???直線PC的解析式為y=?x-,

解方程組，解得或，則此時P點坐標為(，?).

綜上所述，符合條件的點P的坐標為(，)或(，-).

5.如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標系中，拋物線經過點三點

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；

（2）是拋物線對稱軸上的?點,求滿足的值為最小的點坐標（請在圖1中探索）；

（3）在第四象限的拋物線上是否存在點，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出

點坐標，若不存在請說明理由.（請在圖2中探索）

【解析】

根據點，的坐標設二次函數表達式為:，

???拋物線經過點，則，解得：，

拋物線的表達式為：，函數的對稱軸為：；

連接交對稱軸于點，此時的值為最小，設BC的解析式為：，

將點的坐標代入一次函數表達式：得：解得：

直線的表達式為:，當時,，故點：

存在，理由：

四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，則，

點在第四象限，則，將該坐標代入二次函數表達式得:，或

故點的坐標為或.

題型二將軍飲馬中一定兩動模型與最值問題

【專題說明】

一定兩動型可轉化為兩點之間線段最短和點到直線的垂線段最短問題，進而求最值。關鍵是作定點（或動點）

關于動折點所在直線的對稱點，通過等量代換轉化問題。

【模型展示】

【模型】三、一定兩動之點線

在OA.OB上分別取M、N使得PM+MN最小。

P'

又

ON

此處M點為折點，作點P關于OA對稱的點P',將折線段PM+MN轉化為P，M+MN,即過點P'作OB

垂線分別交OA.OB于點M、N,得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）

【例題】

1.如圖，在邊長為的菱形中,，將沿射線的方向平移得到，分別連接,，則的最小值為一.

【解析】

如圖，過C點作BD的平行線，以為對稱軸作B點的對稱點，連接交直線于點

根據平移和對稱可知，當三點共線時取最小值，即，

根據勾股定理得,，故答案為

2、點P是定點，在OA、OB上分別取M、N,使得PM+MN最小。

A

【解析】作點P關于0A對稱的點P',將折線段PM+MN轉化為P，M+MN,即過點P，作0B垂線分別

交OA.OB于點M、N,得PM+MN最小值（垂線段最短）

3.點P是定點，在OA.OB上分別取點M、N,使得△PMN周長最小.

【解析】分別作點P關于0A（折點M所在直線）、0B（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP

為P'M+MN+NP'',當P'、M、N、P''共線時，△PMN周長最小.

3.如圖，拋物線y=ax2?5ax+c與坐標軸分別交于點A,C,E三點,其中A(-3,0),C(0,4),點B在x軸

上,AC=BC.過點B作BD±x軸交拋物線于點D,點M,N分別是線段CO,BC上的動點，且CM=BN,連接

MN,AM,AN.

(1)求拋物線的解析式及點。的坐標；

(2)當ACMN是直角三角形時，求點M的坐標；

(3)試求出AM+AN的最小值.

【解析】(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得，解得，

工拋物線解析式為y=-x2+x+4；又YAOBC,C01AB,/.0B=0A=3,AB(3,0),

VBI)±x軸交拋物線于點D,???【)點的橫坐標為3,

當x=3時，y=-X9+X3+4=5,???D點坐標為(3,5)；

(2)在RdOBC中,BC=5,

設M(0,m),貝ljBN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,

VZMCN=Z0CB,???當時，△CMNsZ\C0B,則NCMN=NCOB=90°,

即，解得m;，此時M點坐標為(0,)；

當時，△CMNs/XCBO,則NCNM=NCOB=90°,

即,解得m=,此時M點坐標為(0,)；

綜上所述,M點的坐標為(0,)或(0,)；

(3)連接DN,AD,jin?,VAC=BC,CO±AB,AOCZACO=ZBCO,

VBD//OC,AZBC0=ZDBC,

VDB=BC=AC=5,CM=BN,AAACM^ADBN,.*.AM=DN,AAM+AN=D?HAN,

而DN+AN2AD(當且僅當點A、N、D共線時取等號)，JDN+AN的最小值二，

4.如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別是邊AD,BC的中點，連接DF,過點E作EH_LDF,垂足為H,EH

的延長線交DC于點G.

（1）猜想DG與CF的數量關系，并證明你的結論；

（2）過點H作MN/7CD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN上一點，求

△PDC周長的最小值

【解析】

(1)結論：CF=2DG.

理由：???四邊形ABCD是正方形，???AD;BC=CD=AB,ZADC=ZC=90°,

?J〕E=AE,.\AD=CI)=2DE,

VEG±DF,/.ZDHG=90°,

.\ZCDF+ZDGE=90°,ZDGE+ZDEG=90°,AZCDF=ZDEG,AADEG^ACDF,

,ACF=2DG.

（2）作點C關于NM的對稱點K,連接DK交MN于點P,連接PC,

此時APDC的周長最短.周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.

由題意:CD=AD=10.ED=AE=5.DG=,EG=.DH==,

.,.EH=2DH=2,,??HM==2,.\DM=CN=XK==1,

在RtADCK中,DK===2,

/.△PCD的周長的最小值為10+2.

5、如圖，在正方形ABCD中,AB=9,點E在CD邊上，月.DE=2CE,點P是對角線AC上的一個動點，則

PE+PD的最小值是（）

A.B.C.9D.

【解析】

如圖，連接BE,設BE與AC交于點P',??,四邊形ABCD是正方形，，點B與D關于AC對稱，???P'D二P'

B,???P'D+P'E=PrB+P'E=BE最小.即P在AC與BE的交點上時,PD+PE最小,為BE的長度.二?直角

△CBE中，ZBCE=90°,BC=9,CE=CD=3,ABE==故選A.

6.如圖，NAOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N(3,0)是OB上的一定點，點M

是ON的中點，ZAOB=30°,要使PM+PN最小，則點P的坐標為.

【解析】

解：作N關于OA的對稱點N',連接N'M交OA于P,則此時,PM+PN最小，：0A垂直平分NN',，

ON=ONZ,NN'ON=2NAON=60°,???△NON'是等邊三角形，;點M是ON的中點，，N'M±0N,V

點N(3,0)，,ON=3,???點M是ON的中點，???OM=1.5,???PM=,???P(,).故答案為：(,).

題型三將軍飲馬中兩定兩動模型與最值問題

【專題說明】

運用平移變換，把保持平移后的線段與原來線段平行且相等的特性下，把無公共端點的兩線段移動到具有

公共端點的新位置，從而轉化為兩點之間線段最短問題求解最值。

【模型展示】

【模型】二、兩定兩動之點點

在OA.OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小。

0

考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點P、Q關于OA.OB對稱，化折

線段PM+MN+NQ為P'M+MN+NQ',當P'、M、N、Q'共線時，四邊形PMNQ的周長最小。

【例題】

I.如圖所示拋物線過點，點，且

(I)求拋物線的解析式及其對稱軸；

(2)點在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長最小值；

(3)點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的血枳分為3：5兩部分，求點的坐標.

【解析】

(1)TOB=OC,???點B(3,0),

則拋物線的表達式為:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,

故?3a=3,解得：a=-l,

故拋物線的表達式為:y=x2+2x+3…①；

對稱軸為：直線

(2)ACDE的周長=AC+DE+CD+AE,其中AC=、DE=1是常數,

故CD+AE最小時，周長最小，

取點C關于函數對稱點C(2,3),則CD=C'D,

取點A'(-1,1),則A'D=AE,

故：CD+AE=A/D+DC',則當A'、D、C三點共線時,CD+AE=A'D+DC'最小，周長也最小,

四邊形ACOE的周長的最小值二八。+。石+。。+人￡＞癡+1+4'。+。。'=加+1+4。=癡+1+VB：

(3)如圖，設直線CP交x軸于點E,

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3:5兩部分，

XVSAPCB:SAPCA=EBX(yC-yP):AEX(yC-yP)=BE:AE,

則BE:AE.=3:5或5:3,則AE=或,

即：點E的坐標為(,0)或(，0),

將點E、C的坐標代入?次函數表達式：y=kx+3,解得：k=-6或-2,

故直線CP的表達式為:y=-2x+3或y=-6x+3oo②

聯立①②并解得：x=4或8(不合題意值已舍去)，

故點P的坐標為(4,-5)或(8,-45).

2.如圖，在矩形中，，，為的中點，若為邊上的兩個動點，且，若想使得四邊形的周長最小，則的長度應為

【解析】

如圖，在AD上截取線段AF=DE=2,作F點關于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為Q點，過A

點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點.

?E為CD的中點，???CE=2

.G11=DF=5,EII=2i4=6,Z1I=9O°,

?BC//GH

.?QCE—GHE,

CQ_EC

，CQ二,

ABP=CB-PQ-CQ=7-2-.

故答案為.

3.已知直線11/712,11.12之間的距離為8,點P到直線H的距離為6,點Q到直線12的距離為4,PQ二,在直線

11上有一動點A,直線12上有--動點B,滿足AB112,且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=.

【解析】作PE_L11于E交12于F,在PF上截取PC=8,連接QC交12于B,作BA_LU于A,

此時PA+AB+BQ最短.作QDJLPF于D.在RdPQD中，二'ND=90°,PQ=/,PD=18,??.DQ=/=/,;

AB=PC=8,AB〃PC,???四邊形ARCP是平行四邊形，，PA=BC,CD=IO,，PA+BQ=CB+BQ=QC=/=/=16.故

答案為16.

4.如圖，在Rt^ARC中，NACB=90。，AC=6.AB=12,AD平分NCAB,點F是AC的中點，點E是AD上的

動點，則CE+EF的最小值為//

A.3B.4C./D./

【分析】此處E點為折點，可作點C關于AD的對稱，對稱點C'在AB上且在AB中點，化折線段CE+EF

為C'E+EF,當C'、E、F共線時得最小值,C'F為CB的一半，故選C.

5.如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4,ZABC=60°,BD平分NABC,交AC于點D,M、N分別是BD,BC

上的動點，則CM+MN的最小值是//

A./B.2C./D.4

【分析】此處M點為折點，作點N關于BD的對稱點，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN'.

因為M、N皆為動點，所以過點C作AB的垂線，可得最小值，選C.

A

C

BN

專題2胡不歸中的雙線段模型與最值問題

【專題說明】

胡不歸模型問題解題步腺如下；

1.將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（vl）,若＞1,提取系數，轉化為小于1的形式解決。

2、在PB的一側，PA的異側，構造一個角度Q,使得sina=

3.最后利用兩點之間線段最短及至線段最短解題

3、最后利用兩點之間線段最短及垂線段最短解題

【模型展示】

如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為VI,在直線MN上運動的速度為V2,且VYV2,A.B為定點，點

C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小.

,記，

即求BC+kAC的最小值.

構造射線AD使得sinZDAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.

將問題轉化為求BC+CH最小值，過B點作BH1AD交MN于點C,交AD于H點，此時BC+CH取到最小

值，即BC+kAC最小.在求形如“PA+kPB”式子最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”

型問題轉化為“PA+PC”型.

【例題】

I.在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物

線，該拋物線與軸交于點、(點在點的左側)—經過點的一次函數的圖象與軸正半軸交于點，且與拋物線的另

一個交點為，的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數的解析式；

(2)拋物線上的動點在一次函數的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時點E的坐標；

(3)若點為軸上任意一點，在(2)的結論下，求的最小值.

【解析】

(1)將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為,

???，，點的坐標為，

代入拋物線的解析式得,，???，

???拋物線的解析式為，即.

令，解得,，???，

*

??，

丁的面積為5,???，???，

代入拋物線解析式得,，解得,，???，

設直線的解析式為，

解得:?

???直線的解析式為.

(2)過點作軸交于,如圖，設,則,

???當時，的面積有最大值，最大值是，此時點坐標為.

(3)作關于軸的對稱點，連接交軸于點，過點作于點，交軸于點,

、關于軸對稱，

,此時最小,

.，的最小值是3.

2、如圖，ZXABC中,AB=AC=10,tanA=2,BEJ_AC于點E,D是線段BE上的一個動點，則的最小值是

）

B

【解析】

如圖，作DH1AB于H,CM1AB于M.

VBE1AC,.\ZAEB=90d,

??TanA==2,設AE=a,BE=2a,

則有：100=a2+4a2,??.a2=20,???a=2或-2（舍棄）,ABE=2a=4,

VAB=AC,BE±AC,CM±AB,ACM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等））

VZDBH=ZABE,NBHD=NBEA,，，

ADH=BD,

，CD+BD=CD+DH,

???CD+DH2CM,

???CD+BD24,

???CD+BD的最小值為4.

故選B.

3.已知拋物線過點，兩點，與y軸交于點C,.

(I)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)過點A作，垂足為M,求證：四邊形ADBM為正方形；

(3)點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當面積最大時，求點P的坐標；

(4)若點Q為線段0C上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值;若不存在，請說明理由.

【解析】

⑴函數的表達式為:，即:，解得:，

故拋物線的表達式為:，則頂點；

⑵,，

VA(LO),B(3,0),AOB=3,OA=1.AAB=2,

又1?D(2,-1),?'?AD=BD=,

AAM=MB=AD=BD,A四邊形ADBM為菱形,

又,：,菱形ADBM為正方形；

(3)設直線BC的解析式為y=mx+n,

將點B.C的坐標代入得:，解得:，

所以直線BC的表達式為:y=x+3,

過點P作y軸的平行線交BC于點N,

設點，則點N,

則，

,故有最大值，此時，故點；

(4)存在,理由:

如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點E過點A作，垂足為H,交y軸于點Q,此時/,

則最小值，

在RtZ\COF中，NCOF=90°,ZFOC=30°,0C=3,tanZFCO=,

.\0F=,???F(-,0),

利用待定系數法可求得直線HC的表達式為：…①，

VZCOF=90°,ZFOC=30°,AZCFO=90°-30°=60。，

VZAHF=90°,AZFAH=90°-60°=30°,

.?.OQ=AO-tanZFAQ=,/.Q(0,),

利用待定系數法可求得直線AH的表達式為：…②，

聯立①@并解得:，故點，而點

則，即的最小值為

4.已知拋物線（為常數，）經過點，點是軸正半軸上的動點.

（I）當時，求拋物線的頂點坐標；

（II）點在拋物線上，當，時，求的值；

（III）點在拋物線上，當的最小值為時，求的值.

【解析】

（I）???拋物線經過點，.即.

當時,，

???拋物線的頂點坐標為.

（n）由（I）知，拋物線的解析式為.

???點在拋物線上，

由,得,,

???點在第四象限，且在拋物線對稱軸的右側.

如圖，過點作軸，垂足為，則點.

，.得?

???在中,.???.

由已知,，???.???.

(III)???點在拋物線上，

*

可知點在笫四象限，且在直線的右側.

考慮到，可取點，

如圖，過點作直線的垂線，垂足為，與軸相交于點,

有，得,

則此時點滿足題意.

過點作軸于點，則點.

在中,可知.

■

??,?

丁點，

??..解得.

5.如圖，在平面在角坐標系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點A,B（點A在點B的左側）交y軸于點C,點

D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E.

（1）連結BD,點M是線段BD二一動點（點M不與端點B,D重合），過點M作MN±BD交拋物線于點

N（點N在對稱軸的右側），過點N作NH_Lx軸，垂足為H.交BD于點F,點P是線段OC上一動點，當

MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值;

（2）在（1）中，當MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時，，把點P向上平移個單位得到點Q,連結AQ,

把aAOQ繞點O瓶時針旋轉一定的角度（0。?360°）,得到AACQ,其中邊AQ交坐標軸于點C在旋轉

過程中，是否存在一點G使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）如圖1

???拋物線y=x2-2x-3與x軸交于點A,B(點A在點B的左惻),交y軸于點C

???令y=0解得：xl=-I,x2=3,令x=0,解得：y=-3,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

???點D為拋物線的頂點，且-4

工點D的坐標為D(1,-4),?,?直線BD的解析式為:y=2x-6.

由題意,可設點N(m,m2-2m-3),則點F(m,2m-6)

，=(2m-6)-(m2-2m-3)=-m2+4m-3

???當m==2時,NF取到最大值，此時MN取到最大值，此時HF=2,

此時,N(2,-3),F(2,-2),H(2,0)

在x軸上找一點K(,0),連接CK,過點F作CK的垂線交CK于點J點，交y軸于點P,

/.sinZOCK=,直線KC的解析式為：，且點F(2,-2),

???PJ=PC,直線FJ的解析式為：，，點J(,)

???FP+PC的最小值即為FJ的長,且,???；

(2)由(1)知，點P(0,),

???把點P向上平移個單位得到點Q.???點Q(0,-2)

???在Rt^AOQ中，NAOG=90。，AQ=,取AQ的中點G,連接0G,則OG=GQ=AQ=,此時，ZAQO=

ZGOQ

把aAOQ繞點O順時針旋轉一定的角度a(00<a<360°),得到4A'OQ',其中邊A'Q'交坐標

軸于點G

①如圖2

G點落在y軸的負半軸,則G(0,過點Q'作Q7上x軸交x軸于點1,且NGOQ，=NQ，

則NIOQ'=ZOA'Q'=ZOAQ,

???sinNOAQ===,???，解得：|IO|=

.??在RtZ\OIQ，中根據勾股定理可得QI|=，，點Q的坐標為Q，(，-)：

②如圖3,

③如圖4

當G點落在y軸的正半軸上時，同理可得Q，(?，)

④如圖5

當G點落在x軸的負半軸上時，同理可得Q，(-,-)

綜上所述，滿足條件的點Q'坐標為：,(,),(,(,-)

專題3阿氏圓中的雙線段模型與最值問題

【專題說明】

“阿氏圓”模型核心知識點是構造母子型相似，構造△PABs^CAP推出PA2(,即：半徑的平方=原有

線段(構造線段。

“阿氏圓”模型核心知識點是構造母子型相似，構造△PABs/\CAP推出PA2(,即：半徑的平方;原有

線段(構造線段。

“阿氏圓”模型核心知識點是構造母子型相似，構造△PA^s/XCAP推出PA2=PB^PC即：半徑的

千方二原有線段X構造線段。

【模型展示】

如下圖，已知A.B兩點，點P滿足PA:PB=k(kWl),則滿足條件的所有的點P構成的圖形為圓.

(1)角平分線定理：如圖，在aABC中,AD是NBAC的角平分線，則.

證明：，，即

(2)外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點D,貝

證明：在BA延長線上取點E使得AE=AC,連接BD,則△ACD?△AED(SAS),CD=ED且AD平分NBDE,

則，即.接下來開始證明步驟:

如圖.PA:PB=k，作/APB的角平分線交AB于M點，根據角平分線定理,.故M點為定點.即NAPB的角

平分線交AB于定點;

作NAPB外角平分線交直線AB于N點，根據外角平分線定理,，故N點為定點，即/APB外角平分線交直

線AB于定點；又NMPN=90。，定邊對定角，故P點軌跡是以MN為直徑的圓.

【例題】

1.如圖，拋物線與軸交于,，兩點（點在點的左側），與軸交于點，且，的平分線交軸于點，過點且垂直于的直

線交軸于點，點是軸卜.方拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為，交直線于點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）設點的橫坐標為，當時，求的值;

（3）當直線為拋物線的對稱軸時，以點為圓心，為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值.

【解析】(1)由題意A(,0),B(-3.0),C(0,-3),設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x),把C(0,

-3)代入得到a,???拋物線的解析式為yx2x?3.

(2)在RtZ^AOC中，tanNOAC,???NOAC=60°.

TAD平分NOAC,???NOAD=30°,???OD=OA?tan300=1,AD(0,-1),

???直線AD的解析式為yx?I,

由題意P(m,m2m-3),H(m,m-1),F(m,0).

VFH=PH,Im-I-(m2m-3)

解得m或(舍棄)，，當FH=HP時,m的值為.

(3)如圖，???PF是對稱軸，???F(,0),H(/,-2).

VAHXAE,.\ZEAO=60°,AEOOA=3,：.E(0,3).

VC(0,-3),???HC2,AH=2FH=4,???QHCH=1,在HA上取一點K,使得HK,此時k().VHQ2=1,

HK?HA=1,???HQ2=HK?HA,,二

VZQHK=ZAHQ,.,.AQHK^AAHQ,A,AKQAQ,.*.AQ+QE=KQ-EQ,???當E、Q、K共線時,AQ+QE的值最小,

最小值

2、如圖1所示，OO的半徑為r點A、B都在。0外,P為。0上的動點，已知尸k?OB.連接PA、PB,

則當“PA+k-PB”的值最小時,P點的位置如何確定？

【解析】1：連接動點至圓心0（將系數不為1的線段兩端點分別與圓心相連接），即連接OP、0B；

2:計算連接線段OP、0B長度；

3:計算兩線段長度的比值；

4:在0B上截取一點C,使得構建母子型相似：

5：連接AC,與圓0交點為P,即AC線段長為PA+K*PB的最小值。

本題的關鍵在于如何確定“k?PB”的大小，（如圖2）在線段0B上截取OC使OC=k?r,則可說明△BPO與

△PCO相似，即k?PB=PCo

???本題求“PA+k?PB”的最小值轉化為求“PA+PC”的最小值,即A.P、C三點共線時最小（如圖3）,時

AC線段長即所求最小值。

R

圖3

3.如圖，在/中,ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點C為圓心,6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD.BD.CD,

則2AD+3BD的最小值是

【分析】首先對問題作變式2AD+3BD=,故求最小值即可.

考慮到D點軌跡是圓,A是定點，且要求構造，條件已經足夠明顯.

當D點運動到AC邊時,DA=3,此時在線段CD上取點M使得DM=2,則在點D運動過程中，始終存在.

問題轉化為DM+DB的最小值，直接連接BM,BM長度的3倍即為本題答案.

AB

4、如圖，已知正方ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，則的最大值為

【分析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=2,根據題意要求構造，在BC上取M使得此時PM=1,則在點

P運動的任意時刻，均有PM二，從而將問題轉化為求PD-PM的最大值.

連接PD,對于△PDM,PD-PMVDM,故當D.M、P共線時,PD-PM=DM為最大值.

P

專題4費馬點中三線段模型與最值問題

【專題說明】

費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距高之和最短的點。

主要分為兩種情況：

(1)當三角形三個內角都小于120°的三角膨，通常將某三角形繞點旋轉60度，從而將“不等三爪圖”中

三條線段轉化在同一條直線上，利用兩點之間線段最短解決問題O

(2)當三角形有一個內角大于120°時，費馬點就是此內角的頂點.

費馬點問題解題的核心技巧：

旋轉60。構造等邊三角形將，京等三爪圖”中三條線段轉化至同一直線上利用南點之間線段最

短求解問題

【模型展示】

問題：在4ABC內找一點P,使得PA+PB+PC最小.

【分析】在之前的最值問題中，我們解決的依據有：兩點之間線段最短、點到直線的連線中垂線段最短、作

對稱化折線段為直線段、確定動點軌跡求最值等.

(1)如圖，分別以aABC中的AB.AC為邊，作等邊aABD.等邊AACE.

(2)連接CD.BE,即杓一組手拉手全等：/XADCgZXABE.

(3)記CD.BE交點為P,點P即為費馬點.(到這一步其實就可以了)

(4)以BC為邊作等邊△BCF,連接AF,必過點P,WZPAB=ZBPC=ZCPA=120°.

在圖三的模型里有結論：(1)NBPD=60°；(2)連接AP,AP平分NDPE.

有這兩個結論便足以說明/PAB=/BPC=NCPA=120°.原來在“手拉手全等”就已經見過了呀，只是相逢

何必曾相識！

【例題】

1.如圖，四邊形ABCD是菱形,AB=4,且NABC=NABE=60°,G為對角線BD（不含B點）上任意-一點，將

△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF,當AG+BG+CG取最小值時EF的長（）

BC

A.B.C.D.

【解析】如圖,

???將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到AEBF,

.\BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

???ABFG是等邊三角形.??.BF=BG=FG,.

???AG+BG+CG=FE+GF+CG.根據“兩點之間線段最短”，

???當G點位于BD與CE的交點處時,AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，

過E點作EF_LBC交CB的延長線于F,

AZEBF=180°-120°=60°,

VBC=4,ABF=2,EF=2,在RtAEFC中,

VEF2+FC2=EC2,.\EC=4.

VZCBE=120°,AZBEF=30°,

VZEBF=ZABG=30°,AEF=BF=FG,

.\EF=CE=,

故選:D.

2、如圖，將繞點逆時針旋轉60。得到，與交于點，可推出結論:

問題解決：如圖，在中，一.點是內一點，則點到三個頂點的距離和的最小值是

【解析】如圖,將△MOG繞點M逆時針旋轉60°,得到AMPQ,

顯然ZiMOP為等邊三角形，???OM+OG=OP+PQ.

???點O到二頂點的距離為：ONIOMIOG=ONIOPIPQ,

，當點N、0、P、Q在同一條直線上時，有ON+OM+OG最小,

此時,ZNMQ=75°+60°=135°,

過Q作QA_LNM交NM的延長線于A,則NMAQ=90°,

.?.ZAMQ=1800-ZNMQ=45°,

VMQ=MG=4,

/.AQ=AM=MQ?cos45°=4,

???NQ=,

故答案為：

3.如圖，四邊形是菱形,B=6,且NABC=60°,M是菱形內任一點，連接AM,BM,CM,則AM+BM+CM

的最小值為.

【解析】

將△BMN繞點B順時針旋轉60度得到△BNE,

VBM=BN,ZMBN=ZCBE=60°,

:.MN=BM

?:MC=NE

???AM+MB+CM=AM+MN+NE.

當A.M、N、E四點共線時取最小值AE.

VAB=BC=BE=6,ZABH=ZEBH=60°,

ABH1AE,AH=EH,ZBAH=30°,

??.BH=AB=3,AH=BH=,

AAE=2AH=.

故答案為.

E

4.如圖，AABC中，ZBAC=30°且AB=AC,P是底邊上的高AH上一點.若AP+BP+CP的最小值為2,則

BC=.

VAB=AC,AHXBC,AZBAP=zCAP,

VPA=PA,AABAP^ACAP(SAS),JPOPB,

VMG=PB.AG=AP.NGAP=60°,

.?.△GAP是等邊三角形，

APA=PG,

???PA+PB+PC=CP+PG+GM,

/???當M.G,P,C共線時,PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長,

;AP+BP+CP的最小值為2,???CM=2,

VZBAM=60°,ZBAC=30°,AZMAC=90°,AAM=AC=2,

作BN_LAC于N.則BN=AB=1,AN=,CN=2-,

ABC=.

故答案為.

5.如圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊三角形,M為對角線BD(不含B點)上任意一點，將BM

繞點B逆時針旋轉60°得至UBN,連接EN、AM、CM.

(1)求證：AAMB空AENB；

⑵①行M點在何處時,AM+CM的值最小；

②當M點在何處時,AM+BM+CM的值最小，并說明理由；

⑶當AM+BM+CM的最小值為時，求正方形的邊長.

【解析】⑴:△ABE是等邊三角形，??.BA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,/.ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN?即NBMA=NNBE.

XVMB=NB,AAAMB^AENB(SAS)

⑵①當M點落在BD的中點時,AM+CM的值最小

②如圖，連接CE,當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小

理由如下:連接MN.由⑴知,AAMB^AENB,AAM=EN.

???NMBN=6(T,MB=NB,是等邊三角形，???BM=MN.

JHM+8M+CM=EN+MN+CM.

根據“兩點之間線段最短"，得EN+MN+CM=EC最短

:.當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長

⑶過E點作EF_LBC交CB的延長線于F,???NEBF=90°—60°=30°.

設正方形的邊長為x,則BF=x,EF=.

在Rh^EFC中，VEF2+FC2=EC2,()2+(x+x)2=.

解得，x=(舍去負值).

，正方形的邊長為行

6.在正方形ABCD中，點E為對角線AC(不含點A)上任意一點,AB